江苏省启东中学2020-2021学年高一上学期期初考试数学试题含答案

（1）x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝22－2×(－2 020)＝4 044. （2） 1 ＋ 1 ＝x1＋x2＝ 2 ＝－ 1 .
x1 x2 x1x2 －2 020 1 010 （3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 020－5×2＋25＝－2 005. （4） |x1－x2|＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝ 22－4×（－2 020）＝2 2 021.
C. 1
D. 5
5
2
12．如图，已知直线 y＝3x＋3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A、B 两点
的抛物线交 x 轴于另一点 C(3，0)．若该抛物线的对称轴上存在点 Q 满
足 △ABQ 是等腰三角形，则点 Q 的坐标可以是
（
）
A. (1,－ 6)
B. (1,0)
4．若 x2－kxy＋4y2 是一个完全平方式，则常数 k 的值为
A. 4
B. －4
C. ±4
D. 无法确定
（）
的图象大致是（）
5．一次函数 y＝ax ＋ b(a≠0) 与二次函数 y＝ax2＋bx＋ c 在同一坐标系中
-1-
6．若集合a,b, c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（）
-6-
（2）2<x≤1 3
（3）当 x≤－1时，原不等式可化为－2x－1＋2－x>4，∴ x<－1，此时 x<－1； 2
当－1<x<2 时，原不等式可化为 2x＋1＋2－x>4，∴ x>1，此时 1<x<2； 2
当 x≥2 时，原不等式可化为 2x＋1＋x－2>4，∴ x>5，此时 x≥2. 3
综上可得，原不等式的解集为 x<－1 或 x>1. 20.解：由题意，根据根与系数的关系，得 x1＋x2＝2，x1x2＝－2 020.
EC 3
AC
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
3
5
3
5
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．满足下列条件的△ABC，是直角三角形的是
（
）
A. b2＝a2－c2
B. ∠C＝∠A＋∠B
C. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D. a∶b∶c＝12∶13∶5
10．方程(x2－4) 2x－1＝0 的解可以是
（
）
A. x＝－2
B. x＝－1 2
C. x＝1 2
D. x＝2
11．若 x2＋xy－2y2＝0，则x2＋3xy＋y2的值可以为 x2＋y2
（
）
A. －5 2
B. －1 5
15．在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为 D.若 AC∶BC＝3∶2，则 BD∶AD 的值为______．
16．设 a＝ 5－1，则 a 是一元二次方程____________的一个实数根，据此得 a4＋a2＋4a－3 2
＝________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
C. 选择题共 90 分）
-2-
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若关于 x 的不等式x－a>0 的解集为(－∞,－1)∪(1,＋∞)，则实数 a＝________．
x＋1 14．若|x－2y－1|＋|2x－y－5|＝0，则 x－y＝______．
（2）由（1）知 a < 1．
（3）由（1）知 a < －1．
-7-
-8-
22．（本小题满分 12 分）（1）已知关于 x 的方程 x2＋x－a－1＝0 在 0≤x≤1 上有解，求实数 a 的取值范围；（2）已知关于 x 的方程 x2＋x－a－1 > 0 在 0≤x≤1 上有解，求实数 a 的取值范围；（3）已知关于 x 的方程 x2＋x－a－1 > 0 在 0≤x≤1 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
由 y≠0 以及Δ＝(y＋2)2－4y2≥0，解得－ 2 ≤y≤2 且 y≠0. 3
2
综上所述，－ ≤y≤2.
3 2
所以函数 y 的最大值、最小值分别是 2 和－ .
3
18.解：（1） a7－ab6＝a(a6－b6)＝a(a3＋b3)(a3－b3) ＝a(a＋b)(a2－ab＋b2)(a－b)(a2＋ab＋b2) ＝a(a＋b)(a－b)(a2＋ab＋b2)(a2－ab＋b2)
Δ≥0， 21.解：(1) x1＋x2＞0，⇒－2＜m≤－1.
x1x2＞0 Δ＞0， (2) x1x2＜0，⇒m＜－2. x1＋x2＞0
0 (3) （ x1 1) (x1 1) 0 ⇒m=－1.
（x1 1) (x1 1) 0
22．解：（1）将方程变形为 a＝x2＋x－1，要求 a 的取值范围，就是求 y＝x2＋x－1 的取值范围，即 y＝(x＋1)2－5，0≤x≤1， 24 所以当 x＝0 时，y 取得最小值为－1；当 x＝1 时，y 取得最大值为 1，所以 y 的取值范围是－1≤y≤1，即实数 a 的取值范围是－1≤a≤1.
江苏省启东中学 2020～2021 学年度第一学期期初考试
高一数学试卷
一、BCDCC，DAC
-5-
二、9. ABD；10. CD；11. BD；12. ABC
三、13. 1 ；
14. 2 ；
15. 4∶9 ；
16. x2＋x－1=0，0
四、解答题
17. 解：（1）当 y＝0 时，x＝0；（2）当 y≠0 时，关于 x 的一元二次方程 yx2－(y＋2)x＋y＝0，由于 x 是实数，所以其判别式Δ≥0 一定成立．
（2）(x2＋x)2－5(x2＋x)＋6＝(x2＋x－2)(x2＋x－3)＝(x＋2)(x－1)(x＋ 1 13 )(x＋ 2
1- 13 )； 2
（3）x3＋19x－20＝(x3－1)＋19(x－1)＝(x－1)(x2＋x＋1＋19)＝(x－1)(x2＋x＋20)
19.解：（1）整理得 x2－x＋4＞0. ∵ Δ＜0，∴ 原不等式的解集为一切实数．
20．（本小题满分 12 分）若 x1，x2 是方程 x2－2x－2 020＝0 的两个根，试求下列各式的值：
（1）
x21＋x22；（2）
1 x1
1 x2
；（3）(x1－5)(x2－5)；（4） |x1－x2|．
-4-
21．（本小题满分 12 分）已知关于 x 的方程 x2＋2mx＋m＋2＝0．（1）m 为何值时，方程的两个根都是正数？（2）m 为何值时，方程的两个根一个大于 0，另一个小于 0，且负根的绝对值较小？（3）m 为何值时，方程的两个根均不小于 1?
17．（本小题满分 10 分）
将函数
y
x2
2x x
的解析式变形为
1
yx2－(y＋2)x＋y＝0，试求出函数
y
的最大值、最小值．
18．（本小题满分 12 分）把下列各式分解因式：（1）a7－ab6 ；（2）(x2＋x)2－5(x2＋x)＋6 ；（3）x3＋19x－20 ．
-3-
19．（本小题满分 12 分）解下列不等式：（1）－4＋x－x2＜0；（2） x＋1 ≥2；（3）|2x＋1|＋|x－2|>4． 3x－2
B. 若|a|＝|b|，则 a＝±b D. 若|a|＞|b|，则 a＞b
（）
2．二次根式 a2＝－a 成立的条件是
A. a>0
B. a<0
C. a≤0
D. a 是任意实数
（）
3．不论 a、b 为何实数，a2＋b2－2a－4b＋4 的值
A. 总是正数
B. 总是非负数
C. 可以是零
D. 可以是一切实数
（）
江苏省启东中学 2020～2021 学年度第一学期期初考试
高一数学试卷
命题人：
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．下列叙述正确的是 A. 若|a|＝|b|，则 a＝b C. 若 a＜b，则|a|＜|b|
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
7．已知 m，n 是方程 x2＋5x＋3＝0 的两根，则 m
A. －2 3
B. 2 3
C. ±2 3
n ＋n m的值为
m
n
D. 以上都不对
（）
8．如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，DE∥AB 交 AC 于点 E.如果AE＝2，那么AB＝（）

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2021-2022学年江苏省南通市启东中学高一年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合，则下列关系表示正确的是（）{}5,N A x x x *=<∈A ．B ．C ．D ．0A ∈{}1AÎ{}∅⊆ANA ⊆D【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出合适的选项.A 【详解】解：集合，{}{}5,N 1,2,3,4A x x x *=<∈=对于A ，易得，故A 错误；0A ∉对于B ，由集合与集合之间的关系可得，故B 错误；{}1A ⊆对于C ，，故C 错误；{}A ∅⊄对于D ，，故D 正确.N A ⊆故选：D.2．已知集合A 满足，则A 的个数为（）{}{}3,4,53,4,5,6,7,8,9,10⊆⊆A A ．8B ．16C ．32D ．64C【分析】结合已知条件分析集合中元素的个数，进而即可得到答案.A 【详解】由题意，集合A 中一定含3，4，5，可能含6，7，8，9，10，由此可得满足条件的集合A 的个数就是集合的子集的个数，{}6,7,8,9,10共有个5232(=)故选：C.3．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的(　)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【详解】，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.4．已知集合，，则（）{}310A x x =≤<{}13516B x x =<-<()A B =R A ．B ．{}23x x <<{}23x x <≤C ．D ．{}710x x <<{}210x x <<A【分析】解不等式可求得集合，由补集和交集定义可求得结果.B 【详解】由得：，即，13516x <-<27x <<{}27B x x =<<或，.{3A x x =<R }10x ≥(){}23A B x x ∴⋂=<<R 故选：A.5．当时，下列不等式恒成立的是（）a b c >>A ．B ．ab ac >a c b c >C ．D ．()0a b c b-->ab bc<C【分析】由题意排除错误的选项即可确定正确的恒等式.【详解】当时，满足，不满足，选项A 错误；0,1,2a b c ==-=-a b c >>ab ac >当时，满足，不满足，也不满足，选项B 、D 错误；2,1,0a b c ===a b c >>a c b c>ab bc<，则，，则，由不等式的性质可得，选项C 正确.a b >0a b ->b c >0c b ->()0a b c b -->本题选择C 选项.本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知命题，，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）0:p x R ∃∈200(1)(1)10-+-+≤a x a x A ．B ．15a ≤≤15a <<C ．D ．15a <≤15a ≤<D【分析】求得命题的否定，结合不等式恒成立，求解即可.p 【详解】命题，是假命题， 0:p x R ∃∈200(1)(1)10-+-+≤a x a x ，恒成立是真命题；x R ∴∀∈2(1)(1)10a x a x -+-+>当时，恒成立，1a =10>当时，需，，解得，1a >10a ->2(1)4(1)0a a ∆=---<15a <<当时，，不可能满足恒成立，1a <10a -<200(1)(1)10-+-+>a x a x 综上可得a 的取值范围为.15a ≤<故选.D7．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）20ax bx c ++>(2,4)20cx bx a ++<A ．B ．11(,4211(,(,)42-∞⋃+∞C ．D ．(2,4)(,2)(4,)-∞+∞ B【分析】首先根据题意可知2，4是一元二次方程的实数根，且利用韦达定理20ax bx c ++=0.a <可知，代入得，然后解一元二次不等式即可.6,8.=-=b a c a 20cx bx a ++<2860ax ax a -+<【详解】因为不等式的解集是，20ax bx c ++>(2,4)所以2，4是一元二次方程的实数根，且20ax bx c ++=0.a <所以，即24,24+=-⨯=b ca a 6,8.=-=b ac a 所以不等式化为，20cx bx a ++<2860ax ax a -+<即，解得或28610x x -+>14x <1.2x >所以不等式的解集为20cx bx a ++<11|.42或⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭x x x 故选：B8．若，且，则的最小值为（）0,0x y >>11121x x y +=++2x y +A ．B ．C ．D ．212+C【分析】，再利用基()1122[()]1222x y x x y +=⨯++-+()11112122212[()]x x y x x y =⎛⎫+⋅ ⎪⎝+++⎭⨯+-+本不等式即可得出答案.【详解】解：()1122[()]1222x y x x y +=⨯++-+()11112122212[()]x x y x x y =⎛⎫+⋅ ⎪⎝+++⎭⨯+-+()2121132212x y x x x y +⎡⎤+=⨯++-⎢⎥++⎣⎦，(11113312222⎡⎢≥⨯+-=⨯+-=⎢⎣当且仅当时，取等号，()22121x y x x x y ++=++所以的最小值为2x y +1+故选：C.二、多选题9．若集合，，且，则实数a 的值为（）{}2|560A x x x =-+={}|20B x ax =-=B A A ⋃=A ．0B ．1C ．D ．2332ABC【分析】解方程可得集合A ，由题可得，然后分情况讨论即得.B A ⊆【详解】，B A A = ，B A ∴⊆集合，集合，{}2|560A x x x =-+={}|20B x ax =-=，又，{}2,3A ∴=B A ⊆当时，则，满足题意；B =∅0a =当时，若，，，满足题意，B ≠∅2B ∈220a ∴-=1a =若，则，，满足题意；3B ∈320-=a 23a ∴=或1或.0a ∴=23故选：ABC.10．下列命题正确的是（）A ．“”是“”的充分不必要条件1a >11a <B ．命题“任意，则”的否定是“存在，则”1x <21x <1x <21x ≥C ．“，”是“”成立的充要条件1a >1b >1ab >D ．设，则“”是“”的必要不充分条件,a b ∈R 0a ≠0ab ≠ABD【分析】A.根据推出关系进行判断；B.全称命题的否定方法：修改量词，否定结论即可；C.根据推出关系进行判断；D.根据推出关系进行判断.【详解】A 选项：时，时不能推出，故A 正确；1a >11a -<11a <1a >B 选项：全称命题的否定方法：修改量词，否定结论，故B 正确；C 选项：时不能推出，，故C 错误；1ab >1a >1b >D 选项：不能推出，能推出，故D 正确.0a ≠0ab ≠0ab ≠0a ≠故选：ABD.11．若，，且，则下列说法正确的是（）0a >0b >22a b +=A ．ab的最大值为B ．的最大值为212224a b +C ．的最小值为2D ．的最小值为4224a b +2+a ab ACD【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：，，当且仅当时，等号成立，A 22+= a b 22∴=+≥a b 12≤ab 21a b ==此时ab取得最大值，故正确；12A 对：由可得，BC A 22214(2)4444422+=+-=-≥-⨯=a b a b ab ab 当且仅当时取得最小值2，即有最小值2 ，故错误，正确；21a b ==224a b +B C对：由，得，D 22a b +=22224a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+=当且仅当，即时等号成立，即取得最小值4，故正确.b aa b =23a b ==2+a a b D 故选：ACD.12．已知，，，则的值可能是（）1x y +=0y >0x ≠121x x y ++A ．B ．1C ．D ．233454BCD,有则且,分和打开，然后用重要不等式1,0,0x y y x +=>≠10y x =->1x <0x ≠01x <<0x <||x 求出其最值，从而得到答案.【详解】由，得，则且.1,0,0x y y x +=>≠10y x =->1x <0x ≠当时, =01x <<121x x y ++122242x x x x x x x x +-+=+--=.当且仅当即时取等号.1215+44244x x xx -+≥-2=42x x x x --23x =当时, =0x<121x x y ++122242x x x x x xx x --+-+=+----=.当且仅当即时取等号.1213+44244x x x x ---+≥---2=42x xx x ----2x =-综上，.13214x x y +≥+故选：BCD.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．不等式的解集为__________.12x x +≤或{|1x x ≥0}x <【分析】化简不等式为，转化为不等式组即得解.10x x -≥0(1)0x x x ≠⎧⎨-≥⎩【详解】由题得，112120,0,0x x x x x x x ++--+-≤∴≤∴≤所以或，010,,1(1)0x x x x x x ≠⎧-≥∴∴≥⎨-≥⎩0x <所以不等式的解集为或.{|1x x ≥0}x <故或.{|1x x ≥0}x <14．已知，若关于的不等式有解，则的取值范围为_____________;a R ∈x 11x x a-++≤a [)2,∞+【分析】先求得的最小值，由此求得的取值范围.11x x -++a 【详解】由于，1111112x x x x x x -++=-+--≥---=所以.2a ≥故[)2,∞+15．若，是方程的两根，且满足，记实数的可能取值集合为，p q 22650x x a a ++-=38q p p +=a A 则中所有元素之积为___________.A 112【分析】利用韦达定理及已知解得的值，代入韦达两根之积，可得结果.38q p p +=,p q 【详解】由，是方程的两根，p q 22650x x a a ++-=，，，()24560a a ∆=-+>6p q +=-25pq a a =-由可得，38q p p +=376p p -=则，解得，2，，()()()3761230p p p p p -+=--+=1p =3-时，，，设两解，，则，1p =7q =-257a a -=-1a 2a 127a a =-时，，，设两解，，则，2p =8q =-2516a a -=-3a 4a 3416a a =-时，，，无解.3p =-3q =-259a a -=综上中所有的元素之积为.A ()()716112-⨯-=故112.四、双空题16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C 为线段AB 上的点，且AC =，CB =，且00a b ＞，＞2aba b +a b a b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结a b ¹OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是、的算术平均数，a b2a b +线段CD 的长度是、，线段______的长度是、的调和平均数,该图形a b a b 2aba b +可以完美证明三者的大小关系为_________.## DE ED 2a b+>>2ab a b+【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用a ，b 表示出相关线段长即可作答.【详解】依题意，，，由直角三角形射影定理得AC BC a b +=+,AD BD CD AB ⊥⊥，即，2CD AC BC ab =⋅=CD =而点C与点O 不重合，在中，即，则Rt OCD △12CD OD AB <=2a b +>在中，因，，由直角三角形射影定理得，Rt OCD △CE OD ⊥OC CD ⊥2CD DE OD =⋅，又，即，222CD ab ab DE a b OD a b ===++CD DE >2ab a b >+22a b ab a b +>>+所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为DE a b 2aba b +.22a b aba b +>>+故；DE 22a b aba b +>>+五、解答题17．设，，.{}2320A x x x =-+={}220B x xax =-+=B A ⊆（1）写出集合的所有子集；A （2）若为非空集合，求的值.B a （1），，，（2）的值为3.∅{}1{}2{}1,2a 【分析】（1）解一元二次方程求得集合的元素，由此求得集合的所有子集.（2）根据集合有A A B一个元素或有两个元素进行分类讨论，结合一元二次方程的知识，求得的值.a 【详解】解析：（1）{}{}23201,2A x x x =-+== ∴集合的所有子集为，，，A ∅{}1{}2{}1,2（2），B ≠∅ B A⊆∴当集合只有一个元素时，由得，即B 0∆=280a -=a =±此时或，不满足.B =B =B A ⊆当集合只有两个元素时，由得.B A B =3a =综上可知，的值为.a 3本小题主要考查集合子集的求法，考查根据集合的包含关系求参数，考查一元二次方程根、判别式等知识，属于基础题.18．已知集合，，.{}23A x x =-<≤{}22210B x x mx m =-+-<{}2C x x m =-<（1）若，求集合.2m =A B ⋂（2）从集合B ，C 中任选一个，补充在下面的问题中.已知，______，则p 是q 的必要不充分条件，若存在实数m ，求出m 的取值范围；:p x A ∈:q x ∈若不存在，请说明理由.（1）；（2）若选集合B ，m 的取值范围为；若选集合C ，m 的取值范围为{}13x x <<12m -≤≤.01m ≤≤【分析】（1）m =2代入求出集合B ，进而求出；A B ⋂（2）若选B ，求出B ，再根据范围的大小即可求出m 的取值范围；同样的方法求出选C 时，对应的m 的取值范围.【详解】（1）由m =2及得：，解得，22210x mx m -+-<2430x x -+<13x <<所以，又，所以.{}13B x x =<<{}23A x x =-<≤{}13A B x x ⋂=<<（2）若选B ：由，得，22210x mx m -+-<()()110x m x m ---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴，∴.11m x m -<<+{}|11B x m x m =-<<+由p 是q 的必要非充分条件，得集合B 是集合A 的真子集，∴（两端等号不会同时取得），121213m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩所以m 的取值范围为.[]1,2-若选C ：由，得，∴.2x m -<22m x m -<<+{}|22C x m x m =-<<+由p 是q 的必要非充分条件，得集合C 是集合A 的真子集，（两端等号不会同时取得），220123m m m -≥-⎧⇒≤≤⎨+≤⎩所以m 的取值范围为.[]0,119．已知集合，.{}225120A x x x =--≥{}20B x x =->（1）求，；A B ⋂()R A B ⋃ （2）若集合，且，求实数的取值范围.{}22C x m x m =-≤≤()R A C C= m （1），；（2）{|4}A B x x = ()3|2RA B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭ ()1,2,22m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，最后根据交、并、补的定义计算A B 可得；（2）依题意可得，再对与分类讨论，分别求出参数的值，最后取并集即R C A ⊆ C =∅C ≠∅m 可；【详解】解：（1），即，解得或，225120x x -- (23)(4)0x x +- 4x 32x -或，，∴{|4A x x = 3}2x - {}{}202B x x x x =->=，{|4}A B x x ∴= ，3|42R A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭ ；()3|2R A B x x ⎧⎫∴=>-⎨⎬⎩⎭ （2），，()R A C C = R C A∴⊆ ①当时，，即时满足，；C =∅22m m ->2m <-R C A ⊆ 2m ∴<-②当时，要使，C ≠∅R C A ⊆ 则即得．2232224m m m m -⎧⎪⎪->-⎨⎪<⎪⎩ 2122m m m -⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩ 122m <<综上所述，．()1,2,22m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭ 20．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x 米.26x ≤≤(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a >0）；若无论()9001a x x +左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a 的取值范围.(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低(2)0a <<12【分析】（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．y 16900(7200y x x =++（2）由题意可得，对任意的，恒成立，参变分离可得16900(1)900()7200a x x x x +++>[2x ∈6]恒成立，即，利用基本不等式求解函数的最值即可．2(4)1x a x +>+9161x a x +++>+【详解】（1）解：设甲工程队的总造价为y 元，依题意左右两面墙的长度均为米，则屋()26x x ≤≤子前面新建墙体长为米，12x 则()1216315024007200900720026y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+=++≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为.1690072009002720014400x x ⎛⎫++≥⨯= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立.16x x =4x =所以当时，，4x =min 14400y =即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.（2）解：由题意可得，对任意的恒成立，()9001169007200a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭[]2,6x ∈即，从而，即恒成立，()()241x a x x x ++>()241x a x +>+9161x a x +++>+又.9166121x x +++≥+=+当且仅当，即时等号成立.911x x +=+2x =所以.0a <<1221．已知是一元二次方程的两个实数根.12,x x 24410kx kx k -++=(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明k ()()12123222x x x x --=-k 理由；(2)求使的值为整数的实数的整数值.12212x x x x +-k (1)不存在，理由见解析；(2)235k =---，，【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方k ()()12123222x x x x --=-程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在；95k =（2）根据题意，可得能被整除，即()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++1k +4可求出的值.k 【详解】（1）假设存在实数，使得成立，k ()()12123222x x x x --=-一元二次方程的两个实数根，24410kx kx k -++=，(不要忽略判别式的要求)，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩ 由韦达定理得，1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-95k ⇒=但，0k <不存在实数，使得成立.∴k ()()12123222x x x x --=-（2），()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ 要使其值是整数，只需要能被整除，∴1k +4故，即，1124k +=±±±，，021335k =---，，，，，，0k < .235k ∴=---，，22．已知集合，，命题，使{}|||2A x x =≤{}2|540B x x x =-+≤12:,∀∈∃∈p x A x B 成立．2221124934x x ax a x +++-≥(1)求；A B ⋂(2)是否存在实数，使命题为真命题？如果存在，求出实数的取值范围，如果不存在，请说明a p a 理由．(1){}|12x x ≤≤(2)存在，[]4,0.-【分析】（1）由题知，，再求交集运算即可；{}2|2A x x -=≤≤{}|14B x x =≤≤（2）令，，进而根据题意，问题转化为2111()3f x x ax a =++-222249()4x g x x +=，，再结合基本不等式和二次函数的最值{}{}12|22,|14∀∈-≤≤∃∈≤≤x x x x x x 1min 2min ()()f x g x ≥分类讨论求解即可.【详解】（1）解：由得，故，||2x ≤22x -≤≤{}2|2A x x -=≤≤由得，故，2540x x -+≤14x ≤≤{}|14B x x =≤≤所以，{}|12A B x x ⋂=≤≤（2）解：存在实数a ，使得命题p 为真命题，理由如下：假设命题，使成立，12:,∀∈∃∈p x A x B 2221124934x x ax a x +++-≥则()22211min 2min4934x xax a x ⎛⎫+++-≥ ⎪⎝⎭令，，2111()3f x x ax a =++-222249()4x g x x +=所以，问题转化为，，{}{}12|22,|14∀∈-≤≤∃∈≤≤x x x x x x 1min 2min ()()f x g x ≥因为，当且仅当，即时等号成立，222222499()344x g x x x x +=≥==+2294x x =232x =所以，，2min ()3=g x ，对称轴为，开口向上.2111()3f x x ax a =++-12a x =-①当，即时，函数在上单调递增，4a ≥22a -≤-1()f x []22-,，解得：，此时无解；1min ()(2)733=-=-≥f x f a 43a ≤②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，44a -<<222a -<-<1()f x 2,2a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭,22a ⎛⎤- ⎥⎝⎦所以，，解得：，即；221min ()()33242a a a f x f a =-=-+-≥40a -≤≤40a -<£③当，即时，函数在上单调递减，4a ≤-22a -≥1()f x []22-,，解得：，此时；()1min ()273f x f a ==+≥4a ≥-4a =-综上可知，实数的取值范围为：a []4,0.-。

2021-2022学年江苏省南通市启东市东南中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省南通市启东市东南中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，，若，则等于{}20,1,A a ={1,0,23}=+B a A B =a A ．或3B ．0或C ．3D ．1-1-1-C【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得的值.a 【详解】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛A B =223a a =+1a =-3a =1a =-21a =盾，故不正确.经检验可知符合.1a =-3a =故选：C本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，属于基础题.2．已知，集合，，若，则（）,a b R ∈{}25,1A a a =+-{},B a b ={}3A B ⋂=A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}2,3-{}2,3{}2,3,5{}2,3,7D 【分析】结合集合中元素的互异性解出，即可求出.2a =A B ⋃【详解】因为，所以且.{}3A B ⋂=3A ∈3B ∈若，则，此时，，与集合中元素的互异性相违背，所以；53a +=2a =-213a -=2a ≠-若，解得：①，此时，，与集合中元素的互异性相违背，所以；213a -=2a =-53a +=2a ≠-②，此时，，，符合题意，所以；2a =57a +={}7,3A ={}2,3B =2a =所以.A B ⋃={}2,3,7故选：D 3．下列是全称命题且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x 0∈Z ，x >1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>020B【详解】主要考查全称量词和全称命题的概念．解：A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．4．已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（）:12p x -≤:q x a >q p A ．B ．C ．D ．3a >1a ≤-1a >-1a <-D【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解.【详解】，即，:12p x -≤ 13x -≤≤又是的必要不充分条件，qp 所以，1a <-故选：D.5．若函数的值域是，则函数的值域是（）()f x 132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()1F x f x f x =+A ．B ．C ．D ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，556⎡⎤⎢⎥⎣⎦B【分析】令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域()f x t =1y t t =+132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1y t t =+【详解】解：令，，则．()f x t =1y t t =+132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当时，单调递减，112t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1y t t =+当时，单调递增，[]13t ∈，1y t t =+又当时，，当时，，当时，，12t =52y =1t =2y =3t =103y =所以函数的值域为，()F x 1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B ．6．设，则下列命题正确的是（）,a b R ∈A ．若，，则B ．若，则x y >a b >a x b y->-a b >11a b <C ．若，则D ．若，则x y >a b >ax by>||a b >22a b>D利用特殊值排除判断ABC ，由不等式的性质判断D 即可.【详解】当时，不成立，故A 错误；1,0x a y b ====a x b y ->-当时，不成立，故B 错误；1,1a b ==-11a b <当时，不成立，故C 错误；2,1,0,2x y a b ==-==-ax by >，由不等式性质知，故D 正确.||0a b >≥ 222||a b b >=故选：D7．我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）()231xf x x =-A ．B ．C ．D ．C【分析】根据定义域可排除D ，根据的函数值正负可排除A ，根据的函数值正负()0,1x ∈()1,x ∈+∞可排除D.【详解】可得的定义域为，故D 错误；()231x f x x =-{}1x x ≠±，是奇函数，图象关于原点对称， ()()231x f x f x x --==--()f x \当时，，则，图象在轴上方，故A 错误，()0,1x ∈230,10x x >->()0f x >x当时，，则，图象在轴下方，故B 错误.()1,x ∈+∞230,10x x >-<()0f x <x 故选：C.8．已知定义域为R 的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式()f x [1,)+∞(1)f x +(3)1f =的解集为（）(21)1f x +<A ．B ．(,1)(1,)-∞-+∞ (1,)-+∞C ．D ．(,1)-∞(1,1)-D 【分析】根据题意，由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称，结合函(1)f x +()f x 1x =数的单调性以及特殊值分析可得，解可得的(21)1(21)(3)f x f x f +<⇔+<(21)1|31|x ⇔+-<-x 取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，(1)f x +()f x 1x =又由函数在，单调递增且f (3)，()f x [1)∞+1=则，(21)1(21)(3)f x f x f +<⇔+<(21)1|31|x ⇔+-<-解可得：，即不等式的解集为；11x -<<(1,1)-故选：D ．9．下列关系中正确的是（）A ．B ．C ．D ．0∈∅∅{}0{}(){}0,10,1⊆(){}(){},,a b b a ⊆B根据元素与集合、集合与集合之间关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，空集中不含任何元素，故A 错；B 选项，空集是任一非空集合的真子集，故B 正确；C 选项，是数集，是点集，故C 错；{}0,1(){}0,1D 选项，与不一定表示同一点，故D 错.(),a b (),b a 故选：B.10．已知，下列说法正确的是（）(){}2min 2,f x x x =-A ．在区间单调递增B ．在区间单调递减()f x (),0∞-()f x ()1,+∞C ．有最小值D ．没有最大值()f x ()f x B 【分析】作出图像，观察图像即可得答案.(){}2min 2,f x x x =-【详解】作出图像如下实线部分：(){}2min 2,f x x x =-由图可知：在区间，上单调递增，在，上单调递减，()f x (),1-∞-()0,1()1,0-()1,+∞故A 错误，B 正确没有最小值，有最大值1，故CD 错误()f x 故选：B.二、多选题11．下列选项中两个函数相等的有（）A ．B ．()||,()f x x g x ==2()||,()f x x g x ==C ．D ．(),()1x f x g x x ==22()21,()(1)f x x xg t t =++=+AD 【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的两函数相等，否则不相等．【详解】解：．的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相A ()||f x x =R ()||g x x ==R 同，两函数相等；．的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；B ()||f x x =R 2()g x ={|0}x x的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；.()xC f x x ={|0}x x ≠()1g x =R ．和显然相等．D 22()21(1)f x x x x =++=+2()(1)g t t =+故选：．AD 12．下列说法正确的有（）A ．不等式的解集是21131x x ->+1(2,)3--B ．“”是“”成立的充分条件1,1a b >>1ab >C ．命题，，则2:,0p x R x ∀∈>2:,0⌝∃∈<p x R x D ．“”是“”的必要条件5a <3a <ABD【分析】解分式不等式可知A 正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B ，D 正确；含有全称量词命题得否定，，故C 错误.2:,0p x R x ⌝∃∈≤【详解】由，，，A 正确；212103131--->⇒>++x x x x (2)(31)0x x ++<123x -<<-时一定有，但时不一定有成立,因此“”是“”成立的1,1a b >>1ab >1ab >1,1a b >>1,1a b >>1ab >充分条件，B 正确；命题，则，C 错误；2:,0p x R x ∀∈>2:,0p x R x ⌝∃∈≤不能推出，但时一定有成立，所以“”是“”的必要条件，D 正确．5a <3a <3a <5a <5a <3a <故选：ABD ．本题考查了分式不等式的解法、充分条件和必要条件的定义、含有量词的命题的否定形式等基本数学知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.三、填空题13．已知或，则__________.{1A xx =≤∣3},{2}x B x x >=>∣()R A B = {1}x x >∣【分析】先求得集合A 的补集，然后结合数轴利用并集的定义求得两个集合的并集.【详解】解.(){13},{1}A x x AB x x =<≤∴⋃=>R R ∣∣ 故答案为.{1}xx >∣本题主要考查集合的补集及并集运算，属基础题.14．已知，则的解析式为______________．2(1)f x x -=()y f x =2(1)2f x x x =++【分析】令，则，代入到题中已知条件即可得到的解析式，亦即的解析1x t -=1x t =+()f t ()f x 式．【详解】令，则，∴，1x t -=1x t =+22()(1)21f t t t t =+=++故．2(1)2f x x x =++求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(())f g x (3)方程法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方()f x 1()f x ()f x 程组，通过解方程组求出．()f x 15．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围()()232360a x a x -+--<x ∈R a ____________．(3,3]-【分析】分a =3和两种情况讨论，当a =3时恒成立；当时，为二次不等式在上恒3a ≠3a ≠x ∈R 成立问题.【详解】当a =3时，不等式可化为：恒成立，符合题意；60-<当时，要使不等式对一切恒成立，3a ≠2(3)2(3)60a x a x -+--<x ∈R 只需，解得：；[]()230Δ2(3)4(3)60a a a -<⎧⎪⎨=--⋅-⋅-<⎪⎩33a -<<所以.33a -<≤即实数a 的取值范围为.(3,3]-故答案为.(3,3]-16．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x 的取值范围是,a b 912a b +=22a b x x +≥+,a b ___________{}42x x -≤≤【分析】先利用基本不等式求解出的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果.a b +【详解】因为，()191191022b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，()1110=106822a b ⎛+≥++= ⎝取等号时，即，3912a b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩62a b =⎧⎨=⎩所以，解得，228x x +≤{}42x x -≤≤故答案为.{}42x x -≤≤四、解答题17．计算下列各式的值：（1；()(22301 4.38-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（2）.32221ln lg 0.01log 20log 16log 5e ++-+（1）-5；（2）-1【分析】（1）由根式与指数的运算法则运算即可得解；（2）由对数的运算法则运算即可得解.【详解】解：（1）()(22301 4.38-⎛⎫++-- ⎪⎝⎭2313224116122-⎡⎤⎛⎫=++-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2144121432-⎛⎫=++-⨯ ⎪⎝⎭24112=++-；=5-（2）32221ln lg 0.01log 20log 16log 5e ++-+2213lg10log 20165-⎛⎫=++÷⨯ ⎪⎝⎭()2132log 4=+-+12=-1=-本题考查分数指数幂的运算以及对数的运算，属于基础题.18．已知，集合，．a R ∈{}|23A x a x a =≤≤+{}2560B x x x =+-≤（1）当时，求；1a =-A B ⋂（2）若，求a 的取值范围．A B B ⋃=（1）；（2）．{}|21A B x x ⋂=-≤≤[]()3,23,--+∞ 【分析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．1a =-A B A B ⋂（2）由可得，分类讨论与，列出不等式，求解即可；A B B ⋃=A B ⊆A =∅A ≠∅【详解】（1）当时，1a =-{}2|2A x x -=≤≤，{}()(){}{}2560160|61B x x x x x x x x =+-≤=-+≤=-≤≤故；{}|21A B x x ⋂=-≤≤（2）由知A B B ⋃=A B⊆当时，，解得；A =∅23a a >+3a >当时，，解得．A ≠∅233126a a a a ≤+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩32a --≤≤综上所述，实数的取值范围为a []()3,23,--+∞ 易错点睛：本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.19．已知.21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）当时，解不等式；12a =()0f x ≥（2）若，解关于x 的不等式.0a >()0f x ≤（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析1{|2x x ≤}2x ≥【分析】（1）将代入，解对应的二次不等式可得答案；12a =（2）对值进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．a ()0f x ≤【详解】解：（1）当时，有不等式，12a =2()1025f x x x =-+≥，1(2)02x x ⎛⎫∴--≥ ⎪⎝⎭∴不等式的解集为或1{|2x x ≤}2x ≥（2）∵不等式1()()0f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭又0a > 当时，有，∴不等式的解集为；01a <<1a a >1|x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭当时，有，∴不等式的解集为；1a >1a a <1|x x a a⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为.1a ={}1本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．20．已知函数为奇函数.()24x ax f x x ++=(1)求实数的值；a (2)求证：在区间上是增函数.()f x [)2,+∞(1)0(2)证明见解析【分析】（1）利用特殊值，可求得的值，然后验证可得；()()11f f -=-a （2）利用单调性的定义证明可得；【详解】（1）解：因为为奇函数，且定义域为，()f x ()(),00,∞-+∞ 所以，即，解得，()()11f f -=-141411a a -+++=--0a =又当时，，0a =()24x f x x +=对，，()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞()(),00,x -∞∈-∞+ 有，所以满足题意，即的值为.()()24x f x f x x +-=-=-0a =a 0（2）证明：设，，且，1x ∀[)22,x ∈+∞12x x <则()()()()22211212121212121244444x x x x f x f x x x x x x x x x x x -++-=-=+--=-+，()()1212121212441x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭当时，，，122x x ≤<120x x -<124x x >从而，即，()12121240x x x x x x --<()()12f x f x <所以在区间上是增函数.()f x [)2,+∞21．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过C 点已知米，米，设AN 的长为米.4AB =3AD =()3x x >.(1)要使矩形AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？(2)求当AM ，AN 的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小，并求出此最小值；(1)9(3,(9,)2+∞ (2)，最小面积为48平方米6AN =8AM =【分析】（1）先表达出AMPN 的面积表达式，时解出不等式，即可知AN 的取值范围.54AMPN S >（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.3t x =-【详解】（1）解：设的长为米（）AN x 3x >是矩形ABCD DN DC AN AM∴=43xAM x ∴=-24(3)3AMPN x S AN AM x x ∴==>- 由，得54AMPN S >24543x x >-3x > ，解得或(29)(9)0x x ∴-->932x <<9x >即的取值范围为AN 9(3,)(9,)2+∞ （2）令，（），则243x y x =-3t x =-0t >3x t =+24(3)94(6)48t y t t t+∴==++≥当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米9(0)t t t =>3t =6AN =8AM =22．已知定义在上的函数，满足对任意的，，都有.当时，R ()f x x R y ∈()()()f x y f x f y +=+0x >.且（3）.()0f x <f 4=-（1）求的值；(0)f （2）判断并证明函数在上的奇偶性；()f x R （3）在区间，上，求的最值.[9-9]()f x （1）0；（2）奇函数，证明见解析；（3）最大值为12，最小值为.12-（1）令可得答案.0x y ==（2）令，得，即可得出奇偶性.y x =-(0)()()f f x f x =+-（3）设、，且，则，由1x 2[9x ∈-9]12x x <12122221()()[()]()()f x f x f x x x f x f x x -=-+-=--时，，即可得出单调性，进而得出最值.0x >()0f x <【详解】（1）令，得，.0x y ==(00)(0)(0)f f f +=+(0)0f ∴=（2）令，得，y x =-(0)()()f f x f x =+-即对于定义域内的任意一个，都有，x ()()f x f x -=-是奇函数.()f x ∴（3）任取实数、，且，这时，，1x 2[9x ∈-9]12x x <210x x ->，()()()()()()()()121222122221f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x ⎡⎤-=-+-=-+-=--⎣⎦时，，0x >()0f x <12()()0f x f x ∴->在，上是减函数.()f x ∴[9-9]故的最大值为，最小值为（9）.()f x (9)f -f而（9）（3），（9）.f (333)3f f =++=12=-(9)f f -=-12=在区间，上的最大值为12，最小值为.()f x ∴[9-9]12-关键点睛：本题考查抽象函数求函数值和求奇偶性和讨论单调性和求最值，解答本题的关键是分析出函数的单调性，，主要是变形，1212221221()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-+-属于中档题.。

江苏省南通市启东中学2020-2021学年高一(创新班)上学期期中数学试题答案和解析

根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.
【详解】
直线l的斜率为k，且，
∴ ， .
∴ .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.
8．A
【分析】
利用对数运算，求得，由此解不等式，求得的最小值.
【详解】
∵ ，
∴ ，
又因为，
故使成立的正整数n有最小值：63.
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小，并求出最小面积.
21．已知的两条高所在直线方程为，若，求直线的方程.
22．设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立，记 .
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求证：① 对恒成立.② 对恒成立，其中为数列的前n项和.
(3)记，为的前n项和，求证：对任意正整数n，都有 .
江苏省南通市启东中学【最新】高一（创新班）上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是( )
A．－3B．－11
C．－5D．19
C．有最小值31D．有最大值31
9．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是( )
A． B．
C． D．
10．给出下列五个命题：①过点的直线方程一定可以表示为的形式；②过点且在x，y轴截距相等的直线方程是；③过点且与直线垂直的直线方程是；④设点不在直线上，则过点M且与直线l平行的直线方程是；⑤点到直线的距离不小于2.以上命题中，正确的序号是( )

江苏省南通市启东中学2020-2021学年高三上学期期初数学试题(wd无答案)

江苏省南通市启东中学2020-2021学年高三上学期期初数学试题一、单选题(★) 1. 设全集，集合，则等于（）A．B．C．D．(★★★) 2. 在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是A．9B．10C．11D．12(★★) 3. 已知，则“ ”是“ ”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件(★★) 4. 设 f( x)＝，若 f( a)＝ f( a＋1)，则＝（）A．2B．4C．6D．8(★★★) 5. 已知函数,则函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 函数 y＝，x∈( m， n]的最小值为0，则 m的取值范围是（）A．(1，2)B．(－1，2)C．[1，2)D．[－1，2)(★★★) 7. 设函数，则使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若直角坐标平面内、两点满足：①点、都在函数的图象上；②点、关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（）A．个B．个C．个D．个二、多选题(★★★) 9. 下列命题正确的是（）A．若随机变量，且，则B．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为C．已知，则“”是“”的充分不必要条件D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则(★★★) 10. 设，，为实数且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 关于函数下列结论正确的是（）A．图像关于轴对称B．图像关于原点对称C．在上单调递增D．恒大于0(★★★★) 12. 已知定义在 R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数 x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）A．常值函数为回旋函数的充要条件是；B．若为回旋函数，则；C．函数不是回旋函数；D．若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点.三、填空题(★★★) 13. 已知，，则_________．(★★★) 14. 已知，命题“存在，使”为假命题，则的取值范围为______.(★★★) 15. 已知数列的首项为，且满足，则下列命题：① 是等差数列；② 是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________ 四、双空题(★★★) 16. 已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“ ”（1）具有性质“ ”的一个一次函数的解析式可以是_________；（2）给出下列函数：① ；② ；③ ，其中具有性质“ ”的函数的序号是_________.五、解答题(★★) 17. 已知集合，.（1）若，则；（2）若，求实数的取值范围.(★★) 18. 已知.(1)解关于的不等式；(2)若不等式的解集为，求实数的值．(★★★) 19. 设函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.(★★★) 20. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．（Ⅰ）求的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?(★★★) 21. 已知，函数.（1）若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.(★★★) 22. 已知定义域为的函数是奇函数．（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．。

江苏省启东市高一数学上学期期初考试试题

2021－2021学年度第一学期期初考试高一数学试卷【总分值160分考试时间120分钟】一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．1．不等式x 3 x 2 7的解为．2．分解因式：(2x23x 1)222x233x 1＝．13．函数f(x)＝x＋1＋2－x的定义域是；4．化简：〔式中字母都是正数〕(36a9)2·(63a9)2＝__________．5．f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2,1)，那么f(x)的值域为________．6．不等式16x1的解为．x17．假定对于x的方程x2＋x＋a＝0的一个根大于1、另一个根小于1，那么实数a的取值范围为．8.会合M {2，3，5}，且M中起码有一个奇数，那么这样的会合共有________个．9.假定会合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A，那么m的取值范围为．ax－110.会合A＝x x－a<0，且2∈A，3A，那么实数a的取值范围是________．11．f〔x＋1〕＝x3＋1，那么f〔x〕；x x312．函数f(x)＝x3＋x，对随意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒建立，那么x的取值范围为____________．13．函数ya x(a0,a1)在区间[1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么实数a的值为．14.函数f(x)的定义域为D，假定知足①f(x)在D内是单一函数，②存在[a，，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x＋2＋k是闭函数，那么k的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔本题总分值14分〕x1、x2是一元二次方程4kx24kx k10的两个实数根．〔1〕能否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)3建立？假定存在，求出k的值；假定不存在，请说2明原因．〔2〕求使x1x22的值为整数的实数k的整数值．x2x1〔本题总分值14分〕会合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，假定A∪B＝A，务实数a，b知足的条件．17.〔本题总分值15分〕5x ＋4(1)求函数f (x )＝2x ＋41－x 的值域；(2)求函数f (x )＝x －2的值域．(3) 函数f (x )＝x 2－2x －3,x ∈(－1,4]的值域．18.〔本题总分值15分〕某工厂生产一种机器的固定本钱为5000元，且每生产100台需要增添投入2500元，对销售市场进行检查后得悉，市场对此产品的需求量为每年500台，销售收入函数为：H(x)1＝500x －2(1) x 2，此中x 是产品售出的数目，且 0≤x ≤500. (2)假定x 为年产量，y 为收益，求y ＝f(x)的分析式；当年产量为什么值时，工厂的年收益最大，其最大值是多少？〔本题总分值16分〕函数f(x)ax b是定义在 1,1上的奇函数,且f(1) 2．1 x 22 51〕确立函数f(x)的分析式；2〕用定义证明f(x)在1,1上是增函数；〔3〕解不等式 f(t 1) f(t) 0．20.〔本题总分值16分〕11 3函数f(x)＝a x－1＋2 x(a>0 且a ≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2)议论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒建立．2021年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案答案：4x32. 答案： x(2x 3)(x 3)(2x 3){x |x ≥－1且x ≠2}a 2． [1,9]3x1或x5a2 6 {m|m ≤3} 13，2∪(2，3] f 〔x 〕＝x 3－3x12. 2－2， 313. 15 15a2或a2914. －，－2415.答案：〔1〕由k ≠0和△≥0k ＜0，∵x 1x 21，x 1x 2k14k∴(2x 1x 2)(x 1 2x 2) 2(x 1 x 2)29x 1x 2k93，∴k9 ，而k ＜0，∴不存在。

【全国百强校】江苏省启东中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

【全国百强校】江苏省启东中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各图中，可表示函数y ＝f （x ）的图象的只可能是（）A ．B ．C ．D ．2．下列五个写法：①{}{}01,2∈；②{}0φ⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0φ∈；⑤0φφ⋂=，其中错误写法的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．下列选项中的两个函数表示同一个函数的是（）A ．()f x =2()g x =B ．0()1,()f x g x x ==C ．2()()f x g x ==D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-4．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，则((2))f f =（）A ．5B ．-1C ．-7D ．25．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，则适合B A A ⋃=的非空集合B 的个数为（） A ．31B ．63C ．64D ．626．函数()()2lg 31f x x =++的定义域是（） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．设a ＞02表示成分数指数幂的形式，其结果是（）A ．12aB ．56a C ．76aD ．32a8．函数26()log f x x x=-的零点所在区间是（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()3,4D ．()4,+∞9．直线y=3与函数y=∣x 2-6x ∣的图像的交点个数为（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个10．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-11．已知(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数,则实数a 的取值范围是（） A ．1,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,73⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭12．已知函数()()2243,2f x x g x kxx=+-=+，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在2x ⎡∈⎣，使得()()12g x f x >，则实数k 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．以上都不对二、填空题13．函数33x y a -=+恒过定点________14．已知3()4f x ax bx =+-()34f x ax bx =+-,若()26f =,则()2f -=______ ．15．若函数y =(],2-∞上有意义，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题16．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<，若A B =∅，求实数a的取值范围.17．已知集合{}2|650A x x x =-+<，{}2|1216x B x -=<<，(){}|ln C x y a x ==-，全集为实数集R ．（1）求A B ⋃，R C A ；（2）若A C ⋂=，求实数a 的范围．18．计算：（1）02163278[(2)]8⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．（2）341lg 2lg3lg5log 2log 94-+-⋅． 19．已知函数2()log (2)a f x x x =--，其中0a >且1a ≠．（1）若2a =，求满足()2f x >的x 集合．（2）若9()24f >，求a 的取值范围．20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2千克/年；当420x <≤时，v 是x 的一次函数；当20x >时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当020x <≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21．已知函数()3232x xx xf x ---=+.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断并证明()f x 的单调性，写出()f x 的值域. 22．已知22()1f x x x kx =-++. （1）若2k =,求方程()0f x =的解；（2）若关于x 的方程()0f x =在（0,2）上有两个解12,x x ，求k 的取值范围，并证明12114x x +<．参考答案1．D【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．【详解】根据题意，对于A、C两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于B图，当x=0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），故选D．【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x都有唯一的y值对应”．2．C【分析】根据元素与集合关系的表示，空集的定义和性质，集合相等，交集运算的定义，逐一判断五个结论的正误，可得答案．【详解】“∈”表示元素与集合的关系，故①错误；空集是任何集合的子集，故②正确；由{0，1，2}＝{1，2，0}可得{0，1，2}⊆{1，2，0}成立，故③正确；空集不含任何元素，故④错误“∩”是连接两个集合的运算符号，0不是集合，故⑤错误所以错误写法的个数为3个故选：C．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断及应用，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解，属于基础题．3．C【详解】试题分析：A中定义域为，定义域为两个函数的定义域不一致,故A 中两函数不表示同一函数；B 中定义域为，,定义域为{}|0x x ≠两个函数的定义域不一致,故B 中两函数不表示同一函数；C 中两个函数的定义域和解析式均一致,故C 中两函数表示同一函数；D 中定义域为，定义域为{}|1x x ≠，两个函数的定义域不一致,故D 中两函数不表示同一函数；所以C 选项是正确的.考点：函数的三要素. 【易错点晴】函数的三要素：定义域，对应关系，值域；根据函数的定义知，两个函数的定义域和对应关系一样，那么值域就一样，两个函数就相同，仅是定义域和值域一样则函数未必相同，例如，定义域均为，值域均为，但两个函数显然不一样，若两个函数的定义域不一样，则两个函数必然不是同一个函数. 4．D 【解析】【分析】根据所给解析式先求f （2），再求f[f （2）]．【详解】∵()()21123(1)x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩∴f （2）=﹣2×2+3=﹣1，∴f[f （2）]=f （﹣1）=（﹣1）2+1=2．故选：D ．【点睛】本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围． 5．B 【分析】由A ∪B=A 得B ⊆A ，根据集合关系进行求解．【详解】∵A ∪B=A ，∴B ⊆A ， ∵{}1,2,3,4,5,6A =，∴满足A ∪B=A 的非空集合B 的个数为26﹣1=63．故选B ．【点睛】本题主要考查集合的基本关系，将A ∪B=A 转化为B ⊆A 是解决本题的关键． 6．B 【分析】根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数f （x ）2+lg （3x+1），∴10310x x -⎧⎨+⎩＞＞；解得﹣13＜x ＜1， ∴函数f （x ）的定义域是（﹣13，1）．故选B ．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目． 7．C 【分析】把根式化成分数幂的形式，再运用幂的运算法则可得选项. 【详解】222＝256a a＝526a -＝76a .故选：C .【点睛】本题考查将根式运算化成指数幂的形式，属于基础题. 8．C 【分析】根据连续函数()26f x log x x=-，可得f （3），f （4）的函数值的符号，由此得到函数()26f x log x x=-的零点所在的区间．【详解】∵连续减函数()26f x log x x=-， ∴f （3）=2﹣log 23＞0，f （4）=64﹣log 24＜0，∴函数()26f x log x x=-的零点所在的区间是（3，4），故选C ．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题． 9．C 【分析】联立方程组求解，根据解的个数来判断结果．【详解】由236y y x x=⎧⎪⎨=-⎪⎩得：263x x -=或263x x -=-，解得：1,23x =±3,43x =所以直线y=3与函数y=∣x 2-6x ∣的图像的交点个数为：4个．故选C 【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题，考查了方程思想，属于基础题． 10．C 【分析】根据图象及奇函数的性质判断()y f x =在各个区间的正负，再结合x 与()y f x =异号，即得解. 【详解】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <；由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >；又()y xf x =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号故不等式()0xf x <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃ 故选：C 【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了学生数形结合，转化划归的能力，属于中档题. 11．B 【分析】根据分段函数单调性以及一次函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数，所以(31)4111131073a a a a -+≥-+⎧∴≤<⎨-<⎩ 故选：B 【点睛】本题考查分段函数单调性以及一次函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．A 【解析】【分析】对任意的x 1∈[﹣1，2]，总存在x 2[1∈，使得g （x 1）＞f （x 2），可得g （x 1）min ＞f （x 2）min ，根据基本不等式求出f （x 2）min =1，再分类讨论，求出g （x ）min ，即可求出k 的范围．【详解】对任意的x 1∈[﹣1，2]，总存在x 2∈，使得g （x 1）＞f （x 2）， ∴g （x 1）min ＞f （x 2）min ，∵f （x ）=x 2+24x ﹣3=4﹣3=1，当且仅当时取等号， ∴f （x 2）min =1，当k ＞0时，g （x ）=kx+2，在x ∈[﹣1，2]为增函数， ∴g （x ）min =f （﹣1）=2﹣k ， ∴2﹣k ＞1，解得0＜k ＜1当k ＜0时，g （x ）=kx+2，在x ∈[﹣1，2]为减函数， ∴g （x ）min =f （2）=2k+2， ∴2k+2＞1，解得﹣12＜k ＜0，当k=0时，g （x ）=2，2＞1成立，综上所述k 的取值范围为（﹣12，1）故选：A ．【点睛】本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题． 13．（3,4）. 【解析】当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)． 14．-14. 【分析】根据f （x ）=ax 3+bx ﹣4，可得f （x ）+f （﹣x ）=﹣8，从而根据f （2）=6，可求f （﹣2）的值．【详解】∵f （x ）=ax 3+bx ﹣4∴f （x ）+f （﹣x ）=ax 3+bx ﹣4+a （﹣x ）3+b×（﹣x ）﹣4=﹣8 ∴f （x ）+f （﹣x ）=﹣8 ∵f （2）=6∴f （﹣2）=﹣14 故答案为：﹣14．【点睛】本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断f （x ）+f （﹣x ）=﹣8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广． 15．5[,)16-+∞. 【解析】【分析】使用换元令t=2x ，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at 2进行求解．【详解】设t=2x ，因为x ∈（﹣∞，2]，所以0＜t≤4．则原函数有意义等价于1+t+at 2≥0，所以a≥﹣21tt+．设f （t ）=﹣21t t +，则f （t ）=﹣21t t +=﹣（1t +12）2+14，因为0＜t≤4，所以1t ∈[14，+∞），所以f （t ）≤f （14）=516-，所以a≥516-．故答案为：5,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．16．[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】分别在A =∅和A ≠∅两种情况下来讨论，根据交集为空集可确定不等关系，从而求得结果. 【详解】当121a a -≥+，即2a ≤-时，A =∅，满足A B =∅当121a a -<+，即2a >-时，A ≠∅若A B =∅，则需：210a +≤或11a -≥解得：122a -<≤-或2a ≥ 综上所述：[)1,2,2a ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查根据交集结果求解参数范围问题，易错点是忽略了对于集合为空集的讨论. 17．（1）{}{}|16,|15R A B x x C A x x x ⋃=<<=≤≥或；（2）(],1-∞。

江苏省南通市启东中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

江苏省南通市启东中学【最新】高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若1∈{x ，x 2}，则x =（）A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1-2．已知集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是（） A ．P Q =B ．P Q ⊆C ．P Q ⊇D ．P Q φ⋂=3．已知集合A ={a -2，2a 2+5a ，12}，-3∈A ，则a 的值为（）A ．1-B ．32-C ．1或32-D ．1-或32- 4．如果集合S ={x |x =3n +1，n ∈N }，T ={x |x =3k -2，k ∈Z }，则（）A ．S ⫋ TB ．T ⊆SC ．S =TD ．S ≠T 5．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,4- C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．[]5,5- 6．函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（） A ．(0,4) B ．[0,4)C ．[]0,4D ．(0,4] 7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+ D ．()f x x =-（）A ．(,16][8,)-∞-⋃-+∞B ．[16,8]--C ．(,8][4,)-∞-⋃-+∞D ．[8,4]-- 10．已知函数()y f x =在定义域()1.1-上是减函数，且(21)(1)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+ 11．函数()2x f x =） A ．0 B ．12- C ．1- D．14-- 12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y =|x 2−2x −3|与y=f （ x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=m i i x =∑ A ．0B ．mC ．2mD ．4m二、填空题13．设集合M ={x |-1＜x ＜2}，N ={x |x -k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是______ ． 14．若集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，且AB B =，则实数m的取值范围是_________________．15．已知集合2{|320,,}A x ax x x R a R =-+=∈∈，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值为______ ． 16．已知函数()()2,(1)42,12x mx x f x m x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的递增函数,则实数m 的取值范围是__________三、解答题17．求值：（1）127(2)9-（π）0-2310(2)27-+320.25-； -111-18．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．19．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；（2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．20．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？21．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）．（1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式12f （x 2）—f （x ）＞12f （3x ）．22．已知二次函数()24f x ax x b =-+满足()()4f x f x =-，且12f ．(1)求a , b 的值；(2)若1m ≠，()f x 在区间[],2m m +上的最小值为()1f x ，最大值为()2f x ，求212x x -的取值范围．参考答案1．B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．C【解析】试题分析：因为集合代表的是函数的定义域，代表函数的值域，，.所以，故选C.考点：集合的包含关系.3．B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-32，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-32时，a-2=-72，2a2+5a=-3，满足．∴a =-32．故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．A【解析】【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.【详解】由T ={x |x =3k -2=3（k -1）+1，k ∈Z }={x |x =3（k -1）+1，k -1∈Z }令t =k -1，则t ∈Z ，则T ={x |x =3t +1，t ∈Z }通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N ⫋Z故S ⫋T.故选A ．【点睛】本题考查集合间包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.5．C【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x −1⩽3，解得−12⩽x ⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.6．B【分析】由210mx mx ++>恒成立可得．需要分类讨论．【详解】由题意210mx mx ++>恒成立，若0m =，则不等式为10>恒成立，满足题意；若0m ≠，则2040m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<．综上04m ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查函数的定义域，掌握函数定义是解题关键．根据函数定义，题意实质上是210mx mx ++>恒成立，对2x 的系数分类讨论可得结论．7．A【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，求解即可.【详解】∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (|x |)．则f (|2x －1|)<f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|<13，解得13<x <23. 故选：A .【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.8．C【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合；C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；故选C.【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x =≠的单调性直接通过k 的正负判断；（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.9．A【分析】根据二次函数的单调性，先求出()f x 的对称轴，即可得到()f x 的单调区间。

江苏省南通市启东中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试题(创新班)

江苏省南通市启东中学【最新】高一上学期第一次质量检测数学试题（创新班）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ=( ) A ．0B ．π2C ．πD ．3π22．已知非零向量,m n 满足43m n =，cos ,m n =13．若()n tm n ⊥+，则实数t 的值为 A ．4B ．–4C ．94D ．–943．下列说法正确的是( )A ．因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B ．因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C ．因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D ．因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．4．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A ．12t =，s 的最小值为6πB ．2t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．t =，s的最小值为3π5．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（） A ．58- B ．18C ．14D ．1186．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（） A ．7 B ．1 C ．1-D ．7-7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形8．已知,sin 2cos 2R ααα∈+=，则tan2α=（） A ．43B ．34 C ．34-D ．43-9．已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[1，2]C ．1[4-，2]D ．1[4-，)+∞10．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A ．34 B ．310C ．310±D ．310-11．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =–2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是A ．434B ．494C D二、填空题 13．函数2tan 1y x =-的定义域是______．14．已知a 的方向与x 轴的正向所成的角为120，且||2a =，则a 的坐标为_______________．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.16．设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为_______.三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+．(1)证明：2a b c +=； (2)求证：cos C ≥12． 18．已知α为第三象限角，且f (α)＝sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++- ．（1）化简f (α)；（2）若3π1cos()25α-=，求()f α的值；（3）若32π3α=-，求()f α的值．19．已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -，()f x OA OB =⋅．（1）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间；（2）当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；（3）当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知在ABC 中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=． (1)求BAC ∠的值；(2)若AD =ABC 面积．21．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为S 1,正方形的面积为S 2．(1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求12S S 取最小值时的角θ． 22．设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；(2)记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x ，若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．参考答案1．A 【解析】【分析】B ⊆A ，可得：cosθ＝1，或cosθ222cos θ=，或cosθ＝3（舍去），由θ∈[0，2π），即可得出θ 【详解】 ∵B ⊆A ，∴cosθ＝1，或cosθ222cosθ=，或cosθ＝3（舍去），∵θ∈[0，2π），∴由cosθ＝1，可得θ＝0，由cosθ222222coscos θθ==-1，无解．综上可得：θ＝0．故选：A ．【点睛】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题． 2．B 【详解】由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B ． 3．D 【解析】【分析】由周期函数的定义可判断A ；由tan （x +π）＝tan x ，结合周期函数的定义可判断B ；由x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭不成立，结合周期函数的定义可判断C ；由周期函数的定义，可判断D ．【详解】由sin(π)sin x x -=，不满足周期函数的定义，故A 错误；tan （2π+x ）＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的一个正周期，由tan （x +π）＝tan x ，可得π是函数y ＝tan x 的最小正周期，故B 错误；4x π=时，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭成立，但x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭不成立，所以2π不是函数y ＝sin x 的一个周期，故C 错误；由3cos x cosx π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，由周期函数的定义，可得3π不是函数y ＝cos x 的一个周期，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查周期函数的定义和应用，考查诱导公式的应用，以及推理能力，属于基础题． 4．A 【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换. 5．B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 6．D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系． 7．B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形．故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 8．C 【分析】先对sin 2cos 2αα+=两边平方，构造齐次式进而求出tan 3α=或1tan 3α=-，再用正切的二倍角公式即可求解. 【详解】解：对sin 2cos αα+=两边平方得 2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--．故选：C 【点睛】本题考查同角三角函数关系和正切的二倍角公式，考查运算能力，是中档题. 9．C 【分析】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点,由f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-利用二次函数的单调性即可得出．【详解】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点． f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则a ∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与三角函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．B 【分析】由sin cos 2sin cos αααα+=-得tanα，根据诱导公式和同角三角函数间的基本关系化简所求为tanα的齐次式即可求出原式的值．【详解】已知sin cos 2sin cos αααα+=-故tanα＝3，又()223πsin cos sin(5π)sin()sin cos 2sin cos αααααααα-⋅-=--=+ 故原式＝2tan 31tan 10αα=+．故选：B 【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，是一道综合题． 11．A 【分析】先根据函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，令x 43π=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值. 【详解】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的简单性质，考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属基础题. 12．B 【解析】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又131,,,,22x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()(222+14x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,--的距离的平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D 的坐标，同时动点P 的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想． 13．(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可【详解】由题知：原式有意义则22k x k ππππ-<<+且 tan 1x ≠即224k x k x k ππππππ⎧-<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩，故函数2tan 1y x =-的定义域是(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力．14．（﹣11，【分析】根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可．【详解】向量a 的方向与x 轴的正向所成的角为120°，且|a |＝2，如图所示，向量a 的终点为A 或B ，由三角函数的定义，可得A （﹣1，B （﹣1，；所以a 的坐标为（﹣1）或（﹣1，．故答案为：（﹣11，．【点睛】本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题． 15．2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 16．4 【详解】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 17．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先切化弦并将分式通分，利用两角和的正弦公式结合正弦定理即可证明（2）利用余弦定理结合基本不等式证明【详解】（1）tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+则sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B B A+=+⋅⋅，即()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2()2cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B B A A BA B A B A B A B A B++++=∴=⋅⋅ 由正弦定理得2c a b =+ （2）由余弦定理得()22222222332124242cos 22222a b ab ab a b a b ab a b c C ab ab ab ab +⎛⎫+-+-⨯- ⎪+-⎝⎭===≥= 当且仅当a b =等号成立，则cos C ≥12成立【点睛】本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力． 18．（1）f （α）＝﹣cosα；（2）f （α）5=；（3）f （α）＝12【分析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f （α）的解析式．（2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案．（3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可【详解】（1）f （α）=sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++-=sin cos t n t n sin ααααααα⋅⋅-=-⋅（）cosα（2）∵cos （a 32π-）15=，∴sinα15=-，∵a 是第三象限角， ∴cosα5==-，∴f （α）＝﹣cosα=（3）f （α）＝﹣cos 3241cos 332ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负． 19．（1）f （x ）=＝2a sin （2x 6π+），单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）；（2）a ＝﹣5或a 52=．（3）（0，1）．【分析】（1）化简f （x ）＝2a sin （2x 6π+），再利用三角函数性质求单调区间；（2）讨论a 的正负，确定最大值，求得a ；（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解．【详解】（1）f （x ）OA =•OB =2a cos 2x sin2x ﹣a ＝2a sin （2x 6π+）， ∵a ＞0，∴2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）（2）f （x ）＝2a sin （2x 6π+），当x ∈[0，2π]时，2x 6π+∈[6π，76π]；若a ＞0，2a ＝5，则a 52=；若a ＜0，﹣a ＝5，则a ＝﹣5；综上所述，a ＝﹣5或a 52=．（3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，2π]上恒成立，∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[0，2π]上恒成立， ∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，x ∈[0，2π]∵f （x ）＝2sin （2x 6π+）在[0，2π]上的最大值为2，最小值为﹣1．∴0＜m ＜1．即实数m 的取值范围为（0，1）．【点睛】本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题． 20．（1）∠BAC 4π=（2）4．【分析】（1）直接利用两角和的正切公式求出结果．（2）在△ABC 和△ABD，利用正弦定理得以AC AD =AC ＝4，AB ＝，再利用三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（1）在△ABC 中，D 为BC 中点，12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=．所以tan ∠BAC ＝tan （∠BAD +∠CAD ）1123111123+==-⋅，由于0＜∠BAC ＜π，故∠BAC 4π=．（2）如图由12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=，所以5sin BAD ∠=，10sin CAD ∠=．在△ABC 和△ABD ，利用正弦定理BD AD sin BAD sinB =∠，BC ACsin BAC sinB=∠得4BCsinACBD ADsin BAD π=∠，又BC ＝2BD ，所以AC AD =AD =，所以AC ＝4，同理可得AB ＝所以114422ABCSAB ACsin BAC =⋅∠=⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的和角公式的运用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21．（1）S 112=a 2sinθcosθ；S 2＝21asin cos sin cos θθθθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭；（2）当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94．【分析】（1）据题三角形ABC 为直角三角形，利用三角函数分别求出AC 和AB ，得出三角形ABC 的面积S 1；设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，由BQ +QR +RC ＝a 列出方程求出x ，算出S 2；（2）化简比值12S S ，设t ＝sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．【详解】（1）在Rt △ABC 中，AB ＝a cosθ，AC ＝a sinθ，所以S 112=AB •AC 12=a 2sinθcosθ；设正方形的边长为x 则BP xsinB=，AP ＝x cosθ，由BP +AP ＝AB ，得xsin θ+x cosθ＝a cosθ，解得x 1asin cos sin cos θθθθ=+；所以S 2＝x 221asin cos sin cos θθθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（2）()212112sin cos S S sin cos θθθθ+=⋅ 211222sin sin θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1124sin θ=+sin2θ+1，令t ＝sin2θ，因为 0＜θ2π＜，所以0＜2θ＜π，则t ＝sin2θ∈（0，1]，所以12114S S t =+t +1；设g （t ）114t =+t +1，则g ′（t ）2114t =-+，t ∈（0，1]；所以函数g （t ）在（0，1]上递减，因此当t ＝1时g （t ）有最小值g （t ）min ＝g （1）1114=+⨯1+194=，此时sin2θ＝1，解得θ4π=；所以当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94．【点睛】本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．22．（1）见解析；（2）13k <<（3）34⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为h （x）1sin 2x x =-+于是结论可证；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3）由f （x）=（x +φ）可求得x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，其中tan x 0a b=，换元求得ab 的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x 0的范围．【详解】（1）∵ππ()2sin()cos()36h x x x =--+1sin 2x x =-∴函数h （x ）的相伴向量OM =（12-， ∴h （x ）∈S（2）∵()2cos f x x =则4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，[0x ∈，2π]则()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，53ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，又()()()401,3,1,5,2133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫====-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，实数k 的取值范围为13k <<（3）OM 的相伴函数f （x ）＝a sin x +b cosx =（x +φ），其中cosφ=sinφ=当x +φ＝2k π2π+，k ∈Z 即x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，∴tan x 0＝tan （2k π2π+-φ）＝cotφa b=，∴tan2x 0022022211()atanx b a b atan x b a b⨯===---．令m b a =，则()()2223411043410m m a m m -+-=∴∆=-+≥ 解得113m ≤< （m=1不成立）则tan2x 021m m=-，（113m ≤<） ∵1y m m=-单调递增，故m 1m -∈8,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴tan 0342x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．。

江苏省启东中学期初试卷及答案

W(x) = 15+0xx , 2 < x ≤ 5 ，肥料成本投入为 10x 元，其它成本投入 ( 如培育管理、施肥等人工费 )20x
元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 f(x) ( 单位：元 )． ( Ⅰ ) 求 f(x) 的函数关系式； ( Ⅱ ) 当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大? 最大利润是多少?
【答案】A
2 ．在 ABC 中， E 为 AC 上一点， AC 3AE ， P 为 BE 上任一点，若
AP
m AB n AC(m
0, n
0) ，则
3
1
的最小值是（
）
mn
A．9
B．10
C．11 D．12
【答案】D
3．已知
a
R
，则“
a
1 ”是“
1 a
1 ”的（
A．充分非必要条件
1 3
,
1 3
D．
,
1 3
1 3
,
【答案】A
8．若直角坐标平面内 A 、 B 两点满足：①点 A 、 B 都在函数 f (x) 的图象上；②点 A 、 B
关于原点对称，则称点 ( A ，B) 是函数 f (x) 的一个“姊妹点对”.点对 ( A ，B) 与 (B ，A) 可看
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()
A. 图像关于 y 轴对称 C. 在 -∞,0 上单调递增
B. 图像关于原点对称 D. fx 恒大于 0
12. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 的图象连续不断，若存在常数 t(t ∈ R)，使得 f(x + t) + tf(x) = 0 对任意的