电磁学第8章--磁场的源

23
i充
C
i放
R2
电容器充电
24
S2 S1
25
围绕导线取一闭合回路 L 并以L为周界作两个曲面 为周界作两个曲面： 并以 为周界作两个曲面：
S1 :与导线相交 与导线相交 S2:穿过电容器两极板之间。 穿过电容器两极板之间。 穿过电容器两极板之间 S 是 s1 和 s2 构成闭合 电容器破坏传导电流连续 公式不适用， 曲面 ，q0 是曲面内 性, 公式不适用，以新的 极板上）自由电荷。规律代替它. （极板上）自由电荷。规律代替它
元内电荷数
dq = q0 nSdl
dq = q0 nSdl
电流
13
dq I= dt
dl = q0nS 元内电荷数 dt = q0nSv 磁感应强度 r r r r r µ0 Idl × r µ0 q0nSvdl × r dB = ⋅ = 3 3 4π r 4π r
dq = q 0 nSdl
r r r r r µ0 Idl × r µ0 q0nSvdl × r ⋅ = dB = 3 3 4π r 4π r
r v
A
x
rr r 方向 垂直于v r 及两者组成平面 方向: 及两者组成平面. B
11
由 (1)和 (2）得 : 和 ）
µ0 qvsinθ 大小: 大小 B = ⋅ 2 4π r -2 −7 真空磁导率。 µ0 = 4π ×10 NA 真空磁导率。
一个运动电荷在空间任意一点产生的 电场、 电场 1 r r r 、磁场间关系为 r r = 2 (v × E) B = µ0ε0 (v × E) c 式中 c =
8.6直螺线管 图8.6直螺线管
A1
L θ1 r θ θ2 P dB l dl
dm = SdI = πR dI = πR nIdl µ0m 元电流: 元电流 B = 3 R 2πr A
2 2
2
图8.7直螺线管轴线上的磁感应强度计算 直螺线管轴线上的磁感应强度计算
dB =
µ0 R2dI
2r
3
=
µ0 R2nIdl
电荷数
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dN = nSdl
单个电荷的磁感应强度 r r r r dB µ0 q0nSvdl ×r B0 = = ⋅ 3 dN 4π nSdlr r r µ0 q0v ×r . = 3 4π r
r 方向沿 d l 方向 v
8.3 安培环路定理 以无限长载流直导线 的磁场为例: 的磁场为例
15
L
以无限长 载流直导 线的磁场 1r . 闭合回路 为例: 为例 r l 包围电流 ∫ B⋅ dl = ∫ Bcosθdl = ∫ Brdϕ
dl R
O
r θ x
d=R 在圆电流中心处 x
I
P dB
B=
µ0I
2r
图8.4圆电流的磁场 圆电流的磁场
例8.3求载流直螺线管轴线上的磁场 求载流直螺线管轴线上的磁场 I
7
在距轴线上任一点P为 处 取 解:在距轴线上任一点 为l处,取 在距轴线上任一点 螺线管上长为dl的一元段 的一元段,看成 螺线管上长为 的一元段 看成 一个圆电流.其电流为 一个圆电流 其电流为 dI = nIdl 磁矩为
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∫( )
L
r r B⋅ dl = µ0 ∑I 0
∑I
0
: 穿过以闭合回路 L 为边界的任意
曲面S 的传导电流。 曲面 的传导电流。
非恒定条件下: 放电为例： 非恒定条件下 以电容器的充 ，放电为例：
非恒定条件下: 放电为例： 非恒定条件下 以电容器的充 ，放电为例： 充电时: 极板上电荷面密度随时间增加; 充电时 极板上电荷面密度随时间增加 放电时: 极板上电荷面密度随时间减少. 放电时 极板上电荷面密度随时间减少 导线中电流随时间变化, 电容器充, 导线中电流随时间变化 电容器充 放电过程是非恒定过程。 放电过程是非恒定过程。 R1 1 k 2 I0
若
µ0I 1 可 B= 得 ∝ 2πr r
2
µ0I 可 B= 得 r. 2 2 R π
I
µ0I 1 可 B= 得 ∝ 2πr r
B
21
µ0I 可 B= 得 r. 2 2 R π
r
B R 同理可求无限长均匀载流圆柱面的磁场分布为
B = 0, µ0I B= , 2πr
(r ≤ R)
(r ≥ R)
8.5 与变化电场相联系的磁场 恒定条件下 ( 稳恒电流 ) :
B=
µ0nI
2
(cosθ2 − cosθ1 )
图8.7直螺线管轴线上的磁感应强度计算 直螺线管轴线上的磁感应强度计算
A1
L θ1 r θ R θ2 A 2 P dB l dl
9
B=
µ0nI
2
(cosθ2 − cosθ1 )
图8.7直螺线管轴线上的磁感应强度计算 直螺线管轴线上的磁感应强度计算
在一无限长直螺线管内部轴线上的任一点, 在一无限长直螺线管内部轴线上的任一点 θ1=π, θ2=0 π
O
dB =
r θ x
dB⊥
θ dB x
4π r
0
2
I
P dB
图8.4圆电流的磁场 圆电流的磁场
QdBC = dBsin θ , dB⊥ = dBcosθ而由对称性∫ dB⊥ = 0
6
µ0 RI µ0 IR dl = dl ∴B = ∫ dBC = ∫ 3 3 ∫ 4πr 4πr µ0m µ0 R2 I µ0m µ0m B= = = = 3 3 3 3 2 2 2 2r 2πr 2πr 2π (R + x )
l l l
r r ∫ B ⋅ dl = ∫ Bcosθdl = ∫ Brdϕ
L
r ∫ B ⋅ dl = −µ0 I
l
l
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2 . 闭合回路 L 不包围电流
r r r r r r ∫ B⋅ dl = ∫ B⋅ dl + ∫ B⋅ dl
l
r B的环流零
µ0 I (∫ dϕ + ∫ dϕ) = 2π l l µ0 I (φ − φ)= 0 = 2π
式中∑ 所 Ii 式中∑ Ii 表示环路 L所 ∑ —— 有旋场
电流流向与环绕方向满足右手螺旋法 则为正，反之为负 则为正，
磁感应强度的环流不等于零， 磁感应强度的环流不等于零，非保守场
8.4 利用安培环路定理求磁场的分布 I 无限长均匀载流圆柱体内外的磁场。 无限长均匀载流圆柱体内外的磁场 例:无限长均匀载流圆柱体内外的磁场。 解:无限长均匀载流圆柱体的磁场的特点是 无限长均匀载流圆柱体的磁场的特点是 到对称轴线距离相同处的B大小相等， 到对称轴线距离相同处的 大小相等， 大小相等 B的方向则在垂直于轴线的平面内，并沿 的方向则在垂直于轴线的平面内， 的方向则在垂直于轴线的平面内 对称于轴线的同心圆的切线方向。 对称于轴线的同心圆的切线方向。 由安培环路定理， 由安培环路定理，有： r r B
Qr' = r / sin θ , l = −r cotθ µ0 Idl dB = sin θ '2 2 4π r dl = rdθ / sin θ
4
I θ2 dl θ r’ l O L θ1 r
∴B = ∫
θ2
θ1
⊗
P
B
µ0 I (cosθ1 − cosθ2 ) B= 4πr
当L⇒∞时,θ1=0, θ2=π则有 ⇒ θ π
19
∫ B⋅ dl
=
∫ Bcosθdl = B⋅ 2πr
= µo ∑Ii
( L内 )
( L)
( L)
r r ∫ B⋅ dl = ∫ Bcosθdl = B⋅ 2πr
I
( L) ( L)
20
若
r ≥ R, 则∑Ii = I
( L内 )
= µo ∑Ii
( L内 )
B
I Ir 2 r ≤ R, 则∑Ii = ⋅πr = 2 2 R πR ( L内 )
µI µI = ∫ 0 rdϕ = 0 ∫ dϕ = µ0 I 2πr 2π l l r
l l l
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1 . 闭合回路 L 包围电流
图9 —13
µ0 I µ0 I rdϕ = =∫ ∫ dϕ = µ0 I 2 r l π 2 r π l r B ⋅ dl = −µ0 I 反向， 若 I 反向，则 ∫
1
ε0 µ0
—— 真空中光速。 真空中光速。
r r r µ0 q(v × r ) B= ⋅ 3 4π r
(2)式的证明 式的证明: 式的证明
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的微观模型: 电流强度 I 的微观模型 正电荷以平均速 度定向运动。 度定向运动。 电荷平均速度 电量q 电量 0, 电荷密度 n 电流元体积
v
dV = Sdl
r r r r 由 ∫L B⋅ dl = µ0Id = µ0 ∫∫S Jd ⋅ dS r r dΦe d r r = µ0ε0 ∫∫ E ⋅ dS 得 ∫ B⋅ dl = µ0ε0 L dt dt S
r r r ∂E r ∫∫(s) Jd ⋅ dS = ε0 ∫∫(s) ∂t ⋅ dS
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r r r r d ∫L B⋅ dl = µ0 Ic +ε0 dt ∫∫SE⋅ dS 普遍的安培 环路定理 r r ∂E r ⋅ dS = µ0 ∫∫ Jc +ε0 S ∂t
到场点P的径矢 到场点 的径矢
2
2. 任意形状载流导线的磁感应强度 : 电流元
r r B = ∫ dB
r 所产生的磁场是轴对称的。 Idl 所产生的磁场是轴对称的。
r电流元 r Idl r
r r µ0 Idl × r = 4 ∫ r3 πL
到场点P的径矢 到场点 的径矢