九年级数学函数与它的表示法2
函数的概念与分类
函数的概念与分类函数是数学中常见且重要的概念，它在数学及其他领域中起到了至关重要的作用。
本文将介绍函数的概念以及函数的分类，并通过实例来解释和说明。
一、函数的概念函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
其中，第一个集合称为定义域，第二个集合称为值域。
函数的定义可以用数学的语言来表达为：如果存在一个集合A 和一个集合B，对于集合A中的每个元素a，都有一个在B中的唯一对应元素b与之对应，则称此对应关系为函数。
函数的符号表达通常形式为f(x)，其中f表示函数的名称，x表示定义域中的元素。
例如，如果我们有一个函数f，将实数集合R中的每个数x映射到它的平方即f(x)=x^2。
这样，我们可以通过给函数输入一个具体的数值来得到对应的输出。
二、函数的分类函数可以按照不同的特征和性质进行分类。
以下是几种常见的函数分类。
1. 数学函数数学函数是最基本的函数形式，它涵盖了多种函数类型，如线性函数、二次函数、多项式函数、指数函数、对数函数等等。
这些函数在数学中有广泛的应用，在实际问题中用来描述各种变化规律。
例如，线性函数是一种形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数。
它表示了一个呈现直线变化的函数关系。
多项式函数是指由若干个项组成的函数，每个项都是常数与自变量的幂的乘积，并通过相加得到。
指数函数和对数函数则是描述指数增长和对数关系的函数形式。
2. 三角函数三角函数是一类由角度变量产生的函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在三角学和物理学等领域中具有重要的应用。
以正弦函数为例，它表示了一个角度变化的周期性波动，其表达式为f(x) = sin(x)，其中x是角度。
正弦函数在振动、波动等问题中起到了关键的作用。
3. 特殊函数特殊函数是一类具有特殊性质和特定定义的函数类型，如阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在数学中有广泛的应用，用于解决复杂的数学问题。
以阶乘函数为例，它表示一个正整数n的阶乘，即n!。
人教版九年级数学下册专题复习《函数学习经验》学习任务单(公开课导学案)及练习
人教版九年级数学下册专题复习《函数学习经验》学习任务单【学习目标】1.进一步理解函数的概念和三种表示法；2.会借助表格、图象分析函数性质；3.能用函数思维看待、思考、分析并解决问题．【学习准备】【学习准备】准备好铅笔，直尺．边观看边做记录．【学习任务】一、学习环节：复习函数学习经验→例题学习→课堂小结．二、观看视频课学习，适时控制播放，按老师指令完成相应的课上练习。
例题1.有这样一个问题：探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数的自变量 x 的取值范围是___________；(2)下表是 y 与 x 的几组对应值.求 m 的值；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.例题2.如图，在正方形 ABCD 中，AB=5cm，点 E 在正方形边上沿 B→C→D 运动（含端点），连接 AE，以 AE 为边，在线段右侧作正方形 AEFG，连接 DF、DG.小云根据学习函数的经验，在点 E 运动过程中，对线段 AE、DF、DG 的长度之间的关系进行了探究.下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）对于点 E 在 BC、 CD 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AE、 DF、DG 的长度的几组值，如下表：在 AE 、DF 和 DG 的长度这三个量中，确定__________ 的长度是自变量，__________的长度和__________的长度都是这个自变量的函数.(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象：（3）结合函数图像，解决问题：当△GDF 为等腰三角形时，AE 的长约为______________.【课后练习】小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：在AP，BC，OD的长度这三个量中确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，推断：当OD = 2BC时，线段AP的长度约为．【答案】（1）AP，BC，OD或 BC，AP，OD；（2）（3）4.67．【解析】解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，故答案分别为：AP，BC，OD；同理，答案也可以为 BC，AP，OD；（2）先描点，再画出图象；（3）由图象可推断：当OD=2BC时，线段AP的长度约为4.67，故答案为：4.67．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y1， y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当中有一个角为30°时，AP的长度约为______cm．【答案】（1）3.02；（2）（3）5.49 或 2.50；3.已知y是x的函数，自变量x的取值范围x > 0,下表是y与x的几组对应值小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。
24.3 锐角三角函数 (课件)2024-2025-华东师大版数学九年级上册
课堂新授
2. 锐角三角函数的表示法 (1)在sin A，cos A，tan A中，三角函数的符号一定要小 写，不能大写. (2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表 示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin A， cos α，tan B等；当锐角是用三个大写英文字母或数字 表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如 sin ∠ABC，sin ∠1等.
课堂新授
2-1. 已知sin α＝34，α为锐角， 求cos α和tan α的值. 解：如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°. 设∠A＝α，BC＝3k(k＞0)． ∵sin α＝BACB＝34， ∴AB＝4k.
课堂新授
由勾股定理，得 AC＝ (4k)2－(3k)2＝ 7k，
∴cos
α＝AACB＝
课堂新授
∴sin2A＋cos2A＋2sin A·sin B＝1＋2sin A·sin B＝196， ∴2sin A·sin B＝79， ∴(sin A－sin B)2＝sin2A＋sin2B－2sin A·sin B＝29， ∴sin A－sin B＝± 32.
课堂新授
知识点 3 特殊角的三角函数值
(tan－1)键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数 的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值求锐 角时，要用到 SHIFT sin (sin－1)， SHIFT cos (cos－1) 或 SHIFT tan (tan－1)键.
课堂新授
解： 原式＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋ cos244° ＋ … ＋ cos22° ＋ cos21° ＝ (sin21° ＋ cos21°) ＋ (sin22° ＋ cos22°) ＋ … ＋ (sin244° ＋ cos244°) ＋ sin245° ＝44＋( 22)2＝4412.
兴安区第一中学九年级数学下册第三十章二次函数30.5二次函数与一元二次方程的关系教学课件2新版冀教版
解 : 当 y = 0 时 , x2 – x+ 1 = 0
因为〔-1〕2－4×1×1 = －3 < 0
o
x 所以与 x 轴没有交点.
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系 解一元二次方程的根
探究归纳
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三 种情况与一元二次方程根的关系.
y=ax2+bx+c 的图象与x轴
20.5 m
〔4〕当 h = 0 时 , 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0
t1=0,t2=4
当球飞行 0s 和 4s 时 , 它的高度为 0m , 即 0s 时 , 球从地面飞出 , 4s 时球落回地面.
0m
0s
4s
已知二次函数 , 求自变量的值 解一元二次方程的根
继续探究
以下二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 假设有 , 求出交点坐标.
2
所以与 x 轴有交点 , 有两个交点.
二次函数的两点式
y =a〔x－x1〕〔x－ x 1〕
y
〔2〕 y = 4x2 －4x +1
解 : 当 y = 0 时 , 4x2 －4x +1 = 0
o
x
〔2x－1〕2 = 0 1
x1=x2= 2
所以与 x 轴有一个交点.
y
〔3〕 y = x2 – x+ 1
所以方程 x22x20的实数根为
x1 0.7,x22.7
O 1 23 x
我们还可以通过不断缩 小根所在的范围估计一 元二次方程的根.
y
x=2时 , y<0 x=3时 , y>0
∴根在2到3之间
O
函数的表示法(2)
f : x y 3x 1.
其中构成映射的是
.
例3．下列对应关系(A 到 B)中,其中 x∈A, y∈B. (1)A B N , f : x y x 3 ; (2)A N , B Z , f : x y 2x 3; (3)A { x | 0 x 1}, B { y | y 1},
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 3
2
4
3
5
6
象与原象的定义：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A，
b∈B，若a与b对应，则把元
素b叫做a在B中的象，而a叫做b的原
象.
如图(3)中，30o是 1 的原象，1 是
2
2
30o的 象 ，此时象集C＝B，但在(4)中，
C B .
练习：教材P.23第4题．
例6. 已知A＝{1，2，3}， B＝{0，1}，
写出A到B的所有映射．
一一映射的定义：
若f是从集合A到B的映射，如果对 集合A中的不同元素在集合B中都有不 同的象，并且B中每一个元素在A中都 有原象，这样的映射叫做从集合A到集 合B的一一映射.
课堂小结
课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则；
理 解： 一种对应是映射，必须满足两个条件：
理 解：
一种对应是映射，必须满足两个条件： ①A中任何一个元素在B中都有元素与之 对应(至于B中元素是否在A中有元素对应 不必考虑，即B中可有“多余”元素).
三角函数的定义和计算方法
三角函数的定义和计算方法三角函数是数学中的一个重要概念，它的定义和计算方法在解决几何问题和数学建模中起着重要的作用。
本文将介绍三角函数的定义以及常用的计算方法。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用sin表示。
对于任意实数x，它的正弦值表示为sin(x)。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一个基本的三角函数，用cos表示。
对于任意实数x，它的余弦值表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域也是[-1, 1]。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中较为常用的函数，用tan表示。
对于任意实数x，它的正切值表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但在某些特殊点上它的值是无穷大或者无穷小。
二、三角函数的计算方法1. 单位圆上的定义三角函数的计算方法可以通过单位圆上的定义来了解。
单位圆是指半径为1的圆，在x轴上的坐标为1，即(1,0)。
对于任意角度θ，单位圆上的点P的坐标可以表示为(Px, Py) = (cosθ, sinθ)，其中Px和Py 分别表示点P在x轴和y轴上的坐标。
2. 用角度确定三角函数值三角函数的计算方法可以通过给定角度来确定对应的函数值。
以正弦函数为例，给定一个角度θ，可以使用特殊角的数值来计算sinθ。
特殊角的数值可以通过查表或者计算器获得，例如，sin30° = 0.5，sin45° = 0.707，sin60° = 0.866等等。
通过特殊角的数值，可以通过三角函数的性质计算出其他角度的函数值。
3. 用三角函数值确定角度反函数也是计算三角函数的重要方法之一。
给定一个三角函数的值，可以通过反函数来确定对应的角度。
例如，给定一个值0.5，可以使用反正弦函数来计算对应的角度，即sin^(-1)(0.5)。
最新人教版初中九年级下册数学【函数学习经验专题复习】教学课件
初中数学
学习目标
• 1.进一步理解函数的概念和三种表示法； • 2.会借助表格、图象分析函数性质； • 3.能用函数思维看待、思考、分析并解决问题．
初中数学
一次函数
函 数
二次函数
反比例函数
解析式 表格 图象
性质
初中数学
2015年北京中考 26. 有这样一个问题：探究函数 y 1 x2 1 的图象与性质.
15
53
55
17
2
2
8
18
18
8
3 2
5
2 m…
求m的值;
m 29 6
22061. 5(3年)如北下初京图中中，考在数平学面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为
坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
初中数学 2015年北京中考26题
(4)进一步探究发现，该函数图象在
第一象限内的最低点的坐标是 (1, 2 )
的长度是自
变量，
的长度和
的长度都是这个自变量的
函数.
G D
F C
初中数学
函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对 应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
x…1 2 3…
y x ×
√ y…2 3 4…
×
初中数学
2020年北京市房山区九上期末25.如图，在正方形ABCD中，
G
（3）结合函数图像，
解决问题：
A
D
当△GDF为等腰三角
形时，AE的长约为
_7_.0_7_，_ 5.65，5.00 .
函数的变分法与变分原理
函数的变分法与变分原理1. 函数的变分法函数的变分法是研究函数在微小变化时的变化率的方法。
它在数学分析、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
函数的变分法的基本思想是，对于一个给定的函数y=f(x)，如果我们对自变量x 进行一个微小的变化δx，那么函数值y也将发生一个微小的变化δy。
这个微小的变化δy可以表示为：δy=f(x+δx)−f(x)函数的变分δy与自变量的变分δx的比值称为函数的变分导数，记为y′：y′=δy δx函数的变分导数表示函数在自变量发生微小变化时，函数值的变化率。
2. 变分原理变分原理是函数的变分法的一种特殊形式，它适用于某些特殊的函数，例如，泛函。
泛函是一个将函数映射到实数的函数。
泛函通常用J[y]表示，其中y是函数的自变量。
变分原理的基本思想是，对于一个给定的泛函J[y]，如果我们对函数y进行一个微小的变化δy，那么泛函的值J[y]也将发生一个微小的变化δJ。
这个微小的变化δJ可以表示为：δJ=J[y+δy]−J[y]如果对于任何微小的变化δy，泛函的值δJ都为零，那么泛函J[y]就称为是极值的。
3. 变分法的应用变分法在数学分析、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3.1 数学分析在数学分析中，变分法可以用来求解微分方程、积分方程和泛函方程等。
例如，欧拉-拉格朗日方程就是变分法的基本方程之一，它可以用来求解微分方程和泛函方程。
3.2 物理学在物理学中，变分法可以用来求解经典力学、电磁学和量子力学等领域中的方程。
例如，哈密顿原理就是变分原理在经典力学中的一个应用，它可以用来求解牛顿第二定律。
3.3 工程学在工程学中，变分法可以用来求解结构力学、流体力学和热力学等领域中的方程。
例如，最小作用量原理就是变分原理在结构力学中的一个应用，它可以用来求解梁和柱的变形问题。
4. 总结函数的变分法与变分原理是数学分析、物理学和工程学等领域的重要工具。
它们可以用来求解微分方程、积分方程和泛函方程等，并可以应用于经典力学、电磁学、量子力学和结构力学等领域。
函数的图像表示与性质分析
函数的图像表示与性质分析函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在数学学习中，函数的图像表示与性质分析是一个非常重要的内容。
通过对函数的图像进行分析，我们可以更好地理解函数的性质和特点。
下面，我将以几个具体的例子来说明函数的图像表示与性质分析的方法和技巧。
首先，我们来看一个简单的例子：y = 2x。
这是一个一次函数，它的图像是一条直线。
我们可以通过绘制函数的图像来观察它的性质。
首先，我们可以看到这条直线经过原点，这说明函数的截距为零。
其次，我们可以看到这条直线的斜率为2，这说明函数的增长速度比较快。
通过对函数图像的观察，我们可以得出函数的截距和斜率的性质。
接下来，我们来看一个二次函数的例子：y = x^2。
这是一个二次函数，它的图像是一个抛物线。
我们可以通过绘制函数的图像来观察它的性质。
首先，我们可以看到这个抛物线的顶点在原点，这说明函数的最小值为零。
其次，我们可以看到这个抛物线开口向上，这说明函数在定义域的左侧是递减的，在定义域的右侧是递增的。
通过对函数图像的观察，我们可以得出函数的最小值和递增递减的性质。
再来看一个三角函数的例子：y = sin(x)。
这是一个三角函数，它的图像是一条波浪线。
我们可以通过绘制函数的图像来观察它的性质。
首先，我们可以看到这条波浪线的最大值为1，最小值为-1，这说明函数的值域在[-1, 1]之间。
其次，我们可以看到这条波浪线的周期为2π，这说明函数在每个周期内有相同的性质。
通过对函数图像的观察，我们可以得出函数的值域和周期的性质。
最后，我们来看一个指数函数的例子：y = 2^x。
这是一个指数函数，它的图像是一条递增的曲线。
我们可以通过绘制函数的图像来观察它的性质。
首先，我们可以看到这条曲线经过点(0, 1)，这说明函数的底数为2。
其次，我们可以看到这条曲线在整个定义域内都是递增的，这说明函数的增长速度非常快。
通过对函数图像的观察，我们可以得出函数的底数和递增性质。
【青岛版】九年级数学下册(全书)课件省优PPT(共334张)
y
2
12
2.5( x
12)
2.5x
6; (12
x
18)
212 2.5 6 3(x 18) 3x 15.(x 18)
解析：由图易得，生产服装总件数s与生产时 间t之间的函数关系：
s
at 3a
(0 (3
t t
3) 5)
显然，1--3月每月生产a件，4、5月份停产。 故：选D
B
教材第11页课后练习1.
B．-1 x 0 或 0 x 3
C． -1 x 0 或 x 3 拓展延伸：
D． 0 x 3
抛物线 y1 ax2 bx c（a 0与） 直线y2 kx （b k 0）相交于点A(1,1)、
B(4,3) ，观察图像直接写出 y1 y2 的自变量的取值范围是 、
y1
y2
A(1,1) B(4,3)
一、分段函数定义 像教材观察与思考问题一及引例这样，函数 关系是分段给出的，我们称它叫做 分段函数.
二、分段函数的表示方法
形如：
注意：（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为
是“几个函数”； （2）分段函数的自变量取值范围是各分段
取值范围的全体； （3）每段函数表达式自变量的取值范围之间没
有公共点。
温馨提示：解决该问题的关键是能根据题意及图形准确的求
出分段函数解析式，并能判断出要解决的问题应代入哪个解析式。
3.某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:
(1)y是x的函数吗？若是请写出该函数解析式？ (2)分别求当x=10,16,20时的函数值．
答案：函数解析式为：
2x;(0 x 12)
D：
函数解析式
y k (k 0) x