矩阵论及应用 复习与引深
矩阵论基础知识总结
矩阵论基础知识总结一、引言矩阵论是线性代数的重要分支，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则、特殊类型矩阵以及矩阵的应用。
二、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列而成的矩形数表，常用大写字母表示，如A、B。
2. 元素：矩阵的每个数称为元素，用小写字母表示，如a、b。
一个矩阵的第i行第j列的元素可以表示为a_ij。
3. 阶数：矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数，记作m×n，其中m表示行数，n表示列数。
4. 主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
三、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：两个相同阶数的矩阵相加，即对应元素相加。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。
3. 矩阵的乘法：若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A与矩阵B的乘积C为一个新的矩阵，其中C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
四、特殊类型矩阵1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
零矩阵与任何矩阵相加等于其本身。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。
对角矩阵的乘法可以简化为主对角线上元素的乘积。
3. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的对角矩阵。
单位矩阵与任何矩阵相乘等于其本身。
4. 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
5. 逆矩阵：对于方阵A，若存在一个方阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。
五、矩阵的应用1. 线性方程组：矩阵可以用于求解线性方程组，通过矩阵的运算可以将线性方程组转化为矩阵方程，从而求解未知数的值。
2. 向量空间：矩阵可以表示向量空间中的线性变换，通过矩阵的乘法可以实现向量的旋转、缩放等操作。
3. 数据处理：矩阵可以用于数据的存储和处理，通过矩阵运算可以实现数据的加工、筛选、聚合等操作。
4. 图像处理：图像可以表示为像素矩阵，通过矩阵运算可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
矩阵论学习复习资料共44页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
矩阵论学习复习资料
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
研究生矩阵论复习提纲(全)
1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。
高考高等数学备考指南矩阵论应用
高考高等数学备考指南矩阵论应用对于即将参加高考的同学们来说，高等数学中的矩阵论可能是一个相对较新且具有一定挑战性的知识点。
然而，掌握好矩阵论不仅能够提升我们在高考数学中的解题能力，还有助于培养我们的逻辑思维和数学素养。
一、矩阵的基本概念矩阵，简单来说，就是一个按照矩形排列的数表。
它由行和列组成，例如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就称为 m×n 矩阵。
在高考中，我们常见的矩阵通常是 2×2 或者 3×3 的矩阵。
比如：1 2; 3 4 这就是一个 2×2 的矩阵。
了解矩阵的基本元素，包括矩阵的元素、行向量和列向量等，是我们学习矩阵论的第一步。
二、矩阵的运算1、矩阵的加法只有当两个矩阵的行数和列数都分别相等时，才能进行加法运算。
加法运算就是将对应位置的元素相加。
2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。
3、矩阵的乘法这是矩阵运算中的重点和难点。
矩阵乘法并非像数字乘法那样简单直接，它有着特定的规则。
对于矩阵 A（m×n）和矩阵 B（n×p），它们的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵。
其中，C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
三、矩阵的性质1、矩阵的转置将矩阵的行和列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
2、矩阵的逆如果存在一个矩阵 B，使得矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为单位矩阵，那么矩阵 B 就是矩阵 A 的逆矩阵。
但并非所有矩阵都有逆矩阵，只有行列式不为 0 的矩阵才有逆矩阵。
四、矩阵在高考中的应用1、求解线性方程组通过将线性方程组写成矩阵形式，利用矩阵的运算和性质，可以更简便地求解方程组。
例如，对于方程组：2x ＋ 3y ＝ 84x y ＝ 1可以写成矩阵形式：2 3; 4 －1 x; y ＝ 8; 1然后通过求矩阵的逆或者其他方法来求解 x 和 y 的值。
矩阵理论(完整版)
2
6.
P 范数： || x || p (
| x |
i 1 i
n
p 1/ p
)
1 p
7. 8.
向量序列极限： lim x
k
(k )
a lim xi( k ) ai
k
(i 1, 2,
, n) lim || x( k ) a || 0
nn
， 存 在 可 逆 矩 阵 T C
nn
， 使 得 A T T ， 当 A 正 定 时 ，
H
A T H IT T H T 。
4. 矩阵 A Cr
H
mn
，则有： rank ( A) rank ( A A) rank ( AA ) ； A A、AA 的特征值均为非负实数
3.2 矩阵的谱分解（只适用于方阵）
1. 2. 单纯矩阵：矩阵的代数重数等于几何重数。单纯矩阵可对角化。 正规矩阵：满足 A A AA 的 n 阶复矩阵。正规矩阵是单纯矩阵。
H H
n k A , i j ， Ai En A C nn 是单纯矩阵，则 A 可分解为： A i Ai ， Ai Aj i i 1 0, i j i 1
nn
2 H 2 H
n
n
（b）. 酉不变性：对任一的酉矩阵 U、V P ，有 || A ||m2 || U AV ||m2 || UAV
||2 m2 ，
|| A ||m2 || UA ||m2 || AV ||m2 || UAV ||m2
14. 矩阵范数与向量范数相容：若 || Ax ||a || A ||m || x ||a ，称 || ||m 为与向量范数 || ||a 相容的矩阵范数。 —2—
矩阵论引论
矩阵论引论矩阵论是现代数学中的一个重要分支，它研究了矩阵及其相关性质和运算规律。
矩阵论具有广泛的应用领域，包括线性代数、概率论、统计学、物理学、工程学等等。
本文将介绍矩阵论的基本概念、运算规则以及其在实际问题中的应用。
1. 矩阵的基本概念矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。
一个矩阵由m行n列的元素组成，记作A=[a_ij]_(m×n)，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素。
矩阵的大小由其行数和列数决定，可以是任意的正整数。
2. 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
矩阵的加法和减法遵循相同的规则，即对应位置的元素相加或相减。
数乘指的是将矩阵中的每个元素与一个标量相乘。
矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一种运算，它不同于数乘。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。
3. 矩阵的特殊类型矩阵可以分为方阵、对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等不同类型。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵，上三角矩阵是指主对角线以下的元素全为0的矩阵，下三角矩阵是指主对角线以上的元素全为0的矩阵。
4. 矩阵的性质和定理矩阵具有许多重要的性质和定理，如矩阵的转置、矩阵的迹、矩阵的秩等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数。
5. 矩阵的应用矩阵论在实际问题中有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵论用于解线性方程组、求矩阵的逆和特征值等。
在概率论和统计学中，矩阵论用于描述和分析随机变量之间的关系。
在物理学中，矩阵论用于描述量子力学中的算符和态矢量的变换。
在工程学中，矩阵论用于信号处理、图像处理、控制系统设计等领域。
总结：矩阵论是一门重要的数学学科，它研究了矩阵的基本概念、运算规则以及其在各个领域中的应用。
矩阵论的研究为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
通过对矩阵的深入理解和应用，我们可以更好地理解和分析复杂的现象，并为实际问题的解决提供有效的解决方案。
矩阵理论复习总结 PPT课件
1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1
max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A
max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )
1T
T 2
T n
111T
2
2
T 2
n
n
T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).
矩阵论第八章复习
T(1,2, ,n) (1, 2, , n) ，求 T 在两个基下的矩阵； 先求过渡矩阵，再整理； 10. 求线性变换的特征值和特征向量 步骤：1) 取简单基 1,2, ,n ，并求 T 在简单基下矩阵
பைடு நூலகம்3) W1 W2 {}；
4) dim(W1 W2) dim W1 dimW2 7. 大空间分解成子空间直和的证明
步骤：1) 对任意 V ，有 1 2 (1 W1,2 W2) ，则 V W1 W2 ；
2) 设 W1 W2 ，可推得 ；
综上，可得 V W1 W2 ；
步骤：1) 取标准正交基 1,2, ,n ，并求 T 在此基下矩阵
T(1,2, ,n ) (1,2, ,n) A
2) 求正交矩阵 Q ，使得 Q1AQ Λ；
3) 由 (1,2, ,n ) (1,2, ,n)Q 确定基1,2, ,n ，则 T 在此基下矩阵 为对角阵；
8. 线性变换的判定 T( ) T() T( )
T (k ) k T( ) 9. 求线性变换在一组基下的矩阵
1) 已知线性变换 T 和基1,2, ,n ： 用直接法； 间接法：先把基象组用简单基表示 T(1,2, ,n) (1,2, ,n) A ， (1,2, ,n) (1,2, ,n)C
i1
j1
i1 j1
度量矩阵是对称正定矩阵；
不同基的度量矩阵是合同的；
15. 求标准正交基 Schmidt 正交化过程，单位化
16. 正交变换及其性质（证明）
矩阵论复习(南航)
H i =1 n
6.常见内积空间
(1) V = C n , 内积 ( x , y ) = y H x = ∑ xi yi ;
i =1 n
(2) V = C[a, b], 内积 ( f , g) = ∫ f ( x)g( x)dx；
b a
( 3) V = C m×n , 内积 ( A, B ) = tr( B H A).
T
其中 Σ = diag (σ 1 , L , σ r ), 且 σ 1 , L , σ r 是 A 的正奇异值 .
6.正规矩阵的性质
（1）n 阶矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵.
（2）设 A, B 均为 n 阶正规矩阵且 AB = BA，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得 UHAU 与 UHBU 同时为对角矩阵. （3）若 A 是正规矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征 向量正交. （4）若 A 是正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的特征值的 模.
3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法 （1）化 λI - A 为 Smith 标准形：
λ I − A ≅ diag ( d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ))
则 d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ) 是 A 的 n 个不变因子． （2）令
5.标准正交基的性质 (1)有限维内积空间 V 的标准正交基一定存在. (2)有限维内积空间 V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基. (3)设 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是内积空间 V 的一组标准正交基,且 α = x1ε1 +L+ xnε n , β = y1ε1 +L+ ynε n , 则
矩阵论及其应用-1 chapter1
例2
次数不超过n的多项式的全体, 记作P [ x] ,即
n
n Pn [ x] { p an x a1 x a0 an ,, a1 , a0 R},
组实数k1，k 2， , km，向量 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km 称为这
个线性组合的系数.
（2） 给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在
一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 R mn
Amn Bmn C mn ,
．
Amn Dmn ,
R mn是一个线性空间.
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2r k c k ; i i 3 ri krj ci kc j .