5[1].3线性规划问题的标准形式 (2)

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1.图解法应注意的事项 1.图解法应注的方法
作业： 6（ ），（3），7 作业： P135 6（1），（3），7
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式 例2 将下列问题化为标准形 m f = x1 − 2x2 + 3x3 ax x1 + x2 + x3 ≤ 7 x −x +x ≥2 2 3 1 s.t.− 3x1 + x2 + 2x3 = 5 x1, x2 ≥ 0, x3无非负限制
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解：用 x4 − x5替换 x3，引入 松弛变量 x6和剩余变量 x7 min f ′ = − f = − x1 + 2 x2 − 3 x3 x1 + x2 + x4 − x5 + x6 = 7 x −x +x −x −x =2 1 2 4 5 7 s .t . − 3 x1 + x2 + 2 x4 − 2 x5 = 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
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任何一个线性规划问题都可以化为标准形式. 任何一个线性规划问题都可以化为标准形式 1.关于目标函数 1.关于目标函数 如果给定的LP问题是极大化问题, 如果给定的 问题是极大化问题,即 问题是极大化问题
m f = c1 x1 + c2 x2 +⋯+ cn xn ax
可化为极小化问题 可化为极小化问题 极小化
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2.关于约束条件 2.关于约束条件 (1) 如果给定的LP有约束不等式 如果给定的 有约束不等式
ai1 x1 +⋯+ ain xn ≥ bi
则可在左边添加剩余变 yi ≥ 0,而化为约束等式 量
ai1 x1 +⋯+ ain xn − yi = bi
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(2) 2)
如果给定的LP有约束不等式 如果给定的 有约束不等式
两种处理办法: 两种处理办法:
(1) 换成两个非负变量之差: 令xi = ui − vi , ui , vi ≥ 0.替换消去自由变量 xi .
(2) 在某个等式中解出xi，然后代入其他 去自由变量，同 约束函数与目标函数消 去自由变量， . 时去掉解出xi 的那个方程
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例1
解：引入松弛变量 x4
m f ′ = −c1 x1 − c2 x2 −⋯− cn xn in
约束条件不变, 约束条件不变, 其最优解是一致 一致的 但目标函数值的符号相反 相反. 则: 其最优解是一致的,但目标函数值的符号相反. 结论:如果问题是求目标函数的最大值, 结论:如果问题是求目标函数的最大值,则化为求 – f 的最小值; 的最小值;
式 和剩余变量 x5 将下列问题化为标准形 m f = x1 − 2x2 + 3x3 in min f = x1 − 2 x2 + 3 x3 x1 + x2 ≤ 7 x1 + x2 + x4 = 7 x −x −x =2 x1 − x3 ≥ 2 1 3 5 s.t. s .t . − 3x1 + x2 + 2x3 = 5 − 3 x1 + x2 + 2 x3 = 5 x1, x2 , x3 ≥ 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
aj1 x1 +⋯+ ajn xn ≤ bj
量 则可在左边添加松弛变 yj ≥ 0,而化为约束等式
aj1 x1 +⋯+ ajn xn + yj = bj
注意:新引入的变量在目标函数中的系数为0. 注意:新引入的变量在目标函数中的系数为0.
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3.关于变量 3.关于变量
LP x 设给定 的变量 i自由
5.3 线性规划问题的标准形式
标准形式: 标准形式:
m f = c1 x1 + c2 x2 +⋯+ cn xn in a11x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = b1 a x + a x +⋯+ a x = b 2n n 2 21 1 22 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ s.t. a x + a x +⋯+ a x = b mn n m m1 1 m2 2 x1, x2 ,⋯, xn ≥ 0