2019九年级第三届“睿达杯”数学智能竞赛一试试卷

第三届“睿达杯”中小学数学智能竞赛试题卷

九年级 第一试 考试时间 90分钟 满分120分

考生须知：

1．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题纸上，答题时不得超出答题框，否则无效。

2．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破。

3．答题前，在答题纸左侧考生信息框中填写所在地、学校、姓名等信息。

4．本次考试采用网上阅卷，务必要正确填涂准考证号，准考证号填涂时需用2B 铅笔。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项，多选、错选、不选均不得分）

1．若实数a b c ，，满足432-=+b a ，012442=--+c b c ，则c b a ++的值为（ ▲ ）

A ．0

B ．3

C ．6

D ．9

2．抛物线b x b a ax y --+=)(2，如图所示，则化简a b

b ab a -+-222的结果是（ ▲ ）

A ．a b a 2-

B ．a

a b -2 C ．1 D ．1- 3．如图所示，在梯形ABCD 中，//90A D B C D M ∠=，，是AB 的中点，若

6.5CM =，17BC CD DA ++=，则梯形ABCD 的面积为（ ▲ ）

A ．20

B ．30

C ．36

D ．45

4．如图所示，在一次函数3y x =-+的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴，垂足为A PB ，⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（ ▲ ）

A ．4个

B ．2个

C ．6个

D ．无数个

5．如图所示，在△ABC 中，点D E ，分别在BC AB ，上，且:2:1

:1:3BD DC AE EB ==，，AD 与CE 相交于点F ，则FD

AF FC EF +的值为（ ▲ ） A ．12 B ．1 C ．32

D ．2 6．方程x x x

2212-=-的实数根的情况是（ ▲ ） A ．只有三个实数根 B ．只有两个实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根

(第4题) (第3题) (第2题) (第5题

)

7．若实数y x 、满足关系式x y x 62322=+，则22y x +的最大值为（ ▲ ）

A ．4

B ．92

C ．2

D ．52

8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，∠102BAD AF BC =⊥，于点F ，AF 交

BD 于点E ，若2DE AB =，则∠AED =（ ▲ ）

A ．62º

B ．64º

C ．66º

D ．68º

9．若关于x 的方程0222=++b ax x 有实数根(其中b a 、都是奇数)，则它

的根（ ▲ ）

A ．一定是整数

B ．一定是分数

C ．一定是有理数

D ．一定是无理数

10．给定两组数，A 组为：1，2，…，100；B 组为：12，22，…，1002．对于A 组中的数x ，若有B 组中的数y ，使x y +也是B 组中的数，则称x 为“关联数”，则A 组中这样的“关联数”有（ ▲ ）

A ．24个

B ．49个

C ．61个

D ．73个

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．若2

55-=x ，则)4)(3)(2)(1(++++x x x x 的值为 ▲ ． 12．如图所示，在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和

5点，3点和4点)，开始时，骰子如左图所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如右图所示位置，若要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为 ▲ ．

13．如图所示，菱形纸片ABCD 的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到

''''A B C D ，，，位置，则旋转前后重叠部分多边形的面积为 ▲ ．

14．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2

和4；乙由于看错了某项系数(包括常数项)的符号，误求得两根为1-和4，则代数式a

c b 32-的值为 ▲ ．

15．对于三个一次函数x y =1，1312+=x y ，55

43+-=x y ，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y

中

(第8题

) (第12题) (第13题) (第16题)

的最小值，则y 的最大值为 ▲ ．

16．如图所示，点(1)A m ，和点(3)B n ，是反比例函数(0)k y k x

=>图象上的两点，点P 是线段AB 上的动点(不与A B ，重合)，过点P 作PD x ⊥轴于D ，交反比例函数图象于点C ，则CD PC

的最小值为 ▲ ．

三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

17．由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么一共可以得到多少个这

样的五位数?

18．某景区设计接待的游客数在同一时刻最多为13200人，开放时间为早上8时到晚上8时．预计新年第

一天，景区早上8时开放时就有8000名游客进入，之后进入景区的人数S 与开放时间n (n 为不大于10的正整数)

的关系近似地可表示为：n S =，而开放后第二小时起每小时离开景区的人数为400人．问在晚上6点之前，景区游客人数会不会达到饱和? 若会达到，请计算在开放后第几小时，从而景区采取限流措施；若不会，请说明理由．

19．如图所示，在⊙O 中，AB 是一非直径的弦，点C 是弧AB 的中点，弦CD 与AB

交于点F ，连结BD ，作BE 平分∠FBD 交CD 于点E ．

(1) 指出图中一定是等腰三角形的三角形和一定相似的三角形，并证明；

(2) 求证：

EF DE CE 111=+．

20．已知：点A (6，0)和B (0，3)，点C 是线段AB 上的点(不与A B ，重合)，过C 分别作CD ⊥x 轴于D ，

作CE ⊥y 轴于E ．设过点C E ，的抛物线2y ax bx c =++的顶点为M ，点M 落在四边形ODCE 内(包括四条边)．

(1) 若四边形ODCE 是正方形时，求a 的取值范围；

(2) 若P 为直线AB 上的一个动点，点M 关于直线CE 的对称点为N ，若以E C N P ，，，为顶点的四边

形为平行四边形时，求点C 横坐标c x 的取值范围．

21．阅读下面的资料再完成(1)、(2)小题：

“由02)()(222≥-+=-ab b a b a ，可得ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立．类似的，对于正数b a 、，由02)()(2≥-+=-ab b a b a ，可得ab b a 2≥+，当且仅当b a =

时，

(第19题)