三角函数图像变换课件
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三角函数图象变换(伸缩平移)ppt课件
精选ppt
6
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图象y=间sin的12关x的系简。图，并指出它们y=sinx
精选ppt
7
x
0
4
2
2x
0
2
sin2x 0
1
0
y y=sin2x
1
y=sinx
2
o 3
3
42 4
2
-1
精选ppt
3 4
3
2
2
-1
0
3
4
x
8
x 0
1x 2
0
sin1 x
2
0
2 3 4
精选ppt
24
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx
2
3
2
2
x
精选ppt
5
小结1
函数 yAsix n,xR的图象
（其中A0且 A1）
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）
而得到． A的作用
引起值域 改变
纵向伸缩
函数 yAsix n,xR的值域是A,A
2
3 2
2
1
0
-1
0
y y=sin2x
1
y=sin
1 2
x
y=sinx
2
3
o 3
3
42 4
2
4
x
-1
精选ppt
9
小结2
2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
三角函数图象变换ppt课件
3
7 12
5 6
x
（3）连线：
-3
（4）根据周期性将作出的简图左右 扩展。
函数 y=sinx
（1）向左平移 3
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
1 2
y=sin(2x+ ) 的图象 3 y=3sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
1 函数 y sin x 2 1. 列表： x
1 x 2
0
0 0
2π
3π
3 2
4
2π 0
2
2. 描点：
sin 1 x 2
1
1 2
0
-1
y 1
． y=sin x 2 ． ． O
y=sinx
3
4 ．
1
．
1 y=sin x 2
x
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 y=sinx 1 式变：x换成( x)。 2
y=Sin(x+ ) 的图象
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
1 原来的 倍，（纵坐标不变）
y=Sin( x+ ) 的图象
三角函数图象变 换
1 例1 作函数 y 2 sin x及 y 2 sinx 的图象。 解：这两个函数的周期都为 2π，则先画出 [ 0, 2π] 上的简图。
1. 列表：
x
0
1 sin x 2 y 2. 描点、作图： 2
sinx 2sin x
0 0 0
1
2
0 0 0
3 2 1
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角函数图像变换ppt
分析 : ( 1 )由图意知,最大温度差为 30 10 20
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
三角函数图像变换ppt
4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
高一数学最新课件-三角函数的图象变换001 精品
(B)横坐标变为原来的
1 2
倍，纵坐标不变
(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变
(D)纵坐标变为原来的 1倍，横坐标不变
2
6、为得到函数ｙ＝sin(2x--
3
),x
∈
R，的图
象，只需将函数ｙ＝sin2x, x ∈ R，的图象
上所有点(B )
(A)向左平移
6
个单位长度
(B)向右平移
6
个单位长度
(C)向左平移 个单位长度
横坐标↓伸长或缩短 步骤3 ：得y=sin(ωx+φ),(一个周期)
纵坐标↓伸长或缩短 步骤4 ：得y=Asin(ωx+φ),(一个周期)
沿x轴↓扩展
步骤5 ：得y=Asin（ωx+φ），x∈R
课堂练习
1.由y=sinx的图象经过怎样
变换可以得到
的图象?
y
2 sin x 2来自62、将函数y=3sinx的图象向右平移
y sin x
y sin 1 x 2
2x
x
0 0
2
4
2
3
2
2
3
4
y sin 2x 0
1
0
-1
0
y
y sin 2x
1
o
2
3 2
2
1
y sin x
4x
y sin 1 x 2
小结：函数y=sin x的图象是在y=sinx图象
的基础上纵坐标不变横坐标变成原来的
1
倍。
2
通常叫周期。P54思考交流。
P58练习：1~3 P61、A1
作业：P58练习：3（2）、（3）
y=3sin(2x+ ),x∈R 的图象，
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π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π |sin2(- π )+acos2(- )|2=a2+1 8 解得 a=-1. 8
π 对称 法3 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π 时的函数值相同 ∴当自变量取 0, - 4 时的函数值相同. ∴sin0+acos0=sin2(- π )+acos2(- π ). 即 0+a=-1+0. π 对称 法4 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称, π + π = π 时, 函数值为 0. ∴当 x=- 8 4 8 ∴sin π +acos π =0.
五、典型例题
o
x
3.求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值 求函数 的最小正周期和最小值, 上的单调增区间. 并写出该函数在 [0, π] 上的单调增区间 解: ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x 故该函数的最小正周期是 π, 最小值是 -2. =2sin(2x- π ) -6
一、三角函数图象的作法
作图步骤: 1.几何法 y=sinx 作图步骤 几何法 (1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线 等分单位圆作出特殊角的三角函数线; 等分单位圆作出特殊角的三角函数线 (2)平移三角函数线 平移三角函数线; 平移三角函数线 (3)用光滑的曲线连结各点. (3)用光滑的曲线连结各点. 用光滑的曲线连结各点 y 1 o1 Ao -1 y=sinx 3π 2 P M o y
5.单调性 y=sinx 在 [2kπ- π , 2kπ+ π ](k∈Z)上单调递增 在 单调性: 单调性 ( ∈ )上单调递增, 2 π , 2kπ+ 3π ](k∈Z)上单调递减2 y=cosx 在 [2kπ, 2kπ+π] [2kπ+ ( ∈ )上单调递减; 2 2 (k∈Z)上单调递减 在 [2kπ+π, 2kπ+2π](k∈Z)上单调递增 ∈ )上单调递减, ( ∈ )上单调递增.
4.已知函数 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1, x∈R. (1)求当 y 取得最 已知函数 ∈ 求当 2 2 的集合; 大值时自变量 x 的集合 (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R) 的 该函数的图象可由 ∈ 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 解: (1)y= 2 4 2 4 4 1 sin(2x+ π )+ 5 . =2 6 4
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(x∈R) 是奇函数 对称中心是 (kπ, 0)(k∈Z), 正弦函数 ∈ 是奇函数, ∈ 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx(x∈R) 是偶函数 ∈ ∈ 是偶函数, 2 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ (k∈Z)(正, 余 ∈ ∈ ( 2 轴的直线, 弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线 对 轴的交点) 称中心为图象与 x 轴的交点). 2.正切函数 y=tanx(x∈R, x ≠ π +kπ, k∈Z) 是奇函数 对称中心 正切函数 ∈ ∈ 是奇函数, 2 是( kπ , 0)(k∈Z). ∈ 2 函数的对称中心有两类: 轴的交点, 注 正切函数的对称中心有两类 一类是图象与 x 轴的交点 另一类是渐近线与 x 轴的交点, 但无对称轴, 这是与正弦、余 轴的交点 但无对称轴 这是与正弦、 弦函数的不同之处. 弦函数的不同之处
6.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- π 对称 求 a 如果函数 - 8 对称, 的值. 的值 其中, 解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+ϕ), 其中 tanϕ=a.
π 对称 法1 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π )+ϕ=kπ+ π , k∈Z. ∴ϕ=kπ+ 3π , k∈Z. ∈ ∴2(- 8 ∈ 4 2 3π )=-1. ∴a=tanϕ=tan(kπ+ )=4 π 法2 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, - 对称
π 上是减函数. ∴f(x)=cosωx 在区间 [0, ω ] 上是减函数
∴要使 f(x)=cosωx 在区间 [0, π ] 上是单调函数 2 上是单调函数,
π ≤ π , 即 0<ω≤2. 必有 2 ω
4k+2 ∈ 3 ≤2(k∈Z).
∴0<
∴ω=2 或 2 . 解得 k=0 或 1. 3 π 2 综上所述, 综上所述 ϕ= 2 , ω=2 或 3 .来自三、正、余弦函数的性质
1.定义域 都是 R. 定义域: 定义域 值域: 2.值域 都是 [-1, 1]. 值域 对 y=sinx, 当 x=2kπ+ π (k∈Z) 时, y 取最大值 1; 当 x=2kπ+3π ∈ 2 2 (k∈Z) 时, y 取最小值 -1; 对 y=cosx, 当 x=2kπ(k∈Z) 时, y 取最大 ∈ ∈ 值 1, 当 x=2kπ+π(k∈Z) 时, y 取最小值 -1. ∈ 3.周期性 ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2π; ② f(x)= 周期性: 周期性 、 2π Asin(ωx+ϕ) 和 f(x)=Acos(ωx+ϕ)的最小正周期都是 T= |ω| . 的最小正周期都是
π , 得 y=sin(x+ π ) 的图象 ①将 y=sinx 的图象向左平移 6 6 的图象;
5.已知函数 f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, 0≤ϕ≤π) 是 R 上的偶函数 已知函数 上的偶函数, π 对称, 上是单调函数, 其图象关于点 M( 3π , 0) 对称 且在区间 [0, 2 ] 上是单调函数 4 的值. 求 ϕ 和 ω 的值 上的偶函数, 解: ∵f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, 0≤ϕ≤π) 是 R 上的偶函数 ∴sin(-ωx+ϕ)=sin(ωx+ϕ), 即 -cosϕsinωx=cosϕsinωx 对任 都成立. 意实数 x 都成立 ∵ω>0, ∴cosϕ=0. 又∵0≤ϕ≤π, ∴ϕ= π . ∴f(x)=cosωx. 2 对称, ∵f(x) 的图象关于点 M 对称 图象的一个对称中心. ∴点 M 为 f(x) 图象的一个对称中心 3ωπ π (k∈Z). ∴ω= 4k+2 (k∈Z). ∈ ∴ 4 =kπ+ 2 ∈ 3 ∵ω>0,
4.奇偶性与对称性 正弦函数 奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数 对称中心 是奇函数, 奇偶性与对称性 ∈ 是奇函数 是 (kπ, 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx ∈ ∈ 2 (x∈R)是偶函数 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x= 是偶函数, ∈ 是偶函数 ∈ 2 kπ (k∈Z) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂 ∈ 轴的直线, 轴的交点) 直于 x 轴的直线 对称中心为图象与 x 轴的交点).
π
π ≤2x- π ≤2kπ+ π (k∈Z) 得: 由 2kπ- 2 - 6 2 ∈ π kπ- ≤x≤kπ+ π (k∈Z). ∈
6 3 令 k=0, 1 即得函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x π ] [ 5π , π]. 在 [0, π] 上的单调增区间是 [0, 3 和 6
例1 利用单位圆中的三角函数线证明当 0<α< π 时, 不等式 2 y sinα<α<tanα 成立 成立. T 提示 由 S△OAP<S扇形 <S△OAT 得: 扇形OAP P 1 1 1 ×OA×MP< 2 ×α×OA2< 2×OA×AT × × 2 α 1 ×1×sinα< 1 ×12×α< 1×1×tanα o M A x 即 2 × × 2 2 故有 sinα<α<tanα. 7π 例2 解不等式 |sinx|>cosx. {x| π +2kπ<x< 4 +2kπ, k∈Z} ∈ 4 y
α
A
x
π
π
2π x
2
2.五点法作函数 y=Asin(ωx+ϕ) 的图象的步骤 五点法作函数 的图象的步骤: (1)令相位 ωx+ϕ=0, π , π, 3π, 2π, 解出相应的 x 的值 的值; 令相位 2 2 (2)求(1)中 x 对应的 y 的值 并描出相应五点 的值, 并描出相应五点; 求 中 (3)用光滑的曲线连结 中五点 用光滑的曲线连结(2)中五点 用光滑的曲线连结 中五点. 3.变换法 函数 y=Asin(ωx+ϕ)+k 与 y=sinx 图象间的关系 变换法: 图象间的关系: 变换法 的图象纵坐标不变, ①函数 y=sinx 的图象纵坐标不变 横坐标向左 (ϕ>0) 或向右 (ϕ<0) 平移 |ϕ| 个单位得 y=sin(x+ϕ) 的图象 的图象; 1 图象的纵坐标不变, ②函数 y=sin(x+ϕ) 图象的纵坐标不变 横坐标变为原来的 ω , 的图象; 得到函数 y=sin(ωx+ϕ) 的图象 图象的横坐标不变, ③函数 y=sin(ωx+ϕ) 图象的横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 的图象; 倍, 得到函数 y=Asin(ωx+ϕ) 的图象 图象的横坐标不变, ④函数 y=Asin(ωx+ϕ) 图象的横坐标不变 纵坐标向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位得 y=Asin(x+ϕ)+k 的图象. 的图象 要特别注意, 的图象, 要特别注意 若由 y=sin(ωx) 得到 y=sin(ωx+ϕ) 的图象 则向左 ϕ 或向右平移应平移 | ω | 个单位. 个单位