类比思想

让“类比”在数学中擦出火花

——新课标下探索类比法在数学中的应用

浙江省长兴中学施震宏

【摘要】：在数学教学过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同分支、不同领域中会感到某种类似的成份。如果我们把这些类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法。

【关键词】：类比法；中学数学；应用

高中数学新课程新理念就是倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力。教师教育教学的特点就是追求学生的思维素质的提高，强调教育的目的是开发人的智力，开发人脑资源，数学素质教育的目的就是要教人以聪明，授人以才智，提高学生的思维素质。因而提高学生的思维素质是我们数学教育工作者孜孜以求的目标，也是我们不断进行探索的不懈动力。

而数学问题浩如烟海，面对一个个数学问题如何着手求解?有些学生做了大量的题目，但考试遇到了类似的题目，总会感觉：虽“似曾相识”，但不知所措。如果我们把这些题目类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似的事物进行比较、联想，由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法。

一、类比法在数学应用的意义

类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法,在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来，使得“柳暗花明又一村”。法国数学家兼天文学家，拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”比拉普拉斯早两个世纪的德国天文学家和数学家开普勒对类比方法更是情有独钟，推崇备至，他说：“我们诊视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师。”康德也深刻地指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”因而可以这样讲：类比是发明创造的源泉。

“从数学角度看，首先应是加强数学活动的教学，这要求教学能使书本上的知识‘活’起来，不是堆砌知识积木，而是用一系列的思维活动把知识串起来，使学生真正领会到数学知识深化发展的动态过程……”数学知识之间存在着紧密的联系，新知识往往是若干旧有知识点的重新组合或是旧有知识的引伸和扩展。因此，旧知识是学习新知识的基础，新知识是旧知识的延伸和发展，类比的方法成为新旧知识联系的纽带，既加强了知识间的纵向沟通，同时又鲜明地展示了知识的获取过程，形成清晰的知识脉络，把新知识纳入原有认知结构中。这样，避免了本质属性相近的数学知识孤立的存在于学生的头脑中，使学生将所学知识条理化、系统化。

数学家认为，类比是发现的源泉，是伟大的引路人。人的思维受生理、客观环境等多方面因素的影响，往往正常的思维容易产生定势。要克服思维定势的困扰，必须立足“双基”教学。在掌握基础知识和基本技能的基础上，运用类比的方法，展开丰富的联想，产生迁移，形成新的观点，使原有知识结构得到补充、改造和逐步完善，开阔学生的知识领域，提高思维的创造性，实现认识上的飞跃。

因此，数学的发展时至今日，研究数学的方法和手段越来越多，但类比方法仍然是我们数学教学中的一种重要的手段。在强调素质教育的今天，类比的方法应该得到进一步的加强。使中学生的思维能力和探索能力得到进一步加强。

二、类比法在历史问题中的应用

数学家G·波利亚说:“类比是一个伟大的引路人。"在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。 在数学历史中，很多数学家就利用类比法猜想某些结论的成立，并对之进行证明，推进了数学的发展。例如，我们已经知道勾股定理，用代数式表示：222z y x =+，说明可以用两个整数的平方表示另一个整数的平方。而法国著名数学家费马，正是类比勾股定理，考虑到当x 、y 、z 的n 次幂是否也可以满足这样的性质，即：n n n z y x =+，当n 大于2时，费马大定理说：n n n z y x =+，当n 大于2时，没有整数解，且0≠xyz ，但费马方式并未给出证明，虽然他知道该怎么证明，以至于该定理直到358年后才被后人证明。

费马正是应用了类比推理的方法，得到了一个新问题，并使得后人在解决这个问题的同时，产生了许许多多的数学方法。因此，类比法也是提出新问题和做出新发现的一个重要源泉。

三、类比法在数学教学中的应用

1．知识点概念的类比

一般来说，一个研究对象从不同角度看有不同的特征。应用类比于数学教学，其关键就是引导学生根据所研究的问题的性质来恰当地选取作为类比根据的两个对象的对应特征。数学教学过程中，最难讲解的肯定就是一些数学概念，在学生对这一知识还没了解时，教师如何讲解对学生掌握的影响起很大作用，如果这时能利用我们已知的知识与之类比，那就能起到事半功倍的效果。

例如，对于等比数列这一概念的引出，我们可以类比等差数列所定义的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差。那么由此我们即可类比等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比。

再如，椭圆的第一定义为：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆。学生了解之后可能会想：如果与两个定点距离之差等于常数的点的轨迹是又是什么图形？通过类比，就引出了双曲线的第一定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于21F F )的点的轨迹叫做双曲线。

通过这样的类比，不仅可以让学生自己得到类似知识点的概念，培养学生的自主思维能

力，而且能帮助学生记忆，提高他们在数学学习中的自信心和积极性。

2．数学方法的类比

随着高考制度的改革，很多省市自己命题高考卷，再加上之前的模拟题等，使得学生所接触到的试题很多，要想把每一道都做到那是不可能的，所以需要学生能有好的学习习惯，将遇到的新题目与以前做过的题目进行类比，并类比数学方法，从而解决问题。这着重考查学生的探究能力、创造能力、推理能力，对考生的能力和素质的要求比较高。

例如，1.设()221

+=x x f ，利用推导等差数列前n 项和的方法——倒序相加法，求

()()()()()65045f f f f f +++++-+- 的值为_______________。

分析：倒序相加是将一数列的首尾对应位置相加，得到一定值，根据题意，类比倒序相加法，将()5-f 与()6f 相加：()21)6(5=

+-f f 。于是猜想：()()211=-+x f x f ，下面给出解答过程。

解答：由于()()21

221221

11=+++=-+-x x x f x f 。

设()()()()()65045f f f f f S +++++-+-= ，

又()()()()()54056-+-+++++=f f f f f S ，

∴()()[]212

65122=+-=f f S ，∴23=S 。

通过对此类题目的探究，学生再见到一些不常规的题目时，就可以跟以前的数学方法进行类比，进行合情推理和猜想，探索、总结新的数学方法，这也是一种新的思想方法，能培养学生的创新意识和学习能力。

3．平面问题与立体问题的类比

立体几何是高中数学中较难的一个知识点，而且在高考中占有较大比重，学生往往对那些复杂的空间构造往而兴叹，而初中所学的平面几何知识又没有什么用。其实，只是用心发现，能由两者的某些相同或相似的性质，也可以推断它们在其他性质上也有可能相同或相似。 例如，2.4个平面可将空间最多分成几个部分？

解析：对于此题，如果直接从画图分析，则很难得到结论。我们可以先来讨论相交直线分割平面的问题。以3条直线为例：

显然，两两相交且不过同一点时分割的平面数最多，为7个。我

们把这7个平面进行分类：

有限部分（封闭的）：1个；无限部分有6个，其中含1个顶点的

有3个，含1条边的有3个。