2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷参考答案
全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题(含答案)
11、（3x－2y）212、 13、2 14、3 15、2＜x＜7
16、13.5 17、1或7 18、5
答案提示：
12、
13、由 得 所以有 所以x的值为2．
因为关于x的方程x2－4x＋a=0的两个实数根为x1、x2，由根与系数的关系得x1+x2=4，所以 ，解得 ，所以a=3．
全国初中数学竞赛（海南赛区）
数学试卷
（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月10日8:30——10:30）
题号
一
二
三
总分
(1—10)
(11—18)
19
20
得分
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母
代号填写在下表相应题号下的方格内
8、由矩形AOBC的面积为8，可求矩形PEOF的面积为2，
又点P在第一象限，所以K=2，故选择B．
9、如图，分别以大的正方形中间”十”字所在的直线为对称轴可画出2、3两图，分别以正方形对角线所在直线为对称轴可画出4、5两图，再加上第1幅图，总共有5个符合条件的三角形，故选择A．
10、若点M在圆上，点M与圆心A的距离等于圆的半径 ，容易判断点（2，0）是圆A与X轴正半轴的交点、点（0，－2）是圆A与y轴负半轴的交点，另外，可以通过构造直角三角形判断点(2，－2)与圆心A的距离等于 ，也可以用两点公式求出点(2，－2)与圆心A的距离等于 ，因此A、B、C三个选项中的点均在圆上，而点(1，－2)与圆心A的距离等于1，小于圆A的半径，点(1，－2)不在圆上，故选择D．
19、海南省某种植园收获香蕉20000千克，其中香牙蕉12000千克、黄帝蕉8000千克，准备运往海口与文昌销售；根据市场供需，海口需要香蕉15000千克，文昌需要香蕉5000千克，海口与文昌两地的香蕉售价如下表所示：
全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题及参考 答案
2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月20日8：30——10：30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若a 为实数，则化简2a 的结果是A . －aB . aC . ±aD . |a | 2．如果1)1(2++-x m x 是完全平方式，则m 的值为 A ．－1 B ．1 C ．1或－1 D . 1或－33. 如图1，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的长度，那么只需条件A ．AB ＝12 B ．BC ＝4 C ．AM ＝5D . CN ＝24．在平面直角坐标系y o x 内，已知A (3，－3)，点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有A ．2个B ．3个C ．4个D . 5个图1N MCB Al5．已知关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，那么b a 的值是 A ．负数 B ．正数 C ．非负数 D ．非正数6．一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则其图像与y 轴的交点是 A ．（0，－1） B ．（1，0） C ．（0，0） D ．（0，1）7．如图2，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE (∠ACE ＜120°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.鞋码 38 39 40 41 42 人数532下列说法中正确的是A ．这组数据的中位数是40，众数是39B ．这组数据的中位数与众数一定相等C ．这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40D ．以上说法都不对 9．如图3，A 、B 是函数xky =图像上两点， 点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6， 则长方形OEBF 的面积是A . 3B . 6C . 9D . 1210. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称A ．4次B ．5次C ．6次D . 7次图3图2 ABCDPM二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）11．如果不等式组⎩⎨⎧<->-01a x x 无解，则a 的取值范围是____________．12．已知1=-b a ，122-=-b a ，则=-20082008b a_________．13．如图4，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足， 若cosB 54=，EC ＝2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是__________．14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是_________．15．已知a 、b 为实数，且1=b a ，1≠a ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M -的值等于________．16. 如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于点D 、E ，则△CDE 的面积为_________．17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体18. 若直线b y =（b 为实数）与函数342+-=x x y 的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是_________．图5 AB CD EO ·图4ABCDE P ·图6主视图左视图三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？20. 如图7，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交BC 边于点E ．（1）求证： AF ＝DF ＋BE ．（2）设DF ＝x （0≤x ≤1），△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S . 若不存在，请说明理由．图7ABC DE F2008年全国初中数学竞赛（海南赛区） 初赛试卷参考答案一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 二、11. a ≤1 12. －1 13. 4.8 14. 271 15. 0 16. －1 17. 52 18. 0＜b ≤1 解答提示：1．∵ 当a ＜0时，2a ＝|a |＝－a . 故选D ． 2．21±=+m ，解得1=m 或3-=m . 故选D ． 3.()AB BC AC BC AC NC MC MN 21212121=-=-=-=，∴只要已知AB 即可.故选A ．4. 分别以点A 、O 、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑．5. 关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，则02=+b a . ∴有0==b a 或者a 、b 异号，故选D ．6. ∵一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则有()211-=--k ，解得1=k .所以函数解析式为1-=x y .令0=x 代入得1-=y .故其图像与y 轴的交点是(0，－1).故选A ．7.易得△ACD ≌△BCE .所以△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的.又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP ＝CM 且，∠PCM ＝60°，故△CPM 是等边三角形，选C ．8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A 错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B 错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C 正确.（或者设穿39码鞋的有x 人，且由0≤x ≤10也可得解） 故选C ．9. ∵ 62121OC OD 21OCAD ==⋅=⋅=k y x S A A 正方形， ∴ 62121OF OE 21B B OCAD ==⋅=⋅=k y x S 长方形 ，故选B ．10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x 千克、y 千克、z 千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a 千克、b 千克、c 千克，则有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c x z b z y ay x 容易求出x 、y 、z ；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B ．11．解不等式组⎩⎨⎧<->-001a x x 得⎩⎨⎧<>ax x 1，因为原不等式组无解，所以必有a ≤1．12．∵ ()()122-=-+=-b a b a b a ，又1=-b a ，则1-=+b a∴ ⎩⎨⎧=--=+11b a b a ，解得⎩⎨⎧-==1b a . 故()1102008200820082008-=--=-b a ． 13. 设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝2，所以BE ＝x －2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中， cosB x x 2-=，又cosB 54=，于是542=-x x ，解得x ＝10，即AB ＝10． 所以易求BE ＝8，AE ＝6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值． 故由三角形面积公式有：21AB ·PE ＝21BE ·AE ，求得PE 的最小值为4.8 ．14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果．上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P （布，布，布）＝27115．∵1=b a ，1≠a ，∴ =+++=+++=+++=)1()1(11a b b b a a b a b b b a a a b b a a M N b a =+++1111． ∴ N M -＝0．16. 如图，连结AE 、BD ，作DF ⊥EC 于点F ． ∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB ＝∠AEB ＝90°又∵ AB ＝AC ，∴CE ＝21BC ＝1，∴ AE ＝222=-CE AC ∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD ＝554，∴ 在△ABD 中，AD ＝553，∴ CD ＝552 剪 剪 剪 布 锤布 剪 布 锤 锤 剪 布 锤 小丁 小明 小倩 A BCD E F O · AB CDE P又∵△CDF ∽△CAE ，∴AEDFCA CD =，可求得DF ＝54. ∴ △CDE 的面积为5221=⋅DF CE ． 解法2：如图，连结AE 、BD ，DE .∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB ＝∠AEB ＝90°又∵ AB ＝AC ，∴ BE ＝CE ＝1，∴ AE ＝222=-CE AC ．∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD ＝554，∴ 在△ABD 中，AD ＝553，∴ CD ＝552． ∴ S △CDE ＝21S △BDC ＝⨯2152552554212121=⨯⨯⨯=⨯⨯CD BD ． 17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块．18. y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)22－4x ＋3|y ＝b 线，结合①②，易知b三、19．因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8设小美第二次购物的原价为x 元，则（x －300）×0.8＋300316情况1： 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）情况2： 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元； 则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．20．（1）证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG ＝DF ，连结AG . 因为ABCD 是正方形，所以在Rt △ADF 和Rt △ABG 中，AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABG ＝90°，DF ＝BG ． ∴ Rt △ADF ≌Rt △ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG . 又 ∵ AE 是∠BAF 的平分线∴∠EAF ＝∠BAE ， ∴ ∠DAF ＋∠EAF ＝∠BAG ＋∠BAE 即∠EAD ＝∠GAE ．∵ AD ∥BC ，∴∠GEA ＝∠EAD ，∴∠GEA ＝∠GAE ，∴ AG ＝GE . 即AG ＝BG ＋BE .∴俯视图 2 12 图① 1AB C DE O ·AF ＝DF ＋BE ，得证．（2）AB BE AD DF S S S ABE ADF ⋅+⋅=+=∆∆2121 ∵ AD ＝AB ＝1， ∴ )(21BE DF S +=由（1）知，AF ＝DF ＋BE ， 所以AF S 21=．在Rt △ADF 中，AD ＝1，DF ＝x ， ∴12+=x AF ，∴1212+=x S ． 由上式可知，当x 2达到最大值时，S 最大.而0≤x ≤1，所以，当x ＝1时，S 最大值为2211212=+x ．ABCDEF G。
海南省2010年初中毕业生学业考试数学科试题及答案
1 数学试题 第 页（共4页） 海南省2010年初中毕业生学业考试数 学 科 试 题（考试时间100分钟，满分110分）特别提醒：1.选择题用2B 铅笔填涂，其余答案一律用黑色笔填写在答题卡上，写在试题卷上无效.2.答题前请认真阅读试题及有关说明.3.请合理安排好答题时间.一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求．．．用2B 铅笔涂黑. 1．2-的绝对值等于A ．2-B ．21- C ．21D ．22．计算a a --的结果是A ．0B ．a 2C ．a 2-D ．2a 3．在平面直角坐标系中，点P （2，3）在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．如图1所示几何体的主视图是图1ABCD5．同一平面内，半径分别是2cm 和3cm 的两圆的圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切 6．若分式11-x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．1≠x D ．0≠x 7．如图2，a 、b 、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定．．全等的三角形是A B C D50°图2CA acba72°50°58°baabba50°72°B50°2 数学试题 第 页（共4页）8．方程3 x - 1 = 0的根是A ．3B ．31 C ．31- D ．3- 9．在正方形网格中，α ∠的位置如图3所示，则 tan α的值是A ．33 B ．35C ．21D ．210．如图4， 在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列三角形中,与△BOC 一定．．相似的是 A ．△ABD B ．△DOA C ．△ACD D ．△ABO11．如图5， 在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定．．．成立的是 A ．AD = BD B ．BD = CD C ．∠1 =∠2 D ．∠B =∠C12．在反比例函数 的图象的任一支上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以．．是 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2二、填空题（本大题满分18分，每小题3分）13．计算：=⋅32a a __________．14．某工厂计划a 天生产60件产品，则平均每天生产该产品__________件．15．海南省农村公路通畅工程建设，截止2009年9月30日，累计完成投资约4 620 000 000元，数据4 620 000 000用科学记数法表示应为____________．16．一道选择题共有四个备选答案，其中只有一个是正确的，若有一位同学随意选了其中一个答案，那么他选中正确答案的概率是_________．17．如图6，在平行四边形ABCD 中，AB = 6cm ，∠BCD 的平分线交AD 于点E ，则线段DE 的长度是__________ cm ．18．如图7，将半径为4cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为_________cm ．D ABC图4O 图3α图5ADBC21 ABCED图6图71ky x-=3 数学试题 第 页（共4页）三、解答题（本大题满分56分）19.（满分8分，每小题4分）（1）计算：23)31(10⨯-- （2）解方程：0111=--x 20.（满分8分）从相关部门获悉，2010年海南省高考报名人数共54741人，图8是报名考生分类统计图根据以上信息,解答下列问题:（1）2010年海南省高考报名人数中，理工类考生___________人；（2）请补充完整图8中的条形统计图和扇形统计图（百分率精确到0.1%）；（3）假如你自己绘制图8中扇形统计图，你认为文史类考生对应的扇形圆心角应为 °（精确到1°）．21.（满分8分）如图9，在正方形网格中，△ABC都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将△ABC 向右平移5个单位长度，画出平移后的△A 1B 1C 1 ；（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2 ； （3）将△ABC 绕原点O 旋转180°，画出旋转后的△A 3B 3C 3 ；（4）在△A 1B 1C 1 、△A 2B 2C 2 、△A 3B 3C 3 中 △________与△________成轴对称；△________与△________成中心对称．图9图82010年海南省高考报名考生分类条形统计图2010年海南省高考报名考生分类扇形统计图4 数学试题 第 页（共4页）22.（满分8分）2010年上海世博会入园门票有11种之多，其中“指定日普通票”价格为200元一张，“指定日优惠票”价格为120元一张，某门票销售点在5月1日开幕式这一天共售出这两种门票1200张，收入216000元，该销售点这天分别售出这两种门票多少张？ 23.（满分11分）如图10，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．24．（满分13分）如图11，在平面直角坐标系中，直线3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ；抛物线c bx x y ++-=2经过B 、C 两点，并与x 轴交于另一点A ． （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设)(y x P ，是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P 作直线x l ⊥轴于点M ，交直线BC 于点N ．① 若点P 在第一象限内．试问：线段PN 的长度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由； ② 求以BC 为底边的等腰△BPC 的面积．CF GEDBA图10H5页（共4页）一、选择题（每小题3分，共36分）1． Ｄ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ｃ ６．Ｃ ７．Ｂ ８．Ｂ ９．Ｄ １0．Ｂ 11．Ａ 12．Ｄ 二、填空题（每小题3分，共18分） 13、 14、 15、 16、 17、６ 18、34三、解答题（共56分）19．（1）原式=10-（- ）×9 ……分=10-（-3） ……分 =10+3 ……分 =13 ……分 （2）两边都乘以)1(-x 得： 1-)1(-x =0 ……分1-1+x =0 ……分x =2 ……分检验：当x =2时入1-x ≠0，所以原方程的根是x =2． ……分 20．海南省2010年初中毕业生学业考试数学课时题参考答案2010年海南省高考报名考生分类条形统计图2010年海南省高考报名考生分类扇形统计图31a605a 91062.4⨯416 数学试题 第 页（共4页）解： （1） 33510 ……分（2）如图所示 ……分 （3） 123 ……分21．（1）△111C B A 如图所示……分（2）△222C B A 如图所示……分（3）△333C B A 如图所示 ……分（4）△222C B A 、△333C B A △111C B A 、△333C B A……分22．解法一：设该销售点这天售出“指定日普通票x 张” ，“指定日优惠票”y 张，依题意得 ……分⎩⎨⎧=+=+2160001202001200y x y x ……分 解得 ⎩⎨⎧==300900y x ……分 答：这天售出“指定日普通票900张” ，“指定日优惠票”300张.……分解法二：设该销售点这天售出“指定日普通票x 张”，则“指定日优惠票”销售了（1200-x ）张，依题意得 ……分200x +120(1200-x )=216000 ……分 解得x =900 ∴1200-x =300 ……分 答：这天售出“指定日普通票”900张 ，“指定日优惠票”300张 ．7数学试题 第 页（共4页） ……分23．（1）证法一：证明：在正方形ABCD 和正方形AEFG 中∠GAE =∠BAD =90° ……分 ∠GAE+∠EAB =∠BAD+EAB即∠GAB =∠EAD ……分 又AG =A E AB =AD∴△ABG ≌△ADE ……分证法二：证明：因为四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，AG=AE ，AB=AD ，所以△EAD 可以看成是△GAB 逆时针旋转90°得到，所以△ABG ≌△ADE （2）证法一：我猜想∠BHD =90°理由如下：∵△ABG ≌△ADE ∴∠1=∠2 ……分 而∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4∵∠2+∠4=90 ∠1+∠3=90° ……分 ∴∠BHD =90° ……分 证法二：我猜想∠BHD =90°理由如下：由（1）证法(二)可知△EAD 可以看成是△GAB 逆时针旋转90°得到，BG 与DE 是一组对应边，所以BG ⊥DE ，即∠BHD =90° （3）证法一：当正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0°＜∠BAE ＜180°时,S 1和S 2总保持相等． ……分 证明如下：由于0°＜∠BAE ＜180°因此分三种情况： ①当0°＜∠BAE ＜90°时 （如图10） 过点B 作BM ⊥直线AE 于点M ， 过点D 作DN ⊥直线AG 于点N ． ∵∠MAN =∠BAD =90° ∴∠MAB =∠NAD又∠AMB =∠AND =90° AB =AD∴△AMB ≌△AND ∴BM =DN 又AE =AGCA B D E G F M N图10Ｈ 13248 数学试题 第 页（共4页）∴DN AG 21BM AE 21⋅=⋅ ∴21S S = ……分 ②当∠BAE =90°时 如图10（a ）∵AE =AG ∠BAE =∠DAG =90°AB =AD ∴△ABE ≌△ADG∴21S S = ……分③当90°＜∠BAE ＜180°时 如图10（b ） 和①一样；同理可证21S S =综上所述，在（3）的条件下，总有21S S =．……分证法二：①当0°＜∠BAE ＜90°时，如图10(c) 作EM ⊥AB 于点M ，作GN ⊥AD 交DA 延长线于点N ， 则∠GNA =∠EMA =90° 又∵四边形ABCD 与 四边形AEFG 都是正方形， ∴AG =AE ，AB =AD ∴∠GAN+∠EAN =90°，∠EAM+∠EAN =90° ∴∠G AN =∠EAM∴△GAN ≌△EAM （AAS ）∴G N =EM ∵ABCDE F G 图10（a ） ABCDE F G图10（b ） ABDEG F 图10(c )ＨM N C12ADG S AD GN ∆=⋅12ABES AB EM ∆=⋅9 数学试题 第 页（共4页）∴21S S = ②③同证法一类似证法三：当正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0°＜∠BAE ＜180°时,S 1和S 2总保持相等． ……分 证明如下：由于0°＜∠BAE ＜180°因此分三种情况： ①当0°＜∠BAE ＜90°时 如图10（d ） 延长GA 至M 使AM=AG ，连接DM ，则有AD M AD G S S ∆∆=∵AE=AG=AM ，又∠1+∠2=90° ∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3∴△ABE ≌△ADM （SAS ） ∴AD G AD M ABE S S S ∆∆∆==∴21S S = ……分 ②当∠BAE =90°时 （同证法一） ……分③当90°＜∠BAE ＜180°时 如图10（e ） 和①一样； 同理可证21S S =综上所述，在（3）的条件下， 总有21S S =……分证法四：①当0°＜∠BAE ＜90°时如图10（f ） 延长DA 至M 使AM=AD ，连接GM ，则有AMG ADG S S ∆∆=再通过证明△ABE 与△AMG 全等从而证出21S S =ADG ABE S S ∆∆= CBM ＨADGF图10(f)EＢＣ图10（d ）ABCDEF G图10（e ）M10数学试题 第 页（共4页） ②③同证法一类似证法五：（这种证法用三角函数知识证明，无须分类证明） 如图10(g)四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形，∴AG=AE ，AB=AD当∠BAE=α时，∠G AD=180°-α则 sin(180°-α)=sin α即 ∴21S S =24．（1）由于直线3+-=x y 经过B 、C 两点,令y =0得x =3；令x =0，得y =3∴B （3，0），C （0，3） ……分∵点B 、C 在抛物线c bx x y ++-=2上，于是得93b+c=0c=3-+⎧⎨⎩ ……分 解得b=2，c=3 ……分∴所求函数关系式为322++-=x x y ……分 （2）①∵点P （x ,y ）在抛物线322++-=x x y 上， 且PN ⊥x 轴，∴设点P 的坐标为（x , 322++-x x ） ……分1sin 2AEB S AE AB α∆=⋅1sin(180)2AGD S AG AD α︒∆=⋅-1sin 2AG AD α=⋅AEB AGDS S ∆∆= CABEGF 图10(g )ＨD11 数学试题 第 页（共4页）同理可设点N 的坐标为（x ，3+-x ） ……分又点P 在第一象限，∴PN=PM-NM=（322++-x x ）-（3+-x ）=-x x 32+ =49)23(2+--x ……分 ∴当23=x 时， 线段PN 的长度的最大值为4． ……分 ②解法一：由题意知，点P 在线段BC 的垂直平分线上，又由①知，OB =OC∴BC 的中垂线同时也是∠BOC 的平分线，∴设点P 的坐标为),(a a 又点P 在抛物线322++-=x x y 上,于是有322++-=a a a ∴032=--a a ……分 解得2131,213121-=+=a a ……分 ∴点P 的坐标为： ()2131,2131++ 或 ()2131,2131-- …分 若点P 的坐标为 ()2131,2131++ ，此时点P 在第一象限，在Rt △OMP 和Rt △BOC 中， 12M P O M ==，OB=OC=3 BO C BO CP S ∆∆-=四边形S S BPC12 数学试题 第 页（共4页） B O P B O C =2S S ∆∆- 11=2BO PM-BO22⨯⋅⋅⋅ 19=2322⨯⨯若点P 的坐标为 ， 此时点P 在第三象限，则BO C CO P BO P BPC S S S S ∆∆∆∆++=11323322=⨯+⨯⨯193222=⨯+392+=62= ……分解法二：由题意知，点P 在线段BC 的垂直平分线上，又由①知，OB =OC∴BC 的中垂线同时也是∠BOC 的平分线，∴设点P 的坐标为(),a a又点P 在抛物线322++-=x x y 上，于是有322++-=a a a ∴032=--a a …分解得2131,213121-=+=a a ……分∴点P 的坐标为:()2131,2131++ 或 ()2131,2131--…分 ()2131,2131--13 数学试题 第 页（共4页） 若点P 的坐标为()，此时点P 在第一象限，在Rt △OMP 和Rt △BOC 中，MP OM ==，OB=OC=3BO C BMP CO MP S S ∆∆∆-+=梯形S S BPC()111222OC MP MO BM PM BO CO =+⋅+⋅-⋅= = = = 若点P 的坐标为 ()2131,2131-- ， 此时点P 在第三象限，（与解法一相同）……分 当点P 在第一象限时，△BPC 面积其它解法有：①OP =2⋅，BC=23BO C BO CP S ∆∆-=四边形S S BPC2613333212322131212121-=⨯⨯-⋅⋅+⋅=⋅-⋅=OCOB BC OP②BPC PNC PNB S S S ∆∆∆=+11PN OM+PN MB 22=⋅⋅⋅⋅1PN OB 2=⋅⋅ （本答案仅供参考33212131213132121312131321⨯⨯-+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++292131321313213121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⋅291333-+26133-……分 1PN OM+MB 2=⋅（）。
2010年全国初中数学联赛3(整理好)
二、已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内
切圆⊙I与BC边的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D．证明：PD是⊙I切线．
三、已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)．
(1)如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．
(2)设二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C．如果关
于x的方程x2＋bx－c＝0的两个根都是整数，求△ABC的面积．
第二试(B)
一、设正整数a，b，c为三角形的三边长，满足a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝13，求符合条件且
周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次)．
二、同A卷第二题．
三、同A卷第三题．
第二试(C)
一、同B卷第一题．
二、同A卷第二题．
三、设p是大于2的质数，k为正整数．若函数y＝x2＋px＋(k＋1)p－4的图象与x轴的两个
交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．。
2010年海南省数学科中考模拟试题(四)以及答案
新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网2010 年海南省中考数学模拟试题（一）答案一、（本大分36 分，每小 3 分）CACB ACBD DBAC二、填空（本大分18 分，每小 3 分）13．—314． 015.x1 0, x2216. 2 17. 10m18. 3三、解答（本大分 56 分）19．解：x＜ 4（1）a(a 2 b 2 )（ 2）解不等式①得⋯⋯⋯ (5分 )a 2ab解不等式②得x2⋯⋯⋯ (6分) a=(a b)(a b)⋯⋯⋯ (2 分)a(a b)∴ 个不等式的解集1x＜ 4 ⋯⋯⋯(8分) =a b⋯⋯⋯ (3分)当 a2,b22原式 =2( 2 2 )2⋯⋯⋯ (4 分)20．解：八年有x 名学生，九年有（x+100 ）名学生，依意得：⋯⋯⋯(1 分)100011800⋯⋯⋯ (4分)x x100∴ x2700x100000 0⋯⋯⋯ (5分 )解得 x1200, x2 500x1200, x2500均是原方程的解⋯⋯⋯ (6分 )又当x2500, 1000÷＜500=2 5不切合条件舍去，∴ x200,x100300⋯⋯⋯ (7 分)答：八年有 200 名学生，九年有 300 名学生。
⋯⋯⋯ (8 分)21．(1)抽， 200（2）众数（3）20 人、 36 人⋯⋯⋯ (5 分)“家下”政策知度条形160140新世纪教育网精选资料版权全部 @新世纪教育网22.（1）所作 A 1 B 1 C 1 如 10 所示C 1点B 的坐 (3,0) ，1点 C 1 的坐 (4,3) ；B 1⋯⋯⋯(4 分)（2）所作 A 2 B 2C 2 如 10 B 2所示⋯⋯⋯ (6 分) 10（3）因A 2B 2C 2 由 △ ABC 旋 获得，C 2因此 A 2 B 2C 2 与 △ ABC 全等， 因此SA 2B 2C2S ABC⋯⋯⋯ (8 分) 23． （1）明：∵ADE 和 BCE 都是等 三角形∴ AE=DE ， CD=BE ∠AED=∠ BEC∴ ∠ AED+∠DEC=∠BEC+∠DEC124 36DMC即∠ AEC=∠DEB∴ ACE ≌ DBE （ SAS ）⋯⋯⋯ (3 分 ) （2）①在 11 上画出四 形 ⋯⋯⋯ (5 分 ) ②四 形 PQMN 菱形⋯⋯⋯ (6 分)∵P 、Q 分 是 AB 与 BC 的中点1 ∴PQ//AC2同理 MN//1 ACPN//1BD22∴ PQ/ /MN∴四 形 PQMN 是平行四 形 ⋯⋯⋯ (7 分)由（ 1） ACE ≌ DBE 得 AC=BD∴PQ=PN∴四 形 PQMN 是菱形。
奥数-2011年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题及参考答案
2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 CADABBDCAB提示：2. ∵3n=-15，∴n=-5，m=3+(-5)=-2. 故选A.3. ∵a +|a |=0, ∴|a |=-a , ∴a ≤0，进而a -1≤0∴22)1(a a +-=|a -1|+|a |=-(a -1)-a =1-2a . 故选D.4. ∵直线y =-x -4不经过第一象限，∴无论m 为何实数，直线y =x +m 与y =-x -4的交点不可能在第一象限，故选A.8. 如图2，由题意可知，∠ACB =90°，∠ABC =60°，则AB =2BC =8米,所以选择C. 9. 如图3，由已知可知△ABC 与△BOC 相似，可得OC BC BC AC =，即BC 2=AC ·OC .设OA=BC=x ，可得方程x 2=x +1，解这个方程得2511+=x ，2512-=x （不合题意，舍去）.故选A.10.如图4以点A 为圆心，250km 为半径画圆，交OM 于点B 、C ，作AN ⊥BC 于点N ，则可求出AN=150km ，又AC=250km ，利用勾股定理可求出CN=200km ，则BC=400km ，当台风中心在线段BC 上时，A 市都会受到台风的影响，所以A 市受台风影响持续的时间为400÷20=20小时，所以选择B. 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11. 因为n 是关于x 的方程022=++n mx x 的根，所以022=++n mn n ，所以0)2(=++m n n ，又0≠n则02=++n m ，所以则n m +的值为－2.A O BC北东 图4 M NABCA B C D O 图3光 线A BC 图2 水平线 30° 60°12. 222222(2)(2)2(1)242()b a ab b a b a b a b a ba b a b a b a b a b++++---÷=⋅=+-+++， 又03=+b a 所以b a 3-= 所以原式=25323=+---b b b b .13. 由频率分布直方图可知，“25~45”的学生人数有21人，所以仰卧起坐次数在25~45次的频率是0.7.14. 如图6，连接AC 可知△ABC 是等腰直角三角形，所以∠ABC =45°.15. 与原点的距离为1的交点有(1，0)或（－1，0），由此可求得该二次函数的 解析式有两个，分别为：x x y +=2或x x y 31312+-=. 16. 如图7，由222222251520=+=+=OB AO AB ，可知连杆AB 的长度等于25cm ，当滑块A 向下滑到O 点时，滑块B 距O 点的距离是25 cm ，故滑块B 滑动了25－15 =10 cm . 17. △COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，点C 恰好在AB 上，所以可知OA=OC ，∠AOC =∠BOD =40°, ∴∠ACO=70°，又∠AOD= 90°，∴∠BOC= 10°, ∴∠B= 60°. 18. 如图9,连接BM EM BE ，，．由题意得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴EM BM = ∵点E 是CD 的中点，DE=1∴ 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=， ∴2222AM AB DM DE +=+．设x AM =，则x DM -=4，∴22221)4(2+-=+x x . 解得813=x ,即813=AM .三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）19.（1）证明：过点O 作OM//AB 交PC 于点M ， 则∠COM=∠CAB .∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ OA=OC ，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°, ∴ AP=2OM . 又∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠COM=∠2+∠CBD, 即 ∠OMQ=∠OQM.∴ OM=OQ ∴ AP =2OQ ．（本小题也可以过点A 作直线平行于OQ 证明） （2）根据题意作出图形，如图10所示①ⅰ、当PC 绕点P 逆时针旋转90°时，作EF ⊥AB 交BA 延长线于点F,则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°. 又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2. 又PE 由PC 绕点P 旋转形成 ∴PE=PC ∴△EPF ≌△CPB.NABCD EFM图9AB CD PE EO Q M1 2 G F 3 图10∴EF=BP=x , ∴AP=1－x ∴x x EF AP S APE )1(2121-=⋅=∆. ∴△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-= （10＜x＜）.ⅱ、当PC 绕点P 顺时针旋转90°时，作EG ⊥AB 交AB 延长线于点G,则同理可得△EPG ≌△CPB ，EG=BP=x .∴△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-= 由ⅰ、ⅱ可得△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-=，（10＜x＜）②由①知S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-=，（10＜x＜）即81)21(212+--=x S ，（10＜x＜）∴当21=x 时S 的值最大，最大值为81．此时点P 所在的位置是边AB 的中点处．20.（1）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有m 2人，若都买二等座单程火车票且花钱最少．．．．．，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得： ⎩⎨⎧=+⨯=+112205136817010)3(81n m n m 解得⎩⎨⎧==18010n m 则202=m 答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人． （2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人， ①当210180x ＜≤时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（180-x ）名成年人买二等座火车票，)210(x -名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式为：)210(81)180(6818051x x y -+-+⨯=即1395013+-=x y （210180x ＜≤）②当1800＜x＜时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x 张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共)210(x -张．∴火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式为：)210(8151x x y -+=即1701030+-=x y （1800＜x＜） （3）由（2）小题知，当210180x ＜≤时，1395013+-=x y ，由此可见，当209=x 时，y 的值最小，最小值为11233元，当180=x 时，y 的值最大，最大值为11610元．当1800＜x＜时，1701030+-=x y ，由此可见，当179=x 时，y 的值最小，最小值为11640元，当1=x 时，y 的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．.cn。
2010年全国初中数学竞赛题
2010年全国初中数学竞赛试题考试时间.2010年3月21日9.30~11.30满分150分一、选择题（共5题,每小题7分,计35分）1、 若10,20==c b b a ,则cb b a ++的值为（ ） A 、2111 B 、1121 C 、21110 D 、11210 2、 若实数b a ,满足02212=++-b ab a ,则a 的取值范围是（ ） A 、2-≤a B 、4≥a C 、42≥-≤a a 或 D 、42≤≤-a3、如图,在四边形ABCD 中,∠B=135°,∠C=120°AB=32, BC=24,224=-CD ,则AD 边长是（ ）A 、62B 、64C 、64+D 、622+4、在一列数k x x x x 321,,中,已知,11=x 且当2≥k 时, ,4241411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-k k x x k k （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数, 如[][]02.0,26.2==）,则2010x 等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45、如图在平面直角坐标系xOy 中,等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1,1）,B （2,－1）,C （－2,－1）,D （－1,1）。
y 轴上一点P （0,2）绕点A 旋转180°得 点1P ,点1P 绕点B 旋转180°得点2P ,点2P 绕点C 旋转180°得点3P ,点3P 绕点D 旋转180°得点4P ,……,重复操作依次得到点1P ,2P ,……则点2010P 的坐标是（ ）A 、（2010,2）B （2010,－2）、C 、（2012,－2）D 、（0,2）二、填空题（每小题7分,计35分）6、已知15-=a ,则1227223--+a a a 的值等于 ；7、一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶,在某一时刻, 客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间,过了10分钟,小轿车追上了货 DA B C 第3题车；又过了5分钟,小轿车追上客车；再过了 分钟货车追上客车； 8、如图在平面直角坐标系xOy 中,多边形OABCDE 的顶点坐标分别为O （0,0）,A （0,6）, B （4,6）,C （4,4）,D （6,4）,E （6,0）。
全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题及参考答案
20XX 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月20日8：30——10：30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若a 为实数，则化简2a 的结果是A . －aB . aC . ±aD . |a | 2．如果1)1(2++-x m x 是完全平方式，则m 的值为A ．－1B ．1C ．1或－1D . 1或－3 3. 如图1，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的长度，那么只需条件A ．AB ＝12 B ．BC ＝4 C ．AM ＝5D . CN ＝24．在平面直角坐标系y o x 内，已知A (3，－3)，点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有A ．2个B ．3个C ．4个D . 5个图1N MCB l5．已知关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，那么b a 的值是A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数 6．一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则其图像与y 轴的交点是 A ．（0，－1） B ．（1，0） C ．（0，0） D ．（0，1） 7．如图2，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE (∠ACE ＜120°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.鞋码 38 394041 42 人数532下列说法中正确的是A ．这组数据的中位数是40，众数是39B ．这组数据的中位数与众数一定相等C ．这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40D ．以上说法都不对 9．如图3，A 、B 是函数xky =图像上两点， 点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6， 则长方形OEBF 的面积是A . 3B . 6C . 9D . 1210. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称A ．4次B ．5次C ．6次D . 7次图3图2 ABCDPM二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）11．如果不等式组⎩⎨⎧<->-001a x x 无解，则a 的取值范围是____________．12．已知1=-b a ，122-=-b a ，则=-20082008b a_________．13．如图4，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足， 若cosB 54=，EC ＝2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是__________．14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是_________．15．已知a 、b 为实数，且1=b a ，1≠a ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M -的值等于________．16. 如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于点D 、E ，则△CDE 的面积为_________．17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体18. 若直线b y =（b 为实数）与函数342+-=x x y 的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是_________．图5 AB CD EO ·图4ABCDE P ·图6主视图左视图三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？20. 如图7，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交BC 边于点E ．（1）求证： AF ＝DF ＋BE ．（2）设DF ＝x （0≤x ≤1），△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S . 若不存在，请说明理由．图7ABC DE F20XX 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 二、11. a ≤1 12. －1 13. 4.8 14. 271 15. 0 16. －1 17. 5218. 0＜b ≤1 解答提示：1．∵ 当a ＜0时，2a ＝|a |＝－a . 故选D ．2．21±=+m ，解得1=m 或3-=m . 故选D ．3.()AB BC AC BC AC NC MC MN 21212121=-=-=-=，∴只要已知AB 即可.故选A ．4. 分别以点A 、O 、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑．5. 关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，则02=+b a . ∴有0==b a 或者a 、b 异号，故选D ．6. ∵一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则有()211-=--k ，解得1=k .所以函数解析式为1-=x y .令0=x 代入得1-=y .故其图像与y 轴的交点是(0，－1).故选A ．7.易得△ACD ≌△BCE .所以△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的.又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP ＝CM 且，∠PCM ＝60°，故△CPM 是等边三角形，选C ．8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A 错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B 错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C 正确.（或者设穿39码鞋的有x 人，且由0≤x ≤10也可得解） 故选C ．9. ∵ 62121OC OD 21OCAD ==⋅=⋅=k y x S A A 正方形，∴ 62121OF OE 21B B OCAD ==⋅=⋅=k y x S 长方形 ，故选B ． 10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x 千克、y 千克、z 千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a 千克、b 千克、c 千克，则有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c x z b z y ay x 容易求出x 、y 、z ；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B ．11．解不等式组⎩⎨⎧<->-001a x x 得⎩⎨⎧<>ax x 1，因为原不等式组无解，所以必有a ≤1．12．∵ ()()122-=-+=-b a b a b a ，又1=-b a ，则1-=+b a∴ ⎩⎨⎧=--=+11b a b a ，解得⎩⎨⎧-==1b a . 故()1102008200820082008-=--=-b a ．13. 设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝2，所以BE ＝x －2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中， cosB x x 2-=，又cosB 54=，于是542=-x x ，解得x ＝10，即AB ＝10．所以易求BE ＝8，AE ＝6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值． 故由三角形面积公式有：21AB ·PE ＝21BE ·AE ，求得PE 的最小值为4.8 ．14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果．上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P （布，布，布）＝27115．∵1=b a ，1≠a ，∴ =+++=+++=+++=)1()1(11a b b b a a b a b b b a a a b b a a M N b a =+++1111． ∴ N M -＝0．16. 如图，连结AE 、BD ，作DF ⊥EC 于点F ． ∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB ＝∠AEB ＝90°又∵ AB ＝AC ，∴CE ＝21BC ＝1，∴ AE ＝222=-CE AC∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD ＝554，∴ 在△ABD 中，AD ＝553，∴ CD ＝552 又∵△CDF ∽△CAE ，∴AEDFCA CD =，可求得DF ＝54. ∴ △CDE 的面积为剪 剪 剪 布 锤布 剪 布 锤 锤 剪 布 锤 小丁 小明 小倩 A BCD E F O · A B CDE P5221=⋅DF CE ． 解法2：如图，连结AE 、BD ，DE .∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB ＝∠AEB ＝90°又∵ AB ＝AC ，∴ BE ＝CE ＝1，∴ AE ＝222=-CE AC ．∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD ＝554，∴ 在△ABD 中，AD ＝553，∴ CD ＝552． ∴ S △CDE ＝21S △BDC ＝⨯2152552554212121=⨯⨯⨯=⨯⨯CD BD ． 17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块．18. y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)22－4x ＋3|的图象如图②所示，而当＝b 结合①②，易知b 的取值范围为0三、19．因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8设小美第二次购物的原价为x 元，则（x －300）×0.8＋300×情况1： 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）情况2： 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元； 则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．20．（1）证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG ＝DF ，连结AG . 因为ABCD 是正方形，所以在Rt △ADF 和Rt △ABG 中，AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABG ＝90°，DF ＝BG ． ∴ Rt △ADF ≌Rt △ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG . 又 ∵ AE 是∠BAF 的平分线∴∠EAF ＝∠BAE ， ∴ ∠DAF ＋∠EAF ＝∠BAG ＋∠BAE 即∠EAD ＝∠GAE ．∵ AD ∥BC ，∴∠GEA ＝∠EAD ，∴∠GEA ＝∠GAE ，∴ AG ＝GE . 即AG ＝BG ＋BE .∴ AF ＝DF ＋BE ，得证．（2）AB BE AD DF S S S ABE ADF ⋅+⋅=+=∆∆2121俯视图 2 12 图① 1ABC DE O ·∵ AD ＝AB ＝1， ∴ )(21BE DF S +=由（1）知，AF ＝DF ＋BE ， 所以AF S 21=．在Rt △ADF 中，AD ＝1，DF ＝x ， ∴12+=x AF ，∴1212+=x S ． 由上式可知，当x 2达到最大值时，S 最大.而0≤x ≤1，所以，当x ＝1时，S 最大值为2211212=+x ．ABCDEF G。
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛考试试题.答案
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）计算2222010200920102009201122009--⨯+⨯的值为（ ）． （A ）1 （B ）1- （C ）2 009 （D ）2 010【解】选A ．原式22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---．[例11] (2005-4)设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是( )．(A)18 (B)20 (C)24 (D)25[解答]当n ≥3时，有()()211111422422n n n n n ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭,所以22211148()34441004A =⨯++---111111481452698102⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭,因为11111111411212129910010110299999999992⎛⎫⎛⎫⨯+++<⨯+++=⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以与A 最接近的正整数是25，选D.[点评]数列求和问题是一类基本问题，裂项相消法则是其中一个基本方法，要特别注意裂项后哪些项没有抵消.当然，只有符合一定的特点的式子（数列）才能裂项，常见的裂项有：()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=, BE =，则梯形ABCD 的面积等于（ ）．（A ）13 （B ）8ABCD E 第（3）题（C ）132（D ）4 【解】选D ．如图，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ，则12BF BC =,11()(6)22EF AB CD BC =+=-,又∵BC AB ⊥,∴EF BC ⊥∴在Rt △BFE 中，222EF BF BE +=．∴22211[(6)]()22BC BC -+=，即2680BC BC -+=，解得 2BC =或4BC =，则2EF =或1EF =, ∴ 4ABCD S EF BC =⋅=梯形． （4）某个一次函数的图象与直线132y x =+平行，与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点（2-，4-），则在线段AB 上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为12y x b =+，由点（2-，4-）在该函数图象上，得14(2)2b -=⨯-+，解得3b =-．所以，132y x =-．可得点A （6，0），B （0，3-）． 由06x ≤≤，且x 为整数，取0,2,4,6x =时，对应的y 是整数． 因此，在线段AB 上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．（5）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a（a ≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ）2π3r（B2（C）2π)r （D ）2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与A ∠的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连1AO ，则Rt △1ADO 中，130O AD ∠=︒，1O D r =，AD =．∴12112ADO S O D AD ∆=⋅=．有1122ADO ADO E S S ∆=四形形．∵由题意，1120DO E ∠=，得12π3O DE S r =扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -2π)r =第（5）题ABC D EFCNCABDM第（8）题二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．【解】710． 根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率710P =．（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为3+5=8（个）； 第8行实心圆的个数为5+8=13（个）； 第9行实心圆的个数为8+13=21（个）． （8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线 CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 （度）.【解】30︒.根据题意，可得CD AB ⊥，AM MB =，ACD MCD BCM ∠=∠=∠. ∵ACD MCD ∠=∠，CD CD =，90CDA CDM ∠=∠=︒,点数之积 3 7 8 96 2 14 16 183 78921 24 27 56 78963 8 972 第（6）题1行 2行 3行 4行 5行 6行……第（7）题∴△ACD ≅△MCD ∠. ∴12AD DM AM ==. 过点M 作MN BC ⊥于点N ,∵DCM NCM ∠=∠,CM CM =,90CDM CNM ∠=∠=︒, ∴△DCM ≅△NCM ∠. ∴DM NM =.于是12NM MB =，∴在Rt △MNB 中，30B ∠=︒.（9）有n 个连续的自然数1，2，3，…，n ，若去掉其中的一个数x 后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 和x 的值分别是 .（参考公式：2)1(321+=++++=n n n S n ） 【解】30n =，1x =；31n =，16x =；32n =，32x =.由已知，n 个连续的自然数的和为(1)2n n n S +=.若x n =，剩下的数的平均数是12n S n nn -=-； 若1x =，剩下的数的平均数是 1112n S nn -=+-，故16122n n+≤≤，解得 3032n ≤≤. 当30n =时，30(301)29162x ⨯+⨯=-，解得1x =； 当31n =时，31(311)30162x ⨯+⨯=-，解得16x =； 当32n =时，32(321)31162x ⨯+⨯=-，解得32x =. （10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x 元，y 元，z 元， 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z ，得23x y =-． ③ 将③代入①，得82z y =+．④由③，④得 10x y z ++=．有 2()20x y z ++=． 所以，小莹应付20元． 方法二：(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++，(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++．①②∴342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=． 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分）已知，抛物线2y ax bx c =++（0≠a ）经过A 、B图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定a ，b ，c 的符号； （Ⅱ）当b 变化时，求a b c ++的取值范围．【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得0a >．……3由抛物线过点(0,1)-，得10c =-<． ……6分 由抛物线对称轴在y 轴的右侧，得02ba->，又 0a >，得0b <． ∴0a >，0b <，0c <． ……………………………………10分 （Ⅱ）由抛物线过点(1,0)-，得0a b c -+=．即1a b =+，由0a >，得1b >-． ……………………………………16分 ∴10b -<<，∴(1)12a b c b b b ++=++-=．∴20a b c -<++<． ……………………………………20分 （12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ．若,,a b c 均为整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数．【解】由勾股定理，得222c a b =+． ……………………………………3分又1()3c ab a b =-+，得2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++．即2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++．整理，得6()180ab a b -++=．即(6)(6)18a b --=． ………………………8分 因为,a b 均为正整数，不妨设a b <， 可得61,618,a b -=⎧⎨-=⎩或62,69,a b -=⎧⎨-=⎩或63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个． ……………………………………20分 （13）（本小题满分20分）AC如图，在△ABC 中，45ABC ∠=，点D 在边BC 上，60ADC ∠=，且12BD CD =．将△ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，（Ⅰ）求证BC BC '⊥； （Ⅱ）求C ∠的大小．（Ⅰ）【证明】∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，∴△AC D '≌△ACD .有C D CD '=，ADCADC '∠=∠．………………3分∵12BD CD =，60ADC ∠=，∴12BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠=．……5分取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…8分有113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠=，即BC BC '⊥． ……10分（Ⅱ）【解】如图，过点A 分别作,,BC C D BC ''的垂线，垂足分别为,,E F G ．∵ADC ADC '∠=∠，即点A 在C DC '∠的平分线上， ∴AE AF =．……13分 ∵90C BD '∠=，45ABC ∠=， ∴45GBA C BC ABC '∠=∠-∠=，即点A 在GBC ∠的平分线上，∴AG AE =．……16分 于是，AG AF =，则点A 在GC D '∠的平分线上．…………………………18分 又∵30BC D '∠=︒,有150GC D '∠=． ∴12AC D '∠=75GC D '∠=．∴C ∠75AC D '=∠=．………………………20分 （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 内，已知两个动圆1O 与2O 互相外切，且1O 与边AB 、AD 相切，2O 与边BC 、CD 相切．若正方形ABCD 的边长为1，1O 与2O 的半径分别为1r ，2r ．①求1r 与2r 的关系式；②求1O 与2O 面积之和的最小值．（Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形ABCD 改为一个ABCDC 'PA 图（a ）BDC 'FGAC宽为1，长为32的矩形，其他条件不变，则1O 与2O 面积的 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 这个最小值．【解】（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 中，连接AC ，显然1O 与2O 在AC 上，且1AO =，1212O O r r =+，22CO =，由1122AC AO O O CO =++=，122r r +++=∴122r r += ………………………5分②根据题意，1r 12≤，2r 12≤，可得21122r r =-≤，即321r 12≤．∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，∴2211(2)πSr r =+21122(26r r =-+-2122(32r =-+-32-2212≤，…………8分∴当1r =时，1O 与2O是等圆，其面积和的最小值为(3π-． ……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △12O O P ， 则1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--， 212121O P BC r r r r =--=--．∵在Rt △12O O P 中，2221212O O O P O P =+，∴2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--．即2121213()5()04r r r r +-++=．解得1252r r +=+1252r r +=图（a ）B图（b ）由于1235122r r +<+=，故1252r r +=∴1252r r +=……………………………………15分 ∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，而2221212()2r r r r ++≥，当且仅当12r r =时，等号成立，∴当12r r =时，1O 与2O 面积和存在最小值，最小值为25(2π2-，即37(π8-． ……………………………………20分。
2010年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷(解析版)
2010年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1．（7分）若，则的值为（）A．B．C． D．2．（7分）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤43．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．4．（7分）在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x2010等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P （0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．（7分）已知a=﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于．7．（7分）一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等．走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上了客车．问过分钟，货车追上了客车．8．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l 经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．9．（7分）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A 作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=．10．（7分）对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i﹣1．若n的最小值n0满足2000＜n0＜3000，则正整数k的最小值为．三、解答题（共4小题，满分80分）11．（20分）如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC 上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：．12．（20分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．13．（20分）求满足2p2+p+8=m2﹣2m的所有素数p和正整数m．14．（20分）从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？2010年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1．（7分）若，则的值为（）A．B．C． D．【解答】解：∵，∴得．故选：D．2．（7分）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4【解答】解：把看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式△≥0，即a2﹣4（a+2）≥0，a2﹣2a﹣8≥0，（a﹣4）（a+2）≥0，解得a≤﹣2或a≥4．故选：C．3．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF=，DF=2，于是EF=4+．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD=====．故选：D．4．（7分）在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x2010等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：已知x1=1，当k=2时，x2=x1+1﹣4（[]﹣[0]）=2；当k=3时，x3=x2+1﹣4（[]﹣[]）=3；当k=4时，=4；当k=5时，=1；当k=6时，=2；…∵2010=502×4+2∴x2010=x2=2，故选：B．5．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P （0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）【解答】解：根据题意，以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，即A是PP1的中点，又由A的坐标是（1，1），结合中点坐标公式可得P1的坐标是（2，0）；同理P2的坐标是（2，﹣2），记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2），令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标是（2010，﹣2），故选：B．二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．（7分）已知a=﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于0．【解答】解：由已知得（a+1）2=5，所以a2+2a=4则原式=2a3+4a2+2a+3a2﹣4a﹣12=2a（a2+2a+1）+3a2﹣4a﹣12=2a（a+1）2+3a2﹣4a﹣12=2a×5+3a2﹣4a﹣12=3a2+6a﹣12=3（a2+2a）﹣12=3×4﹣12=0故答案07．（7分）一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等．走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上了客车．问过15分钟，货车追上了客车．【解答】解：设小轿车速度为a，货车为b，客车为c，某一刻的相等间距为m，则=10①，=10+5②，化简可得：2（10c﹣10a）=15c﹣15b，所以：a=4b﹣3c假设再过t分钟，货车追上客车，则10a﹣10b=（15+t）（b﹣c）15+t=10（a﹣b）/（b﹣c）将a代入15+t=10×3=30，解得：t=15．所以再过15分钟，货车追上了客车．8．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l 经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．【解答】解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y=kx+b，则解得，故所求直线l的函数表达式为．故答案为．9．（7分）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A 作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=．【解答】解：设AF=a，FC=b；∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN；∴△AEF∽△CBF；∴AE：BC=AF：FC=a：b；Rt△ABC中，BF⊥AC，由射影定理，得：AB2=AF•AC=a（a+b）；∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，∴四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=CF=b；∴b2=a（a+b），即a2+ab﹣b2=0，（）2+（）﹣1=0解得=（负值舍去）；∴==．10．（7分）对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i﹣1．若n的最小值n0满足2000＜n0＜3000，则正整数k的最小值为9．【解答】解：因为n+1为2，3，…，k的倍数，所以n的最小值n0满足n0+1=[2，3，…，k]，其中[2，3，…，k]表示2，3，…，k的最小公倍数．由于[2，3，…，8]=840，[2，3，…，9]=2520，[2，3，…，10]=2520，[2，3，…，11]=27720，因此满足2000＜n0＜3000的正整数k的最小值为9．故答案为9．三、解答题（共4小题，满分80分）11．（20分）如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC 上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：．【解答】证明：如图，连接ED，FD．∵BE和CF都是直径，∴ED⊥BC，FD⊥BC，∴D，E，F三点共线，连接AE，AF，∵∠AFE与∠ACB是同弧所对的圆周角，∴∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，∴△ABC∽△AEF，作AH⊥EF，垂足为H，又∵AP⊥BC，DF⊥BC，∴四边形APDH是矩形，∴AH=PD，∵△ABC∽△AEF，∴，∴，∴．12．（20分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．【解答】解：（1）∵反比例函数经过A（1，4），∵k=1×4=4，即y=；设B（m，），已知A（1，4），可求得直线AB：y=﹣x+4+；∵S=×（4+）×（1﹣m）=3，△BOA∴2m2+3m﹣2=0，即m=﹣2（正值舍去）；∴B（﹣2，﹣2）．由于抛物线经过A、B两点，则有：，解得；∴y=x2+3x．故a=1，b=3，k=4．（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；∵直线AC∥x轴，且A（1，4），∴C（﹣4，4）；已求得B（﹣2，﹣2），则有：∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B1OA1，作AM⊥x轴于M，作A1N⊥x 轴于N．∵A的坐标是（1，4），即AM=4，OM=1，∵∠AOM+∠NOA1=90°，∠OAM+∠AOM=90°∴∠OAM=∠NOA1，又∵OA=OA1，∠AMO=∠A1NO∴△AOM≌△OA1N，∴A1N=OM=1，ON=AM=4∴A1的坐标是（4，﹣1），此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE=2OA1，则△COE1∽△B1OA1∽△BOA；则E1（8，﹣2）；②以OC所在直线为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，延长OA2至E2，使得OE2=2OA2，则△COE2≌△COE1∽△BOA；易知A2（1，﹣4），则E2（2，﹣8）；故存在两个符合条件的E点，且坐标为E1（8，﹣2），E2（2，﹣8）．13．（20分）求满足2p2+p+8=m2﹣2m的所有素数p和正整数m．【解答】解：由题设得p（2p+1）=（m﹣4）（m+2），由于p是素数，故p是（m﹣4）的因数，或p是（m+2）的因数．（5分）（1）若p整除（m﹣4），令m﹣4=kp，k是正整数，于是m+2＞kp，3p2＞p（2p+1）=（m﹣4）（m+2）＞k2p2，故k2＜3，从而k=1，所以解得（10分）（2）若p整除（m+2），令m+2=kp，k是正整数．当p＞5时，有m﹣4=kp﹣6＞kp﹣p=p（k﹣1），3p2＞p（2p+1）=（m﹣4）（m+2）＞k（k﹣1）p2，故k（k﹣1）＜3，从而k=1，或2，由于p（2p+1）=（m﹣4）（m+2）是奇数，所以k≠2，从而k=1，于是，这不可能．当p=5时，m2﹣2m=63，m=9；当p=3，m2﹣2m=29，无正整数解；当p=2时，m2﹣2m=18，无正整数解．综上所述，所求素数p=5，正整数m=9．14．（20分）从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？【解答】解：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，另一方面，设a1＜a2＜a n是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数a i，a j，a k，a m，因为33|（a i+a k+a m），33|（a j+a k+a m），所以33|（a j﹣a i），∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，设a i=a1+33d i，i=1，2，3，n，由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，≤，故d n≤60，所以n≤61，综上所述，n的最大值为61．。
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2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)
初赛试卷参考答案
一、选择题
1. 若x ≥0，则|x |-x =x -x =0；若x ＜0，则|x |-x =-x -x =-2x ＞0，故选C.
2．由题意有a 2+2ab +b 2=8，a 2－2ab +b 2=12，两式相减得4ab =－4，得ab =－1，故选B ． 3．由bk ＜0，知b ＞0，k ＜0或b ＜0，k ＞0，前者直线经过第一、二、四象限，后者直线经过第一、三、四象限，因而必经过第一、四象限，选D ．
4．由已知条件知乙胜的概率为20%，又和棋概率为50%，故乙不输的概率为70%，选C ． 5．由20102018-20102009=2010x ×2009×2019， 20102009（2010-1）(2010+1)= 2010x ×2009×2019,
则有20102009×2009×2019= 2010x ×2009×2019,则有x =2009，选B ． 6． 两队联合承包每天完成工程的b a 11+，完成这项工程需要的时间为1÷（b
a 1
1+）=
b a ab + 天. 选C .
7．根据题意可知符合条件的点A 和点B 分别在以点C 为圆心的两个同心圆上. 故选D. 8．由图象可知，直角梯形的高BC =2，上底CD =3，所以3322
1
=⨯⨯=
∆BCD S ，选A ． 9．分别连结OA 、OB ，则OA ⊥CA ，OB ⊥CB ，即可求得，选B ．
10．由已知条件知∠EDF =45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°=∠BED +45°，∴∠BED =
∠CDF ，设CD =1，CF =x ，则CA =CB =2，所以DF =FA =2-x ，在Rt △CDF 中，有x 2+1=(2-x )2，解得x =43
，所以sin ∠BED =sin ∠CDF =5
3=DF CF ，选A ． 二、填空题
11．(1,1+3)或(-1,1+3)；在直角坐标系中,以P (0,1)为顶点,作出∠QPO =150°可求得． 12．由
45
32
2=-+x x 解得511=x ．
13．英语、日语至少会一门的人数为50-8=42人，设既会英语又会日语的为x 人，则只会英语
的为(36-x )人；只会日语的为(20-x )人，于是得(36-x )+x +(20-x )=42，解得x =14．
14．由312
2=+
x
x ，得5122
=++x x ，所以5)1(2=+x x ，又x ＜0，所以51-=+x x ． 15．由a +b +c =1可得a a c b 11=++，则M =11-=+a a c b ，同理11
-=+=b
b c a N ，
P =11-=+c c b a ，由c ＜b ＜0＜a ，得b c a 111>>，111111->->-b
c a ，∴M ＞P ＞N ．
16．过D 作DG ⊥AM ，则有2×3=22
21⨯⋅+⋅BM
AB DG AM ，DG =2.4；
17．3；当P 在对角线AC 与MN 的交点处时PC +PD 最小． 18．1；∵
BQ AQ BP AD BP BC ==，∴ 1==-=-=-BQ
BQ
BQ AB AQ BQ AB BQ AQ BQ AB BP BC ．
三、解答题
19．（1）四边形ABCD 是梯形或菱形，证明如下：
① 当点P 不与点A 重合时， ∵ △ABC 与△CPD 都是等边三角形， ∴ ∠ACB =∠DCP =60°，∴ ∠1=∠2，
又AC =BC ，DC =PC ，∴△ADC ≌△BPC ，∴∠DAC =∠B =∠BCA =60°，∴ AD ∥BC . 又∠1=∠2＜60°，∴ ∠DCB ＜120°，即 ∠B +∠DCB ＜180°，∴ DC 与AB 不平行， ∴ 四边形ABCD 是梯形．
② 当点P 与点A 重合时，PC 与AC 重合，此时AB =BC =CA =AD =DC ，四边形ABCD 是菱形，综上所述，四边形ABCD 是梯形或菱形．
（2）由（1）知∠BAD =120°，AD =BP =x ，过P 作DA 延长线的垂线PM ，M 为垂足，
则∠PAM =60°，∠APM =30°，
又BP =x ，AB =1，∴ AP =1-x ，∴ AM =
)1(2
1
x -，PM =)1(23x - C
B
D
A
P
1 2
M
∴16
3
)21(43)(43)1(23212122+
--=--=-⋅=⋅=
x x x x x PM AD y (0＜x ＜1). 当21=x 时，y 取最大值为163
，即当2
1=x 时△PAD 面积取得最大面积为163．
20．（1）设购买一件A 种电器和一件B 种电器所需的资金分别为a 元和b 元．
依题意得： ⎩⎨
⎧=+=+2050
22300
2b a b a 解之得⎩⎨⎧==850600b a （答略）
（2）设该单位购买A 、B 两种电器分别为m 件和n 件．则
600m +850n =15750 , 15
315
1217+
-=n m . ∵ A 种电器不超过5件, ∴ 15
315
1217+
-
n ≤5. ∴ n ≥15，即可购买B 种电器至少有15件． （3）设购买A 种电器x 件，则购买B 种电器为(6-x )件，依题意得：
⎩⎨
⎧≥-+≤-+700
)6(1501004000
)6(700500x x x x , 解之得1≤x ≤4 . ∵ x 取整数，∴ x =1,2,3,4. 即共有4种购买方案．。