弹性薄膜的非线性轴对称变形

外 力所做 的 功 为 Ｆ ｕ 在 平 衡 状 态 下 ， Ｓ． 由热 力 学 可
知， 对于 系统任意 的变化 ， 薄膜 Ｈｅｍｈ ｌ ｌ ｏｔ ｚ自由能的
改 变量应该 等于外力所 做 的功 ， 即
２ ｆＲ 一 ， ＇Ｓ ｄ ｃ ＷＲ Ｈ
应 的变分为 毅 ＝ ｃＳ 。Ｉ ９ （）进行 分部积分 ， ４ 得到
的 Ｈｌ ｏｚ ｅ ｍｈｌ 自由能可表示为 ２ ＨＩ ｄ ． ｔ Ｒ 当拉伸 ＷＲ
变形 量有一个 变分 毅 和 淑： ， 自由能 密度 的变 时 则
（ 未发生 变形 时的 参考构形 ａ ）
：
分可表 示为
： ｓ 毅 １ ｓ 毅 ２ ｌ 十 ２ ， （） ４
由此 ， 根据微 分关 系可 以 得 到 ２个 偏 微 分 系数 的表
中 图分类 号 ： Ｏ ３ ３５ ４ ． 文 献 标 志 码 ｉ Ａ 文 章 编 号 ：０ ４０ ６ （ ０ ０ ０ —０ ５０ １ ０ —３ ６ ２ １ ） ３０ ０ — ５
Ｎｏ ｌｎ ａ ｉｙ ｍ ｅ ｒ ｃ Ｄｅ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ ｏ ｎ Ｅｌ ｓ ｉ ｅ ｂｒ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ Ａｘ ｓ ｍ ｔ ｉ ｆ ｒ ｔｏ ｆ ａ ａ ｔｃ Ｍ ｍ ａ ｅ
外 加载荷 ， 外 加载 荷 的作 用 下 ， 在 薄膜 经历 面外 大变
形 后形 成轴 对 称的 形 状 ． 们假 定 薄 膜 的 弹性 行 为 我
符 合 Ｎｅ — ｏ ｅ ｎ材料定 律． ｏＨｏ ｋ ａ 通过状 态 平衡 和 热力 学 相结 合 的 方 法 推 导 得 到 了薄 膜 大 变 形 的 控 制 方 程 ， 到 了一套 描述 薄 膜面外 大变形 的 常微分 方程 ， 得
薄膜 的环 向拉 伸变形 定义为 薄膜 在变 形状态 下 Ｒ点 所 在 圆的周长 ２ ｒＲ）与未 发生 变 形 时 该点 所在 圆 １（ ｒ 的周长 ２ Ｒ之 间的 比值 ， 即
２一 ， （） ２
薄膜 的外周连 接在 刚性 的 圆环上 ， 薄 膜上 的任 意 令
一
在假设 弹性 薄 膜 在 变 形 前 后 体 积 保 持 不 变 的前 提
ｒＢ
（ ６ ）
． 方程 将
性 圆盘上 ， 在轴 对称 的情 况 下 ， 产生 横 向位移 ， 不 只
产 生一个竖 向 的位移 ． 与此 同时 ， 薄膜 发生 面外 大 变形 而形成轴 对称 的形状 ．
同时， 薄膜也是 一个热力 学 系统 ， 假设 薄膜处 于恒温
状态。 自由能密 度 可 以表 示 成 ２个 拉 伸变形 量 令 和 ： 的函数 Ｗ （。 ： ， ， ） 因此在 变形 状态 下整个 薄膜
第 ２ ２卷
第 ３期
甘 肃 科 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｓ ｉ ｃｓ ｏ ｒ ａ ｏ ｓ ｃｅ ｅ Ｇａ ｎ
Ｖ０ ． ２ ＮＯ ３ １２ ．
Ｓ ｐ ２ １ ｅ ． ０ ０
２１ ０ ０年 ９月
弹 性 薄 膜 的非 线性 轴对 称 变 形
何天虎 ， 程 ， 陈 崔磊 磊 ， 晖 敏 李
ｓ ｉｓｏ ｔ ｉ ｅ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｄ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｆｅ ｄ ｉ ｈ ｅ ｒ ｎ ｓｖ ｒ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ． ｉ ｎ ｉａ ｅ ｈ ｔ ｕ ｔ ｂ ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｅ ｏ ｍ ｔｏ ｉｌ ｎ ｔ ｅ ｍ ｍｂ ａ ｅ ｉ ｅ ｙ ｉ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ Ｔｈ ｓ ｉ ｄ ｃ ｔ ｓ ｔ ａ ｎ
ｓ ｏ ｉｇ ｍ ｅ ｈ ｄ ｈｏ ｔｎ ｔ ｏ
Ｇｒｅ ｅ ｎ及 Ａｄ ｉｓ等 一些 学 者 在 非 线 性 弹 性 理 ｋｎ 论 上 的一 些 非 常 具 有 代 表 性 的 著作 ［ ］ 构 成 了 分 １ ， 析大 变形 薄膜 的理 论基 础． 着 ， 接 学者 们在 薄膜 的大
（ 州 理 工 大学 理 学 院 ， 肃 兰 州 ７ ０ ５ ） 兰 甘 ３ ０ ０
摘
要 ： 基 于非线性 弹性 大 变形 理论 ， 究 了一 圆环状弹性 薄膜 的轴 对称 面外 大 变形． 未发 生变形 研 在
的参考 构形下 ， 直 圆环状 薄膜 的 内边界连接 一个 圆盘 ， 薄膜 的 外边界 固定在 刚性 的圆环上． 圆盘 平 将 当 上作 用一个竖直 向下的外加 载荷 时 ， 薄膜 经历 面外 大 变形后 形成 轴对 称 的形状． 结合状 态平衡 和 热 力 学 ， 导得到 了描 述薄膜 经历面外 大 变形 的控 制方 程 ， 推 控制 方程 的求解 采 用 了打靶 法． 计算 结果表 明， 薄膜 的变形场是 非常不均 匀的 ， 这意味 着薄膜在 工作 时材 料的利 用率较低 ， 成 了材料 的浪 费． 造 关键 词 ： 弹性薄 膜 ； 轴对称 变形 ； ｏＨｏ ｋ ａ Ｎｅ－ ｏ ｅｎ模 型 ； 常微 分 方程 ； 打靶 法
下 ， 以得到薄膜 在厚 度 方 向上拉 伸 变 形 与 薄膜 径 可 向和环 向拉 伸变形 的关 系 ， 即
３— １ （ １ ） ／ ２ ． （） ３
ห้องสมุดไป่ตู้
点 到薄膜 中心的距离 为 Ｒ 图 １ ｂ 是 薄 膜变 形 之 ． （）
后 的示 意图 ， 当外 力 Ｆ作 用 在 圆 盘上 时 ， 圆盘 就 会
ｉ ｏ ａ ｔａ ｓ ｍ ｍｅ ｒｃ ｓ ｐ ｕｎ ｒ ｏ ｎｇ ａ ｌｒ ｅ ｏｕ — — ｌ ｎｅ ｄｅ ｏｒ ｔｏ Ｔｈｅ ｇ ｖｅ ｎｉ ｇ ｅ ａ ｉ ｓ ｃ ａ ａ — ｎｔ ｒ ｘｉｙ ｔ ｉ ｈａ ｅ， ｄｅ ｇ ｉ ａ ｇ ｔｏｆｐ ａ ｆ ｍａ ｉ ｎ． ｏ ｒ ｎ ｑｕ ｔｏｎ ｈ ｒ ｃ ｔ ｒｚｎｇ ｔ ａ ｇ ｕｔｏ ｌ ｎｅ ｄ ｆ ｍａ ｉ ｆｔ ｅ ｅａ ｔｃｍｅ ｅ ｉｉ ｈｅ ｌ ｒ ｅ ｏ ・ ｆｐ ａ ｅ ｏｒ ｔｏｎ ｏ ｈ ｌｓ ｉ ｍｂｒ ｎ ｒ ｅ ｉ ｅ ｏｍｂ ｎｉ ｇ ｓ ａ ｅ ｅ ｉｉ ｉ － ａ ｅ ａ ｅ ｄ ｒｖ ｄ ｂｙ ｃ ｉ ｎ ｔ ｔ ｑｕ ｌｂｒ・ － ｕ ａ ｈｅ ｍ ｏ ｎ ｍ ｉｓ Ｔｈｅｄｅ ｉ ｅ ｏｖ ｒ ｉ ｑ ａ ｉ ｎｓａ ｅ ｓ ｌ ｅ ｉ ｇ ｔ ｅ ｓ ｏ ｉ ｇ ｍｅ ｈｏｄ Ｔｈ ｅ ｍ ｎｄ ｔ ｒ ｄｙ ａ ｃ ． ｒｖ ｄ ｇ ｅ ｎ ｎｇ ｅ ｕ ｔｏ ｒ ｏ ｖ ｄ ｂｙ ｕｓｎ ｈ ｈｏ ｔｎ ｔ ． ｅｒ —
６
甘 肃 科 学 学 报
２１ ００年 第 ３ 期
１ 平 衡 状 态
弹性 薄膜 的横截面 如 图 １ 示． １ ａ 所 描述 所 图 （）
的是薄膜 未变 形 的 状 态 ， 膜 的厚 度 为 Ｈ ， 径 为 薄 半 Ｂ． 距离 薄 膜 中心 ０为 Ａ 的点 连 接 有一 圆盘 ， 且 并
并 采 用 打 靶 法 对 控 制 方 程 进 行 了 求 解 ． 靶 法 是 一 打
变形 方 面 作 了许 多 卓有 成 效 的研 究 工 作［ ． 献 ３ 文 ］ Ｅ Ｏ １ ］ 讨 了 圆环 状 薄膜 的横 向变形 的 响应 问题． ｌ ，１ 探
我 们 研 究 的 是 一 圆 环 状 薄 膜 在 受 集 中 力 作 用 时 的 面 外 大 变 形 问 题 ． 始 时 ， 平 直 的 圆 环 状 薄 膜 的 内 边 初 将 界 连 接 上 一 个 圆 盘 ， 薄 膜 的 外 边 界 固 定 在 刚 性 的 将
达 式
一 ＝ ， ㈣
其 中 ｓ是 径向 的名义 应力 ， 是 环 向 的名义应力 ． Ｓ 。 当 材料 的 自由能函数 （ ，ｚ ）给定 后 ， 由式 （ ） 可 ５就
（） 形后 的现时 构形 ｂ变
以得 到 薄 膜 在 外 加 荷 载 作 用 下 的 本 构 方 程 ．
ＨＥ ａ － Ｔｉ ｎ ｈｕ， ＣＨＥＮ Ｃｈｅ ｇ， ｎ ＣＵＩ Ｌｅ—ｅ ， ｕ — ｎ ｉｌ ｉ ＬＩ Ｈ ｉｍｉ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｃｅ ｃｓ Ｌａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇｙ， ｎ ｈ ｕ ７ ０ ５ ， ｈ ｎ ） Ｓ ｈ ｏ Ｓ ｉｎ ｅ ， ｎ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ Ｓ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔｅｈ ｏｏ ｏ Ｌａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃ ｉａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ： Ｔｈ ｘ ｓ ｍｍ ｅ ｒｃ ｌ ｒ ｅｄ ｆ ｒ ｔ ｎ ｏ ｎ ａ ｎ ｌ ｒｅ ａ ｔｃｍ ｅ ｂ ａ ｅｉ ｎ ｅ ｔ ａ ｅ ｎ ｔ ｅｆ ａ ｅａ ｉｙ ｔｉ ａ ｇ ｅ ｏ ｍａ ｉ ｆａ ｎ ｕ ａ ｌ ｓ ｉ ｍ ｒ ｎ ｓｉ ｖ ｓ ｉ ｔ ｄ ｉ ｈ ｒ ｍｅ ｏ ｇ ｏ ｏ ｌ ｅ ｒｅ ａ ｔｃ ｄ ｆ ｒ ｔｏ ｈ ｒ ｙ Ｔｈ ｅ ｂ ａ ｅ ｉ ｉ ｉ ａ ｌ ｌ ｔ ａ ｄ ａ ｔ ｃ ｅ ｏ ａ ｄ ｓ ｎ ｔ ｅ ｉ ｎ ｒ ｆｎ ｎ ｉ ａ ｌ ｓ ｉ ｅ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｔ ｅ ｏ ． ｅ ｍ ｍ ｒ ｎ ｓ ｎ ｔ ｌ ｆ ｎ ｔａ ｈ ｄ ｔ ｉ ｋ ｉ ｈ ｎ ｅ ｎ ｉ ｙ ａ ｃｒ ｌ ｎ ｏ ａ ｒｇ ｄ ｒｎ ｎ ｔ ｅ ｏ ｔ ｒｃｒ ｌ． ｅ ｉ ｈ ｐ ｌ ｄ ｔ ｈ ｉｋ ａ ｄ ｔ ｅ ｍｅ ｒ ｎ ｅ ｏ ｍ ｓ ｉｃｅ ａ ｄ ｔ ｉ ｉ ｉ ｇ ｉ ｈ ｕ ｅ ｉｃ ｅ Ｔｈ ｎ ａ ｗｅｇ ｔ ｓ ａ ｐ ｉ ｏ ｔ ｅ ｄ ｓ ｎ ｈ ｍｂ ａ ｅ ｄ ｆ ｒ ｉ ｅ
ｔ ｍ ｂ ａ ｏｅ ｆｔ ｆ ｃ ｉ ｎ ｅ ｆｃｅ ｔｙ， ｉ ｈ ｌａ ｏ ａ ｍ ａ ｅ ｉ ｌｗａ ｔ ． ｈｅ ｍｅ ｒ ｎｅ ｄ ｓ ｕｎ ｔｏ ｆｉｉ ｎ ｌ ｗｈ ｃ ｅ ｄｓｔ ｔ ｒａ ｓ ｅ Ｋｅ ｒ ｓ： ｅ ａ ｔｃ ｍｅ ｂ ａ ｙ ｗｏ ｄ ｌ ｓ ｉ ｍ ｒ ｎｅ；ａ ｉ ｙ ｘ ｓ ｍｍ ｅ ｒｃ ｓ ｐ Ｎｅ — ｔ ｉ ｈａ ｅ； ｏ Ｈｏｏ ａ ｏ ｅ ； ｒ ｉ ａ ｙ ｄ ｆｅ ｅ ｉ ｕ ｔｏｎ； ｋｅ ｎ ｍ ｄ ｌ ｏ ｄ ｎ ｒ ｉｆ ｒ ｎｔａｌｅｑ ａ ｉ
种 将 常微 分方程 边 值 问题转 化为初值 问题 进行 求解
的行之有 效 的方法 ， 如文 献［ ２ １ ３ １ ，３ 利用 打靶法 对边
界 值 问题 的控制 方 程进行 了数 值求解 ．
圆环 上． 后 ， 中间 的圆盘 上作 用一个 竖直 向下 的 然 在
收稿 日期 ： ０ ９１ ～ ３ ２ ０ — ２ ２ 基金 项 目 ： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ ０ ０ ０ １ １８ ２ ８ ） １ ６ ２ ２ ，０ ７０ ３ ；中国 博 士 后 特 别 资 助项 目（０ ９ ２ １ ） ２ ０ ０３ ０
图 １ 弹性 薄 膜 的 横 截 面
结 合状态平 衡和热 力学 来推导 控 制平衡状 态 的
场方程 ． 当刚性 圆盘 的竖 向位 移有 一 个 变分 龇 ， 则
利 用类 似 Ａｄ ｉｓ Ｒｉｌ 的处理 方法［ 首先 ｋｎ 和 ｖｉ ｎ １ ，
考查 系 统 变 形 后 的 平 衡 状 态．在 变 形 状 态 下 （ 图 １ ｂ ） 薄膜上 任意一 点 Ｒ在变 形后 的位置可 以通过 （）， 坐标 ｒＲ）和 （ （ Ｒ）完 全 确 定 下 来 ， 且 ｒＲ）和 并 （ ２ Ｒ） 足 以下 的边界 条件 ： （ 满 薄膜 的内边界 固定在 刚