高等数学上册不定积分421全(2)精品PPT课件
合集下载
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
解法一 sin3xcosxdx sin3xdsinx 1 sin4x C 4
解法二
sin3xcosxdx sin2xcosxdcosx cos3x cosx dcosx
1 cos4x 1 cos2x C
4
2
例4.2.12 求 cos4xdx 。
解
cos4
x
1
ln 1
x'
1 ，于是有 1 x
1
1
x
dx
ln
1
x'
dx
ln
1
x
C
思考：当x 1 时，结果如何呢？
例4.1.5 求 x2 dx
1 x
x 1 。
解
x2
1 x
dx
x2 11 1 x
dx
x
1
1 1
x
dx
1 x2 x ln 1 x C 2
例4.1.6 求
1 dx 。 x
解
1 x
解
tanx
dx
sinx cosx
dx
d cosx
cosx
ln
cosx
C
类似地可得
cotxdx ln sinx C
以上这两个结果是常用的积分公式，请读者熟记。
例4.2.6 求
1
1 e
x
dx
。
解法一 利用 ex ' ex 的特点，在被积函数的分子中增、减项，即
1
1 e
x
dx
1 ex ex 1 ex dx
由于 x2 ' x2 2 ' x2 35 ' 2x ，所以 x2、x2 2、x2 35
都为2x的原函数。那么2x 的原函数有多少个呢？
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
高等数学不定积分的计算教学ppt
令u 10x
1 10
sin
udu
1 10
cos
u
C
u回代 1 cos10x C. 10
[ 1 cos10x C] sin10x 说明结果正确 10
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
e3xdx 1
3
e 3 xd(3 x )
令u 3x
1 3
eudu 1 eu C 3
u回代 1 e3x C 3
x
; 6
原式
(x
1 3)( x
2)
dx
1 5
(
x
1
3
x
1
)dx 2
1 5
[
x
1
d(x 3
3)
x
1
2
d(
x
2)]
1 (ln | x 3 | ln | x 2 |) c 1 ln | x 3 | c
5
5 x2
练习
求
dx x2 5x 4 .
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
sin xdx d(cos x);
sec x tan xdx d(sec x); csc x cot xdx d(csc x).
sec2 xdx d(tan x); csc2 xdx d(cot x);
dx d(arcsin x);
1 x2
dx 1 x2 d(arctan x);
第四章 不定积分
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
第4章-不定积分 高等数学教学课件
考察不定积分 cos 3xdx.
显然cos 3x的原函数不能由基本积分公式直接求出,
但cos3x是基本初等函数f (u) = cosu与 u=3x的复合函数.
sin 3x' 3cos3x,1 sin 3x就是cos3x的一个原函数.
3
cos 3x的原函数与cos u的原函数关系密切,前者可通过后者求得.
表达式.
定义2 若F(x)是函数f (x) 在区间I上的一个原函数,
则f (x)的原函数的一般表达式F(x)+C称为f (x)的不定积
分，记作 f (x)dx,即
f (x)dx F(x) C,
其中 称为积分号，f (x)称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式,
x称为积分变量, C称为积分常数.
(3)如果f (x)有多个原函数，那么这些原函数之 间有什么关系？
对此有如下三个定理:
定理1(原函数存在定理)
如果f (x)在某一区间连续，那么它在该区 间的原函数一定存在. 注 (1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故 初等函数在其定义域内都有原函数.
(2)一个函数的原函数不是唯一的.
定理2
证明 G 'x F 'x f x, x I, G x F x ' G '(x) F '(x) f (x) f (x) 0, x I.
由Lagrange中值定理，知
Gx F x C0, xI，
其中 C0是常数.
证毕
由定理2和3知,若F(x) 是f (x)的一个原函数,则 f (x) 的所有原函数全体就是形如F(x)+C的函数构成的集, 其中C为任意常数. 因此,F(x)+C是f (x)的原函数的一般
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
故 ( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数 ) F ( x ) C . 属于函数族 定理3：设 (x) 和 F ( x) 是 f ( x ) 的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
为什么不一样？
6
例22
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
2x3 dx 12xx2
(22x)5dx 12xx2
d(12xx2) 5 d(x1)
12xx2
2(x1)2
212xx25arcsxin1C 2
17
3. 求不定积分 2sixn2 cosxsi1 2n xsi2nxdx.
解：利用凑微分法 , 得
2 sin x cos x dx
原式 =
1 sin2 x 2 sin2 x
8
例5 求 ln 2 x dx ln2xdlnx
原令 式u lnux2d x u1u3C1ln 3xC .
一般地，有
3
3
1 xfln xd xfln xdln x.
1
例6 求 e x x2
一般地，有
dx
e1xd1e1x C. x
9
f1 xx 12d xf1 xd1 x.
例7
求
tanxdx
d(1sin2x)
令 t 1si2nx
d sin 2 x dx d cos 2 x dx
2t 2 1 t 2
d
t
2
(111t2)dt
2t 2arc t tC an
2 1 s2 i x n ar1 c st 2 i x a n C n
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
7
例4 求 x ( a 2 x b ) m dx ( a 0 ,m 1 )
解 原式 1 a2xbmda2xb 2a
令uax2b
原式 1 umdu
1 um1 C
2a
2a(m1)
1 a2xbm1C.
一般地，有
2a(m1)
x n fa n 1 x b d x1 fa n 1 x b d a n 1 x b . a ( n 1 )
f
(axb)
d(axb)
2) f(xn)xn1dx1 f (xn) d x n n
3) f(xn)1dx1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
4 )f(sinx)co sxdx f (sinx)dsinx
5 )f(co sx)sinxdx f (coxs) dcosx
11
6 )f(tx ) a sn 2 e x d x c f (tanx)dtanx 7)f(x e)exdx f (ex) d e x
dx 4 x2
1 2
d( 2x ) 1 (2x)2
(4)
x2 4 x2
dx
144x2dx
(5)
4
dx x2
1 4
1 1 dx
2x 2x
(6)
dx
4xx2
d(x2) 4(x 2)2
16
2. 求下列积分:
1) x2 1 dx1 1 d(x31) x31 3 x31
2 x31C 3
2)
解 (2x1)8dx 12(2x1)8d(2x1)
令u2x1
原式 1u 8 d u 1u 9 C 1(2 x 1 )9 C .
2
18 18
5
例3 求sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx 2six n(dsix)n six n 2C;
f[(x)d](x)u(x)[ f(u)d]u u(x)
由此可得换元法定理
2
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式
说明 使用此公式的关键在于将
凑
u (x )
g( x)dx
f[(x )] (x )d x f(u )du
解
x1x
1 1x2,
(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1) x
x1
e x
C.
13
例12. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
u (x )
难
(也称配元法 , 凑微分法)
易
3
16
例1
求
3
1 dx. 2x
解
一般地
4
3
1 dx 2x
1 2312x(32x)dx
1 2312xd(32x)
1 2
1du u
1lnuC 2
1ln3(2x)C. 2
f(axb)dxa1f(axb)d(axb)
1[
a
f(u)du]uaxb
例2 求 (2x1)8dx
sinx dx cosx
co1xsdcoxs
lncoxsC.
所以 taxn d x ln co x sC .
类似地 co xtd lxn six n C .
一般地，有
fsixn coxsdx fsixn dsixn ,
fcoxssixndx fcoxsdcox.s
10
常用的几种配元形式:
1
1)f(axb)dxa
§2. 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
1
一、第一类换元法
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)（可微）
dF[(x) ]F (u )(x)d x f[(x )] (x )d x
f [( x )( ] x ) d F x [( x ) C ]
x2a2
a2 C
x2 a2
14
作业
P207 2 (4) , (5) , (9) , (10),(11) ,(14), (16) , (19) ,
(21) ,
15
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
d(44xx)
(3)
x 4x2
dx
1 2
d(4 x2) 4 x2
(2)
8)
f(lnx)1dx x
f (lnx) dln x
例8
求
dx . x(12lnx)
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12d1(1 22llnxnx)
1ln12lnxC 2
12
例9. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 xC
例10 求 3(1x12)ex1xdx.ห้องสมุดไป่ตู้
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
为什么不一样？
6
例22
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
2x3 dx 12xx2
(22x)5dx 12xx2
d(12xx2) 5 d(x1)
12xx2
2(x1)2
212xx25arcsxin1C 2
17
3. 求不定积分 2sixn2 cosxsi1 2n xsi2nxdx.
解：利用凑微分法 , 得
2 sin x cos x dx
原式 =
1 sin2 x 2 sin2 x
8
例5 求 ln 2 x dx ln2xdlnx
原令 式u lnux2d x u1u3C1ln 3xC .
一般地，有
3
3
1 xfln xd xfln xdln x.
1
例6 求 e x x2
一般地，有
dx
e1xd1e1x C. x
9
f1 xx 12d xf1 xd1 x.
例7
求
tanxdx
d(1sin2x)
令 t 1si2nx
d sin 2 x dx d cos 2 x dx
2t 2 1 t 2
d
t
2
(111t2)dt
2t 2arc t tC an
2 1 s2 i x n ar1 c st 2 i x a n C n
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
7
例4 求 x ( a 2 x b ) m dx ( a 0 ,m 1 )
解 原式 1 a2xbmda2xb 2a
令uax2b
原式 1 umdu
1 um1 C
2a
2a(m1)
1 a2xbm1C.
一般地，有
2a(m1)
x n fa n 1 x b d x1 fa n 1 x b d a n 1 x b . a ( n 1 )
f
(axb)
d(axb)
2) f(xn)xn1dx1 f (xn) d x n n
3) f(xn)1dx1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
4 )f(sinx)co sxdx f (sinx)dsinx
5 )f(co sx)sinxdx f (coxs) dcosx
11
6 )f(tx ) a sn 2 e x d x c f (tanx)dtanx 7)f(x e)exdx f (ex) d e x
dx 4 x2
1 2
d( 2x ) 1 (2x)2
(4)
x2 4 x2
dx
144x2dx
(5)
4
dx x2
1 4
1 1 dx
2x 2x
(6)
dx
4xx2
d(x2) 4(x 2)2
16
2. 求下列积分:
1) x2 1 dx1 1 d(x31) x31 3 x31
2 x31C 3
2)
解 (2x1)8dx 12(2x1)8d(2x1)
令u2x1
原式 1u 8 d u 1u 9 C 1(2 x 1 )9 C .
2
18 18
5
例3 求sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx 2six n(dsix)n six n 2C;
f[(x)d](x)u(x)[ f(u)d]u u(x)
由此可得换元法定理
2
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式
说明 使用此公式的关键在于将
凑
u (x )
g( x)dx
f[(x )] (x )d x f(u )du
解
x1x
1 1x2,
(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1) x
x1
e x
C.
13
例12. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
u (x )
难
(也称配元法 , 凑微分法)
易
3
16
例1
求
3
1 dx. 2x
解
一般地
4
3
1 dx 2x
1 2312x(32x)dx
1 2312xd(32x)
1 2
1du u
1lnuC 2
1ln3(2x)C. 2
f(axb)dxa1f(axb)d(axb)
1[
a
f(u)du]uaxb
例2 求 (2x1)8dx
sinx dx cosx
co1xsdcoxs
lncoxsC.
所以 taxn d x ln co x sC .
类似地 co xtd lxn six n C .
一般地，有
fsixn coxsdx fsixn dsixn ,
fcoxssixndx fcoxsdcox.s
10
常用的几种配元形式:
1
1)f(axb)dxa
§2. 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
1
一、第一类换元法
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)（可微）
dF[(x) ]F (u )(x)d x f[(x )] (x )d x
f [( x )( ] x ) d F x [( x ) C ]
x2a2
a2 C
x2 a2
14
作业
P207 2 (4) , (5) , (9) , (10),(11) ,(14), (16) , (19) ,
(21) ,
15
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
d(44xx)
(3)
x 4x2
dx
1 2
d(4 x2) 4 x2
(2)
8)
f(lnx)1dx x
f (lnx) dln x
例8
求
dx . x(12lnx)
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12d1(1 22llnxnx)
1ln12lnxC 2
12
例9. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 xC
例10 求 3(1x12)ex1xdx.ห้องสมุดไป่ตู้