(完整版)指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次
方根，其中n >1，且n ∈N *
． 当n 是奇数时，
a a n
n =，当n 是偶数时，
??
?<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n
n 2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m )1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
3．实数指数幂的运算性质
（1）r a ·s
r r a a += ),,0(R s r a ∈>；
（2）rs
s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；
（3）s
r r a
a a
b =)(
),,0(R s r a ∈>．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． a>1 0 定义域 定义域 值域 值域 在R 上单调递 在R 上单调递 函数图象都过定点 函数图象都过定点 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b a ＝ N ?log a N ＝ b 底数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ） ． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 -1 -4-2 1-1 -4 -2 1 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○ 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函 数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． a>1 0 定义域 定义域 值域为 值域为 在R 上递 在R 上递 函数图象都过定点 函数图象都过定点 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）3 2 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4 y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）3 2 254- ?? ? ?? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 指数函数 1、函数)1,0(1 2≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 2、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ）A 、2a C 、21< 3、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31)21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、115311()()22 - - > 4、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 5、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 6、函数x y ??? ??=31的图象与x y -?? ? ??=31的图象关于 对称。 7、已知函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值多2，求a 的 值 。 8、已知函数)(x f =1 22+-x x a 是奇函数，求a 的值 。 对数（第11份） 3 2.5 2 1.5 1 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 1 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 1、将下列指数式改写成对数式 （1）1624= （2）205=a 答案为：（1） （2） 2、将下列对数式改写成指数式 （1）3125log 5= （2）10log 2a =- 答案为：（1） （2） 3、求下列各式的值 （1）64log 2= （2）27log 9 = （3）0001.0lg = （4）1lg = （5）9log 3= （6）9log 3 1= （7）8log 32= 4、已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求n m a +2的值。 5、若)1(log 3a -有意义，则a 的范围是 6、已知48log 2=x ，求x 的值 对数（第12份） 1、求下列各式的值 （1）)42(log 5 3 2?=__________（2）125log 5=__________ （3） 1)01.0lg(10lg 2lg 25lg 2 1 -+++=__________ （4）5log 38log 9 32 log 2log 25333-+- =__________ （5）25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -?-?=__________ （6）1lg 872lg 49lg 2 1 67lg 214lg +-+-=__________ （7）50lg 2lg )5(lg 2 ?+=__________ （8）5lg 2lg 3)5(lg )2(lg 3 3 ?++=__________ 2、已知b a ==3lg ,2lg ，试用b a ,表示下列各对数。 （1）108lg =__________ （2）25 18 lg =__________ 3、（1）求32log 9log 38?的值__________； （2）8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432?????=__________ 4、设3643==y x ，求 y x 1 2+的值__________。 5、若n m 1 10log ,2lg 3==，则6log 5等于 。 6、已知函数x y a )1(log -=在),0(+∞上为增函数，则a 的取值范围是 。 7、设函数)1(log 2-=x y ，若[]2,1∈y ，则∈x 8、函数0(3)3(log >+-=a x y a 且)1≠a 恒过定点 。 9、已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在]4,2[∈x 上的最大值比最小值多1，求实数a 的值 。 幂函数（第15份） 1、下列函数中，是幂函数的是（ ） A 、x y 2= B 、2 x y -= C 、x y 2log = D 、2 1-=x y 2、若一个幂函数)(x f 的图象过点)4 1,2(，则)(x f 的解析式为 3、已知函数1 2+=m x y 在区间()+∞,0上是增函数，求实数m 的取值范围 为 。 函数与零点（第16份） 1、证明：（1）函数462 ++=x x y 有两个不同的零点；（2）函数13)(3 -+=x x x f 在区间（0，1）上有零点 2、若方程方程2570x x a --=的一个根在区间（1-，0）内，另一个在区间（1， 2）内，求实数a 的取值范围 。 二分法（第17份） 1、设0x 是方程062ln =-+x x 的近似解，且),(0b a x ∈，1=-a b ，z b a ∈,，则b a ,的值分别为 、 2、函数x x y 26ln +-=的零点一定位于如下哪个区间 （ ）A 、()2,1 B 、()3,2 C 、()4,3 D 、()6,5 3、已知函数()35x f x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=，a ，b N *∈，则 a b += . 4、函数()lg 3f x x x =+-的零点在区间(,1)m m +()m Z ∈内，则 m = ． 5、用二分法求函数43)(--=x x f x 的一个零点，其参考数据如下： f (1.6000)=0.200 f (1.5875)=0.133 f (1.5750)=0.067 f (1.5625)=0.003 f (1.5562)=-0.029 f (1.5500)=-0.060 据此数据，可得方程043=--x x 的一个近似解（精确到0.01）为