中值定理与导数的应用

中值定理与导数的应用 1 第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f（x)在点x0的某邻域U(x0）内有定义 并且在x0处可导 如果对任意xU（x0) 有 f（x)f(x0) （或f（x）f(x0)） 那么f （x0）0 罗尔定理 如果函数)(xf满足：（1）在闭区间],[ba上连续， （2)在开区间),(ba内可导， (3)在区间端点处的函数值相等，即)()(bfaf， 那么在),(ba内至少在一点)(ba ， 使得函数)(xf

在该点的导数等于零，即0)('f。 例：设函数)(xf在[0,1]上连续，在(0，1）上可导，0)1(f，证明：在(0，1)内存在，使得

)()(f

f．

【分析】本题的难点是构造辅助函数,可如下分析： 0)(0)()(0)()()()(xxfxfxxfffff

【证明】令)()(xxfxG，则)(xG在［0,1]上连续，在（0，1）上可导，且 0)1(1G(1)0,0)(0)0(ffG,)()()(xfxxfxG 由罗尔中值定理知，存在)1,0(，使得)()()(ffG．即

)()(f

f

例：设函数f（x）， g（x)在［a, b]上连续，在（a, b）内具有二阶导数且存在相等的最大值,f（a)=g(a）， f(b)=g(b）， 证明：存在(,)ab，使得()().fg

【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令()()()Fxfxgx，则问题转化为证明()0F， 只需对()Fx用罗尔定理,关键是找到()Fx的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点），而利用F（a)=F(b）=0, 若能再中值定理与导数的应用 2 找一点(,)cab，使得()0Fc，则在区间[,],[,]accb上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两

点，再对()Fx用罗尔定理即可。 【证明】构造辅助函数()()()Fxfxgx，由题设有F(a)=F（b)=0. 又f(x), g（x)在(a， b)内具有相等的最大值， 不妨设存在21xx, ),(,21baxx使得

12[,][,]()max(),()max()abab

fxMfxgxMgx,

若21xx,令1xc， 则()0.Fc

若21xx,因111222()()()0,()()()0FxfxgxFxfxgx，从而存在

12[,](,)cxxab，使()0.Fc 在区间[,],[,]accb上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)accb，使得12()()0FF。 再对()Fx在区间12[,]上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)ab，有()0F， 即 ()().fg

二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数)(xf满足（1）在闭区间],[ba上连续， (2）在开区间),(ba

内可导， 那么在),(ba内至少有一点)(ba， 使得等式 ))(()()('abfafbf

例:. 证明当x0时, xxxx)1ln(1. 证 设f（x）ln（1x), 显然f（x)在区间［0, x］上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理， 就有 f（x）f(0）f (）(x0）, 0<

由于f（0）0， xxf11)(， 因此上式即为 1)1ln(xx。

又由0x， 有 xxxx)1ln(1. 例 证明：当0〈b〈a时，bbabaabaln 中值定理与导数的应用 3 【分析】即证:bbabaa1lnln1

【证明】令],[,ln)(abxxxf，在],[ab上使用拉格朗日中值定理，知存在 ，使),(ab

1)(lnlnfbaba

,ab所以ba111，即bbabaa1lnln1 ，变形得证。

例(真题）设函数()fx在[0,]上可导，(0)0lim()2xffx且,证明

（1)存在0a,使得()1fa

（2）对（1）中的a，存在(0,),a使得1'().fa

证明：（1）因为lim()2xfx，对于12，存在0A,使得当xA时,1|()2|2fx，因此3()2fA，由连续函数的介值性,存在(0,)aA，使得()1fa. （2）由拉格朗日中值定理，存在(0,),a使得()(0)1'().0faffaa



定理 如果函数f（x)在区间I上的导数恒为零, 那么f（x）在区间I上是一个常数。 例:求证2arccosarcsinxx )11(x. 证 设)(xfxxarccosarcsin，当11x时有 01111)(22xxxf 由推论1，)(xf在区间)1,1(内为一常数C，即 Cxxarccosarcsin 下面确定常数C的值，不妨取0x，得

200arccos0arcsin)0(fC 所以当11x时， 2arccosarcsinxx

对于1x时，等式显然成立，故命题得证。 中值定理与导数的应用 4 三、柯西中值定理

柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x）在闭区间[a, b］上连续， 在开区间(a, b）内可导， 且F (x)在(a， b)内的每一点处均不为零， 那么在（a, b)内至少有一点, 使等式 )()()()()()(FfaFbFafbf成立. 显然， 如果取F(x）x， 那么F(b）F(a）ba, F (x)1， 因而柯西中值公式就可以写成： f(b）f（a)f （）（ba) (a〈〈b）, 这样就变成了拉格朗日中值公式了。 §3. 2 洛必达法则 若0)(limxfax，0)(limxgax,则 )()(limxgxfax 称为00的待定型。 类似的待定型有：00，，0，，1，00，0。 一、00型未定式 定理1 设函数)(xf、)(xF满足下列条件: (1）0)(lim0xfxx，0)(lim0xFxx;

（2）)(xf与)(xF在0x的某一去心邻域内可导，且0)(xF； (3）)()(lim0xFxfxx存在（或为无穷大)，则

这个定理说明：当)()(lim0xFxfxx存在时，)()(lim0xFxfxx也存在且等于)()(lim0xFxfxx；当)()(lim0xFxfxx为无穷大时，)()(lim0xFxfxx也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（HLospital）法则。

)()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx中值定理与导数的应用

5 例:计算极限33221216lim248xxxxxx．

解:由洛必达法则，得 33221216lim248xxxxxx222312lim344xxxx



263lim642xxx



注:若(),()fxgx仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即

()()()limlimlim()()()xaxaxafxfxfxgxgxgx



．

例： 计算极限arctan2lim1xxx．

解arctan2lim1xxx2211lim1xxx22lim11xxx． 例: 求极限2

2

0)sin1ln(2coslnlimxxxx

解2

2

0)sin1ln(2coslnlimxxxxxxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim20







3sin112cos222sinlim20xxxxx

例（真题)求极限401cosln(1tan)limsinxxxxx



【解析】2

44001ln(1tan)1cosln(1tan)2limlimsinsinxxxxxxxxxx





22201ln(1tan)lim2sinsinxxxxxx

201ln(1tan)1lim2sin4xxxx



二、型未定式 定理2 设函数)(xf、)(xF满足下列条件： （1）)(lim0xfxx,)(lim0xFxx;

（2))(xf与)(xF在0x的某一去心邻域内可导，且0)(xF； （3）)()(lim0xFxfxx存在（或为无穷大）,则 )()(lim)()(lim00xFxfxF

xf

xxxx