劳斯判据的证明及应用

劳斯判据的证明及应用

一．劳斯判据的证明

设线性系统特征方程为23

101231()n n n n P s p p s p s p s p s p s --=++++

++(1.1)，建立

一个与特征方程系数有关的矩阵R （P ）（劳斯表与教材所列有所不同，将在本文证明部分最

劳斯判据：R(P)的第一列各值都为正时由特征方程（1.1）表征的线性系统稳定。

证明：

设23

+0246()P s p p s p s p s =++++ ，23

-1357()P s p p s p s p s =++++

，

则22

()()()P s P s sP s +-=+(1.2)。

令0+=P P ，1-=P P ，并令1

21001()((0)()(0)())P

s s P P s P P s -=- ，容易求得 1001(0)()(0)()P P s P P s -的常数项为0，则2()P s 为多项式。

类似地，归纳可得：1

1221()((0)()(0)())k k k k k P s s P P s P P s -----=- (3)k ≥ 。

下面我们通过两个引理来证明劳斯判据。

引理1.R P （）

第1列的第k+1行元素等于()k P s 的常数项。劳斯判据等同于01(0),(0),,(0)n P P P 都为正。

证明：由定义可得00(0)P p = ，

11(0)P p = ，21203(0)P p p p p =- 。则引理1在k=0,1,2时得证。

假设3k ≥ 时引理1依然成立，则R （P ）第k 行和第k+1行的元素可分别表示为下列多项式的系数：11,01,1()k k k P s p p s ---=++

，,0,1()k k k P s p p s =++

，由1k P + 的定义

可得1,01,110,1(0)k k k k k P p p p p +--=-， ，

而这恰好是R(P)第一列第k+2行的元素。引理1得证。 定义

2223

121120331405()R(s)()()()()Q s P s sP s p p p p p s p s p p p p s ∈=+=+-++-+

由()P s 的定义易知Q 的最高阶最大为n-1.我们姑且假设1n p ≠ ，下面给出引理2： 引理2.下述表达等效：

（1） 特征方程P(s)表示的线性系统稳定且0n p > 。

（2） 特征方程Q(s)表示的线性系统稳定且10n q -> ，(0)0P > 。

证明：2221

1211001()()()()((0)()(0)())Q s P s sP s P s s P P s P P s -=+=+-(1.3)

[0,1]λ∈ ，定义12121001()((1)(0))()((1)(0))()s s P P s s s P P s Q λλλλλλ--=-++-+- 多项式20()P s ，21()P s 是偶函数，当s jw = (s 在虚轴上)时，多项式的值为实数。

假设(0)0, (0)0P Q >>，我们可以得出结论Q λ在虚轴上的根与λ 无关。证明如下： 首先，若(0)0, (0)0P Q >> ，则010, 0p p >> 。假设0是Q λ的一个根，则有

111001*********(0)((1)(0))(0)((1)(0))(0)

((1-))((1)) =(1-)()0

s P P s s P P s p p s s p p p sp p Q λλλλλλλλλλλλλ----=-++-+-=++-+-++>

所以0不可能是Q λ的一个根。

假设0iw 是一个非零的纯虚根，则有

1212

001000010()((1)(0))(-)((1)(0))(-)0

iw iw P P w iw s P P w Q λλλλλλ--=-++-+-=.

令实部和虚部分别为零，可得

220010(1)()()0P w P w λλ--+-=

12220010100010((0)()(0)())(1)()0w P P w P P w w P w λλ----+--=

将上述两式看作200()P w - 和210()P w - 的齐次线性方程组，系数行列式为

122000*********=((1)((1)(0)(0)))(0)

(0)(1)w w P P w P w P w λλ

λλλλλλλ-----+-+-+-

由于[0,1]λ∈且010, 0p p >>，上式符号为正。由克拉默法则，方程有唯一解，且

220010()=0()=0P w P w --， 。

进一步可得，0w 与λ 取值无关，即Q λ 在虚轴上的根与λ 无关。

下面证明由（1）推导到（2）：

[0,1]λ∈，定义,[0,1)

(){

1,1

n N n λλλ∈=-= .

则()N λ 即是

Q λ

根的个数（证明：[0,1)λ∈时，

Q λ

n 阶；

1λ=时，

121210011()(0)()(1(0))()=()s s P P s s P P s Q s Q --=+-，n-1阶）。

定义,{|{1,...,()}}i Z z i N λλλ=∈ 为Q λ根的集合。因为特征方程P(s)表示的线性系统

稳定，且22

010()()()=()s P s sP s P s Q =+，可得0Z 在复平面左半平面内。

假设(0)0, (0)0P Q >>：

由之前的结论Q λ 在虚轴上的根与λ 无关可知Z iR λ⋂=∅ 。倘若1Q Q =有复平面右半平面的根，由于多项式的根是它系数的连续函数，可知必有某个λ 值对应于落在虚轴上的根，矛盾。所以，Q 的所有根都必须落在复平面左半平面。

又有1n n q p -= ，则10n q ->。所以，只要证明假设成立，则(1)(2)→成立。 下面证明当特征方程P(s)表示的线性系统稳定，且0n p >时一定有各项系数为正数，则假设成立。证明（*）如下：

假设23

101231()n n n n P s p p s p s p s p s p s --=++++

++的n 个根为12,,

,n s s s ，有

12()()()0n s s s s s s ---= ，

210112=0n n

n n n n

n

p p p p s s s s p p p p --++++

+。 则11=-n n i i n p s p -=∑，2

1()

=-n

n i j i j n

i j p s s p -=≠∑，， ，01

=(-1)n

n

i i n p s p =∏ 在上述关系中，所有比值必须大于零，否则系统至少有一个正实部根。 则证得各项系数均为正，而01(0), (0)P p Q p == ，则假设成立。

综上，证得若特征方程P(s)表示的线性系统稳定且0n p >，则特征方程Q(s)表示的线性系统稳定且10n q -> ，(0)0P >，即引理2(1)(2)→成立。

下面证明由（2）推导到（1）：

沿用上述N Q λλ， 的定义。因为特征方程Q(s)表示的线性系统稳定，而()=()1

Q s Q s ，

所以1Z 在复平面左半平面。()1

Q s n-1阶，1Z 中有n-1个元素，由多项式的根是它系数的

连续函数与Z iR λ⋂=∅可知，[0,1]λ∈时复平面左半平面至少有n-1个根。而又知