垂径定理-圆周角与圆心角的关系

圆

目录

一．圆的定义及相关概念

二．垂经定理及其推论

三．圆周角与圆心角

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形

六．会用切线 , 能证切线

七．切线长定理

八．三角形的内切圆

九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系

十一．圆的有关计算

十二．圆的基础综合测试

十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它

的对称中心。

考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）

弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5

点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？

例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,

30=∠CEA ，

D

O

B

C

求CD 的长．

例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC 的度数．

【考点速练】

1.下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆

B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆

C ．任何一个四边形都有一个外接圆

D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个

4．三角形的外接圆的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ）

①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )

A.圆的外部(包括边界)；

B.圆的内部(不包括边界)；

C.圆；

D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm

A

B D

C

O

· E

B

8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条

10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）

11.如图，已知在ABC ?中，?=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．

12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

13、 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。

14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。

B

P

A

O

C

B

A

15.思考题

如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

· A

B D

C

E

P F

O

1、在半径为2的圆中，弦长等于23的弦的弦心距为 ____

2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且AB=AC=2,∠BAC=120o,则⊙O 的半径= __, BC= ___.

3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；?最长弦长为_______．

4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD ⊥AC,垂足为F,若∠A=30o,OF=3,

则OA=______ , AC=______ , BC= _________ .

5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB= ____

6.如图6, ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 分别是AB,AC 的中点. ⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是 形;

⑵若OD=3,半径5 r ,则AB= _cm, AC= ___ _ cm

7.如图7，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=8cm ，EB=4cm ，∠CEA=30°，则CD 的长为_________．

(5) (6) (7)

二．垂径定理及其推论

【考点速览】

考点1

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：

①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．

③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．

D O

B

A

A

E D

B

O C

F A

D

C B

O

垂径定理及推论1中的三条可概括为：

① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点

【典型例题】

例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠． 求证：AB=CD ．

例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。求证：CE=DF ．

l

?

问题一图1

O

H

F

E D C

B

A l

?

问题一图2

O H F E D

C B

A

l

?

问题一图3

O

H F

E D C B

A

例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点

A B

D

C O

· N

M

D 与B 不重合），且C

E ⊥CD 交AB 于E ，D

F ⊥CD 交AB 于F 。 （1）求证：AE ＝BF

（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。

例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成0

45角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：

22PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【考点速练】

1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm

3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）

A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28

4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）

A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个

5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）

A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 6.等腰三角形腰长为4cm,底角为?30,则外接圆直径为（ ）

A B

C

D

P

O

。

A ．2cm B.4cm C.6cm D.8cm

7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 .

8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m.

9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．

10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD

的长为 。

11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA ,C 为弧AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.

12.如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC 、BD

交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.

图

B

P

A

O D C

B

A

M

C

B

A

O

A D

E C B ·O 图1

A ·O C

D B

图2

13.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为

21O O 的中点，求证：PA=PC.

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB ，垂足为M 。且OM=3cm ，则CD= .

2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm. 3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是 .

4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为 . ⊙O 的面积为 .

5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 . 6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于 .

7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF ⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= .

8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 .

·O

A

B

D C

E

F

M N 1O

A

B

2O

M

N

C P ·

A

E F

B C

D

O

三．圆周角与圆心角【考点速览】

考点1

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由

考点2

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

Eg: 如下三图，请证明。

考点3

4. 推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，

90的圆周角所对的弦是直径．

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

经典例题

例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有。

例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.

例3°，则∠ACB=．

B

O

A O

A B

C

例４：如图１，AB 是⊙O

的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则

A B +=∠∠ o．

例

5：如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．

例6：已知：如图，AD?是⊙O?的直径，∠ABC=?30?°，则∠CAD=_______．

例7：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为

cm ．

例8 已知：如图所示，ABC ?是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF ⊥BD 于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ?=2

考点练习

1.如图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40? B. 50? C. 80? D. 100?

_D

_C

_B _A

_O （例１） A B

C D E

O

E F C D G O 例２ O

C A

A

·

O B

D C

G F 1 E

2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）

A ．45°

B ．60°

C ．75°

D ．90°

3.△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32

B ．33

C ．3

D ．3

4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°

5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）