推理与直接间接证明数学归纳法章节综合检测专题练习(五)带答案高中数学
推理与直接间接证明数学归纳法午练专题练习(一)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
注：归纳法证明同样给分
12．（选做题）（本小题满分8分）
证明：（1）当 时，左边＝ ， 时成立…………2分
（2）假设当 时成立，即
那么当 时，左边
时也成立………………7分
根据（1）（2）可得不等式对所有的 都成立………………8分
13．
证明二：(综合法)∵a，b，c∈R+，
abc成立．上式两边同取常用对数，得
解析：
数列的求和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．
解答：
解： = ，
设∠MOP1=θ1，∠P1OP2=θ2，…， ．则 ．
∵0＜θi＜π，∴sinθi＞0，
猜想 的最大值为 ．
即 ⇔sinθ1+sinθ2+…+ ≤ （ ）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大，可知成立．
（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即sinθ1+sinθ2+…+ ≤ ．成立．（θ1+θ2+…+ ，θi＞0）
则当n=k+1时，左边=即sinθ1+sinθ2+…+ + +…+
∵ ，当且仅当θi=θi+1时取等号．
∴左边 + +…+
= =右边，当且仅当θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）时取等号．
7．观察不等式： ， ， ，由此猜测第 个不等式为▲．
推理与直接间接证明数学归纳法章节综合检测专题练习(五)含答案高中数学
高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+ab b a ；④()()()22222bd acd c b a +≥+∙+.其中不成立的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2．下列推理正确的是----------------------------------------------------------（ ）(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ．(B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．(C) 把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n()x y x y +=+． (D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题3．整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第61个数对是 ▲ ．4．已知数列}{n a 中，nn n a a a a +==+1,111，则由321,,a a a 归纳出=n a ▲ . 5．设x >0，从不等式12x x +≥和2244322x x x x x+=++≥，启发我们可推广到：x +n x≥( )n +1，则括号内应填写的是 ▲ . 6．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.7．设等边ABC ∆的边长为a ,P 是ABC ∆内任意一点,且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ,则有321d d d ++为定值a 23;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体A B CD 的棱长为a ,P 是正四面体A B CD 内任意一点,且P 到平面ABC 、平面ABD 、平面ACD 、平面B CD 的距离分别为1h 、2h 、3h 、h 4，则有321h h h +++h 4为定值______▲______.8．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它。
专题6.6 直接证明、间接证明、数学归纳法(原卷版)
第六篇不等式、推理与证明专题6.6直接证明、间接证明、数学归纳法【考纲要求】1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【命题趋势】1.直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.2.数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【素养清单•基础知识】1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件.2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题的成立，这样的证明方法叫作反证法．(2)用反证法证明的一般步骤①反设——假设原命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推理中出现矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．用反证法证明命题“若p ，则q ”的过程可以用框图表示为 肯定条件p ，否定结论q ―→推出逻辑矛盾―→“若p ，则非q ”为假―→“若p ，则q ”为真【真题体验】1．用分析法证明：欲使①A ＞B ，只需②C ＜D ，这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°3.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________．4．下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是__________．5．(2019·湖北天门中学月考)设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋26．(2019·黑龙江大庆一模)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k ＋1成立时，总可推出f (k ＋1)≥k ＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题为真，进而需证n ＝__________时，命题亦真．【考法解码•题型拓展】考法一：分析法解题技巧：分析法证题的思路(1)先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．【例1】 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.考法二：综合法归纳总结 ：综合法证题的思路(1)分析条件选择方向：分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．(3)适当调整回顾反思：回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．【例2】 (1)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，若ab >cd ，证明：①a ＋b >c ＋d ；②|a －b |<|c －d |.(2)(2019·长沙调考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．考法三：反证法归纳总结(1)适用范围：①“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确的题目；②否定性命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明法比较困难，往往用反证法．(2)推理关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．考法四：数学归纳法证明等式归纳总结：数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【例1】求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．考法五：数学归纳法证明不等式归纳总结(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．【例2】已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n，求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.考法六：归纳—猜想—证明归纳总结：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．【例3】(2019·湖北孝感检测)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【易错警示】易错点一：反证法中未用到反设的结论【典例】设{a n}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．【错解】：假设{a n＋1}是等比数列．则{a n＋1}的前三项为a1＋1，a2＋1，a3＋1，即a1＋1，a1q＋1，a1q2＋1.(a1＋1)(a1q2＋1)－(a1q＋1)2＝a21q2＋a1＋a1q2＋1－a21q2－2a1q－1＝a1(q2－2q＋1)＝a1(q－1)2≠0，所以(a1＋1)(a1q2＋1)≠(a1q＋1)2，所以数列{a n＋1}不是等比数列．(推理中未用到结论的反设)【错因分析】：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．【正解】：假设{a n＋1}是等比数列．则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，因为a1≠0，所以2q k＝q k－1＋q k＋1.又q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知q≠1矛盾．所以假设不成立，故数列{a n＋1}不是等比数列．【误区防范】利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．【跟踪训练】设a>0，b>0，且a2＋b2＝1a2＋1b2.证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】见解析【解析】证明 假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则有a 2＋a ＋b 2＋b <4.而由a 2＋b 2＝1a 2＋1b 2得a 2b 2＝1，因为a >0，b >0，所以ab ＝1.因为a 2＋b 2≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)，a ＋b ≥2ab ＝2(当且仅当a＝b ＝1时，等号成立)，所以a 2＋a ＋b 2＋b ≥2ab ＋2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．所以a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．易错点二：证明过程未用到归纳假设【典例】用数学归纳法证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (n ∈N *)．【错解】：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k .那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立．【错因分析】：错误的原因在第二步，它是直接利用了等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时，式子12＋122＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”，不符合数学归纳法证明的步骤． 【正解】：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边．这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立．【误区防范】(1)用数学归纳法证明命题时常出现两种错误：一是n 0的值找错．二是证明命题n ＝k ＋1也成立时，没有用到n ＝k 时的归纳假设．(2)确定由n ＝k 变化到n ＝k ＋1的过程中项的变化情况时，要把握好项的变化规律以及首末项．【跟踪训练】 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋1(n ∈N *)，求a 2，a 3，a n ，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】见解析【解析】a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＋11 1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知，a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．【递进题组】1．欲证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.123．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.4．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．6．用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．7．(2019·湖北部分重点中学联考)已知数列{x n}满足x1＝12，且x n＋1＝x n2－x n(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：0<x n<1；(2)设a n＝1x n，求数列{a n}的通项公式．8．(2019·武穴中学月考)试证：n 为正整数时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．【考卷送检】一、选择题1．用反证法证明命题“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数B ．自然数a ，b ，c 都是偶数C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)＞0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab ＞2b 2D.a b ＜a ＋1b ＋1 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负5．已知a >b >0，且 ab ＝1，若 0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q 的大小关系是( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q6．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2二、填空题7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．9．(2019·郑州一模)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x |≤1，，用分析法证明|x ＋y |≤|1＋xy |”．估计污损部分的文字内容为________．三、解答题10．(2019·永州一中月考)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明 欲要证2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即证2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即证(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，所以2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．12．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜16.13．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2 ＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．14．求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．15．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．16．(2019·衡水高中调研)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *.证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数．17．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．。
推理与直接间接证明数学归纳法章节综合检测专题练习(四)含答案新高考高中数学
高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1． 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+ab b a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+∙+.其中不成立的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题3．观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出第(1,)n n n N*≥∈个不等式是 ▲ ．4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2 ．（5分） 5．已知322322=+，833833=+，15441544=+， ，若tat a 66=+。
（t a ,均为正整数且t a ,互质）类比以上等式，可推测t a ,的值，则=+t a 。
6．有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中只有一位同学获奖. 有人走访了四位同学，甲说：“丙获奖了”. 乙说：“我获奖了”. 丙说：“乙、丁都未获奖”. 丁说：“是乙或丙获奖了”.四位同学的话中，恰有两句是对的，则获奖的同学是 ▲ . 乙 7．若数列{}*()n a n N ∈是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=也是等差数列。
推理与直接间接证明数学归纳法章节综合检测提升试卷(三)含答案新高考高中数学
高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数（1）1，5，9，13，17，（）；（2）223+，338+，4415+，5524+，（）．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第汇编次互换座位后，小兔的座位对应的是（）(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题3．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“ ▲ ”.4．试通过圆和球的类比，由“半径为R 的圆内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22R ”，猜测关于球的相应命题由 ▲ 。
5． 在平面上,若两个正方形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4； 类似地，在空间，若两个正方体的棱长的比为1：2，则它们的体积比 为 ▲ .6．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝ ▲ .7．用数学归纳法证明等式：aa a a a n n --=++++++111212（1≠a ，*N n ∈），验证1=n 时，等式左边= .8．有名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为第三次第二次第一次开始鼠猴猫兔鼠猴猫兔鼠猴猫兔兔猫猴鼠4242424213313131（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。
推理与直接间接证明数学归纳法章节综合学案练习(三)带答案人教版高中数学
高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若()2f k k ≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是A ．若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立；B ．若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立；C ．若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立；D ．若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
（汇编上海文理15）2．下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b-=⇒=”；②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a b 2c d 2a c,b d +=+⇒==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b->⇒>”． 其中类比结论正确的个数是（ ）. (A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题3． 在平面上,若两个正方形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4； 类似地，在空间，若两个正方体的棱长的比为1：2，则它们的体积比 为 ▲ .4．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行()4n ≥从左向右的第4个数为 ▲ ．5．用反证法证明命题：“如果x y <，那么1155x y >”时，假设的内容应该是 ▲12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+， 322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ ．7．若三角形内切圆半径为ｒ，三边长分别为ａ，ｂ，ｃ,则三角形面积Ｓ＝21ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ），根据类比推理方法，若一个四面体的内切球半径为Ｒ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则四面体的体积Ｖ＝__________8． 已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第30个数对是 .9．由图(1)有面积关系: P A B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P A B C P A B CV V '''--=10．三段论：“①船准时启航就能准时到达目的港，②这艘船准时到达了目的港，③这艘船是准时启航的”中，“小前提”是 ． 评卷人得分三、解答题11．某班级共派出1n +个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式, 其中男生甲为领队. 入场时,领队男生甲必须排第一个, 然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场, 共有n E 种排法；入场后, 又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务, 共有n F 种选法. ⑴试求n E 和n F ；⑵判断ln n E 与n F 的大小*()n N ∈, 并用数学归纳法证明.12．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（本小题满分10分）13．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1,,2n n n a S S -成等比数列. (1)求234,,a a a ，并推出n a 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.14．用数学归纳法证明21243n n +++能被13整除，其中n N *∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D【解析】 对A ，当k=1或2时，不一定有()2f k k ≥成立；对B ，应有()2f k k ≥成立；对C ，只能得出：对于任意的7k ≥，均有()2f k k ≥成立，不能得出：任意的7k <，均有()2f k k <成立；对D ，()42516,f =≥∴对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
高中数学检测：直接证明与间接证明、数学归纳法含解析
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1.(广州模拟)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时,要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．2.(聊城模拟)在等比数列{a n}中,a1＜a2＜a3是数列{a n}递增的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.当a1＜a2＜a3时,设公比为q,由a1＜a1q＜a1q2得若a1＞0,则1＜q＜q2,即q＞1,此时,显然数列{a n}是递增数列,若a1＜0,则1＞q＞q2,即0＜q＜1,此时,数列{a n}也是递增数列,反之,当数列{a n}是递增数列时,显然a1＜a2＜a3.故a1＜a2＜a3是等比数列{a n}递增的充要条件．3.(北京西城模拟)设a,b,c均为正实数,则三个数a＋1b,b＋1c,c＋1a()A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D.因为a ＞0,b ＞0,c ＞0,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6,当且仅当a ＝b ＝c 时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.4.(洛阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )单调递减,若x 1＋x 2＞0,则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A.由f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )单调递减, 可知f (x )是R 上的单调递减函数,由x 1＋x 2＞0,可知x 1＞－x 2,f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2),则f (x 1)＋f (x 2)＜0.5.(昆明模拟)若a 、b 、c 是不全相等的正数,给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ,b ≠c ,a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.∵a 、b 、c 是不全相等的正数,故①正确；③错误；对任意两个数a 、b ,a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 三者必有其一正确,故②正确．6.(北京模拟)设a ,b ∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b . 若正数a ,b ,c ,d 满足ab ≥4,c ＋d ≤4,则( )A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥2解析：选C.由题意知,运算“∧”为两数中取小,运算“∨”为两数中取大,由ab ≥4知,正数a ,b 中至少有一个大于等于2.由c ＋d ≤4知,c ,d 中至少有一个小于等于2,故选C.7.(新余模拟)已知a ,b 是不相等的正数,x ＝a ＋b 2,y ＝a ＋b ,则x 、y 的大小关系是________．解析：x 2＝12(a ＋b ＋2ab ),y 2＝a ＋b ＝12(a ＋b ＋a ＋b )＞12(a ＋b ＋2ab )＝x 2,又∵x ＞0,y ＞0,∴y ＞x .答案：y ＞x8.(烟台三模)给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中,能推出log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________(填上所有可能的条件的序号)．解析：若1＜a ＜b ,则1b ＜1a ＜1＜b ,所以log a 1b ＜log a 1a ＝－1＝log b 1b,故条件①不成立；若0＜a ＜b ＜1,则b ＜1＜1b ＜1a ,所以log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b,故条件②成立；若0＜a ＜1＜b ,则0＜1b ＜1,所以log a 1b＞0,log a b ＜0,故条件③不成立．答案：②9.(2019·青岛期末)某同学在一次研究性学习中发现,以下5个不等关系式 ①3－1＞2－2；②2－2＞5－3； ③5－3＞6－2；④6－2＞7－5； ⑤7－5＞22－ 6.(1)上述五个式子有相同的不等关系,根据其结构特点,请你再写出一个类似的不等式．(2)请写出一个更一般的不等式,使以上不等式为它的特殊情况,并证明．解：(1)10－22＞11－3(答案不唯一)．(2)a＋2－a＞a＋3－a＋1.证明：要证原不等式成立,只需证a＋2＋a＋1＞a＋3＋a,因为不等式两边都大于0,只需证2a＋3＋2（a＋2）（a＋1）＞2a＋3＋2a（a＋3）,只需证a2＋3a＋2＞a2＋3a,只需证a2＋3a＋2＞a2＋3a,只需证2＞0,显然成立,所以原不等式成立．10.(1)设x≥1,y≥1,证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)1＜a≤b≤c,证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c. 证明：(1)由于x≥1,y≥1,所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy,只要证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2,只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0,只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0,只要证明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.由于x≥1,y≥1,上式显然成立,所以原命题成立．(2)设log a b＝x,log b c＝y,则log c a＝1log b c·log a b＝1xy,log b a＝1x,log c b＝1y,log a c＝xy,所以要证明不等式log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c,即证x＋y＋1 xy≤1x＋1y＋xy.因为c≥b≥a＞1,所以x＝log a b≥1,y＝log b c≥1,由(1)知所要证明的不等式成立．B 级 能力提升练11.(揭阳模拟)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2＞0,则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0,则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2,则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0,则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ,若a 1＋a 2＞0,a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ,由于d 正负不能确定,因而a 2＋a 3符号不确定,故选项A 错误；若a 1＋a 3＜0,a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ,由于d 正负不能确定,因而a 1＋a 2符号不确定,故选项B 错误；若0＜a 1＜a 2,可知a 1＞0,d ＞0,a 2＞0,a 3＞0,∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2＞0,∴a 2＞a 1a 3,故选项C 正确；若a 1＜0,则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0,故选项D 错,故选C.12.(金华调研)已知a ,b ,c ∈R,若b a ·c a ＞1且b a ＋c a≥－2,则下列结论成立的是( )A ．a ,b ,c 同号B ．b ,c 同号,a 与它们异号C ．a ,c 同号,b 与它们异号D ．b ,c 同号,a 与b ,c 的符号关系不确定解析：选A.由b a ·c a ＞1,知b a 与c a同号, 若b a ＞0且c a ＞0,不等式b a ＋c a≥－2显然成立, 若b a ＜0且c a ＜0,则－b a ＞0,－c a＞0, ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ＞2,即b a ＋c a＜－2, 这与b a ＋c a ≥－2矛盾,故b a ＞0且c a＞0,即a ,b ,c 同号．故选A. 13.(大连模拟)设a ,b 是两个实数,给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ,b 中至少有一个大于1”的条件是________．解析：若a ＝12,b ＝23,则a ＋b ＞1, 但a ＜1,b ＜1,故①推不出；若a ＝b ＝1,则a ＋b ＝2,故②推不出：若a ＝－2,b ＝－3,则a 2＋b 2＞2,故④推不出；若a ＝－2,b ＝－3,则ab ＞1,故⑤推不出；对于③,即a ＋b ＞2,则a ,b 中至少有一个大于1,反证法：假设a ≤1且b ≤1,则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾,因此假设不成立,故a ,b 中至少有一个大于1.答案：③14.(黑龙江哈尔滨模拟)(1)当x ＞1时,求证：2x 2＋1x 2＞2x ＋1x ＞2x ＋1x； (2)若a ＜e,用反证法证明：函数f (x )＝x e x －ax 2(x ＞0)无零点．证明：(1)∵x ＞1,∴要证2x 2＋1x2＞2x ＋1x , 只需证2x 4＋1＞2x 3＋x ,即证2x 3(x －1)＞x －1.∵x ＞1,∴只需证2x 3＞1.∵x ＞1,∴2x 3＞2＞1,故2x 2＋1x 2＞2x ＋1x 得证．令x ＝t ,则2(t )2＋1（t ）2＞2t ＋1t, 即2t ＋1t ＞2t ＋1t, 则2x ＋1x ＞2x ＋1x, 从而2x 2＋1x 2＞2x ＋1x ＞2x ＋1x. (2)假设函数f (x )＝x e x －ax 2(x ＞0)有零点,则f (x )＝0在(0,＋∞)上有解,即a ＝e xx在(0,＋∞)上有解． 设g (x )＝e xx(x ＞0), 则导函数g ′(x )＝e x （x －1）x 2(x ＞0), 当0＜x ＜1时,g ′(x )＜0；当x ＞1时,g ′(x )＞0.∴g (x )≥g (x )min ＝g (1)＝e ,∴a ≥e ,但这与条件a ＜e 矛盾,故假设不成立,即原命题得证．15.已知数列{a n }的各项均为正数,b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n a n (n ∈N *),e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间,并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n 与e 的大小； (2)计算b 1a 1,b 1b 2a 1a 2,b 1b 2b 3a 1a 2a 3,由此推测计算b 1b 2·…·b n a 1a 2·…·a n的公式,并给出证明． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞,＋∞),f ′(x )＝1－e x .当f ′(x )＞0,即x ＜0时,f (x )单调递增；当f ′(x )＜0,即x ＞0时,f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞,0),单调递减区间为(0,＋∞)．当x ＞0时,f (x )＜f (0)＝0,即1＋x ＜e x .令x ＝1n ,得1＋1n ＜e 1n ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＜e.① (2)b 1a 1＝1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2·…·b n a 1a 2·…·a n＝(n ＋1)n .② 下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n ＝1时,左边＝右边＝2,②式成立．(ⅱ)假设当n ＝k 时,②式成立,即b 1b 2·…·b k a 1a 2·…·a k＝(k ＋1)k . 当n ＝k ＋1时,b k ＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1,由归纳假设可得 b 1b 2·…·b k b k ＋1a 1a 2·…·a k a k ＋1＝b 1b 2·…·b k a 1a 2·…·a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1.所以当n ＝k ＋1时,②式也成立．根据(ⅰ)(ⅱ),可知②式对一切正整数n 都成立．C 级 素养加强练16.(北京模拟)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x 1,x 2,x 3,x 4,大圆盘上所写的实数分别记为y 1,y 2,y 3,y 4,如图所示．将小圆盘逆时针旋转i (i ＝1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i (i ＝1,2,3,4)为转动i 次后各区域内两数乘积之积,例如T 1＝x 1y 2＋x 2y 3＋x 3y 4＋x 4y 1.若x 1＋x 2＋x 3＋x 4＜0,y 1＋y 2＋y 3＋y 4＜0,则以下结论正确的是( )A．T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C．T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数解析：选A.根据题意可知：(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＞0,又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)去掉括号即得(x1＋x2＋x3＋x4)·(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4＞0,所以可知T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数,故选A.。
推理与直接间接证明数学归纳法章节综合检测专题练习(二)含答案人教版高中数学考点大全
高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．你认为比较恰当的是．2．下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数（1）1，5，9，13，17，（）；（2）223+，338+，4415+，5524+，（）．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题3．一列具有某种特殊规律的数为：1,2,3,,5x 则其中x =4．观察下列等式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…从中可归纳得出第n 个等式是 ．5．观察下列等式：332333233332123,1236,123410+=++=+++=，。
根据上述规律，第5个等式为 ▲6．已知x x x f cos s in )(1+=,且21()()f x f x '=,32()()f x f x '=,…,1()()n n f x f x -'=,…*(,2)n n ∈N ≥,则122012()()()444f f f πππ+++= ▲ ．7．在平面几何中,有射影定理：“在ABC ∆中,AC AB ⊥，点A 在BC 边上的射影为D ，有BC BD AB ⋅=2.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥BCD A -中,⊥AD 平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有 .”8．“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=。
推理与直接间接证明数学归纳法章节综合考点检测练习(三)带答案新教材高中数学家教辅导
高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2．下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b-=⇒=”； ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a b 2c d 2a c,b d +=+⇒==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b->⇒>”．其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0(B) 1 (C) 2 (D) 3第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时应假设 ▲ .4．设函数()(0)2x f x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78x f x f f x x ==+43()(()),1516x f x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())nn f x f f x -== . 5．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有____▲_____个点.。
推理与直接间接证明数学归纳法单元过关检测卷(二)带答案人教版高中数学辅导班专用
高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若 ()2f k k ≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是 A ．若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立； B ．若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立； C ．若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立； D ．若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
（汇编上海文理15）2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n y x +能被y x +整除”的第二步是__________.4．观察下列等式：12×3＝(12－13)×11， 12×4＝(12－14)×12， 12×5＝(12－15)×13，12×6＝(12－16)×14， ………………可推测当n ≥3，n ∈N *时，12×n＝ ▲ ． 5．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝ ▲ .6．已知x x x f cos s in )(1+=,且21()()f x f x '=,32()()f x f x '=,…,1()()n n f x f x -'=,… *(,2)n n ∈N ≥,则122012()()()444f f f πππ+++= ▲ ． 7．从22211,2343,345675=++=++++=中得出一般性结论是8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ . w w w.jsgao kao.ne t9．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得 112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ …1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+ 相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 ▲ .10．已知22334422,33,44,33881515+=+=+= 若66,a a b b+=试推测___,___a b == 评卷人 得分三、解答题11．已知)(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n nn f ．经计算得()232=f ，()244>f ，()258>f ，()2616>f ，()2732>f ，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．（1）试写出这个一般性的结论；（2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论；（3）对任一给定的正整数a ，试问是否存在正整数m ，使得111123a m+++⋅⋅⋅+>？ 若存在，请给出符合条件的正整数m 的一个值；若不存在，请说明理由．（本小题共16分）12．空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分.(1)求1234,,,a a a a ；(2)写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.13．已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n++≤.14．已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121∙++∈=-+N n a a a n n n ．记n n a a a S +++= 21．)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当∙∈N n 时，(Ⅰ）1+<n n a a ；(Ⅱ）2->n S n ；(Ⅲ）3<n T 。
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《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1．下面的四个不等式：① ；② ；③ ；④ .其中不成立的有
三、解答题
11．阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
------①
------②
由①+②得 ------③
令 有
代入③得 ．
(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
(2)若 的三个内角 满足 ,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断 的形状．（本小题满分16分）
12．在数列 中， ，当 时， 成等比数列.
5．；
6．；
7．
8．
9．
10．
评卷人
得分
三、解答题
11．解：(1)证明:因为 ，------①
②
①-②得 ③…
令 有 ，
代入③得 ．………………8分
（2）由 得： ．由（1）中结论得： ．所以 ，即： ，又 为 的三个内角，故 ，所以 是直角三角形．……………………………16分
12．
13．证明：设
设 是 上的任意两个实数，且 ，
8．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它。
则这个式子为。
9．已知数列 满足 ， ， ，类比课本中推导等比数列前 项和公式的方法，可求得 =▲.
10．数列 是正项等差数列，若 ，则数列 也为等差
数列.类比上述结论，写出正项等比数列 ，若 =则数列{ }也为等比数列。
评卷人
得分
因为 ，所以 。所以 在 上是增函数。
由 知
即 .
14．
(1)求 ，并推出 的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论.
13．已知ΔABC的三条边分别为 求证：
14．已知数列 满足 ， .求证：
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评பைடு நூலகம்人
得分
一、选择题
1．A
2．D
解析：(D)
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
3．
4．
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
3．整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第61个数对是▲．
4．已知数列 中， ，则由 归纳出 ▲.
5．设x>0，从不等式 和 ，启发我们可推广到：x+ n+1，则括号内应填写的是▲.
6．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖_________________块.
7．设等边 的边长为 , 是 内任意一点,且 到三边 、 、 的距离分别为 、 、 ,则有 为定值 ;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体 的棱长为 , 是正四面体 内任意一点,且 到平面 、平面 、平面 、平面 的距离分别为 、 、 、h4，则有 +h4为定值______▲______.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2．下列推理正确的是----------------------------------------------------------（）
(A)把 与 类比，则有： ．
(B)把 与 类比，则有： ．
(C)把 与 类比，则有： ．
(D)把 与 类比，则有： ．
第II卷（非选择题）