圆周角与圆心角的关系
《圆周角与圆心角的关系》说课稿各位评委，各位老师：大家好！我是来自银川市回民中学的李慈秀我今天说课的内容是北师大版九年级数学下册第三章《圆》中的第三节《圆周角与圆心角的关系》的第一课时。
下面，我将从背景分析，教学目标设计，教学过程设计三个方面对本节课加以说明。
一、背景分析（下面我从学习任务、学生情况两个方面进行背景分析）1.学习任务分析在学习本节课之前，学生已经认识了圆的圆心、半径、弦、弧，也理解了圆心角的概念，并且通过圆的对称性研究了弦，弧，圆心角，以及弦心距之间的关系，在研究过程中已经经历了应用三角形的内角和、等腰三角形的相关知识来解决问题的过程。
教材中将《圆周角和圆心角的关系》安排了两课时，而本节课作为第一课时，它的学习任务是：通过观察，猜想、验证、推理等数学活动，帮助学生理解圆周角的概念，证明并掌握圆周角定理。
本节课在对圆周角定理的证明过程中充分渗透了分类讨论的数学思想和方法，学习圆周角定理不仅为下节课学习的两个推论及应用奠定了坚实的理论依据。
同时，也为后续研究圆和其他图形起到了桥梁和纽带作用。
所以我确定本节课的重点是：重点：圆周角概念及圆周角定理。
2.学生情况分析。
九年级学生已经系统的学习了简单的几何证明，掌握了基本的几何语言和证明的方法，同时，在研究“直线型”几何问题（如三角形、四边形）的过程中，也积累了大量的合作学习的经验，同时了解了分类、归纳等数学思想。
但是学生在添加辅助线解决数学问题时，往往无从下手，甚至不能合理添加，尤其本节课还需要在“曲线”几何问题中添加辅助线，更加增大了难度。
所以我确定本节课难点是:难点：添加辅助线证明圆周角定理二教学目标设计依据数学课程标准、教学内容的特点及学生的认知水平，我确定本节课的教学目标是：1、理解圆周角的概念、了解圆周角定理的证明；2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．3、通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，培养学生探索数学问题的能力和教会学生解决数学问题的方法．三 教学过程设计环节一、创设情境，引入新课首先我给出了足球运动员射门的图片，学生对此表现出了非常大的兴趣，这是我不失时机的从图片中抽象出这样的数学问题.问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在B 、D 两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AC 的张角大.如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AC的张角大.这一环节中我安排了学生感兴趣的生活场景和数学活动，学生很快就为这一问题争论了起来，充分的激发了学生的探索激情和求知欲望。
同时也让学生懂得数学来源生活又可以运用于生活。
这时我引出了课题。
环节二：合作交流，解读新知活动一：认识圆周角问题1：图中的∠B 、∠D 与我们前面所学的圆心角有什么区别？问题2：你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? BA C O O定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角两个特征：1)顶点在圆上；2）两边在圆内的部分是圆的两条弦，即两边都和圆相交，两者缺一不可，并与圆心角区别.问题1通过对旧知识的温习切入到本节课将要学习知识点，这样不仅达到了温故而知新的效果，同时也让学生对圆周角有了直观的了解，从而加强了各知识点之间的联系。
而在问题2中学生通过观察、类比，确认圆周角的基本特征，并在此基础上说出圆周角的意义，提高学生概括定义的能力。
完成以上两个问题后，我请学生完成了这样的一组判断，学生通过观察不同图形的结构特征，不仅巩固了学生对圆周角的认识，同时也增强了学生的观察与辨析能力。
随堂练习：请同学们结合圆周角的概念判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.活动二、圆周角定理学生对圆心角和圆周角的概念已完全认识，但在强烈的求知欲的感召下，他们非常迫切的想知道二者到底有何联系，为把学生引导至定理的探究中，我乘胜追击，安排五个步骤层层递进突破难点。
步骤一：（画一画）一条弧所对的圆心角有几个？圆周角有几个？通过学生动手作出一条弧所对的圆心角和圆周角，发现圆心角只能作出一个，圆周角可以做出无数个。
这样的安排不仅为后面补全图形做好了准备，同时也为引导学生对圆周角与圆心角的位置关系进行分类打好基础。
步骤二：（找一找）圆心与圆周角有几种位置关系？紧接着，我又给出了步骤二，我预想学生可能得出“圆心在圆周角内部和圆A B CD心在圆周角的一边上这两种情况比较容易”，可没想到学生在发现“圆心在圆周角内部这一情况”后，我又询问还有没有其他的情况，可能受到这样的启发，很快就有学生发现“圆心在圆周角外部”反而是第三种情况久久不能得出，这时，我马上利用几何画板进行演示，在动画拖动顶点的过程中第三种情况随之就得到了总结，这一过程与前面圆周角概念的强化环节遥相呼应。
在整个探索性的活动中，生生合作，师生合作运用得非常充分，不仅培养学生独立思考的能力，而且也促进了学生之间的合作互助，同时提醒学生细心观察并总结位置关系，也进一步的渗透了分类思想。
我顺势让学生动手作出这三个图中弧AC 所对的圆心角”，给学生清晰的呈现出圆周角和圆心角的位置关系。
步骤三：（量一量）同一条弧所对的圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的度数。
（作出这三个图中弧AC 所对的圆心角）在这一步骤中，我让第一、二、三组的同学，分别画以上第一、二、三幅图形，第四组任选其中一种情况来进行度量有关角度，并汇报结果，与此同时我又展示了动画演示，让学生对圆周角和圆心角的数量关系（圆周角定理）有了直观认识，激发学生的好奇心与求知欲，为圆周角定理证明做准备。
步骤四：（猜一猜）通过上面的度量，你有什么发现？完成步骤三后，学生已对圆心角和圆周角的数量关系有了初步的感受，这时我组织学生先进行小组交流，后进行全班交流，得出猜想：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半。
曾经的数学学习经验告诉学生测量得到的结论是不可靠的。
因此，需要科学的证明。
这时我就给出了步骤五：步骤五：（证一证）如何证明：“一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”？这样大胆的猜想和强烈的好奇心是学生的天性，抓住这个心理我采取了“先猜后证”的教学设计，有效地激发学生的积极性，唤起他们在课堂上主动探索的原则，实现了指导学生探究式学习，达到构建知识的目的，同时也让学生体验数学学习的严谨性。
学生探索发现，第一类情况最特殊，通过口述很容易就证明了。
∵OB=OC∴∠B=∠C又∵∠AOC=∠B+∠C∴∠B=21∠AOC 针对第二种情况，学生一时没有了思路，这时我让学生进行了四人小组交流，经过讨论，学生发现情况一是借助了三角行外角解决了问题，那这里能否构造三角形外角，很快学生就添加辅助线，即连接BO 并延长交圆于D 点，将角进行转化，也很容易就证明了结论。
但是在面对情况三时，图形也变得复杂了许多，学生的神情也凝重了许多，虽然也想到了要添加辅助线，但究竟怎么添加，却无从下手，这时我引导学生观察前两种情况，提示学生可以将第一种圆内部的图形想象成一面三角旗，而第二种情况圆内部的图形可以看成是两面三角旗，而旗杆不就是我们添加的辅助线吗！并且我还用不同颜色的线条进行了区分，学生立刻在情况三中学以致用，从而突破了难点。
此处利用了多媒体形象直观的演示，把抽象的“数学定理证明”用简单明了的形式展示在学生面前，通过引导与学生的相互补充，让学生相对轻松的接受本节课的重难点。
这样既丰富了教学内容，又活跃了课堂气氛。
同时也渗透了：“从特殊到一般，分类、化归等数学思想”。
环节三、分层练习，巩固提高_ D_ D _ A1、如图，已知∠ACB = 20º，则∠AOB = _____°，2、如图，△ABC 内接于⊙O，∠BOC=130°，则∠A的度数为（ ）. 3、如图，△ABC 内接于⊙O，∠ABC=45°，∠ACB=75°，则∠BOC 的度数为（ ）.4、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ADB 、∠ACB 的度数？5、1）如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，如果：∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC2）如果∠AO C=100°，则∠A BC=（ ）.3）如果点A 、B 、C 在⊙O 中，∠CAB=25°，∠A CB=30°,求弦AC 所对圆周角的度数.在这一环节，根据学生的认知规律，我设计了如下的练习，力图让学生理解和巩固新知，并熟练掌握圆周角定理的内容，使学生的个性得到充分的展示。
环节四、畅所欲言，小结反思1、学到了哪些知识；2、掌握了哪些数学方法；3、体会到了哪些数学思想。
我引导学生对本节课进行小结，通过学生的相互补充，培养学生合作学习的意识与独立归纳总结的能力，鼓励学生分享自己的收获和感想，，发挥学生的自我评价功能，同时也培养学生的语言表达能力和概括能力，使知识体系更加完整。
环节五、学以致用，分层要求1、必做题 习题3.4：知识技能：第1题 数学理解：第2和第3题2、选做题O B AC 4题图3题图 2题图如图1:已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图2:若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？根据学生在学习上的差异和认知水平。
在布置作业时，我尽量照顾到各个层面的学生，分层布置作业。
其中必做题属于基础题，浅显易懂，达到巩固新知的目的，有利于他们获得成功的快乐；选做题属于发展题，具有一定的难度和挑战性，有利于培养他们思维的灵活性和深刻性。
给学生留有自主选择的空间，力图实现“不同人在数学上得到不同的发展”的目标。
板书设计课题1.圆周角定义：顶点在圆周上，两边分别与圆有另外一个交点2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角分类：（1）圆心在角的边上（2）圆心在角内部（3）圆心在角外部图形特殊情况的证明过程练习。
九年级数学圆周角和圆心角关系
对的弧相等，所以整个圆也被 B
C
等分成360份。我们把每一份这
样的弧叫做1°的弧。
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
点与圆的位置关系有哪些?
当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况?
圆周角
A.
A.
A.
O.
O.
O.
B
C
பைடு நூலகம்
B
C
B
C
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
A
叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交. B
.
O C
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O
B
C
O
D
C
BC
A
A
O
B
D C
O
B
C
自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和 圆周角分别是多少度？
A A
O
O
B
C
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A
O
B
C
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A O
B
C
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
九年级数学圆周角与圆心角的关系
解决几何作图题
在数学竞赛中，利用圆周 角定理可以解决一些几何 作图题。
05
练习与思考
基础练习题
1、题目
已知⊙O的半径为5cm，圆心角 ∠AOB = 100°，则弦AB的长为
_______．
2、题目
已知$angle AOB = 60^{circ}$， 点$P$是$OB$上一点，$OP =
5$，则以点$P$为圆心，与 $OA$相切的圆中最小的半径为
学习目标
理解圆周角和圆心角 的定义及性质。
能够运用圆周角与圆 心角的关系解决实际 问题。
掌握圆周角与圆心角 之间的定理及其证明。
02
圆周角与圆心角的基本概 念
圆周角的定义
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫 做圆周角。
圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的 一半。
圆心角的定义
顶点在圆心上，两边都和圆相交的角叫做圆心角。 圆心角等于的半径
利用圆周角定理，可以确定一个点在 圆上的位置。
通过圆周角定理，可以计算出圆的半 径。
绘制圆的切线
利用圆周角定理，可以绘制出圆的切 线。
在数学竞赛中的应用
解决几何证明题
在数学竞赛中，利用圆周 角定理可以证明一些几何 命题。
解决几何计算题
通过圆周角定理，可以解 决一些几何计算题，例如 计算角度或长度。
证明过程还可以通过其他方法，如利用相似三角形来证明。
定理的应用示例
应用示例1
证明两个圆周角相等。如果两个 圆周角所对的弧相等，那么这两 个圆周角相等，这是圆周角定理
的一个直接应用。
应用示例2
计算圆心角的大小。已知一个圆周 角的大小，可以利用圆周角定理计 算出它所对的圆心角的大小。
应用示例3
圆周角和圆心角的关系.ppt
第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
闻喜县实验中学 景运晖
学习目标
1、 认识圆周角；
2、 探究并证明圆周角和圆心角的关系； 3、会用圆周角和圆心角的关系进行简单的推理和计算。
一、知识回顾 圆心角 O A B 顶点在________的角叫做圆心角,如图中∠AOB。
二、认识圆周角
A
1、定义
A O O B C A B C
。
第 1题
第2题
第3题
圆周角与圆心角的大小关系
O
一条弧对1个圆心角，对无数个圆周角 从圆心与圆周角的位置关系来看，我们可以将这无数个圆心角分成三类：圆 心在圆周角的边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部。
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节二：猜测、度量
B
.
●
A .
O
在上图中，你能等到弧AB所对圆周角的度数等于它所对弧上圆周角度数的一半吗？
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节三：推理证明
A C A C A C
O B
O
O
B
B
① ②
③
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节三：推理证明
A
C
所用知识：①外角等于不相邻的 两个内角之和；②圆的半径相等
O B
∠B=
1 2
∠AOC
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节三：推理证明
A
D
C
O
连接BO并延长作直径，将问题
A
O
O B
D
B
C 第4题
C
第1、2、3题图
课堂小结
1、圆周角定义
2、一条弧上，已知圆心角的度数可求圆周角的度数，已知 圆周角的度数可求圆心角的度数。 3、数学思想：分类讨论，转化、归纳
《圆周角和圆心角的关系》 讲义
《圆周角和圆心角的关系》讲义一、引入在圆的世界里，圆周角和圆心角是两个非常重要的概念。
它们之间存在着特殊而有趣的关系，理解这些关系对于我们解决与圆相关的几何问题至关重要。
想象一下，你正在一个圆形的操场上跑步，操场上的某个点与圆心形成的角度，以及圆周上另一个点与圆心形成的角度，它们之间会有怎样的联系呢？这就是我们今天要探讨的圆周角和圆心角的关系。
二、圆周角的定义圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
比如说，在圆O 中，∠AOB 就是一个圆周角，其中点 A、B 在圆上，且线段 OA、OB 与圆相交。
圆周角有一个重要的特点，那就是它的度数是由它所对的弧的度数决定的。
三、圆心角的定义圆心角则是指顶点在圆心的角。
在圆 O 中，∠COD 就是一个圆心角，顶点 C 在圆心 O 处。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
四、圆周角和圆心角的大小关系1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆心角是∠AOB，所对的圆周角是∠ACB，那么∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
证明：连接 CO 并延长交圆于点 D。
因为 OA ＝ OC，所以∠A ＝∠ACO。
同理，∠B ＝∠BCO。
所以∠AOB ＝∠A ＋∠B ＝ 2∠ACB，即∠ACB ＝ 1/2∠AOB。
2、同弧或等弧所对的圆周角相等在同一个圆中，如果两个圆周角都对着同一条弧或者等弧，那么这两个圆周角相等。
这是因为同弧或等弧所对的圆心角相等，而圆周角是圆心角的一半，所以圆周角也相等。
3、半圆（或直径）所对的圆周角是直角在圆 O 中，若弧 AB 是半圆，那么∠ACB ＝ 90°。
证明：因为半圆所对的圆心角是 180°，所以圆周角∠ACB ＝1/2×180°＝ 90°五、圆周角和圆心角关系的应用1、求角度已知圆中的某些角度关系，可以利用圆周角和圆心角的关系求出其他未知角度。
例如，已知圆心角的度数，求其所对圆周角的度数；或者已知圆周角的度数，求其所对圆心角的度数。
弦所对的圆周角和圆心角的关系
弦所对的圆周角和圆心角的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个看似有点儿高深、其实很简单的几何概念，那就是弦所对的圆周角和圆心角的关系。
听起来是不是有点儿复杂？别担心，我们慢慢来，肯定能把这个“圆”搞明白。
首先，咱们得了解这两个概念，顺便给大家普及一下，让你在下次喝茶聊天时也能来一句“你知道圆周角和圆心角的关系吗？”绝对能让朋友们刮目相看！1.1 圆心角的定义好，咱们先从圆心角说起。
圆心角，顾名思义，就是以圆心为顶点，连接圆上两点的角。
想象一下，你在圆心位置，像个“老大”，一手指向圆周上的A点，另一手指向B 点，然后就形成了一个“心”的角度。
这个角度的大小，基本上就是这两条线和圆心之间的“角斗”结果。
嘿，听起来是不是很酷？这就像你和朋友之间比拼谁的手机拍照更好，看谁的角度更完美。
1.2 圆周角的定义接着，咱们聊聊圆周角。
圆周角和圆心角的区别可大了！圆周角的顶点在圆的边缘，而不是圆心。
它是由两条弦的延长线形成的角度。
想象一下，你在海边，看到两条长长的沙滩，跟朋友说：“你看，这两个地方的海水都很漂亮！”然后你伸出手，想要把两个地方连起来，这样形成的角度就是圆周角。
虽然不那么显眼，但它的存在可一点也不简单。
2. 它们之间的关系说到这儿，大家可能会问：“这两个角到底有什么关系呢？”别急，接下来就是重点了！其实，弦所对的圆周角恰好等于相应的圆心角的一半。
简单来说，就是圆心角大，圆周角小。
就像在家里吃饭，你爸妈给你做了一个大份的菜，你能吃的部分就得少一些。
哎，这就叫“量入为出”嘛！2.1 数学公式所以，数学上我们可以用公式表示出来：圆周角 = 圆心角 / 2。
是不是简单明了？这个公式就像是一把钥匙，打开了圆心角和圆周角之间的秘密。
记住这句话，下次在考试时可别忘了！2.2 实际应用那么，这个关系有什么用呢？当然有了！在生活中，尤其是建筑设计和艺术创作中，我们常常需要用到这两种角度。
比如说，画一个大圆时，你需要确定一些关键点，这时候就得运用圆心角和圆周角的关系。
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆相 交的角
圆周角定理
圆周角的度数等于 它所对弧上的圆心 角度数的一半.
圆周角定理 的推论1
同弧或等弧所对 的圆周角相等；
能力提升
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
C2
C2
B C2 D
1 2
BOD.
AC2 B
AC2 D
BC2 D
1 2
(AOD
BOD)
1 2
AOB.
推导与验证
已知：如图，在圆O中，∠C3是弧AB所对的圆周角， ∠AOB是弧AB所对的圆心角.
求证：∠C3=
1 2
∠AOB.
（提示：转化为第一种情况进行证明）
A
B
O
O
C3
能力提升 2.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，
AB＝2，则⊙O的半径是 2 .
解：连接OA、OB
C
∵∠C=30 ° ，
∴∠AOB=60 °
O
又∵OA=OB ，
∴△AOB是等边三角形
A
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
B
能力提升 3.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门 AC的张角（ ∠ABC ）有关. 当球员在B,D,E处射门时，他所 处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.
A
B D
初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系
3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆说课教学课件复习提升
2.如右图，⊙O中，∠ACB = 130º，
1
则∠AOB=_1_0_0_º__.
O B
A
C
3.求圆中 的度数.
O
C 70°
A
B
α 350
D
C 120°
1
O
A
B
α 1200
A
4.如图，OA BC，AOB 500
C
B
则 CDA = 25°
O
D
5.在半径为R的圆内，长为R的 弦所对的圆周角为 30°或 150°
2
2
\ACB 1 AOD - BOD
2
即
A C
B
1 2
A
OB
C
C
C
O
O
O
A
A
B
A
B
D
DB
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
C O
丙
A
甲
仅从射门角度 大小考虑，谁 相对于球门的 角度更好？
B乙
1.下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角 （B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º （C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 （D）120º的弧所对的圆周角是60º
即 ACB 2BAC
A
O C
B
2.如图，点A，B，C，D，E均在⊙0上，则
A + B + C + D + E 等于多少度？
为什么？
B
分析：A,B,C,D,E这 五个圆周角所对的的弧之 A
C
和正好是一个圆，一个圆
所对的圆心角为 360°
圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导
圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。
在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。
首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。
•弦：弦是连接圆上两点的线段。
•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。
•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。
1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。
换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。
例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。
2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。
这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。
换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。
这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。
由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。
3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。
这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。
圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。
通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。
它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。
这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。
总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。
这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。