椭圆及其标准方程
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆是一个常见的二维几何图形，其一般方程和标准公式如下：
1.椭圆的一般方程：
椭圆的一般方程表示为：
A(x - h)^2 + B(y - k)^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，A和B是正实数，且A > B。
2.椭圆的标准公式：
椭圆的标准公式表示为：
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
具体详细解释如下：
●中心坐标(h, k)：椭圆的中心点在坐标平面上的位置，坐标为(h, k)。
●半长轴长度a：椭圆在x轴上的半长轴长度，表示椭圆沿着x轴正方向延伸
的距离。
●半短轴长度b：椭圆在y轴上的半短轴长度，表示椭圆沿着y轴正方向延伸
的距离。
椭圆的标准公式以中心点(h, k) 为中心，沿x轴和y轴方向分别以a和b为轴长度绘制。
当a和b相等时，椭圆退化为一个圆。
若a大于b，则椭圆在x轴方向上更为扁平，称为长轴椭圆；若b大于a，则椭圆在y轴方向上更为扁平，称为短轴椭圆。
注意事项：
●椭圆的方程中，A和B的值与a和b的关系为A = 1/a^2，B = 1/b^2。
●当椭圆的中心不在原点时，方程中的坐标需要进行平移，即(x - h) 和(y - k)。
●椭圆的方程也可以表示为离心率和焦点的形式，但这超出了一般方程和标准
公式的范围。
通过了解椭圆的一般方程和标准公式，您可以利用这些公式来描述和绘制椭圆的几何形状，并对椭圆的中心、半长轴和半短轴进行准确的计算和描绘。
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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。
椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。
2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。
3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
4.椭圆的面积为πab。
5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。
6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。
7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。
8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。
9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。
椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。
则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。
√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
整理得到。
(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。
化简得到。
x^2/a^2+y^2/b^2=1。
从而得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
2.椭圆的中心在原点O(0,0)。
3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。
5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。
6.椭圆的面积为πab。
7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
椭圆及其标准方程
A.5
B.8
C.3或5
D.3
x2 y 2 3.已知 F1、F2 是椭圆 25 49 1 的两个焦点，过 F 的直 1 线与椭圆交于A、B两点，则 ABF2 的周长是 （ ）
A. 8 6 B.20 C.24 D.28 4.方程 Ax 2 By 2 1 什么时候表示椭圆？什么时候表示 焦点在x轴上的椭圆?什么时候表示焦点在y轴上的椭圆?
椭圆实物图
椭 圆 相 框
椭圆双层茶几
椭圆形钻戒
动画演示
椭圆的画法
通过试验形成概念
椭圆定义：
平面内与两定点 F 1、F2 的距离的和等于 常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹是椭圆。
王新敞
奎屯 新疆
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点
间的距离叫做椭圆的焦距.
2、椭圆的标准方程
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a 怎样建立平面直角坐标系呢？
【关系】
c2 a2 b2
b 2x 2 a2 y 2 a2b 2
a c
2
2
0
x y2 2 1(a b 0) 2 a b
y
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示： (1)椭圆的焦点在x轴上 (2)焦点是F1（-C，0）,F2（C，0） (3)C2= a2 - b2
F1
2
2
这里c 2 a 2 b2
y
F2 M O F1
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
x
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
这里c a b
2 2
2
y
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
在椭圆的标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的形状，当a>b时，椭圆的长轴水平；当a<b时，椭圆的长轴垂直。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e=\(\frac{c}{a}\)，其中c为焦距之一。
离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当0<e<1时，椭圆是一个扁平的椭圆；当e=1时，椭圆是一个狭长的椭圆；当e>1时，椭圆不存在，退化为双曲线。
根据椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质。
首先，椭圆的中心在原点O(0,0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
其次，椭圆的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c=\(\sqrt{a^2-b^2}\)。
最后，椭圆的顶点坐标为A(a,0)和B(-a,0)，其中a为长轴的一半。
除了标准方程外，椭圆还可以有其他形式的方程。
例如，椭圆的参数方程为：\(\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}\)。
其中t为参数，a和b同样为长轴和短轴的一半。
利用参数方程，我们可以更加灵活地描述椭圆上的点的运动规律。
另外，椭圆还可以通过矩形方程来表示，即：\( \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
通过矩形方程，我们可以方便地得到椭圆的中心和长短轴的信息。
总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有许多独特的性质和形式。
通过标准方程、参数方程和矩形方程，我们可以更加深入地理解和描述椭圆的形状和特点。
对于数学和物理学的学习和应用都有着重要的意义。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是一个非常重要的几何形状，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍椭圆的定义及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a则是椭圆的长轴的长度。
椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这就是椭圆的基本定义。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴是x 轴，短轴是y轴，那么标准方程可以简化为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1；如果椭圆的长轴是y轴，短轴是x轴，那么标准方程可以简化为(y-k)²/a² + (x-h)²/b² = 1。
通过标准方程，我们可以方便地确定椭圆的中心、长短轴长度以及椭圆的形状。
椭圆是一种非常特殊的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
在日常生活中，椭圆的形状可以看到在椭圆形的湖泊、操场、椭圆形的建筑物等地方。
在数学上，椭圆也是椭圆积分、椭圆曲线等重要概念的基础。
在物理学中，行星的轨道、原子的轨道等也可以用椭圆来描述。
在工程领域，椭圆的形状也被广泛应用于天线设计、光学器件设计等方面。
总之，椭圆是一个非常重要的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
通过学习椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和掌握这一概念，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆及其标准方程
椭 圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程： ( 222ca b =-)①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围 （1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性: 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b.(3)a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率:我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 0=是圆； e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；例题讲解：一.椭圆定义：1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是2.已知椭圆22169x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=1（1）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （2）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，且椭圆的长轴是以焦点为端点的线段的长度的两倍。
椭圆也可以用数学方程来描述，下面我们来介绍椭圆的标准方程以及相关性质。
1. 椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是指在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行的情况下，椭圆的方程。
假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
当椭圆的中心不在原点时，可以通过平移坐标轴的方法将椭圆的中心移动到原点，然后再求解标准方程。
2. 椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，下面我们来介绍其中的一些重要性质：（1）焦点和离心率，椭圆的焦点到中心的距离称为椭圆的焦距，用2c表示。
椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到中心的距离与长轴长度的比值。
离心率是一个重要的参数，可以描述椭圆的形状。
（2）焦点和直角坐标系，椭圆的焦点与坐标系有着重要的几何关系。
设椭圆的焦点为F1（c,0）和F2（-c,0），则椭圆上任意一点P(x,y)到焦点的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a。
（3）椭圆的参数方程，椭圆还可以用参数方程来描述，参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其中θ为参数，取值范围为0到2π。
参数方程可以直观地描述椭圆上的点的位置，方便进行曲线的分析和计算。
3. 椭圆的图形和应用。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学领域，椭圆是圆锥曲线中的一种，具有独特的几何性质和数学特征，是研究曲线和几何形状的重要对象。
在物理学中，椭圆的运动规律被广泛应用于天体运动、机械振动等领域。
在工程领域，椭圆的形状被广泛应用于建筑设计、轨道设计等领域。
总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有独特的几何性质和广泛的应用价值。
通过了解椭圆的标准方程和相关性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，为实际问题的分析和解决提供更多的可能性。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。
椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。
接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。
通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。
除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。
例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。
此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。
这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。
总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。
希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的定义及其标准方程
标准方程 及图形
条件 范围
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
|x|≤a；|y|≤b
|x|≤b；|y|≤a
曲线关于 对称性
x轴
、
y 轴、原点 对称
曲线关于
对
x轴、y轴、原点
称
顶点 焦点
长轴顶点( ±a,0 ) 短 轴顶点(0，±b )
( ±c,0 )
长轴顶点( 0，±a)短轴顶点 ( ±b,0 )
13.1 椭圆的定义及其标准方程
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之 等和于常数 ( 大于|F1F2)|的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2 叫作椭圆的 焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
二、椭圆的标准方程及其几何
意义
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
()
A．椭圆
B．线段
C．椭圆或线段或不存在 D．不存在
解析：当a＜6时，轨迹不存在；
当a＝6时，轨迹为线段；
当a＞6时，轨迹为椭圆． 答案：C
3．已知椭圆
上一点P到椭圆一个焦点的距离
为3，则P到另一个焦点的距离为 ( )
A．2
B．3
C．5
D．7
解析：
答案：D
4．椭圆
的焦点坐标为________．
【解】 设所求的椭圆方程为 ＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得解得 故所求方程为
a＝4，c＝2，b2＝12，
练习1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经
过两点 P1( 6,1), P2( 3, ，2求) 椭圆的方程．
解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
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椭圆及其标准方程学科：数学教学内容：椭圆及其标准方程【基础知识精讲】1.椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a 表示，｜F 1F 2｜用2c 表示，当2a ＞2c ＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，无轨迹.如此，椭圆轨迹一定要有2a ＞2c 这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x 轴上时：22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)当焦点在y 轴上时：22a y +22bx =1(a ＞b ＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a 2=b 2+c 2(2)由x 2,y 2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x 2的分母大，焦点就在x 轴上，y 2的分母大，焦点就在y 轴上.(3)在方程Ax 2+By 2=C 中，只有A 、B 、C 同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 本节学习方法：1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等.2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一样都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决.【重点难点解析】同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，要紧把握椭圆的定义及其标准方程，需要大伙儿学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进行反复的再摸索，再分析再明白得.例1 求与椭圆92x +42y =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x +42y =1得C 2=9-4=5，且焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为22a x +522a y =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴29a +542-a =1，得a 4-18a 2+45=0 ∴a 2=15或a 2=3＜5=C 2(舍)∴所求椭圆方程为152x +102y =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F 1(-5，0)，F 2(5，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a ，即2a=｜M 1F 1｜+｜M 1F 2｜=4)53(2++ +4)53(2+-=215∴a 2=15 b 2=a 2-c 2=15-5=10∴所求椭圆方程为152x +102y =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且通过两点P 1(6，1)，P 2(-3，-2)，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1,(m ＞0，n ＞0) 由题意有⎩⎨⎧=+=+12316n m n m解得m=91，n=31 ∴所求椭圆方程为92x +32y =1说明：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0，n ＞0)可免讨论焦点的位置，而且运算简便. 例3 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为345和325，过P 作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F 1F 2，且｜PF 1｜=345，｜PF 2｜=325由椭圆定义知2a=｜PF 1｜+｜PF 2｜=25 ∴a=5 而｜PF 1｜＞｜PF 2｜知PF 2与焦点所在的对称轴垂直. ∴Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2=12PF PF =21 ∴∠PF 1F 2=6π2C=｜PF 1｜cos 6π=3215 ∴b 2=a 2-c 2=310 故所求方程为52x +103y 2=1或103x 2+52y =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法.例4 已知圆C 1：x 2+y 2+4x-12=0与圆C 2:x 2+y 2-4x=0，动圆C 与C 1相内切，且与C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C 1与C 2的标准方程是(x+2)2+y 2=16，(x-2)2+y 2=4圆心分别为C 1(-2，0)，C 2(2，0) 设动圆P 的圆心为P ，半径为r ，有 ｜PC 1｜=4-r,｜PC 2｜=2+r∴｜PC 1｜+｜PC 2｜=6＞｜C 1C 2｜=4∴P 点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b 2=a 2-c 2=5∴P 的轨迹为92x +52y =1(在已知圆C 1内)【难题巧解点拨】例1 已知MN 是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)中垂直于长轴的动弦，AB 是椭圆长轴的两端点，求直线MA 与NB 的交点P 的轨迹方程.解：设M 、N 的坐标为M(x 0,y 0)，N(x 0,-y 0)，又A(-a,0),B(a,0)因此直线AM 的方程为y=ax y +00(x+a)①直线BN 的方程为：y=ax y --00)a x (-②①×②得：y 2=22020ax y --(x 2-a 2)③∵点M(x 0,y 0)在椭圆上，∴b 2x 20+a 2y 20=a 2b 2∴x 20-a 2=-22b a y 02,代入得③得：y 2=22ab (x 2-a 2)∴交点P 的轨迹方程为22a x -22by =1例2 已知椭圆22x +y 2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程 (3)求过点P(21，21)，且被P 平分的弦所在的直线方程. 解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x 1,y 1) N(x 2,y 2)、MN 的中点为P(x,y)，则 x 21+2y 21=2，x 22+2y 22=2,两式相减并除以(x 2-x 1)得： x 1+x 2+2(y 1+y 2)1212x x y y --=0而x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y ∴x+2y ·1212x x y y -- =0 (*)(1)将1212x x y y --=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分) (2)将1212x x y y --=21--x y 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x 2+2y 2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x 1+x 2=1,y 1+y 2=1代入(*)式，得1212x x y y --=-21∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例3 已知中心在原点，一焦点为F(0，50)的椭圆被直线l :y=3x-2截得弦的中点横坐标为21，求椭圆方程. 解：∵C=50 ，∴a 2=b 2+50∴可设椭圆方程为5022+b y +22b x =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b 2+5)x 2-12b 2x-b 4-46b 2=0∴x 1+x 2=)5(101222+b b又∵221x x +=21∴12b 2=10b 2+50解得b 2=25 a 2=75∴所求的椭圆方程为752y +252x =1例4 已知P 为椭圆252x +92y =1上的一点，F 1F 2是椭圆上的两焦点，∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积.解：∵21PF F S △=21｜PF 1｜·｜PF 2｜sin ∠F 1PF 2 ∴只需求｜PF 1｜·｜PF 2｜即可解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=12 ∴21PF F S △=21×12×23=33例5 已知方程2(k 2-2)x 2+k 2y 2+k 2-k-6=0表示椭圆，求实数k 的取值范畴.解：结合椭圆的变形方程式a 2y 2+b 2x 2-a 2b 2=0从而有：∴k ∈(-2，-2)∪(2，2)∪(2，3)例6 △ABC 的三边a ＞b ＞c ，且a+c=2b ，｜AC ｜=2,求顶点B 的轨迹.解：以AC 的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4 由椭圆的定义知B 点在椭圆上运动. ∵a ＞b ＞c ，且A 、B 、C 三点不共线∴B 点的轨迹方程是椭圆42x +32y =1，在y 轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，3)，(0，-3)【知识探究学习】问题：如何用尺规作图法作椭圆的大致示意图.提示：由椭圆的定义作图，建立如图的坐标系，取｜OF 1｜=｜OF 2｜=C,｜OA 1｜=｜OA 2｜=a在F 1F 2间任取一点P 1，以｜P 1A 1｜为半径，以F 1为圆心画弧；以F 2为圆心，以｜P 1A 2｜为半径画弧，两弧的交点即在所求椭圆上.用同样的方法去F 1F 2间取一系列点，最后用圆滑曲线连起来即可.请同学们证明.【典型热点考题】例1 求椭圆1002x +252y =1上一动点P 到直线3x+8y+72=0距离的最大值及最小值.分析 常规思路是设P(x 0,y 0)是椭圆上的点，其到直线的距离为d=2200837283+++y x ,如何样求d 的最值呢?如此运算较为苦恼!换一个角度摸索，假设椭圆上点P(x 0,y 0)到直线的距离最大或最小，过P 作已知直线的平行线l ′，则l ′与椭圆的位置关系如何样呢?应相切，否则P 一定不是距离的最大或最小.解：设与直线3x+8y+72=0平行直线为3x+8y+t=0，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=++12510008322y x t y x 消去y 得：25x 2+6tx+(t 2-1600)=0令△=0即4［9t 2-25(t 2-1600)］=0 ∴t=±50当t=50时，直线3x+8y+50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d 1=737322 当t=-50时，直线3x+8y-50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d 2=7373122 ∴最大距离为7373122，最小距离为737322例2 在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN=21，tan ∠MNP=-2，建立适当的坐标系求出以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程.分析 以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如下图.设所求椭圆方程为22a x +22by =1(a ＞b ＞0),分别设M 、N 、P 点坐标为(-c ，0)，(c,0)和(x 0,y 0).∵tan α=tan(π-∠MNP)=2由题设知⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)(2)(210000c x y c x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==c y c x 343500即 P(35c, 34c) 在△MNP 中，｜MN ｜=2c,MN 上的高为34c ∵S △MNP =21·2c ·34c=1 ∴c=23即P(635，333)∵点P 在椭圆上且a 2=b 2+c 2∴2222)332()23()635(b b ++=1 解得 b 2=3或b 2=-31(舍去) ∴a 2=b 2+c 2=415故所求椭圆方程为：154x 2+32y =1【同步达纲练习】A 级一、选择题1.椭圆的两个焦点分别是F 1(-8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆方程是( )A.3x 2+1002y =1B.4002x +3362y =1C.1002x + 362y =1D. 202x +122y =12.与椭圆92x +42y =1共焦点，且过点P(3，-2)的椭圆方程是( )A. 152x +192y =1B. 102x +152y =1C.152x + 102y =1D.102x +152y =13.椭圆m x 2+42y =1的焦距是2，则m 的值是 ( )A.5B.8C.5或3D.204.过椭圆252x + 92y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长是( )A.16B.18C.20D.不能确定5.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(53，-4)和Q(-54，3)，此椭圆的方程是( ) A. 252x +y 2=1B.x 2+252y =1C.252x +y 2=1或x 2+252y =1D.非A 、B 、C 答案二、填空题6.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .7.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 .8.P 点在椭圆452x +202y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 .三、解答题9.椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程.10.已知椭圆92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P 点坐标.AA 级一、选择题1.在△ABC 中，A(-1，0)，C(1，0)，且｜BC ｜、｜CA ｜、｜AB ｜成公差为负的等差数列，则顶点B 的轨迹方程为( )A. 42x +32y =1B. 42x +32y =1(x ＞0)C. 42x +32y =1(-2＜x ＜0＝D. 42x +32y =1(x ＜0)2.椭圆的焦点为(-2，0)和(2，0)，且椭圆过点(25，-23)，则椭圆方程是( ) A. 102y +62x =1B. 102x +62y =1C. 82y +42x =1D. 42y +82x =13.P 是椭圆252x +162y =1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P点的坐标是( )A.(1，986)B. (925，9814) C.(1，±986)D. (925,±9814) 4.若关于x,y 的方程x 2sin α-y 2cos α=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cosα)2+(y+sin α)2=1所表示的圆心在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA=32则椭圆的方程是( ) A. 362x +202y =1B. 92x +52y =1C. 202x +362y =1或362x +202y =1D. 92x +52y =1或52x +92y =1二、填空题6.在周长为16的△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(-3，0)和(3，0)，则点A 的轨迹方程是 .7.直线x-y-m=0与椭圆92x +y 2=1相切，则m 的值是 .8.椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是三、解答题9.椭圆92x +182y =1的内接矩形的长与宽的比是3∶2，求矩形的面积.10.椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上存在一点P ，使得OP ⊥AP(O 为原点，A 为长轴端点)，求证：a ＞2b.【素养优化训练】一、选择题1.已知椭圆42x +32y =1，F 1F 2是它的两个焦点，P 是那个椭圆上任意一点，那么当｜PF 1｜·｜PF 2｜取最大值时，P 、F 1、F 2三点( )A.共线B.组成一个正三角形C.组成一个等腰直角三角形D.组成一个锐角三角形2.A 、B 分别是x 轴，y 轴正方向上的点，F 为OA 上的点，∠OFB=30°，当S △ABF =2-3，那么以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为焦点的椭圆方程是( ) A. 92x +42y =1 B. 102x +52y =1 C. 252x +102y =1 D. 82x +22y =1 3.椭圆ax 2+by 2=-ab(a ＜b ＜0＝的焦点坐标是( )A.(±b a -,0)B.(±a b -,0)C.(0,±b a -)D.(0,±a b -)4.B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若｜F 1B 2｜是｜OF 1｜和｜B 1B 2｜的比例中项，则21OB PF 的值是( ) A.2 B. 22 C. 23 D. 32 5.若M(x,y)适合arcsin 2x +arccos 3y =π，则点M 轨迹方程是( ) A. 42x +92y =1(x ≠0) B. 42x +92y =1(x ≤0,y ≥0) C. 42x +92y =1(y ≠0) D. 42x +92y =1(x ≥0,y ≤0)二、填空题 6.椭圆92x +42y =1上各点与其左焦点所连线段中点的轨迹方程为 . 7.若B(-8，0)，C(8，0)为△ABC 的两顶点，AC 和AB 两边上的中线之和是30，则△ABC 的重心轨迹的标准方程是 .8.已知椭圆42x +92y =1的两焦点F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与椭圆相交于其中一个交点P ，则△F 1PF 2的面积是 .三、解答题9.已知椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0),A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(x 0,O),证明：-a b a 22-＜x 0＜ab a 22-10.P 为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上一点，过P 作圆x 2+y 2=b 2的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x,y 轴于M 、N ，求△OMN 面积的最小值.【生活实际运用】1.取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1和F 2两点，当绳长大于F 1和F 2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可画一个椭圆.2.一束光线垂直于一个墙面，将一块圆形纸板置于光源与墙面之间，墙面会显现纸板的影子，变化纸板与光线的角度，影子的形状也会发生变化，观看这些影子会显现哪些不同的形状.参考答案：A 级1.C2.C3.C4.C5.B6.(0，-69) (0，69)7. 362x +162y =1或362y +162x =1 8.(3，4)，(3，-4)，(-3，4)，(-3，-4) 9. 122x +92y =1 10.(0，2)或(0，-2) AA 级1.C2.B3.D4.D5.D6. 252x +162y =1(y ≠0)7.±108. 252x +162y =1或252y +162x =1 9. 11216或17432 10.设P(x 0,y 0),A(a,0),则y 20=22a b (a 2-x 20)，由OP ⊥AP 得y 20=x 0(a-x 0),解得x 0=222b a ab -，不妨设P 在第一象限，则0＜x 0＜a ，即0＜222b a ab -＜a,得a ＞2b.【素养优化训练】 1.B 2.D 3.D 4.B 5.D 6.9)52(2+x +y 2=1 7. 1002x +362y =1 8.4 9.略 10.S △OMNmin =a b 3。