数学实验教学大纲

数学实验教学大纲

[课程的定位和目的]

数学实验是清华大学在数学教学体系和内容改革中为非数学类专业创立的新课，是四门数学主干课程的最后一门，起着承上启下的作用，承上是使微积分、代数与几何、随机数学中的原理得以应用，方法得以实现，启下是为后续课、研究生课程中数学问题的建模和求解提供思路，激发同学进一步学习数学、应用数学的意识和能力。课程对象主要是本科二年级学生。

数学实验是一门重组课程，它集数值计算、优化方法、数理统计、数学建模以及数学软件于一体，以“应用数学基本原理、了解主要数值算法、借助数学软件实现、培养数学建模能力”为基本要求。

数学实验课的目的是，在教师指导下以学生在计算机上自己动手、动眼、动脑为主，通过用数学软件编程做实验，学习解决实际问题常用的数学方法，并在此基础上分析、解决经过简化的实际问题，提高学数学、用数学的兴趣、意识、方法和能力，促成数学教学的良性循环。

[课程的基本内容和基本要求]

根据课程的目的和学时的限制，从必要性和可行性出发，我们设计数学实验课内容的基本原则是：

1.介绍一些最常用的解决实际问题的数学方法，包括数值计算、优化方法、数理统计的基本原理和主要算法，一般不讲定理的证明，基本不做笔头练习；

2.选择一两个合适的数学软件平台，如MATLAB和LINGO，基本上能够方便地实现上述内容的有效算法；

3.用数学建模为线索贯穿整个课程，从建模初步练习开始，以建模综合练习结束，对上述每一部分内容也尽量从实际问题引入，并落实于这些问题的解决；

4.最主要的是精心安排学生的实验，每个实验的内容除了为掌握数学方法设计的纯计算题目外，要有足够的、经过简化的实际题目。

这样的内容设计既保证本科生学到比较广泛、有应用意义的数学知识，以及初步的分析、解决实际问题的思路与方法，又为那些要求掌握更深入的数学理论

和方法的学生，提供了许多实际背景，也刺激了他们再学习的愿望。这样做还特别有利于研究型大学实行的“本硕贯通”，数学实验课既为研究生的数学课（如数值分析、数学规划、高等数值分析、高等统计等）做了基本知识和实际背景的铺垫，又与这些课程在内容和要求上有较大的区别，形成明显的阶梯。

课程基本要求如下：

1)了解主要内容的基本原理；

2)知道主要内容的有效算法；

3)会用MATLAB（或LINGO）软件实现这些有效算法；

4)能对计算结果作简单分析；

5)能对简化实际问题建模、求解和分析。

[课程的教学方式和教学进度]

针对数学实验课需要知识面广、实例多、计算方法与软件实现相互交叉等特点，课堂讲授宜采用多媒体课件，可以做到实例生动、信息量大、便于接受。数学实验是实践性很强的课程，课堂讲授只起辅导作用，需要精心安排学生自己做的实验，充分保证上机时间，对实验报告提出严格、合理的要求。学时安排为：本课程共安排15章，教师每周讲授1章（3学时），至少需要45学时。（清华大学每学期上课时间为16周，其中一般有一周因节假日放假，因此安排15周上课。）

课下计算机实验按大约60学时设计，学生至少需完成10个实验报告，每个实验通常既有计算题，也有应用题，几乎都要用计算机和数学软件完成，并且全部实验报告都用校园互联网提交给教师或助教，作为平时成绩的主要依据。

期末考试完全开卷，在计算机实验室进行。课程总成绩由平时成绩、考试成绩等综合评定。

[每周基本内容和要求]

第1章实验1：数学实验简介

了解什么是数学实验及其特点；

介绍数学实验实例；

介绍数学软件、练习Matlab的基本使用方法。

第2章实验2：数学建模初步

通过实例了解数学建模的一般步骤;

在以后的数学实验中用数学建模方法解决经过简化的实际问题;

自觉培养用数学方法解决实际问题的意识和能力。

第3章实验3：插值与数值积分

插值问题提法和求解思路;

Lagrange插值的原理和优缺点;

分段线性和三次样条插值的原理和优缺点;

用MATLAB实现分段线性和三次样条插值;

梯形、辛普森积分公式的原理及MATLAB实现；

数值积分公式的误差——收敛阶的概念；

高斯积分公式、代数精度的概念；

广义积分与多重积分；

用插值和数值积分解决简单的实际问题。

第4章实验4：常微分方程数值解

了解数值微分的基本概念和计算方法；

欧拉方法的原理及龙格-库塔方法的思路；

局部截断误差和精度的概念；

龙格-库塔方法的MATLAB实现，包括求解微分方程组和高阶微分方程；算法的收敛性、稳定性与刚性方程；

用微分方程解决简单的实际问题。

第5章实验5：线性代数方程组的数值解法

主元素消去法和LU分解的原理；

方程组病态、向量和矩阵范数、条件数的概念；

迭代法的原理以及收敛的概念和条件；

用MATLAB解线性代数方程组，稀疏矩阵的处理；

用线性代数方程组解简单的实际问题。

第6章实验6：非线性方程的数值解法

迭代法原理及收敛、收敛阶的概念和条件；

用牛顿切线法和割线法解非线性方程和方程组的基本原理;

用MATLAB解非线性方程（组）;

非线性迭代法（差分方程）与混沌现象；

用非线性方程（组）解简单的实际问题。

第7章科学计算中的基本概念（小结及期中习题课）

科学计算中误差的基本概念；

科学计算中的三个重要概念：收敛性、病态性、稳定性；

期中小结及习题课。

第8章实验7：无约束优化

无约束优化模型及最优解的必要条件；

最速下降法、牛顿法、拟牛顿法的原理；

拟合问题提法及最小二乘法的原理和结果;

最小二乘问题的解法；

MATLAB优化工具箱的用法，包括控制参数的功能，算法选择等；

用无约束优化（包括线性、非线性最小二乘拟合）解决简单的实际问题。

第9章实验8：线性规划

线性规划模型、解的性质和求解思路(基矩阵、基变量、非基变量、检验数，单纯形算法)；

线性规划的敏感性分析和对偶问题；

用MATLAB解线性规划，拉格朗日乘子的用途；

用LINGO解线性规划，拉格朗日乘子、Reduced Cost （检验数）的含义；用线性规划解决简单的实际问题。

第10章实验9：非线性规划

非线性规划模型、最优解的必要条件(KKT条件)；

二次规划的有效集方法；

一般非线性规划的基本求解思路;

用MATLAB、LINGO解非线性规划，包括控制参数的功能；

用非线性规划解决简单的实际问题。

第11章：实验10 整数规划

整数规划模型、解的性质、松弛问题；

分枝定界法解整数规划的基本原理；

动态规划法解整数规划的基本原理；

用LINGO解整数规划；

用整数规划解决简单的实际问题。

第12章实验11：数据的统计描述与分析

样本、频数、直方图、统计量（样本均值、标准差）的概念；

正态等常用分布的由来，用MATLAB计算这些分布(密度、逆分布）；

正态总体下样本统计量的分布；

蒙特卡罗方法的原理及MATLAB实现（以计算数值积分为例）；

用概率统计的基本思想解决简单的实际问题。

第13章实验12：统计推断

参数估计、置信区间、置信水平；

假设检验的思路，单总体和两总体均值的检验，双边和单边检验；

用MATLAB实现参数估计和假设检验；

实际问题的参数估计和假设检验。

第14章实验13：回归分析

回归分析要解决的问题（与数据拟合的关系）；

多元线性回归模型和系数的检验, 及MATLAB实现；

一元多项式、多元二项式回归, 逐步回归，非线性回归，及MATLAB实现；用回归分析解决简单的实际问题。

第15章实验14：数学实验与数学建模（综合）

综合应用各种方法，对实际问题建模、求解和分析（介绍几个实例）；

讲解习题（作业）中同学经常出现的问题；

总结本课程的主要内容、基本要求。

（如还有讲课学时，可机动处理，如讲解习题、综合练习等）