高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点说课稿新人教A版必修

3.1.1方程的根与函数的零点
一、教材分析
《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函
数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，
函数零点存在性定理，是一节概念课．
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之
上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存
在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容
具有承前启后的作用，地位至关重要．
二、教学目标
【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，
掌握零点存在的判定条件．
【过程与方法】零点存在性的判定．
【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点难点：
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
三、学情分析
高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图象已经有了一个比较系统的认
识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经
有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进
人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节
课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，
环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．
三 教学环节设计
【教学过程】
（一）创设情境，感知概念
实例引入
解下列方程并作出相应的函数图像
2x-4=0;y=2x-4
（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表：
填空：
方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
根 x1=-1，x2=3 x1=x2=1 无实数根
函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
图象
图象与x轴的交点 两个交点：
(-1,0)，(3,0)
一个交点：(1,0) 没有交点

问题1：从该表你可以得出什么结论？
归纳：
判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 两个不相等的实数根x1、x2 有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根

函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

函数的图象与x轴的交点 两个交点： (x1,0)，(x2,0) 一个交点：
(x1,0)
无交点

问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？
学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．
问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？
师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：
方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．

（三）辨析讨论，深化概念
概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为 （ D ）
A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4
说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．
问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y＝f(x
)有零点．

（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．

探究2：如何求函数的零点？
练习1：求下列函数的零点
(1)y=3x- 3
(2)y=log2x
小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点.
练习2：函数f(x)=x2-4的零点为（ ）
A．(2，0) B．2 C．(–2，0)，(2，0) D．–2，2
练习3：求下列函数的零点
（1）f(x)=-x2+3x+4
（2）f(x)=lg(x2+4x-4)
小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
（2）零点对于函数而言，根对于方程而言.
（四）实例探究，归纳定理
零点存在性定理的探索．
问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？
观察函数的图象：
①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．
②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．
③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．

完成课本87P的探究，归纳函数零点存在的条件.
c b d a
x
O

y
零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是
方程f(x)＝0的根．

即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？
（1）f(x)=log2x，x∈[12，2]； （2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．

（五）正反例证，熟悉定理
定理辨析与灵活运用
例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有
且仅有一个零点． （ × ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内
没有零点． （ × ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．
（ × ）

例题讲解
例2：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．

解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x
) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有
零点．
问题8：如何说明零点的唯一性？
又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．
解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：
x
1 2 3 4

f(x
) － － ＋ ＋

结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．
解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2
x
的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在
的区间，即零点的区间．

由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．

练习：
（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1 2 3 4 5 6 7

f(x
) 23 9 －7 11 －5 －12 －26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

（六）课堂小结（学生谈谈本节课学习的收获）
（七）布置作业：习题3.1A组 2

6
O
x

y

2 1 3 4
g(x)
h(x)