垂径定理-圆周角与圆心角的关系
圆
一．圆的基本性质
1、固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：
2、三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在 。 3、垂径定理及推论1中的三条可概括为：
① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
4、圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。
1、已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
2、在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？
3、已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．
4、.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）
5、如图，已知在ABC ?中，?=∠90A
，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．
D
O
E
B
A
C
C
B
D
A
6、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿ m 。
7、 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。
8、如图,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB= ____
9、如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=8cm ，EB=4cm ，∠CEA=30°，则CD 的长为_________．
10、如图，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ） A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28
11、如图，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4
12、已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 的3倍,C 为弧AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.
13、在⊙O 中，弦AB=10cm ，C
为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 . 14、如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF ⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= .
15、如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=
．
16、如图，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ o．
17、已知：如图，AD?是⊙O?的直径，∠ABC=?30?°，则∠CAD=_______
18、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ 。
_ . . . _D
_C _B _A
_O
D
O B C
A M
C
B
A
O
A D
E
C B ·图1
A
·O C D B 图2 · A E
F
B C D
O O
A
B
C
A B C
D E O
A 65
如图
如图
A B
C E
D
I 19、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，
最少需在圆形边缘上共安装．．．
这样的监视器 台。 20、如图，A
、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ， 55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.
21、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点， 130=∠D ，则BAC ∠的度数是 .
22、如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ．求证:EC=2EA
23、如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？
24．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、
D 均不与A 、B 重合）.
(1)求ACB ∠；(2)求三角形ABD 的最大面积．
25、已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 直径，若∠DAC=?60，BC=337
，AD=5．求AC 的长．
26、如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
27、如图，△ABC 中，I 是内心，AI 交BC 于D ，交△ABC 的外接圆于E 。
求证：（1）IE=EC ，（2）IE 2
=ED ·EA 。
28、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD ⊥BC ，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
A
B
O
D E C A B C O
D ·
A
B D C
O A B C
O D
29、已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC=10，BC＝12，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
30、如图，O为Rt△ABC的外接圆，点D为BC的中点，延长DO交O于E，
试说明AE CD
=．
31、已知：如图，在△ABC中，2
ABC A
∠=∠，BM平分ABC
∠交△ABC的外接圆于M ，ME BC
∥交AB于E，试判断四边形BCME的形状，并说明理由．
32.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，,,,
DE AB DF AC E F
⊥⊥为垂足.
求证：E、B、C、F四点共圆.
二．直线与圆的位置关系
考点速览：
判断直线是圆的切线的方法：
①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）
两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
三角形外接圆与内切圆比较：
名称确定方法图形性质
外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边
中垂线的交
点
（1）OA=OB=OC；
（2）外心不一定在三角
形的内部．
内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条
角平分线的
交点
（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC分别平
分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部．
ＡＣ
Ｄ
Ｂ
ＥＯ
1
2
3
M
C
B
A
E
O
F
E
B
D
A
C
O
P
B
A
C
求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为2
c
b a r -+=.
2、一般三角形
①已知三边，求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
c
b a S r ++?
=
2
1、.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，C 是⊙O 上一点，若∠P ＝40。
，求∠C 的度数。
2、如图所示，ABC Rt ?中，?=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点。求证：DE 是⊙O 的
切线．
3、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A ，与大圆相交于点B ，小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB. 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。
4、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90。 ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD= ∠A ，判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论。
5. 如图，AB 与⊙O 相切于B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，
若∠A ＝36。
．则∠C ＝______
6、如图，⊙O 分别切ABC ?的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===．
（1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=?，求内切圆半径r ．
7、直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝，则此直角三角形的外接圆如图，⊙半径为 ㎝，内切圆半径 cm
8、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝．
O
A C
B D O
C
A
B
E
O B
C A D
· A
B
C E
O
D
· E
F D
C O
A B
· E
F D C
O A B
· E D B
O · A P B
O C
· A
O
P M A
B
C O
E D
b
c
a A
B
C
O E F D
9、如图，在Rt ABC ?中，90,3,4C AC BC ∠=?==，以BC 边上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段BD 的长 ．
10、如图，ABC ?内接于⊙O ，AB 为⊙O 直径，过C 点的切线交直径AB 的延长线于P ，25BAC ∠=?，则
P ∠= ．
11、（贵阳）如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝900
，且AB ＝13，AC ＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A 、π-30
B 、π230-
C 、π330-
D 、π430-
12.如图，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，若AM=a ，BN=b ，则AB= . 13．如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，使BD=OB ，DC 切⊙O 于C ，则∠D= ，∠ACD= ，若半径为r ，AC= ．
14.如图，在ABC ?，10,8,90===∠AB AC C ，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（ ）.
A ．1
B ．45
C ．712
D ．49
15．如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55°
16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC ，AC ，AB 分别切于D ，E ，F ． （1）求证：BF=CE ；（2）若∠C=30°，CE=23，求AC 的长．
17．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 分别和边BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，?如果AF=2，BD=7，CE=4．（1）求△ABC 的三边长；（2）如果P 为弧DF 上一点，过P 作⊙O 的切线，交AB 于M ，交BC 于N ，求△BMN 的周长．
18．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ）
A 、
215 B 、315
C 、
2315 D 、2
2
15 19、如图，Rt △ABC 中，AC=8,BC=6,∠c=90o，圆I 分别切AC 、BC 、AB 于D,E,F ，求Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离。
· A
B
D
C
O
M
·
C
A
O
B
N
三．圆与圆位置的关系
1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d ）
外离
外切
相交
内切
内含
图形
公共点 0个 1个 2个 1个 0个
d 、r 、R 的关系 d R r >+ d R r =+
R r d R r -<<+
d R r
=- d R r <-
外公切线 2条 2条 2条 1条 0条 内公切线
2条
1条
0条
0条
0条
2．有关性质：
（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁
3．相交两圆的性质
定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 4．相切两圆的性质
定理：相切两圆的连心线经过切点
四.圆的有关计算
外公切线 内公切线
O 1
O 2
O 1
O 2
O 1
O 2
O 1 O 2
O 1
O 2
1、有关弧长公式的应用
如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求弧DE 的长度．
2、有关阴影部分面积的求法
如图所示，等腰直角三角形ABC 的斜边4AB =，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于D 、E ．求圆中阴影部分的面积．
3、求曲面上最短距离
如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点。它爬行的最短路线长是（ ）
A ．2π
B ．42
C ．43
D ．5 4、求圆锥的侧面积
如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，?它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm ，高BC=8cm ，求这个零件的表面积．（结果保留根号）
一、基础训练
1． 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm ，∠AOB=∠BOC=60°，则图中阴影部分的面积是______cm 2．
4．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（ ） A ．R=2r B ．R=r C ．R=3r D ．R=4r
5．如图，圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积是（ ） A ．60πcm 2 B ．45πcm 2 C ．30πcm 2 D ．15πcm 2
6．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：4 D ．4：
1
·
C
O
A
B
D
E
8．将直径为64cm 的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ）
A ．815cm
B ．817cm
C ．163cm
D ．16cm
9．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，?OA=3，OC=1，分别连结AC 、BC ，则圆中阴影部分的面积为（ ）A ．
1
2
π B ．π C ．2π D ．4π
10．如图，PA 切圆O 于A ，OP 交圆O 于B ，且PB=1，PA=3，则阴曩部分的面积S=______．
11．如图，在边长为4cm 的正方形ABCD 中，分别以各边为直径向正方形内依次作弧AB,BC,CD,DA ，点E 是四段弧的交点．一只蚂蚁由点A 出发沿弧AB,BC,CD,DA,AB 路径顺序不断地爬行，当它行走了2006πcm 时，停止爬行，此时，蚂蚁所处的位置是点_______．（填A ，B ，C ，D ，E 之一）
12．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 形池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，?其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD 上，CE=2m ，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，?则他滑行的最短距离约为______m ；（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）
13．如图9，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ，高为55cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（ ） A ．10cm B ．20cm C ．30cm D ．35cm 二、应用与探究：
1．如图所示，A 是半径为1的⊙O 外一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分
的面积．
2. 如图所示，已知Rt △ABC ，,AC BC DEF =的圆心为A ，如果图中两个阴影部分面积相等，求:AD DB ．
3. 如图，有一直径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC ，求： （1）被剪掉后阴影部分的面积．
（2）用所有的扇形铁皮围成一个圆锥．该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果可用根号表示）
A
O
C
B
A
B
C F
E
D · A
O
B
A
B
C
D P
E
M N
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．在两个同心圆中，两条半径所截得的弧长的比一定等于（ ） A 、两心角的度数比 B 、两条半径的比
C 、两圆半径的平方比
D 、以上都不对
2．正三角形的内切圆与外接圆周长的比为（ ）
A 、1:2
B 、1:2
C 、1:3
D 、1:3
3．若圆上一段劣弧所对的弦长等于圆的半径R ，R=1，那么劣弧和弦围成的弓形面积（ ）
A 、136
4
π-
B 、0.09
C 、
3
4 D 、16
π 4．如图所示，两个同心圆中大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若AB =4，则图中圆环的面积为（ ）
A 、16π
B 、4π
C 、16
D 、2π
5．如图所示，矩形ABCD 中，AB =1，3AD =，以BC 的中点E 为圆心的
MPN 与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A 、23
π
B 、
3
4π
C 、
34
π
D 、3
π
6．已知圆锥的底面周长为58cm ，母线长为30cm ，求得圆锥的侧面积为（ ） A ．8702
cm B ．9082
cm C ．11252
cm D ．17402
cm 7．若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A ．?120
B ．?135
C ．?150
D ．?180
8．一个圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，它的母线长为a ，则圆锥的表面积为（ ） A ．(
)
2122
1
a π+ B ．
(
)
212a π+ C ．
(
)
2122
1a + D ．22
21a π-
9．一个圆锥形的零件，如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4cm 的等边三角形，那么圆锥的表面积是（ ） A ．82cm π B ．102cm π C ．122cm π D ．12
cm π
十二.圆的基础综合测试
一、精心选一选
1．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③ 相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ）
A.①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
2．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
·
A B O C
3． ⊙O 中，AOB ＝∠84°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A.42° B.138° C.69° D.42°或138°
4．如图1，⊙O 的直径CD 垂直于弦EF ，垂足为G ，若∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°
5．已知两圆的半径是方程01272=+-x x 两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A.内切
B.相交
C.外离
D.外切
6．已知圆上的一段弧长为5πcm ，它所对的圆心角为100°,则该圆的半径为( ) A.6 B.9 C.12 D.18
7．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果⊙P 与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( ) A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.5
8．如图2，AB 与⊙O 切于点B ，AO ＝6㎝，AB ＝4㎝，则⊙O 的半径为（ ）
A 、45㎝
B 、25㎝
C 、213㎝
D 、13㎝
9．如图3，已知⊙0的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，则么∠P 等于（ ） A ．150
B ．200
C ．250
D ．300
10．如图4，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB= 4 ，则⊙O 半径为（ ）
A 、22
B 、4
C 、32
D 、5
二、耐心填一填
11．过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ，最短弦为8cm ，
则OM= cm.．
12．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC 的内切圆半径为 ． 13．已知正n 边形的一个外角与一个内角之比为1︰3，则n 等于 ．
14．某校九（3）班在圣诞节前，为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞老人的纸帽，已知圆锥的母线长为30cm ，底面直径为20cm ，则这个纸帽的表面积为 ．
15．如图5，⊙O 是△ABC 内切圆，切点为D 、E 、F ，∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE 度数是 ． 16．如图6，⊙O 中，直径为MN ，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM = 45°，若AB ＝1，则该圆的半径为 ．
三、思维大比拼
17． 如图7，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为
半径的圆交AB 于点D,交BC 于点E.求 、
的度数．
AD DE
18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．
求证：（1）AD ＝BD ； （2）DF 是⊙O 的切线．
19．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分
线与BC 相交于点D,
点E 在AB 上，DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ．（1）AC 与⊙D 相切吗？并说明理由．（2）你能找到AB 、BE 、AC 之间的数量关系吗？为什么？
1
sin 2
B =
，
20、如图，已知：ABC △内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，
30D ∠=．（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若6AC =，
求AD 的长．
21．如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5．
F
E
D
C
B
A
O
A
C
D
B
O
（1）若sin ∠BAD =
3
5
，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）．
22．图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图②是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为O ．
车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．
23．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AB =8㎝，AD=24㎝，BC=26㎝，AB 为⊙O 的直径。动点P 从A 点开始沿AD 边向点D 以1 cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s ,求： （1） t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形、等腰梯形？ （2） t 分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相交、相切、相离？
十三.圆的终极综合测试
一：选择题
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
O
B
A
· 图②
图① A
B
2米
43米
AB
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个 2．下列判断中正确的是（ ）
A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如上图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，
的度数为60°，
的度数为100°，则∠AEC
等于（ ）
A.60°
B.100°
C.80°
D.130°
4．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2:3:6，则∠D 的度数是（ ）
A.67.5°
B.135°
C.112.5°
D.110°
5.过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM 的长为( ).
A 、cm 3
B 、cm 5
C 、cm 2
D 、cm 3
6．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果⊙P 与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( ) A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.5
7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.
2
1（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.31
（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r
8．已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是（ ）
A.0＜d ＜3r
B.r ＜d ＜3r
C.r ≤d ＜3r
D.r ≤d ≤3r
9.将一块弧长为π 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）
A ．3
B ．
23 C ．5 D ．2
5 10.如图，圆 O 中弦AB 、CD 相交于点F ，AB=10，AF=2，若
CF:DF=1:4，则CF
的长等于（ ）。
A ．2
B ．2
C ．3
D ．22
11.有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=4cm ，上面有一个以AD 为直径的 半圆，正好与对边BC 相切，如图
（甲），将它沿DE 折叠，使A 点落在BC 上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）
的面积是（ ）
A. 2)32(cm -π B ．2
)32
1
(cm +π
C ．2)334(cm -π
D ．2
)33
2(cm +π
12.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16π，过小 圆上任一点P 作 大圆
的弦AB ，则PA PB ?的值是（ ）
A ．16
B ．16π
C ．4
D ．4π
C
A
B
D
F
O
D
A
B
C
A
B
C
C
二、填空题
13．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC 的内切圆半径为 ．
14.如图，圆O 是ABC △的外接圆，30C ∠=，2cm AB =，则圆O 的半径为 cm ．
15.（1）已知圆的面积为2
81cm π，其圆周上一段弧长为3cm π，那么这段弧所对圆心角的
度数是 ．
（2）如图13所示，AB 、CD 是⊙O 的直径，⊙O 的半径为R ，AB ⊥
CD ，以B 为圆心， 以BC 为
半径作弧CED ，则弧CED 与弧CAD 围成的新月形ACED 的面积为 .
（3）如图14,某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m 的正六边形，池底是水磨石地面，现用的磨光机的磨头是半径为2dm 的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部分的面积为 .
16．如图2，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm
，那么这个圆锥的侧面积是 .cm 2
．
17.如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm 母线长是8cm ，在点A 处有一只蚂蚁，它想吃到与A 点相对且离圆锥顶点23cm 的点B 处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是 .
18、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC ，AD 交BC 于E ，AE=2、ED=6，则
AB= .
19.已知矩形ABCD ，AB=8，AD=9，工人师傅在铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙P 后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的⊙Q ，那么⊙Q 的直径是 .
20.如图所示，AB 是⊙1O 的直径，1AO 是⊙2O 的直径，弦MN ∥AB ，且MN 与⊙2O 相切于点C ．若⊙1O 的半径为2，则由1O B 、弧BN 、NC 、弧CO 1围成图形
的
面
积
等
于 ．
·
· A
C
B D
E O
· A B C
D
· Q · P ·
M A
O 1
O 2 C
N B
A C
D
O
E B 图13
图14 · ·
B
O A
B
O
C
A
· ·
· A B O
C
21.如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为
4
25
，点C 在AB 上，CD AB CD OC ,,4
7
⊥=交半圆O 于D ，那么与半圆相切，且与
BC ，CD 相切的圆O '
的半径长是 。 三、综合题
22.以Rt △ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连DE .
⑴请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论. ⑵当AD ：DB=9：16时，DE=8cm 时，求⊙O 的半径R .
23. 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠．
（1）求证：PC 是O ⊙的切线； （2）求证：1
2
BC AB =
； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若4AB =，求MN*MC 的值．
24．如图1，直线y ＝
43x －1与抛物线y ＝－4
1x 2
交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求线段AB 的长；
（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；
（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．
C P y
O x Q 图2
A C y O x B
图1
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ A D B O C E 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5 10.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
垂径定理和圆周角定理的复习
二、同步题型分析 关于垂径定理 例题1、如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（ ） 【变式练习】1如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P ．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】2、如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ） 例题2、如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） 【变式练习】1、如图．Rt△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是弧AD 的中点，CD 与AB 的交点为E ，则 DE CE 等于（ ） 【变式练习】2如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC= 2 1 ∠BOD，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】3在半径为13的⊙O 中，弦AB∥CD，弦AB 和CD 的距离为7，若AB=24，则CD 的长为（ ） 例题3、如图，以M （-5，0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长（ ） 【变式练习】1、已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） 【变式练习】2如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长
九年级圆垂径定理弦弧圆心角圆周角提高练习
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角提高练习 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五 个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤ , 正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （第2题图） （第3题图） （第4题图）
垂径定理圆周角与圆心角的关系复习题
【知识点总结】 1．圆是 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形． 2．圆是轴对称图形，它的直径所在的直线都是对称轴；又时中心对称图形，它的中心是圆心． 3．垂径定理：（图1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 4．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 5．顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 6．圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；?90的圆周角所对的弦是直径． 8．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 圆易错点 1．注意考虑点的位置 在解决点与圆的有关问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等． 例１．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 cm ． 例2．BC 是⊙O 的一条弦， ?=∠120BOC ，点A 是⊙O 上的一点（不与B 、C 重合），则BAC ∠的度数为 ． 2．注意考虑弦的位置 在解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类． 图3 图4
例3．在半径cm 5为的圆中，有两条平行的弦，一条为cm 8，另一条为cm 6，则这两条平行弦的距离是 ． 例4．AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两条弦，且?=∠30BAC ，?=∠45BAD ，则CAD ∠的度数为 ． 考点1：基本概念和性质 考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现． 例5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 考点2：圆心角与圆周角的关系 例6.如图1,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. B A A (1) (2) (3) 例7..如图2,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________. 例8..如图3,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 考点3：垂径定理 考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决． 例9．如图，在⊙O 中，有折线OABC ，其中8=OA ，12=AB ，?=∠=∠60B A ，则弦BC 的长为（ ）。 Ａ．19 Ｂ．16 Ｃ．18 Ｄ．20 1．下列命题中，正确命题的个数为（ ）. ①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③?90的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等． A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ． 4个 2.下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C
圆心角圆周角垂径定理及其应用
第一课时辅导讲义
4、圆周角定理及其推论（重点） 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。 即：在△ABC中，∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∟C=90° 5.垂径定理的应用（难点） （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的的弧， 垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示， 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 C B A O O E D C B A
考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 例1、（2006?）如图，BE是半径为6的圆D的1/4圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值围是（） 例2、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（） 例3、（2007?）如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其 中正确结论的序号是 例4.（2005?江）如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2√3，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且 在BD上，则四边形ABCD的面积为 考点二：圆周角定理 例1如图，三角形ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（） 例2、（2011?）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角
垂径定理-圆周角与圆心角的关系
圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线, 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ， 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． A B D C O · E
垂径定理,圆周角定理练习题
C A P O D C E O A D B 九年级 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 一，填空题 1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 2.. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。 3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。 （2题图 ） （ 1题图 ） （3题图） 4. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） （4题图） (5题图) （6题图） （9题图） 7. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ） 8. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） 9. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 10. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长 23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________； 11. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以点C 为圆心，4cm 为半径作圆。则A 、B 、C 、D 四点在圆内有_____________。
中考数学一轮专题复习垂径定理圆心角圆周角定理
垂径定理圆心角圆周角定理 一选择题： 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（） A．100° B．110° C．120° D．130° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠
A．15°B．28° C.29°D．34° 7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( ) 8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（） A. B. C． D. 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20o，则∠ACB，∠DBC分别为（） A．15o与30o B．20o与35o C．20o与40o D．30o与35o 10.图中∠BOD的度数是（） A．55° B．110° C．125° D．150° 11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）
圆(垂径定理、圆心角、圆周角)基础题练习
圆（垂径定理、圆心角、圆周角）基础题练习 1如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为 3.如图，同心圆中，大圆的弦AB被小圆三等分，OP为弦心距，如果PD=2cm，那么BC=________cm． 4.如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？ 5.如图所示，已知在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，证明：AC=BC 6.已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4cm，求⊙O的直径 7.如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最 大深度． 8.已知：如图，△ABC内接于⊙0，AE⊥BC，AD平分∠BAC．求证：∠DAE=∠DAO． 圆心角、圆周角 1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数
5.如图，图中相等的圆周角有 A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 6.如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=60°，则∠OBC的度数为________度． 7.如图示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小． 8.已知：如图，点D的坐标为（0，6），过原点O，D点的圆交x轴的正半轴于A点．圆周角∠OCA=30°，求A点的坐标． 9.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径． 10如图，已知：AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，求证：AC=BD 11.已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm． （1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长． 12.如图，OA⊥BC，∠AOB=50°，试求∠ADC的大小 如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD 13.如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=35°，求∠AOB的度数． . 14.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数．
9 垂径定理 圆心角 圆周角定理(
垂径定理圆心角圆周角定理 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 1、平分弦所对的两条弧） 2、平分弦（不是直径） 3、垂直于弦 4、过圆心 推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 [垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。] 圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 （1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。 圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。 2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 切线定理 （定义）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （数量法d=r）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。 判定定理：1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径（d=r）
练习 一选择题： 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48° C．52°D．58° 2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°， AO∥DC，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°， 则∠BOC是（） A．100° B．110° C．120° D．130° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上 移动，则OM取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( ) A．15°B．28° C.29°D．34°
垂径定理、圆周角与圆心角
圆1 一、知识点 1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。） 4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。） 5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。 推论：圆的两条平行弦所夹弧。 6、与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 7、垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 二、例题 (泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（） A．45 B．60 C．75 D．90 2．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`
垂径定理及垂径定理
垂径定理及圆周角 一、关于垂径定理 例题1、（2013?舟山）如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（ ） 【变式练习】1（2013?徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P ．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】2、（2013?温州）如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ） 例题2、（2013?潍坊）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） 【变式练习-相似】1、如图．Rt△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是弧AD 的中点，CD 与AB 的交点为E ，则DE CE 等于（ ） 【变式练习】2（2013?南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=2 1∠BOD，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】3在半径为13的⊙O 中，弦AB∥CD，弦AB 和CD 的距离为7，若AB=24，则CD 的长为（ ） 例题3、如图，以M （-5，0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于 A 、 B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于 C 、 D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于 E 、 F ，则EF 的长（ ） 【变式练习】1、已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） 【变式练习】2如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长为
圆周角圆心角垂径定理练习
江苏通海中学周飞 初三数学周末练习 班级：姓名：学号： 一．选择题（共8小题） 1．（2013?丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（） 5C 2．（2012?茂名）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD=6，则DE=（） 则OP的长为（） 4．（2013?黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（） ．． 6．（2007?仙桃）如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点， ∠AOE=60°，则∠COE是（）
二．填空题（共8小题） 9．（2009?郴州）如图，在⊙O中，，∠A=40°，则∠B=_________度． 10．如图，在⊙O中，=，如果∠AOC=65°，则∠BOD=_________． 11．（2011?阜新）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为_________度． 12．（2010?湘西州）如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=_________．13．（2013?漳州）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_________厘米． 14．（2013?西宁）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB=_________．
九年级上册垂径定理,圆心角及圆周角的综合测试题
九年级上册垂径定理，圆心角及圆周角的综合测试题 班级＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如下图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40? B. 50? C. 80? D. 100? 2.已知：如上图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 3.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60° 4.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块 5.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2， 则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．6.下列命题中，正确的是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②⑤ D ．②④⑤ 7、如上图，AB 是半圆直径，∠BAC=20°，D 是AC 的中点，则∠DAC 的度数是（ ） A . 30° B. 35° C. 45° D . 70° 8、 下面每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） 9、 已知AB 是⊙O 的直径，AC, AD 是弦，且 ，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是 ( ) A. 45°或60° B. 60° C . 105° D. 15°或105° 10、如图，AB 是⊙的直径，弦CD 垂直平分OB ，则∠BDC=（ ） A. 20° B.30° C.40° D.50° 二、填空题（每题3分，共24分） 11、如图．⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25o ，则∠AOB 的度数为_______． 12.如图．AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50 o ．则∠ADC=_______． 13. 如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，连结AB 、BC 、AC 、OA 、OB ，且∠BAO=25°， 则∠ACB 的大小为___________. 14. 已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE= . 15、 如图，AB 是⊙O 的直径，C, D, E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2 = . （第5 题） 第7题 第11题 13题 第12题 14题 15题
圆周角、圆心角以及垂径定理提高练习
圆周角、圆心角以及垂径定理提高练习 知识点： 1、圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 2、垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 3、在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组 相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 提高练习： 1、正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ ） A ．45 B ．60 C ．75 D ．90 2、如图2，在⊙O 中，弦BC //半径OA ，AC 与OB 相交于M ，∠C =20°，则∠AMB 的度数为_________ 3、在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分为度数比为15∶的两条弧，则弧AB 所对的圆心角的度数为______ 4、如图3，弦AC 、BD 相交于点E ，AB ⌒ =BC ⌒ =CD ⌒, ∠AED =80°,∠ACD 的度数为__________ 5、如图4，A B 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ A A C 图4 A B E F C D G O 图5
圆的定义、垂径定理、圆心角、圆周角练习
圆的定义、垂径定理、圆心角、圆周角练习 1.如下图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数 是50o，则∠C的度数是（） A）50o B）40o C）30o D）25o 第1题图第2题图 2.如上图，两正方形彼此相邻,且大正方形内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为（）． A）(45) + cm B） 9 cm C）45cm D）62cm 3.⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( ) A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定 4.如上图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3）， M是第三象限内OB上一点，BMO ∠=120，则⊙C的半径为（） A. 6 B. 5 C 3 D. 32 5.如下图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 第5题图第6题图第7题图
6.如上图，扇形的半径是cm 2，圆心角是? 40，点C为弧AB的中点，点P在直线OB上，则PC PA+的最小值为cm 7.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与 A、B重合）， 则cos C的值为 . 8.圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数 为： . 9.已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°， 求∠C及∠AOC的度数． 10.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长． 11.如图，AB为⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD ,延长OC、OD分别交⊙O于E、F， 证明：AE=BF.
垂径定理和圆心角
C A P O D C E O A D B 垂径定理和圆心角、圆周角定理综合练习 1、 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 2、如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。 3、 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。 4 、 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 5、如图，为的直径，点在上，，则 ． 6、如图24—A —2，OB 、OC 是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点，若已知∠B=20°, ∠C=30°,则∠BOC= . 7、 如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝130°， 则∠BOD 的度数是__________． 8、如图3，CD 是圆O 的弦，AB 是圆O 的直径，CD ＝8，AB ＝10，则点A 、B 到直线CD 的距离的和是 ( ) A 、6 B 、8 C 、10 D 、1 9、 如图，在⊙O 中，弦BC //半径OA ，AC 与OB 相交于M ，∠C =20°，则∠AMB 的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．50° D ．40 10、如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130° C B D O A 图24—A —2 C B A O M
圆,垂径定理,圆周角圆心角,切线性质及判定
圆，垂径定理，圆周角圆心角，切线性质及判定 1、圆的定义 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做 半径。 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 例题： 1．到点A的距离等于5cm的所有点组成的图形是____________。 2.两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm。 2、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD） 直径等于半径的2倍。 直径所对的圆周角等于90度。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 3、点和圆的位置关系（3分） 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d
垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弧长扇形面积练习
1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB ， 如果∠DAB=65°，那么∠AOC 等于 A.25° B.30° C.50° D.65° 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点.若BC=8，2 cos 3 D ， 则AB 的长为 A B ．163 C D ．12 3．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45 ° C ．50° D ．70° 4. 如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP =4， ∠P =30°，则弦AB 的长为 A ． B ． C D ． 2 5、如右图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于 点G ，H ，则EF GH 的值为 A. B. 3 2 C. D. 2 6、时针匀速运动，设∠APB=y （单位：度），如果y 与P 运动的时间x （单位：秒），的函数关系的图象大致如图2所示，那么P 的运动路线可能为（ ） A.O →B →A →O B.O →A →C →O C.O →C →D →O D.O →B →D →O 7．如图，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O →C →D →O 的路 线匀速运动，设∠APB =y （单位：度），点P 运动的时间为x （单位：秒），那么表示y 与x 关系的图象是（ ） BAC
8.小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O -M -N 匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的 A. 点Q B. 点P C. 点M D. 点N 9.小明四等分弧AB ，他的作法如下： （1）连接AB （如图）； （2）作AB 的垂直平分线CD 交弧AB 于点M ，交AB 于点T ； （3）分别作AT ，TB 的垂直平分线EF ，GH ，交弧AB 于N ，P 两点，则N ，M ，P 三点把弧AB 四等分。你认为小明的作法是否正确： 理由是 10、已知：如图，A 、B 、C 为⊙O 上的三个点，⊙O 的直径为4cm ，∠ACB=45°，求AB 的长 11.如图所示，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由。
垂径定理、圆心角、圆周角复习.doc
垂径定理、心周角复习 —、知识点 1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴, 3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线， 所以不能说“圆的对称轴是直径而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线'：） 4、___________________________________________________ 、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、 半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心《） 5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径,并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过,并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，眩且平分弦所对的另一条弧。 6、与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质， %1圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. %1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的瓠相等. %190°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. %1如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. %1圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 7、垂径定理及推论： %1垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条或 %1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条如 %1弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条如 %1平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦 20.（温州）（本题8分）如图，在正方形ABCD中,AB=4, 0为对角线BD的中点,分别以OB, 0D为直径作。 Oi, 0O2. o “I ----- 7^^^ （/\ ⑴求02 01的半径； （2）求图中阴影部分的面积.