高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理课件新人教B版必修4
1
2
【做一做 1-2】 在四边形 ABCD 中,设������������=a,������������=b,用基底 a,b 表示������������=
答案:a-b
.
1
2
2.直线的向量参数方程式 已知 A,B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,则对于直线 l 上任 一点 P,存在实数 t,使������������关于基底{������������, ������������}的分解式为������������= (1-t)������������+t������������,这个等式叫做直线 l 的向量参数方程式,其中实数 t 叫 做参变数,简称参数.
1 2 1 2
1
2
【做一做 2】 已知 M 为线段 AB 的中点,O 为平面上任一 点,������������=x������������+y������������,则 x= ,y= .
1 x=y= . 2
解析: 由线段 AB 的中点的向量表达式,知 答案:
1 2 1 2
学习平面向量基本定理要注意的问题 剖析(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量; (2)该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示,且这种表示是唯 一的; (3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都 可以作为一组基底; (4)教材中定理的证明,是用作图法证明了存在性,又用反证法证 明了唯一性. 名师点拨1.解题时,若基底没有给出,我们要选取合理的基底. 2.任一平面直线型图形,根据平面向量基本定理,都可以表示成某 些向量的线性组合,这样要解答几何问题,就可以先把已知和结论 表示为向量的形式,再通过向量的运算,达到解题的目的.
2.2
向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1
ห้องสมุดไป่ตู้
平面向量基本定理
1.了解基底的含义,理解平面向量基本定理及其意义,会利用平面 向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示. 2.理解直线的向量参数方程式,掌握线段中点的向量表达式.
1
2
1.平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任 一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.我们把不共线向 量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为 {e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式. 【做一做1-1】 下列关于向量基底的说法正确的是( ) ①平面内的任意两个向量都可作为一组基底; ②基底中的向量可以是零向量; ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解 形式也是唯一确定的. A.① B.② C.③ D.②③ 答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
对平面向量基本定理的理解
【例1】 如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列各命题 中是假命题的有( ) ①λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无数多对; ③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2); ④若存在实数λ,μ使λe1+λe2=0,则λ=μ=0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 分析根据平面向量基本定理及基底的意义进行判断分析.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 给出下列说法: ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底;②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平 面内所有向量的基底;③基底中的向量不能为零向量. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:说法①错误,②和③正确. 答案:C
2 2 (2������-������), 3 2 (2������-������), 3 2
������ + ������ = ������, = ������,
题型一
题型二
题型三
题型四
解: 设������������=a,������������=b,则由 M,N 分别为 DC,BC 的中点,得������������ =
1 b,������������ 2
= a.
1 2 1 ������ + 2 ������
1 2
在△ABN 和△ADM 中, ������ = ������ =
名师点拨 1.当 t= 时,������������ = (������������ + ������������),此时的点 P 为线段 AB 的中点,于是得到了线段中点的向量表达式. 2.由直线的向量参数方程式可知,对于等式������������=(1-t)������������+t������������ ,不 管参数 t 取何值,点 P 都在直线 l 上;亦即 P,A,B 三点共线,就必须满足 ������������与������������的系数之和为 1,这可以作为判断三点是否共线的依据.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
用基底表示向量
【例 2】 如图,在▱ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 ������������=c,������������=d,试用 c,d 表示������������.
分析 本题要求用 c,d 表示������������,所以可以将 c,d 看作基底,把������������和 ������������表示出来,再由������������ = ������������ + ������������得到������������.
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:由平面向量基本定理可知:命题①④为真命题,而命题②是 假命题.对于λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2),当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,对任意实 数λ,均有λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).因此,命题③也是假命题.故选B. 答案:B 反思平面向量基本定理包含了存在性和唯一性两个方面,只要是 平面内两个不共线的向量,就可以作为一组基底,用这一组基底就 可以表示平面内的任一向量,并且表示方法是唯一的.
高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),
即(-12,8)=(m+2n,3m+4n),
可得
������ + 2������ = -12, 解得 3������ + 4������ = 8,
������ = 32, ������ = -22.
∴������������ + ������������ + ������������=32������������-22������������.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
本例中,试以������������, ������������为一组基底表示������������ + ������������ + ������������.
解:������������=(1,3),������������=(2,4),������������=(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1),
������2
=
-
3 2
,
解得
������1 = -3,
1 2
������2
=
-
3√3 2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图所示,分别用基底i与j表示向量a,b,c,d,并求出它们 的坐标.
解:由题图可知, a=������������1 + ������������2=2i+3j, 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3);
c=-2i-3j=(-2,-3);
∴������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,知一定存在实数 m,n,使得
高一数学人教B版必修4课件：2-2-1 向量的分解与向量的坐标运算
[解析]
设 c＝xa＋yb.
则 c ＝ x(3e1 － 2e2) ＋ y( － 2e1 ＋ e2) ＝ (3x － 2y)e1 ＋ ( － 2x ＋ y)e2＝7e1－4e2.
3x－2y＝7 ∵e1、e2 不共线，∴ －2x＋y＝－4 x＝1 解；该平面内的任意 一个向量a都可用e1、e2线性表示，并且这 种表示方式是惟一的；对基底的选取不惟 一，只要是同一平面内的两个不共线向量 都可以作为一组基底；定理的证明，课本 中是用作图法证明了它的存在性，又用反 证法证明了它的惟一性．平面向量基本定 理为我们用坐标表示平面向量提供了理论 依据．
•(
• [解析] 平面α内任一向量都可写成e1与e2的
线性组合形式，而不是空间内任一向量， 故B不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向 量a，实数λ1、λ2是惟一的．
• 4．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，
则
•( • • • •
• 3 ．如果 e1 、 e2 是平面 α 内所有向量的一组
基底，那么
•
•
• •
) A ．若实数 λ1 、 λ2 ，使 λ1e1 ＋ λ2e2 ＝ 0 ，则 λ1 ＝λ2＝0 B ．空间任一向量 a 可以表示为 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2，这里λ1、λ2是实数 C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面 α内 D ．对平面 α中的任一向量 a ，使 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2的实数λ1、λ2的实数λ1、λ2有无数对
• 2．直线方程的向量参数式 • 与 P 、 A 、 B 三点共线的条件是完全一致
的．其中线段中点的向量表达式，在用向 量解决平面几何总是时会经常用到，要熟 练掌握． • 3．要正确理解基底的概念 • 向量的基底是指平面内不共线的向量，事 实上，若 {e1 ， e2} 是基底，则必有 e1≠0 ， e2≠0 ， 且 e1 与 e2 不 共 线 ． 如 {0 ， e2} ， {e1,2e1} ， {e1 ＋ e2,2e1 ＋ 2e2} 等均不能构成 基底．
课件2：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
那么 e1 = (1 , 0) e2= (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
B
a
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O
x
e1
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点的坐标减去始点的坐标．
三、平面向量的坐标运算
1.已知a (a1, a2 ) ，b (b1,b2 ) ，求a + b，a - b．
解：a+b= (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 )
y
C
(a1 b1)e1 (a2 b2 )e2
a
即
a + b (a1 b1, a2 b2 )
e2
b
同理
a - b (a1 b1, a2 b2 )
即 a = a1 e1 + a2 e2
2.平面向量的坐标表示
向量坐标与表示向量的 有向线段的起点、终点 的坐标之间的关系
3.平面向量的坐 标运算
向量加法与减法 实数与向量的积
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二 、平面向量的坐标表示
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向
量 e1 、e2 作为基底,则任一向量 a ，
用这组基底可表示为
有且只有一对实数 a1 , a2 ，使
y
A(
a1
,a
)
2
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示：a =( a1, a2)
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案 新人教B版必修4
2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料 一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。
课件6：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
例 3.已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，求点 C、 D 和C→D的坐标．
解:设 C、D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由题意可得 A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)， ∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)，
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学习目标 1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加减法及数乘运算.
知识梳理 1.向量的正交分解 (1)两个向量互相垂直： 如果两个向量的 基线 互相垂直，那么称这两个向量互相垂直． (2)正交基底： 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，那么称这个基底为正 交基底． (3)正交分解： 在 正交基底 下分解向量，叫做正交分解．
y 轴 上的坐标分量．
3．向量的直角坐标运算
(1)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) . (2)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a－b＝ (a1－b1，a2－b2) .
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
课堂小结 1.在平面直角坐标系中，以 O 为起点的向量O→A＝a，点 A 的位 置被 a 唯一确定，此时 A 点的坐标与向量O→A的坐标相同． 2．向量用坐标表示，为表示向量 a 提供了另一种方法，使向量 a 与实数对(x，y)建立了一一对应关系．
3．点的坐标与向量的坐标的区别： 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点 在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等． 4．对符号(x，y)的认识：符号(x，y)在平面直角坐标系中具有双 重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量．为加以区分， 常说点 P(x，y)或者向量 a＝(x，y)，注意前者没有等号，后者有 等号.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算不同．1．向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2，则对任一向量a ，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y )，或向量(x ，y )．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即b ＝(0，y )；与y 轴平行的向量的横坐标为0. 【自主测试1】已知{e 1，e 2}为正交基底，且e 1，e 2为单位向量，a 在此基底下的坐标为(2 011，－2 012)，且a ＝x e 1＋y e 2，则x ＝__________，y ＝__________.答案：2 011 －2 012 2．向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R ，则λa ＝(λa 1，λa 2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB →＝(3,3)，CD →＝(3,3)，显然AB →＝CD →，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1) D ．(－3，－3) 答案：D【自主测试2－2】已知向量ON u u u r＝(9，－7)(O 为原点)，则点N 的坐标为( )A ．(9，－7)B ．(9,7)C ．(－9,7)D ．(－9，－7) 答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一 求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为线段AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．分析：表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标 解：如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E 为线段AB 的中点，G 为三角形ABC的重心”，求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标．解：CE →＝(0，－3)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36.题型二 平面向量的坐标运算【例题2】已知a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，其中M (－1,3)，N (1,3)，求x 的值．分析：先用坐标表示出向量MN →，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x 的关系式．解：∵M (－1,3)，N (1,3)，∴MN →＝(2,0)．又∵a ＝MN →，∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.故x 的值为－1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例题3】已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB u u u r ，AC u u ur 为一组基底来表示AD u u u r ＋BD u u ur ＋CD uuu r .分析：首先由点A ，B ，C 的坐标求得向量AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BD u u ur ，CD uuu r 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式AD u u u r ＋BD u u u r ＋CD uuu r ＝mAB →＋nAC →，再列出关于m ，n 的方程组，进而解方程求出m ，n 的值．解：AB u u u r ＝(1,3)，AC u u u r ＝(2,4)，AD u u u r＝(－3,5)，BD u u u r ＝(－4,2)，CD uuu r ＝(－5,1)，∴AD u u u r ＋BD u u ur ＋CD uuu r ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD u u u r ＋BD u u u r ＋CD uuu r ＝mAB →＋nAC →，即(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，也就是(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22.∴AD u u u r ＋BD u u u r ＋CD uuu r ＝32AB →－22AC →.反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．题型三 用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF .分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA u u u r 和EF u u u r的坐标，证明其模相等即可．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0，a )．设|D P →|＝λ(λ＞0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，∴EF u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ.∵|EF u u u r |2＝λ2－2aλ＋a 2，|PA u u u r |2＝λ2－2aλ＋a 2，∴|EF u u u r|＝|PA u u u r |，即PA ＝EF .反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．题型四 易错辨析【例题5】已知A (3,5)，B (－2，－3)，将线段AB 向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A ′B ′，则向量A ′B ′→的坐标为__________．错解：∵A (3,5)，B (－2，－3)， ∴AB u u u r ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得A ′B ′→＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．正解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB u u u r＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵A ′B ′→＝AB u u u r ，∴A ′B ′→＝(－5，－8)．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为( ) A ．(0,0)，(－2,4) B ．(0,0)，(2，－4) C ．(－2,4)，(2，－4) D ．(1，－1)，(－3,3) 答案：A2．已知AB u u u r＝(x ，y )，点B 的坐标为(－2,1)，则OA u u u r 的坐标为( )A ．(x －2，y ＋1)B ．(x ＋2，y －1)C ．(－2－x,1－y )D ．(x ＋2，y ＋1)解析：∵AB u u u r ＝OB uuur －OA u u u r ， ∴OA u u u r ＝OB uuu r －AB u u u r＝(－2－x ，1－y )．答案：C3．已知a ＝(－7,24)，|λa |＝50，则λ等于__________．解析：∵|λa |＝|λ||a |＝－72＋242|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.答案：±24．已知A (3，－1)，则OA u u u r所在的直线与x 轴所夹的锐角为__________．解析：易知点A 在第四象限，如图，作AH ⊥x 轴于点H ，则在Rt △AHO 中，AH ＝1，HO＝3，则tan ∠HOA ＝33，故∠HOA ＝30°.答案：30°5．若作用在坐标原点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则作用在原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标为__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b 表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度； (3)向量c 表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．解：如题图所示，设OP →＝a ，OQ →＝b ，OR →＝c ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为e 1，e 2.(1)因为∠POP ′＝45°，|OP →|＝2，所以a ＝OP →＝OP ′→＋P ′P →＝2e 1＋2e 2. 所以a ＝(2，2)．(2)因为∠QOQ ′＝60°，|OQ →|＝4，所以b ＝OQ →＝OQ ′→＋Q ′Q →＝－2e 1＋23e 2. 所以b ＝(－2,23)．(3)因为∠ROR ′＝30°，|OR →|＝6，所以c ＝OR →＝OR ′→＋R ′R →＝33e 1－3e 2. 所以c ＝(33，－3)．。
2019-2020学年高中数学人教B版必修4教学案：第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 Word版含答案
2．2.1 平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？[新知初探]1．平面向量基本定理 (1)定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t (1－t )；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等(1－t )叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．当t ＝12时，＝12，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向量表达式．[点睛] 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案：B3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 4e 16e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(＝12((答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，a b ，试用基底a ，b 表示AB ，BC .[解] 法一：由题意知，AO ＝OC ＝12AC ＝12a ，BO ＝OD ＝12BD ＝12b .所以AB ＝AO ＋OB ＝AO －BO ＝12a －12b ，BC ＝BO ＋OC ＝12a ＋12b ，法二：设AB ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝BC ＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB ＋BC ＝AC ， AD －AB ＝BD ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA ＝a ，BC ＝b .试以a ，b 为基底表示EF ，DF ，CD .解：∵AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，∴AD ＝13BC ＝13b .∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝12AD ＝16b .∵BF ＝12BC ，∴BF ＝12b ，∴EF ＝BA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－(DF ＋FC )＝－(DF ＋BF )＝－⎝⎛⎭⎫16b －a ＋12b ＝a －23b .直线的向量参数方程式的应用[典例] 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外的一点)，则点C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R ，结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二：将已知向量等式两边同时减去OA ，得OC －OA ＝(3λ－1) OA ＋(1－3λ) OB＝(1－3λ)( OB －OA ) ＝(1－3λ) AB ，即AC ＝(1－3λ) AB ，λ∈R ，∴A ，B ，C 三点共线，即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ，B ，C 三点共线，则有OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1；(2)若OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1，则有A ，B ，C 三点共线． [活学活用]在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：法一：∵AD ＝2DB ， ∴AD ＝23AB ＝23(CB －CA )．∵在△ACD 中，CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23.法二：A ，B ，D 三点共线， 又∵C 在直线AB 外，则13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23[典例] NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] e 1e 2，3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN 2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ＝－λe 1－3λe 2，2μe 1＋μe 2.(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3， 解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.[一题多变]1．[变设问]a b ，试用a ，b解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2CP ＝CN ＋NP ＝CN ＋25NB ＝b ＋25(―CB －CN )＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解：如图，设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－2e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－2λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2， 解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AP ＝23AM ，BP ＝23BN ，∴AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC (t －t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD3．若AD 是△ABC 的中线，a b ，则以a ，b ( )A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C.12(b －a ) D.12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从＝12(＝12(a ＋b )．4．在矩形ABCD 中，O e 1e 2( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD e 1e 2，＝12＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC ( )ABCD解析：选A＝－136．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD a b c ，则在以a ，b 为基底______，在以a ，c ______．解析：以a ，c B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABCa b ，试用a ，b＝13a －23b ，＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABCa b .b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．＝12b －a .＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a＝23⎝⎛⎭⎫12b －a∴G 在BE即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC a b 用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b )解析：选C＋23(＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AMλ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，＝12x ＋12y ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4(λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A λ，(1＋λ)又∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：EBλ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O x ，y 的值． 解：(1)可知M ，B ，C 三点共线，BM ＝AB ＋λλ＝(1－λ)λ＝14，所以S △ABM S△ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a ，b 的坐标求a ＋b ，a －b ，λa 的坐标？[新知初探]1．两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1，e 2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．(2)坐标分量：在坐标平面xOy 内，任作一向量a (用有向线段)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a＝(a 1，a 2)，其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示xe 1＋ye 2＝(x ，y )(x ，y )⇔点A 的坐标(x ，y )． 4．向量的直角坐标运算(1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝(_λa 1，λa 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；线段AB 中点公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) 答案：C3(1,2)(3,4)( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)______.答案：(－1，－4)平面向量的坐标表示[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知O 是坐标原点，点A |OA |43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2) BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC－2AB＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．[答案](11,13)(－7，－14)(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝12MN，则P点坐标为______．解析：法一：设P(x，y)，MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)，＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：P 为MN 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32t AB ，t 为何值时，点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] (1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， 所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )， 则⎩⎨⎧1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA ＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－18，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，3 C.⎝⎛⎭⎫18，1D.⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C ＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )(10－x ，－2－y )(－2－x,7－y )，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m－n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，(2,3)(－3,3)．(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A ＝6，∠xOA ＝150°________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝6cos 150°＝－33，y ＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10， 即A 点坐标为(8，－10)．10(4,3)(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )(λ∈R)，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1， 所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1.(2)(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，(λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.层级二 应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D＝12＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“”为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f 等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.(λ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，(3－7,5－8)＝(－4，－3)，(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，＝12(＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)0(2)(m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，0，(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(2,3)－(1,1)＝(1,2)，(3,2)－(1,1)＝(2,1)，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1， 所以m －n ＝1.2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103～104，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]两向量平行的条件[点睛] 两向量的对应坐标成比例．这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，若a ∥b ，则必有a 1b 2＝a 2b 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12B.13C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)(0,4)－(2,1)＝(－2,3)(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反． 综上，AB 与CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式a 1b 2－a 2b 1＝0直接求解． [活学活用]已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)，∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看AB与BC，或AB与AC，或AC与BC 是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用AC＝λBC，或AB＝λBC，或AB＝λAC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：AB＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，CD＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由AB与CD共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又AB与CD方向相同，所以x＝2.此时，AB＝(2,1)，BC＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB与BC不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|1|DC|＝1|AB| 2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)．(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，DE ∥BC . 题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：(4,3)－(1,0)＝(3,3)，(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0(－1,2)(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0 ∴四边形ABCD 是梯形．(－2,1)(－1,2)，∴＝5BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：t (4,4) ＝(4t,4t )，(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ，y )，(x ，y )(4,4)．∴4x －4y ＝0.①(x －2，y －6)(2，－6)，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a λ的值为( ) A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B (3,1)，∵a 2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D (1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.(x ＋1，－6)(4，－1)，(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23. 答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1), (x 2，y 2)，(2,2)(－2,3)(4，－1)．(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0⎝⎛⎭⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝010．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值． 解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)， 所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a ＝(2,1)， 且a 与m 平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5， 解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，(－8,8)(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c ∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5(6,1)(x，y)(－2，－3)x＋2y的值为________．解析：(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06(3，－4)(6，－3)(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C(3,1)，(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )(x －1，y )，(5,4)(－3,6)(4,0)．由B ，P ，D (5λ，4λ)．(5λ－4,4λ)，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，⎝⎛⎭⎫207，167，27 7，16 7.∴P的坐标为⎝⎛⎭⎫。
人教B版高中数学必修四高一作业设计：2.2.1平面向量基本定理.docx
§2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．2．1 平面向量基本定理课时目标 1．理解并掌握平面向量基本定理．2．掌握向量之间的夹角与垂直．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________的向量，那么对于这一平面内的________向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝________________．(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．直线的向量参数方程已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为______________．上式叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM ＝__________．一、选择题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③3．已知向量e 1、e 2不共线，且(3x －4y )e 1＋3e 2＝6e 1＋(2x －3y )e 2，则xy的值是( )A ．3B ．－3C ．0D ．24．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋bD ．11＋λa ＋λ1＋λb5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF并延长交AB 于E ，则AEEB等于( )A ．112B ．13C ．15D ．110二、填空题7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，则p ＝________． 8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1．其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)9．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ．若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________．10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________．三、解答题11．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →．12．如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ．(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．能力提升13．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________；当x ＝－12时，y 的取值范围是____________．14．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1．1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．§2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．2．1 平面向量基本定理答案知识梳理1．(1)不平行 任一 a 1e 1＋a 2e 22．OP →＝(1－t )OA →＋tOB → 12(OA →＋OB →)作业设计 1．D 2．B3．D [(3x －4y －6)e 1＋(3－2x ＋3y )e 2＝0， ∵e 1与e 2不共线 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y －6＝02x －3y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3．∴x y ＝2．选D ．]4．D [∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb ．]5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B ．]6．D [设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ．∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF → ＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b ． CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC →＝λ1＋λa －b ． ∵CF →∥CE →，∴λ1＋λ112＝11112．∴λ＝110．]7．－74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b ) ＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74y ＝138．8．①②解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 9．23b ＋13c 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c ． 10．43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43．11．解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b ．12．解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →． ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b ．(2)EC →∥DC →．又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45．13．(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，32 解析 由题意得： OP →＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ·λAB →＋b ·OB →＝aλ(OB →－OA →)＋b ·OB →＝－aλ·OA →＋(aλ＋b )·OB →(λ>0)． 由－aλ<0，得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，解得y ∈⎝⎛⎭⎫12，32．14．证明 设AB →＝b ，AC →＝c ， 则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →＝23c ，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b ．∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b ． 又∵b 与c 不共线，∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1．。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂探究探究一 向量的坐标表示求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标．【例1】 如图所示，分别用基底i 与j 表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解：由题图可知，a ＝1AA u u u r ＋2AA u u u u r＝2i ＋3j ，所以a ＝(2,3)．同理，b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)；c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)；d ＝2i －3j ＝(2，－3)．点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解． 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，a ，b 如图所示，分别求它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝4×2＝a 2＝|a |sin 45°＝4×2＝． b 向量相对于x 轴正方向的转角为120°．所以b 1＝|b |cos 120°＝3×12⎛⎫-⎪⎝⎭＝－32， b 2＝|b所以a ＝()，b＝32⎛-⎝． 评注 公式a 1＝|a |cos θ，a 2＝|a |sin θ中θ是指a 的方向相对于x 轴正方向的转角，此点不容忽视． 探究二 向量的坐标运算向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．【例3】 已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC u u u r ＝13AB u u u r ，DA u u u r ＝－13BA ，求点C ，D 和CD的坐标．解：设C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意可得AC u u u r ＝(x 1＋1，y 1－2)，ABu u u r＝(3,6)，DA u u u r ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA u u u r＝(－3，－6)，因为AC u u u r ＝13AB u u u r ，DA u u u r ＝－13BA u u u r ，所以(x 1＋1，y 1－2)＝13×(3,6)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13×(－3，－6)， 即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．所以1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22,x y --=⎧⎨-=⎩所以110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0.x y =-⎧⎨=⎩所以C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD uuu r＝(－2，－4)．方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标． 探究三 向量坐标法的应用通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．【例4】 已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA u u u r ＝a ，OB uuu r＝b ，OC u u u r＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c ．分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x 轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a ，b 表示c ．解：如图所示，以O 为原点，OA u u u r所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a|=2，所以a=(2,0)． 设b=()11,x y ，所以1x =|b|cos 150°=1×⎛ ⎝⎭y1=|b|sin 150°=1×12=12．所以b=12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．同理可得c=3,2⎛- ⎝⎭． 设c=1λ a+2λ b(1λ，2λ∈R)，所以3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=1λ (2,0)+ 2λ 3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=(21λ -22λ，122λ)． 所以 解得 所以c=-3a-3 b ． 探究四 易错辨析易错点：因忽视点的位置而漏解【例5】 如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A (4,3)，B (3，－1)，C (1，－2)，求顶点D 的坐标．错解：设顶点D (x ，y )，因为AB u u u r ＝(－1，－4)，DC u u u r ＝(1－x ，－2－y )，AB u u u r ＝DC u u ur ，所以11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)．错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解． 解：设顶点D (x ，y )．①若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，C ，D ，则AB u u u r＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， DC u u u r＝(1－x ，－2－y )． 由AB u u u r ＝DC u u u r ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(2,2)．②若平行四边形四个顶点的顺序为A ，C ，B ，D ，则AC u u u r ＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，DB u u u r＝(3－x ，－1－y )． 由AC u u u r ＝DB u u u r ，得33,51,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得6,4.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(6,4)．③若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，D ，C ，则AB u u u r＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，CD uuu r ＝(x －1，y ＋2)． 由AB u u u r ＝CD uuu r ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=+⎩解得0,6.x y =⎧⎨=-⎩故顶点D 的坐标为(0，－6)．综上，顶点D的坐标是(2,2)，(6,4)或(0，－6)．。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
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1．向量的坐标
自主思考1 点的坐标和向量的坐标有何区别？
提示：(1)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等．
(2)相等的向量的坐标是相同的，但始点和终点的坐标却不一定相同．
2．向量的直角坐标运算
自主思考2 两个向量相等，则它们的起点和终点是否一定相同？
提示：两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定
相同，如，A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB u u u r ＝(3,3)，CD uuu r ＝(3,3)，显然AB
u u u r ＝CD uuu r ，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．。