劳斯判据例题
劳斯判据练习题
1．已知单位反馈系统的开环传递函数为 ()(0.11)(0.51)K
G s s s s =++，用劳斯判据分析确
定系统稳定时K 值的范围。
2．已知系统的特征方程为 s 4+8s 3+10s 2+8s +1=0，用劳斯判据判断系统的稳定性。
3．已知系统的特征方程为 s 4+s 3+3s 2+3s +5=0，用劳斯判据判断系统的稳定性。
4．已知三阶系统的特征方程为
a 3s 3+ a 2s 2+ a 1s + a 0=0，式中，a i 为方程的系数，i =0，1，2，3
用劳斯判据分析确定系统稳定的充分必要条件。
5．已知系统的特征方程为 s 4+2s 3+s 2+2s +1=0，用劳斯判据判断系统的稳定性。
6．已知单位反馈系统的开环传递函数为 1136()(1)(1)K
G s s s s =++，用劳斯判据分析确定闭
环系统稳定时K 值的范围。
7．某系统传递函数框图如题图所示，试分析闭环系统的稳定性。
X i (s)
8、闭环系统的传递函数为：
G (s)=23222()2n n n n
s K s s s K ωζωωω++++ 式中，ζ=0.2，n ω=86.6，用劳斯判据分析确定系统稳定时K 值的范围。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
© BIP
二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
1习题集第五章系统稳定性
【解】 由特征方程列劳斯表如下：
S4
1
T 100
S3
2
10
S 2 T 5 100
S1 10(T 5) 200
S0
100
T 50 由劳斯判据，系统稳定，则
10(T 5) 200 0 解得： T 25
5-8 已知系统特征方程如下,试求系统在 s 右平面的根数及虚根值. (1) s5 3s4 12s3 24s2 32s 48 0
1.5K 0
解得： 0 K 5 3 5
5-12 试确定如下图所示系统的稳定性.
【解】 由系统方框图可得系统的闭环传递函数为：
10(10s 1)
(s)
特征方程为： s(s 1) 10(10s 1) 0
s(s 1) 10(10s 1)
即： s2 101s 10 0
5-3 设单位反馈系统的开环传递函数分别为
K (s 1) G(s)
s (s 1) (s 5)
1 K * (s 1) 【解】 G(s) 5
1 s(s 1)( s 1)
5
所以开环增益 K 1 K * 5
由开环传递函数可得系统的闭环传递函数为：
K (s 1) (s)
1 s(s 1)( s 1) K (s 1)
，试用对数频率特性判别系统的稳定性。
【解】画出开环频率特性，并依系统中有两个积分环节做出辅助线如图所示：
在 L() 0范围内，N N 0 ，故 P 2N ，则系统闭环稳定。
10
0.1K A 0
0.1K A (0.09 0.2K A ) 0.1K A 0
劳斯判据的证明
1、劳斯判据证明思路：（1）将给定的描述系统运动的高阶齐次微分方程变换为齐次状态方程．（2）给定对称正定（或非负定）矩阵Ｑ，根据式Ax x= ,Q PA P A T -=+求出相应的矩阵Ｐ（3）由要求矩阵Ｐ为正定的条件证明赫尔维茨稳定判据2、赫尔维茨稳定性判据证明．Ax x= （1） Q PA P A T -=+ （2）设在输入信号为零的情况下，系统的齐次微分方程为01111=++⋅⋅⋅++---x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n （3） 式（3）的系数行列式为：n n n a a a a a a a a a a a 0000000000000000010000011123451231-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ 赫尔维茨判据为：系数行列式n ∆的各阶顺序主子式大于0.证明：首先将系统的高阶微分方程写成状态方程的形式．选择系统的状态变量为 []T n x x x x 21=令x x =1，则式（2）等价于下列状态方程：Ax x= ，其中 1210000010000000001000000100000010b b b b A n n----=-(4)该矩阵特点是：主对角线上除最后一个元素外，其余元素均为0；主对角线以上各元素为1；主对角线以下各元素从第二行开始依次为-bn 到-b1。
其次，应给定矩阵Ｑ，并根据式（2）去求矩阵P设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21200000000b Q (5) 这是一个对称非负定矩阵，由此可知李雅普诺夫函数的导数为 2212nT x b Qx x V -=-= 。
只要x1，x2，…，xn 不全都为零，则0≠n x ，于是()x V 不可能恒为零．所以按式（4）选定的矩阵Ｑ是合理的．再假设矩阵Ｐ是对角线矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-121000000000000p p p p P n n (6) 将式（４）、式（5）、式（6）代人式（２），即可得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11212112000000000000b b b b b b b b b P n n 最后检验矩阵Ｐ的正定性．如欲系统的半衡点是大范围渐近稳定的，则矩阵Ｐ应是正定的，亦即矩阵Ｐ主对角线上各元素均应大于零，即有 0,0,012121>>>b b b b b b n 。
劳斯判据的证明及应用
劳斯判据的证明及应用劳斯判据（Rayleigh's criterion）是描述两个正交振动的符合条件的充分必要条件。
它由英国物理学家勒克·埃尔斯利·劳斯（Lord Rayleigh）于1879年提出，并被广泛应用于光学、声学、信号处理等领域。
首先，我们来推导劳斯判据的证明。
假设有两列正交的振动，分别用x(t)和y(t)表示，其中t表示时间。
为了方便计算，我们可以将振动表示为复指数形式：x(t) = Re [ Xexp(iωt) ]和y(t) = Re [ Y exp(iωt) ]，其中X和Y是复振幅，ω是角频率。
我们定义振动的互强度（cross-intensity）为Ix,y(t) =x(t)y*(t)，其中y*表示y的复共轭。
根据定义，我们有：Ix,y(t) = Re [ X exp(iωt) Y* exp(-iωt) ] = Re [ XY* ]为了计算Ix,y(t)的平均值，我们需要对振动周期T进行时间平均：<Ix,y> = (1/T) ∫[0,T] Ix,y(t) dt将Ix,y(t)代入上式，并利用Euler公式（exp(iθ) = cosθ + isinθ）展开，可以得到：<Ix,y> = (1/T) ∫[0,T] Re [ XY* ] dt= (1/T) Re [ X∫[0,T] Y* dt ]= (1/T) Re [ X∫[0,T] Re [ Y* ] dt ]根据劳斯判据的定义，<Ix,y>=0，因此我们有：Re [ X∫[0,T] Re [ Y* ] dt ] = 0由于X是任意复振幅，我们可以独立地选取它的实部和虚部分别为1和0。
这样，上式可以简化为：Re [ ∫[0,T] Re [ Y* ] dt ] = 0我们知道，对于任意实函数f(t)，其实部的积分与f(t)的本征函数cos(ωt)正交。
∫[0,T] Re [ Y* ] dt = 0这就是劳斯判据的证明，根据这个证明，我们可以得到劳斯判据的应用。
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
课件：第4讲 3.6 劳斯稳定判据
解: 列劳斯表 s3 1 517
0
s2 41.5 2.3104 s1 - 38.5 s0 2.3104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有2 个根在s的右半平面，因而系统是不稳定的。
例2 设系统特征方程为： 劳斯表介绍
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+z1 1
2
有一个根在垂直线s=-1的右方。 z0 1
应用之二: 用劳斯判据确定系统参数
例7: 已知系统的特征方程为 s3 41.5s2 517s 16701 K 0
求系统稳定的K值范围.
解: 列劳斯表
s3
s2
1
517
41.5 16701 K
1＜K＜11.9
一调速系统的特征方程为 s3 41.5s2 517s 2.3104 0
3.6 劳斯稳定判据
令系统特征方程为
a0 s n
a sn1 1
an1s
an
0,a0＞ 0
排劳斯表： sn
a0
a2
a4
a6
s n1
a1
a3
a5
a7
s n2
b1
s n3
c1
b2 c2
b3
b4
c3
表中
s2
d1
d2
d3
s1
e1
e2
s0
f1
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
,b2
a1a 4 a 0a 5 a1
, b3
a1a 6 a 0a 7 a1
,
c1
b1a 3 a1b2 b1
6-劳斯判据
注意： 由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断 的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。
3-2 劳思稳定性判据
[判据] （1） 系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大 于 0 （同号）；只要有1项等于或小于 0 ，则为不稳定系 统。
（2）系统稳定的充分条件：劳思表第一列元素均大于0 （同号） 。
s0 7
5 分母总是上一行第一个元素
8 再令正无穷小量ε趋近于6 一行可同乘或同除某正数
0，得到真正的劳斯表如下。7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零! 同号！ 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
系统在虚轴上有重根， 响应中含有tsin(t)成分， 是发散的。
3-3 劳思判据的应用举例
例3.8 试分析如下系统的稳定性，其中K>0
s 1
s 1
R(s)
_
k
ss 1
Y(s)
系统的特征方程为：
1
Gs
1
Ks 1 ss 1s 1
0
系统稳定否？ 不稳定！
例3.9 焊接控制（p256例6.5)
Ks a
劳斯表情况一 例3.3、含参变量的例子：设系统特征方程为：
s3+s2+s+K=0; K不等于１或０
劳 s3 1 1
s2 1 K
斯 s1 1-K 0 表 s0 K
参数取值影响稳定性！
于是： Ｋ小于０，系统不稳定；
Ｋ大于１，系统不稳定；
Ｋ大于０且小于１时，系 统稳定。
例3.4 设系统特征方程为： 劳斯表情况二 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3-17 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：)
2)(1()(++=
s s s K s G ，试应用劳斯判据确定欲使闭环系统稳定时开环放大倍数K 的取值范围 解：由开环传递函数可得到系统特征方程：0232
3=+++K s s s ，写出劳斯表 K s K s K s s 0
1
2
3
32321- 则有03-
20>>K K 且 所以60<<K
补充题：设系统特征方程为05025482422
345=--+++s s s s s ；试用劳斯稳定判据判别系统稳定性，并确定在右半平面根的个数及纯虚根
解：列出劳斯表： 50
07.11250
24096
8000
504822524101
234
5
----s s s s s s 由此可看出系统不稳定，在右半平面根的个数为1，同时存在共轭虚根
求解辅助方程可得到共轭虚根05048224=-+s s ，令y s =2
则有0504822=-+y y 解得y=1,-25
j s s 5,14,32,1±=±=
其它题型：给出开环传递函数，求解系统稳定性，并判断在右半平面根的个数
1、由开环传递函数写出闭环传递函数，进而得到系统特征方程
2、根据特征方程写出劳斯阵列，并判断系统稳定性
3、第一列符号改变的次数为s右半平面根的个数
4、若存在全0行，则有共轭虚根，可根据辅助方程求得共轭虚根。