多元函数与偏导数多元函数的偏导数和极值问题
多元微积分-多元函数的极值
( x0, y0 ) 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必 然 为 零 ：
fx(x0,y0) 0 ， fy(x0,y 0) 0 .
（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
定理2 （充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
小值.
使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
回忆一元函数的极值及其求法
100 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx 10x 48 0 Ly 20y 24 0
解得惟一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 惟一驻点为极大值点，
即为最大值点，
解 fx (x, y) 3x2 3y fy (x, y) 3y2 3x
fxx (x, y) 6x fxy (x, y) 3 f yy (x, y) 6 y
解方程组
f f
x y
(x, (x,
y) y)
3x2 3y2
3y 3x
0 0
在 0, 0点处
得驻点 0, 0，1,1
A fxx (0, 0) 0 B fxy (0, 0) 3 C f yy (0, 0) 0
多元函数取得极值的条件
序列可行方向的性质 性 质 1 处可微， 设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有 在 处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关， 由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空 ， 法 间 n − me −1 空 ， 生 m 维 间 其 空 是 为 间 在 空 中 取 组 准 交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考 函 方 组 法 间 任 一 标 正 基 虑 数 程
∇f (x*) = 0
设 元 数 (x)存 二 连 偏 数 x*是 小 n 函 f 在 阶 续 导 ， 极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一 的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )
多元函数微分学》名师教案,新课+复习,全突破分享
多元函数微分学》名师教案,新课+复习,全突破分享第一章：多元函数的概念与基本性质1.1 多元函数的定义与图形表示1.2 多元函数的极限与连续性1.3 多元函数的偏导数与全导数1.4 多元函数的泰勒公式与极值问题第二章：多元函数的微分学2.1 多元函数的微分概念2.2 多元函数的链式法则2.3 多元函数的偏导数计算规则2.4 多元函数的隐函数求导与参数方程求导第三章：多元函数的积分学3.1 多元函数的二重积分概念3.2 二重积分的计算法则与性质3.3 多元函数的三重积分与四重积分3.4 多元函数的定积分与不定积分第四章：多元函数的极值与优化问题4.1 多元函数的极值概念与判定条件4.2 多元函数的极值求解方法4.3 多元函数的最大值与最小值问题4.4 多元函数优化问题的应用实例第五章：多元函数微分学的应用5.1 多元函数微分学在几何中的应用5.2 多元函数微分学在物理中的应用5.3 多元函数微分学在经济中的应用5.4 多元函数微分学在其他领域的应用第六章：向量分析简介6.1 向量的定义与运算6.2 向量场与散度6.3 向量场的旋度6.4 向量分析的应用第七章：线性代数与多元函数微分学7.1 矩阵与行列式的基础知识7.2 向量空间与线性变换7.3 特征值与特征向量7.4 线性代数在多元函数微分学中的应用第八章：重积分与多重积分8.1 重积分的定义与性质8.2 二重积分的计算法则8.3 三重积分与四重积分8.4 多重积分的应用第九章：曲线与曲面的微分学9.1 曲线与曲面的表示方法9.2 曲线的切线与法线9.3 曲面的切平面与法线平面9.4 曲率与曲率公式第十章：隐函数与参数方程的微分学10.1 隐函数微分学的基本原理10.2 参数方程微分学的基本原理10.3 隐函数与参数方程微分学的应用10.4 复杂曲面的微分学问题第十一章：多元函数微分学在实际问题中的应用11.1 多元函数微分学在工程中的应用11.2 多元函数微分学在生物学中的应用11.3 多元函数微分学在经济学中的应用11.4 多元函数微分学在其他科学领域的应用第十二章：多元函数微分学的进一步研究12.1 多元函数微分学的推广12.2 多元函数微分学的新发展12.3 多元函数微分学与其他数学分支的融合12.4 多元函数微分学的前沿问题第十三章：多元函数微分学的教学策略与方法13.1 多元函数微分学的教学目标与方法13.2 多元函数微分学的教学难点与对策13.3 多元函数微分学的教学实践与反思13.4 多元函数微分学的教学资源与工具第十四章：多元函数微分学的测试与评估14.1 多元函数微分学的考试与评估方法14.2 多元函数微分学的试题设计与分析14.3 多元函数微分学的解题策略与技巧14.4 多元函数微分学的学业评价与反馈第十五章：多元函数微分学的教学研究与发展15.1 多元函数微分学的教学研究方法与途径15.2 多元函数微分学的国内外教学现状与发展趋势15.3 多元函数微分学的教学改革与创新15.4 多元函数微分学的教育技术应用与展望重点和难点解析本文教案主要涵盖了多元函数微分学的概念、性质、计算方法及其在各个领域的应用。
多元函数的极值点
多元函数的极值点多元函数的极值点是数学中一个重要的概念，它在实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将围绕多元函数的极值点展开讨论，从不同的角度来探究其意义和应用。
一、什么是多元函数的极值点？多元函数的极值点是指在给定的定义域内，函数取得最大值或最小值的点。
对于一个一元函数，我们可以通过求导数来判断其极值点，但对于多元函数则更加复杂。
在多元函数中，我们需要使用偏导数来判断极值点的存在和位置。
偏导数是指将多元函数在某个自变量上求导，其他自变量视为常数。
通过求取各个自变量的偏导数，并令其等于零，可以得到一组方程，解这组方程即可求得多元函数的极值点。
二、多元函数极值点的意义多元函数极值点在实际问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们找到最优解或最优状态。
例如，在经济学中，我们常常需要求解某种商品的最大利润或最小成本，在物理学中，我们需要求解某种物理量的最大值或最小值。
通过分析多元函数的极值点，我们可以找到问题的最佳解决方案，优化生产和经营效益，提高资源利用效率，实现可持续发展。
三、多元函数极值点的应用1.经济学中的应用在经济学中，多元函数的极值点被广泛应用于市场分析、供求关系研究等领域。
例如，通过对市场需求和供应函数进行分析，可以求解出市场平衡点，即市场需求与供应相等的点，从而确定市场价格和数量。
2.物理学中的应用在物理学中，多元函数的极值点被应用于力学、电磁学等领域。
例如，在力学中，通过对物体的位移、速度、加速度等进行函数建模，可以求解出物体的最大速度、最小加速度等相关信息。
3.生物学中的应用在生物学中，多元函数的极值点被应用于生物进化和种群动力学等领域。
例如，通过对种群数量和环境因素的函数关系进行建模，可以求解出种群数量的最大值或最小值，从而研究生物种群的生存和繁衍规律。
四、多元函数极值点的求解方法1.利用偏导数法通过对多元函数各个自变量求偏导数，并令其等于零，可以得到一组方程。
解这组方程可以求得多元函数的极值点。
多元函数的极值及其应用
多元函数的极值及其应用
多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
在多元函数中，每个自变量都有自己的变化范围，在此范围内寻找极值就是多元函数的求极过程。
多元函数的求极过程在实际应用中有着广泛的应用，例如寻找最大收益、最小成本等问题。
多元函数的极值求解大致可以分为以下几个步骤：
1. 求出函数的偏导数；
2. 解出偏导数为0的自变量取值；
3. 对于每个自变量取值，求出函数的极值；
4. 比较所有极值，得出最大值或最小值。
下面以一个简单的例子来说明求多元函数的极值的过程。
例题：求函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2+6x-4y+7在平面区域D: 2≤x≤4, 1≤y≤3上的极值。
步骤1：求偏导数。
∂f/∂x = 2x+2y+6
步骤2：解出偏导数为0的自变量取值。
由∂f/∂y = 0得 2x+2y-4 = 0，即 x+y=2。
解得x=-1,y=-2和x=3,y=-6。
步骤3：求出函数的极值。
对于(x,y)=(-1,-2)，f(-1,-2)=(-1)^2+2*(-1)*(-2)+(-2)^2+6*(-1)-4*(-2)+7=10。
步骤4：比较所有极值，得出最大值或最小值。
多元函数求极值在实际应用中非常常见，例如经济学中的最大收益模型、工程学中的最小能量模型等。
通过求解多元函数的极值，可以得到最优解，进而优化实际问题的解决方案，提高效率和效益。
多元函数的极值问题
最优路径规划
在地图导航、物流配送等领域， 需要寻找从起点到终点的最优路 径，这也可以通过求解多元函数 的极值来找到最优解。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何将资 源合理分配以最大化效益，可以 通过求解多元函数的极值来找到 最优解。
在经济模型中的应用
供需平衡问题
在市场经济中，供需关系影响着商品的价格，如何找到供需平衡点， 可以通过求解多元函数的极值来找到。
03
多元函数极值的存在性定理
极值存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的二阶导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在极 值点。
证明过程
利用二阶导数的性质，通过构建辅助 函数和运用中值定理，证明极值点的 存在性。
稳定点存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的所有偏导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在稳定 点。
投资组合优化
投资者需要根据市场情况选择不同的投资组合，以最大化收益或最 小化风险，这可以通过求解多元函数的极值来实现。
劳动力市场分析
在劳动力市场中，如何找到最佳的工资和就业率，可以通过求解多 元函数的极值来找到。
在机器学习中的应用
神经网络训练
在机器学习中，神经网络是一种重要 的模型，其训练过程实际上就是求解 多元函数的极值过程，以找到最佳的 权重和偏置。
多元函数的极值问题在数学建模中具有广泛 的应用，如最优化问题、曲线拟合、插值等 。
实际问题解决
在经济学、物理学、工程学等领域，多元函数的极 值问题常常用于解决实际问题，如成本最小化、效 益最大化等。
算法设计与分析
多元函数的极值问题也是算法设计与分析的 重要基础，如梯度下降法、牛顿法等优化算 法的设计与改进。
多元函数的极值问
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题一直是数学的一个重要组成部分，它是用来求解函数发挥最大或最小作用值的重要工具。
它可以用来研究最优化问题，并能极大地减少解决此类问题所需要的时间和精力。
首先，求解多元函数的极值时，需要将多元函数看成一个变量变化时，其他变量的影响。
一般而言，极值是在满足多元函数极大值点或极小值点的数学条件时获得的，学了一定的方法和技巧，建立一个数学模型就可以求解出极值人口。
其次，求解极大值或极小值时，一般使用微积分知识，尤其是求偏导数，并在多元函数中求解偏导数等于零的条件，由此可以得出求解极值问题的本质形式。
最后，使用拉格朗日乘数法，可以克服多元函数的计算困难。
通过这一方法，可以将极值问题转化为等价的标准最优化问题，并可以得出最优解满足条件。
总之，求解多元函数的极值问题并不是一件容易的事，但是只要掌握了正确的方法，就可以更好的解决此类问题，为研究和分析最优化问题提供有力的技术支持。
第六章多元函数典型例题
z z 13 设z z ( x, y )是由方程F ( x z, y z ) 0确定，试求 , . x y 解：解法一 方程两边分别对 x和y求偏导，并注意 z是x, y的函数.
若设u x z, v y z , 则有F (u, v) 0, 函数的结构为
u F v z y y
(2) z (1 xy) y
z 解： y (1 xy) y 1 y y 2 (1 xy) y 1 , x z y ln(1 xy) (e ) y y x y ln(1 xy ) e [ln( 1 xy) y ] 1 xy xy y (1 xy) [ln( 1 xy) ] 1 xy
x
x
z z z z Fu (1 ) Fv 0, Fu ( ) Fv(1 ) 0, x x y y Fu Fv z z 解得 , . x Fu Fv y Fu Fv
解法二 利用隐函数的微分法 . 若设u x z , v y z , 则有F (u , v ) 0.
2 2 2z z z 2 2 12 x 2 , 2 , 12 y 2. 2 2 xy x y
(3) 判断 在驻点(1,1)处， B 2 AC 4 100 96 0, 且A 0, 所以z在点(1,1)和(1,1)处取得极小值 z 2. 在驻点(0,0) 处， B 2 AC 4 4 0. 这时不能判断点 (0,0)是否为极值点，为此考 察函数在点 (0,0) 附近的变化情况：在点 (0,0)的足够小邻域内，沿直 线y x有 z ( x, x) 2 x 4 z (0,0) 0;而沿直线y x有z ( x, x) 2 x 4 4 x 2 2 x 2 ( x 2 2) z (0,0) 0,由此可见，点 (0,0)不是函数的极值点， 即z (0,0) 0不是函数的极值 .
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题，而当函数的自变量不止一个时，就会涉及到多元函数的极值与最值问题。
本文将对多元函数的极值与最值进行探讨和讲解。
1. 极值的概念在一元函数中，我们知道极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
而在多元函数中，极值的概念与一元函数类似，也是指函数在某一点或某一区域内取得的最大值或最小值。
2. 极值的判定条件对于一元函数，我们通过导数的正负性来判断极值点。
而对于多元函数，判断极值点更加复杂。
我们需要利用偏导数和二阶导数的信息来进行判定。
a. 偏导数的判定方法偏导数是多元函数在某个自变量上的变化率，可以用来判断极值点的存在与否。
当偏导数为零时，可能存在极值点，但不一定。
我们需要进一步利用二阶偏导数的信息来判定。
b. 二阶偏导数的判定方法二阶偏导数是多元函数的偏导数再次求导得到的结果。
通过对二阶偏导数的判断，我们可以判定极值点的性质。
- Hessian矩阵的判定方法Hessian矩阵是由二阶偏导数组成的矩阵，通过判断Hessian矩阵的正定性、负定性或不定性，可以判断极值点的类型。
正定矩阵对应极小值点，负定矩阵对应极大值点，而不定矩阵则表示没有极值点。
3. 最值的概念除了极值点外，多元函数还有最值概念。
最值表示在给定区域内使函数取得最大值或最小值的点。
4. 最值的判定方法对于多元函数的最值问题，我们需要考虑两个因素：极值点和区域边界。
a. 极值点的判定方法和极值判定类似，我们利用偏导数和二阶偏导数的信息来判断极值点的存在与性质。
b. 区域边界的判定方法当给定区域为有界闭区域时，我们需要考虑边界上的点是否为最值点。
这一判断方法需要将边界上的点代入函数进行求值比较。
5. 实例分析接下来，我们通过一个实例来具体分析多元函数的极值与最值问题。
假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5，我们要求函数的极值与最值。
多元函数的极值及最值问题
多元函数的极值及最值问题多元函数的极值及最值问题在数学中是一个重要的研究领域。
它涉及到了多元函数的最大值和最小值，以及如何求取这些值的方法。
本文将从定义、求解方法和实例等方面来讨论多元函数的极值及最值问题。
一、定义首先，我们先来了解一下多元函数的极值和最值的定义。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，如果存在一个点 (x1*, x2*, ..., xn*)，使得在其邻域内的任意点 (x1, x2, ..., xn) 都满足f(x1*, x2*, ..., xn*) ≥ f(x1,x2, ..., xn)，则称该点为函数的极大值点。
类似地，如果存在一个点(x1*, x2*, ..., xn*)，使得在其邻域内的任意点 (x1, x2, ..., xn) 都满足f(x1*, x2*, ..., xn*) ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称该点为函数的极小值点。
最大值和最小值是多元函数的最值问题，即求取函数在给定定义域内取得的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
二、求解方法在求解多元函数的极值和最值问题时，可以采用以下方法：1. 极值的存在性判断对于一个具体的多元函数，首先需要确定它的定义域。
然后，通过求取函数的偏导数，判断其偏导数是否为零（或不存在）。
若存在某一点使得偏导数为零（或不存在），则该点可能是函数的极值点。
2. 极值的求解在确定了可能的极值点后，可以进一步进行求解。
常用的方法有以下几种：- 梯度法：通过计算函数的梯度向量，并将其置为零，求解出使得梯度向量为零的点，即可能的极值点。
- 条件极值法：若多元函数受到一些条件约束，可以通过引入拉格朗日乘子法进行求解。
在建立拉格朗日函数后，将其偏导数为零的点作为可能的极值点。
3. 讨论临界点求得极值点后，需要进行分类讨论。
通过计算函数的二阶偏导数或者使用黑塞矩阵等方法，可以判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。
三、实例分析下面我们通过一个实例来具体讨论多元函数的极值及最值问题。
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多元函数与偏导数多元函数的偏导数和极值
问题
多元函数与偏导数
多元函数是指自变量不只是一个，而是多个的函数。
在多元函数中，我们可以通过偏导数来研究函数的变化趋势和极值问题。
本文将介绍
多元函数的偏导数和极值问题，并探讨其应用。
一、多元函数的偏导数
多元函数的偏导数是指只对其中一个自变量求导，将其他自变量视
为常数的导数。
对于多个自变量的情况，我们可以分别对每个自变量
求偏导数。
以一个二元函数为例，设函数为f(x, y)，其中x和y为自变量。
我
们分别对x和y求偏导数得到：
∂f/∂x 和∂f/∂y。
二、偏导数的几何意义
在单变量函数中，导数可以表示函数在某一点的切线斜率。
而在多
元函数中，偏导数也有类似的几何意义。
对于偏导数∂f/∂x，可以理解为函数在自变量x方向上的变化率。
具
体而言，在函数曲面上，当自变量x发生微小变化时，函数值的变化
量与x的变化量之比即为∂f/∂x。
同样，∂f/∂y表示函数在自变量y方向
上的变化率。
通过求偏导数，我们可以描绘出函数曲面在不同自变量方向上的变化率，从而更好地理解函数的性质。
三、偏导数的计算方法
对于多元函数，我们可以使用基本的微积分规则来计算偏导数。
以二元函数为例，设函数为f(x, y)，我们可以按照以下步骤计算它的偏导数：
1. 对自变量x求导，将y视为常数，得到∂f/∂x。
2. 对自变量y求导，将x视为常数，得到∂f/∂y。
同样的方法可以推广到更多自变量的情况。
四、多元函数的极值问题
在求解多元函数的极值问题时，我们需要求解函数的极值点，即使得函数取得最大值或最小值的自变量取值。
在单变量函数中，可以通过求导数并令导数为零来解决极值问题。
而在多元函数中，需要使用偏导数来解决。
对于二元函数f(x, y)，我们可以通过以下步骤来求解其极值：
1. 找到函数的偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y。
2. 令偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y 分别等于零，解得极值点(x*, y*)。
3. 对于极值点(x*, y*)，利用二阶偏导数来判断其为极大值点还是极小值点。
具体而言，当二阶偏导数满足以下条件时，极值点(x*, y*)对应的函
数值为极小值：
- ∂f^2/∂x^2 > 0
- (∂f^2/∂y^2)(∂f^2/∂x^2) - (∂f^2/∂x∂y)^2 > 0
若上述条件不满足，则极值点(x*, y*)对应的函数值为极大值。
五、多元函数与偏导数的应用
多元函数与偏导数的应用广泛存在于物理学、经济学、工程学等领域。
在物理学中，我们经常通过多元函数来描述物体的位移、速度、加
速度等。
利用偏导数，可以计算出物体在不同自变量方向上的变化率，进而解决相关问题。
在经济学中，多元函数常用于描述市场供给需求关系、产量成本关
系等。
通过求偏导数，可以分析价格、产量等变量之间的关系，并帮
助制定经济决策。
在工程学中，多元函数与偏导数也常用于优化问题，如最大化利润、最小化成本等。
通过求解极值点，可以得到最优的工程设计方案。
六、总结
本文介绍了多元函数的偏导数和极值问题。
我们了解了多元函数偏
导数的几何意义和计算方法，并探讨了多元函数的极值求解方法。
多
元函数与偏导数在各个学科领域都有着广泛的应用，帮助我们深入理
解函数的性质并解决实际问题。
通过进一步学习和实践，我们可以更好地掌握多元函数与偏导数的应用技巧。