绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值不等式
绝对值不等式知识总结：1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a ) ∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .题型一：绝对值不等式的解法例1：不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)例2：若关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <2 B.3－172<a <3＋172C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2举一反三：变式1：设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.变式2:不等式|x －2|＋|x ＋2|≥5的解集为______________．题型二：利用绝对值不等式求最值例1：对于任意实数a 和b (b ≠0)，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|b |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的取值范围是________．例2：记max{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≥q ，q ，p <q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．举一反三：变式1：若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 B ．(－∞，0] C ．(－∞，1]D ．(－∞，5]变式2：(2020·浙江第二次联盟联考)定义min{x ，y }＝⎩⎨⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知x 是不为2或8的实数，若S ＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2|x －2|，1|x －8|，则S 的最大值为________．题型三：绝对值不等式的综合应用例1：已知a ，b 为实数，不等式|x 2＋ax ＋b |≤|x 2－7x ＋12|对一切实数x 都成立，则a ＋b ＝________.例2：已知函数f (x )＝x |x －a |－1.①当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；②当x ∈(0,1]时，f (x )≤12x 2恒成立，求实数a 的取值范围．举一反三：变式1：已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．课后练习：1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1}D ．{x |x <－1或x >1}3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．74．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |>1.若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|>2(l >0)对任意的实数x都成立，则正数l 的取值范围为( ) A ．(0,23) B ．(23，＋∞) C ．(0,23]D ．[23，＋∞)8．若a ，b ，c ∈R ，且|a |≤1，|b |≤1，|c |≤1，则下列说法正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2 B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b －c 2 D ．以上都不正确9．若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |<b 的解集为(－2,1)，则实数a ＝________，b ＝________.10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.11．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋1对任意的实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．12．对任意的x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________；若正实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则t ＝433xy ＋2yz ＋xz 的最大值是________．13．已知函数f (x )＝x －1，若|f (x )－1|＋1|f (x －1)|－a >0对任意的x ∈R 且x ≠2恒成立，则实数a的取值范围为________；不等式|f (2x )|≤5－|f (2x －1)|的解集为__________．14．已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z ||2x 2－x －a －2|＋|2x 2－x ＋a －2|－2a ＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为______．15．已知a ，b ∈R ，f (x )＝|2x ＋ax ＋b |，若对于任意的x ∈[0,4]，f (x )≤12恒成立，则a ＋2b ＝________.。
1.21绝对值三角不等式的解法
与绝对值不等式相关的判断 【技法点拨】
与绝对值不等式相关的判断方法与技巧 (1)判断一个不等式成立与否,往往是对影响不等号的因素进行 分析,如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取 倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的 作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.
(2)如果对不等式不能直接判断,往往需要对不等式化简整理或 变形后再利用绝对值不等式进行判断.
a |b |
【解析】1.∵0< n <1,∴lg <n0,
n 1
n 1
由x<5,并不能确定|x|与5的关系.
所以①②③均不成立.
又∵|x|lg ≤n 0,5|lg |>0n ,
n 1
n 1
故④成立.
答案：④
2.①当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,
∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
∴必有 a ≥b 1，即|a|>|b|是
a |b |
≥1a 成 b立的充分条件.
a |b |
②当 a ≥b 1时,由|a+b|>0,
a |b |
必有|a|-|b|>0,即|a|>|b|,故|a|>|b|是
a ≥ 1b 成立的必要条件.
a |b |
∴不等式成立的充要条件为|a|>|b|.
2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件 不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式 |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0,左 侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
绝对值三角不等式 课件
证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,
||
||
>
≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2
||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
《绝对值的三角不等式》 讲义
《绝对值的三角不等式》讲义一、引入在数学的世界里，不等式是我们解决问题和理解数量关系的重要工具。
而绝对值的三角不等式，则是不等式家族中一个非常重要的成员。
它在代数运算、几何图形以及实际问题中都有着广泛的应用。
那么，什么是绝对值的三角不等式呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
二、绝对值的定义首先，我们来回顾一下绝对值的定义。
对于一个实数 x，其绝对值｜x| 表示 x 到 0 的距离。
当 x 大于等于 0 时，｜x| ＝ x；当 x 小于 0 时，｜x| ＝ x。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
三、三角不等式的形式绝对值的三角不等式有两种常见的形式：形式一：｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|形式二：｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|接下来，我们通过具体的例子来感受一下这两个不等式。
例 1：若 a ＝ 2，b ＝－3，那么｜a ＋ b| ＝｜2 ＋（－3)｜＝｜－1| ＝ 1，｜a| ＋｜b| ＝｜2| ＋｜－3| ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5，显然1 ≤ 5，满足｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
例 2：若 a ＝ 5，b ＝ 2，那么｜a b| ＝｜5 2| ＝ 3，｜｜a| ｜b|｜＝｜｜5| ｜2|｜＝｜5 2| ＝ 3，满足｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|。
四、证明绝对值的三角不等式（一）证明｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|我们分四种情况来讨论：情况一：当a ≥ 0，b ≥ 0 时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋ b，所以｜a ＋ b| ＝｜a| ＋｜b|。
情况二：当a ≥ 0，b ＜ 0 时，｜a ＋ b| ＝｜a （b)｜，因为a ≥ 0， b ＞ 0，根据三角形两边之和大于第三边，所以｜a （b)｜≤ ｜a| ＋｜ b| ＝｜a| ＋｜b|，即｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
情况三：当 a ＜ 0，b ≥ 0 时，与情况二类似，可得｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
高1数学绝对值三角不等式知识点
高1数学绝对值三角不等式知识点数学课本中不等式这一部分包含绝对值三角不等式，同学们需要重点关注，下面是店铺给大家带来的高1数学绝对值三角不等式知识点，希望对你有帮助。
高1数学绝对值三角不等式知识点(一)绝对值三角不等式绝对值三角不等式：1、基本形式如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立;2、变式如果a，b都是实数，则。
三角不等式的解法利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.高1数学绝对值三角不等式知识点(二)绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法二.教学目的1、掌握绝对值的三角不等式;2、掌握不等式证明的基本方法三.知识分析[绝对值的三角不等式]定理1若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。
几何说明：(1)当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。
(2)如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。
|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
定理2设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。
推论1推论2[不等式证明的基本方法]1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。
绝对值不等式考点与题型归纳
绝对值不等式考点与题型归纳一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解； 当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立； 当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2， 解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|， 两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0， 解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二 绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037， 所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三 绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1， 解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1， 当－1≤x ≤2时，显然满足题意， 当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6. 解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立； 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1； 当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1； 当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2， 解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立， 而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.。
如何巧用绝对值三角不等式解题
绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.显然，当且仅当ab ≥0时等号成立.由该不等式可推出定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立；定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时等号成立.绝对值三角不等式在解答含有绝对值的不等式、函数问题中应用广泛，下面结合实例,来谈一谈如何巧妙运用绝对值三角不等式解题.一、求解绝对值不等式问题绝对值不等式问题有很多种，如解绝对值不等式、证明绝对值不等式、求绝对值不等式中参数的取值范围.解答此类问题，通常需先将不等式进行合理的变形，然后根据绝对值三角不等式将不等式进行放缩，以便使不等式左右两边的式子成为同构式，再利用函数的单调性来解不等式，或将问题转化为函数最值问题，利用函数的性质、图象来解题.例1.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是_____．解：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.解答本题,主要利用了绝对值三角不等式.将问题转化为解绝对值不等式，通过解不等式，便可求得参数的取值范围.例2.已知二次函数f ()x =ax 2+bx +c 满足||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，试证明：当||x ≤1时，不等式||f ()x ≤178成立.证明：由||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，得ìíîïïf ()-1=a -b +c,f ()0=c,f ()1=a +b +c,即ìíîïïïïa =12f ()1-f ()0+12f ()-1，b =12f ()1-12f ()-1，c =f ()0，因此||f ()x =||ax 2+bx +c =|||éëùû12f ()1-f ()0+12f ()-1x 2|||+éëùû12f ()1-12f ()-1x +f ()0=|||12f ()1()x 2+x +f ()0()1-x 2|||+12f ()-1()x 2-x ≤12||f ()1|x 2+x +||f ()0|1-x 2+12·||f ()-1|x 2-x ≤12||x ||x +1+2||1-x 2+12||x ||x -1=12||x ·()x +1+2()1-x 2+12||x ()1-x =||x +2()1-x 2，当||x ≤1时，||x +2()1-x 2=||x +2()1-||x 2=-2·æèöø||x -142+178，其最大值为178，因此||f ()x ≤178.我们需先通过整体代换，用f ()-1、f ()1、f ()0来表示f ()x ，而||f ()x 中含有多个绝对值，为了证明不等式||f ()x ≤178，需巧妙利用绝对值三角不等式，将目标式进行放缩，从而去掉部分绝对值符号，将问题转化为求||x +2()1-||x 2的最值.二、解答含有绝对值的函数最值问题求解含有绝对值的函数最值问题，可巧用绝对值三角不等式，将含有绝对值的式子进行适当的放缩，使其简化，然后根据绝对值三角不等式取“=”的条件来寻找目标式取得最值时自变量的值.运用绝对值三角不等式，能使含有绝对值的函数最值问题变得简单，可省去许多对绝对值进行分类讨论的过程.例3.求函数y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值.解：由绝对值三角不等式可得：||x +1+||x +99≥||()x +1-()x +99=98，当且仅当()x +1()x +99≤0时成立，即当-99≤x ≤-1时，“=”成立，因此，当-99≤x ≤-1时，()||x +1+||x +99min=98，当-98≤x ≤-2时，()||x +2+||x +98min =96，当-97≤x ≤-3时，()||x +3+||x +97min =94，⋯，当-51≤x ≤-49时，()||x +49+||x +51min =2，可得当x =-50时，y =||x +1+||x +2+…+||x +99=98+96+…+2+0=2450，即y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值为2450.运用绝对值不等式求解含有绝对值的函数最值问题，需充分关注绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |取“=”时的情况.总之，在解答含有绝对值的不等式、函数问题时，同学们要注意将问题与绝对值三角不等式关联起来，灵活运用绝对值三角不等式,将含有绝对值的式子进行放缩，使其简化，再根据绝对值不等式、函数的性质来解题.（作者单位：江苏省南通市海门证大中学）思路探寻45。
绝对值三角不等式
3 2x 5
5 2x 3 5
2x 3 5
3 2x 5
2x 3 5 或 2 x 3 5
例 2：解不等式
1 2x 3 5
2x 3 5 2x 3 1
1 2 x 3 5或
5 2x 3 1
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义
表示点A到原点的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离 a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a
0 A a x
ab
B -b
A
a
a b
O b
B
x
探 究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与 a b 之 间的大小关系吗？
绝对值三角不等 式
a b ab a b
a b a b a b
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
(1). a b c a b c (2). a c a b b c
定理2
1、求证：（1） a b a b 2 a
类型2 x a x b c和 x a x b c
例4：
x 1 x 2 5
方法1：几何意义
-3 -2
1 2
x 3或x 2
x 例4： 1
x2 5
方法2：去绝对值
当x 1时
x 1 x 2 5
x2
无解
x 3
当 2 x 1时 x 1 x 2 5 当x 2时
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绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项
绝对值三角不等式是高中数学中常见的一类不等式，它的解法技巧和注意事项如下。
解法技巧：
1. 分析绝对值的取值范围：对于绝对值不等式|f(x)| < a，首先需要确定f(x)的取值范围。
根据绝对值的定义，当f(x)的取值在-a 和a之间时，不等式成立。
2. 分类讨论：根据f(x)的取值范围进行分类讨论，将不等式分为多个情况进行分析。
例如，当f(x) > 0时，|f(x)| = f(x)；当f(x) < 0时，|f(x)| = -f(x)。
根据不同情况，构建等式或不等式进行求解。
3. 利用绝对值性质简化不等式：绝对值有一些基本的性质，如|a+b| ≤ |a| + |b|和|a-b| ≥ ||a| - |b||。
在解决绝对值三角不等式时，可以通过利用这些性质将复杂的不等式简化为更简单的形式。
注意事项：
1. 确定变量的定义域：在解决绝对值三角不等式时，需要考虑变量的取值范围，即定义域。
根据函数的定义域，确定绝对值的取值范围，从而确定不等式的解集。
2. 注意绝对值的符号：绝对值的结果总是非负数，即|a| ≥ 0。
在解决绝对值三角不等式时，需要根据不等式的符号确定绝对值的符号，避免出现不符合实际情况的解。
3. 将不等式化为关于绝对值的形式：有时候，需要将不等式转化为关于绝对值的形式，例如将|x+a| -b。
通过求解这两个不等式得到更精确的解集。
绝对值三角不等式的解法技巧和注意事项上述所述，可以帮助我们更好地理解和解决这类不等式问题。