2019年上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2019
年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接
写结果，1-14题每个空格填对得4分）
1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．
2．函数y=的定义域是______．
3．在△ABC中，||=2，||=3，?＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______
．
4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．
5．已知抛物线y2=4x上一点M（x
0
，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．
6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为Sn，则Sn=2，则
q=______
．
7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为
Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则
R=______cm．
8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法种数共有______．（用数字作答）
9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB
的倾斜角为α，则cosα的值为______．
10．已知函数f（x）=2
x﹣a?2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1
（x）在定义域上是奇函数，则正
实数a=______．
11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______
．
12．在（x++1
）
6
展开式中的常数项是______（用数值作答）
13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D
1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1
|
=2
的点P的个数为______．
14．若数列{an}前n项和Sn满足Sn﹣1+Sn=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a
n
}单调
递增，则x的取值范围是______．
2019年上海市高考数学试卷+参考答案+详情解析
2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3）．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为40 ．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣6 ．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝﹣1 ．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且S n﹣1+a n﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B 上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，0，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sin A，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BD sin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BC sin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；（2）根据正弦定理可得，，∴sin A＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB 的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d ＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m﹣q＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，关键是对新定义的理解，属难题．。
2019届浦东区高三二模数学Word版(附解析)(可编辑修改word版)
上海市浦东新区2019届高三二模数学试卷2019.4一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合，集合，则{|5}A x x =>{|7}B x x =≤A B = 2. 若行列式，则 128012x -=x =3. 复数的虚部为 （其中为虚数单位）12i i z +=i 4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形（结果用数值表示）5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的 倍6. 已知函数（）是偶函数，则的最小值是()sin 2()f x x ϕ=+0ϕ>ϕ7. 焦点在轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为x 8. 已知无穷数列满足，则 {}n a 11201831201921n n a n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩lim n n a →∞=9. 二项式展开式的常数项为第 项61(2)2x x -10. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为 （精确到小数点后一位）11. 已知正方形边长为8，，，若在正方形边上恰有6个不同ABCD BE EC = 3DF FA = 的点，使，则的取值范围为P PE PF λ⋅=λ12. 已知是定义在上的函数，若在定义域上恒成立，2()22f x x x b =++[1,0]-[()]0f f x ≤而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是 0x 00[()]f f x x =00()f x x ≠b 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A.B. C. D. 14. 点到直线（为参数，）的距离为（ ）(2,0)P 1423x t y t =+⎧⎨=+⎩t t ∈R A. B. C. D. 35456511515. 已知点满足约束条件，则目标函数的最小值为（(,)P x y 5025200040x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩z x y =-）A. 40B.C. 30D. 40-30-16. 已知，则对任意非零实数、、、，方程()||f x a x b c =-+a b c m 的解集不可能为（ ）2()()0mf x nf x t ++=A. B. C.D. {2019}{2018,2019}{1,2,2018,2019}{1,9,81,729}三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正三棱柱中，，延长至，使.111ABC A B C -122AA AC ==CB D CB BD =（1）求证：；1CA DA ⊥（2）求二面角的大小.（结果用反三角函数值表示）1B AD C --18. 已知向量，，其中，若函数(2sin ,cos2)m xx ωω= ,1)n x ω= 0ω>的最小正周期为.()f x m n =⋅ π（1）求的值；ω（2）在△中，若，，，求的值.ABC ()2f B =-BC =sin BA =BA BC ⋅19. 浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点，地球半径忽略不P 计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的700R =中心为右焦点的椭圆，已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星F C A 表面的距离为100万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面距离为B 2500万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；C （2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心万米A O 时（其中、分别为椭圆长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然a b 失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求“变轨系数”的取值范围，使地球与L k k 木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）20. 已知各项均不为零的数列满足，前项的和为，且，{}n a 11a =n n S 22212n n nS S n a --=，，数列满足，.*n ∈N 2n ≥{}n b 1n n n b a a +=+*n ∈N （1）求、；2a 3a （2）求；2019S （3）已知等式对，成立，请用该结论求有穷数列，11k k n n kC n C --=⋅1k n ≤≤*,k n ∈N {}k k nb C 的前项和.1,2,,k n =⋅⋅⋅n n T21. 已知函数的定义域，值域为.()y f x =D A （1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由）R ① ，；② ，；1()tan[()]2f x x π=-(0,1)x ∈1()lg(1)g x x =-(0,1)x ∈（2）已知，，函数的值域，试求出12()log (21)f x x =+()sin 2g x x =[lg()]f x [1,0]A =-满足条件的函数一个定义域；[lg()]f x D （3）若，且对任意的，有，证明：D A ==R ,x y ∈R |()||()()|f x y f x f y -=-.()()()f x y f x f y +=+参考答案一. 填空题1.2. 3. 4. (5,7]31-2206. 7. 8. 4π22154x y -=09. 10. 11. 12. 412.3(1,8)-13[,)28--二. 选择题13. B14. D 15. B 16. D 三. 解答题17.（1）略；（2）arctan 418.（1），；（2），()2sin(26f x x πω=+1ω=23B π=32-19.（1）；（2）2222120001600x y +=( 1.8,1.1)-20.（1），；（2），26a =34a =(1)(1)n n S n n =++-20194078379S =（3），，42n b n =+2n ≥(22)22n n T n n =+⋅+-21.（1）①；（2）可以为；（3）略. [0,]12π。
2020届上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)(有答案)(精品)
上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．2．函数y=的定义域是______．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=______．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=______cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为______．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=______．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______．12．在（x++1）6展开式中的常数项是______（用数值作答）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取﹣1值范围是______．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数y=的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：2n﹣1≥0，解得n的范围即可．【解答】解：根据题意得：2n﹣1≥0，解得：n≥0．∴函数y=的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC 的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得：=4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的各项和，属基础题．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是（x﹣）2+（y﹣）2=．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先在极坐标方程ρ=sinθ+cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．即（x﹣）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．12．在（x++1）6展开式中的常数项是581（用数值作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2kx r﹣2k，令r﹣2k=0，对k，r分类讨论即可得出．【解答】解：T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2k x r﹣2k，令r﹣2k=0，k=0，r=0时，可得：T1=1．k=1，r=2时，可得：T3=，T′2=，∴=60．k=2，r=4时，可得：T5=，T′3==24，∴×24=360．k=3，r=6时，可得：T7=，T′4==160，∴×160=160．∴（x++1）6展开式中的常数项是1+60+360+160=581．故答案为：581．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件，{a n}单调递增，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2）得S n+S n+1=2（n+1）2+1，两式相减得a n+1+a n=4n+2，故a n+2+a n+1=4n+6，两式再相减得a n+2﹣a n=4，得{a n+2}是公差d=4的等差数列，由n=2得a1+a2+a1=9，a2=9﹣2x，从而a2n=4n+5﹣2x；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=19，a3=1+2x，从而a2n+1=4n﹣3+2x，由条件得，解得2＜x＜3，故x的取值范围为（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题．16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据等差中项，得到2log2y=2+log2x，继而得到y2=4x，x＞0，y＞0，问题得以解决．【解答】解：∵log2x，log2y，2成等差数列，∴2log2y=2+log2x，∴y2=4x，x＞0，y＞0，∴M（x，y）的轨迹的图象为焦点为（1，0）的抛物线的一部分，x＞0，y＞0，故选：A．【点评】本题考查了等差中项和对数的运算性质，以及抛物线的问题，属于基础题．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π【考点】复数求模．【分析】由已知可得： +4=0，解得=i，即可得出．【解答】解：∵，∴+4=0，解得==i，∴|z1|=|z2||1i|=4，∴以|z1|为直径的圆的面积为22π=4π．故选：B．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE 与面ABC所成的锐二面角的大小．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；理由如下：∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴=，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，又B是平面PBE和平面ABC的公共点，∴BC是面PBE与面ABC的交线．（2）∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴V B﹣PADE =S梯形ADEP•AB=（1+2）×1×AB=，解得AB=．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（，0，2），=（0，1，﹣1），设二面角PBE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣，1，1），平面ABC的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞===，∴面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小为arccos．【点评】本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，∴=k2，∴﹣+m2=0，∵m≠0，∴k2=，方向向量=（±2，1）．∴直线l不定向．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．【点评】本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．∴13447＜（n﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n∈Z，∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意可知a n•b n=a n﹣1•b n﹣1=…=a1•b1，故问题得以证明；（2）根据{a n}是递减数列，得到（a1﹣b1）2＞0，a n＞b n，得到a1＞b1恒成立，（3）先判断a n +1＞2，再根据a n +1﹣a n =，得到a n +1﹣a n ＜0，{a n }是递减数列，即可得到a n ﹣a 2＜0，求出a n 的取值范围． 【解答】解：（1）∵，∴2a n +1=a n +b n ， =，∴b n +1=，∴a n +1b n +1=a n •b n ，∴a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，∴{a n •b n }是常数列；（2）{a n }是递减数列，a n +1﹣a n ＜0，∵a 2﹣a 1=（a 1+b 1）﹣a 1=（b 1﹣a 1）＜0∴a 1＞b 1，∵a 3﹣a 2=（b 2﹣a 2）＜0，∴a 2＞b 2，∵（a 1+b 1）＞， ∴（a 1﹣b 1）2＞0，猜想a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）＜0，∴a n ＞b n ，∴a 1＞b 1恒成立，∵a k +2﹣a k +1=（b k +1﹣a k +1）==＜0， ∴a 1＞b 1时，{a n }是递减数列．（3）整理得a n +1=（a n +），a 1=4，∴a 2=，∴a 1＞0⇒a 2＞0⇒a 3＞0⇒…⇒a n ＞0，当n≥2时，a n﹣2=（a n+）﹣2=＞0，+1＞2，∴a n+1﹣a n=（b n﹣a n）==，∴a n+1∵a n＞2，﹣a n＜0，∴a n+1∴{a n}是递减数列，∴a n﹣a2＜0，∴a n∈（2，]【点评】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．。
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学考前模拟卷(3)含解析
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =I （ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}32x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】{{}{}2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤Q ，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选：A ． 【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 2．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ）A B ．2CD ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|z i i =-⋅+==，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.3．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7S S = B ．6i …7SS = C ．6i >，7S S = D ．6i …，7S S = 【答案】A 【解析】 【分析】依题意问题是()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦， 观察程序框图可知，应填入6i >，7SS =， 故选：A. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题. 4．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】解不等式327x <可得3x <，解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 5．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 6．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360 B ．240 C ．150 D ．120【答案】C 【解析】 【分析】可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可． 【详解】分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有335360C A =种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有223533902!C C A =．∴共有结对方式60＋90＝150种． 故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为22532!C C ．7．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B．2C ．7D【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案.【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.8．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+C ．8D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+= 当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 9．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA =PB =，AB ＝4，CA ＝CB =，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求. 【详解】如图；设AB 的中点为D ； ∵PA =PB =AB ＝4，∴△PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：r12=AB＝AD＝2；设外接球球心为O；∵CA＝CB10=，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC226CA AD=-=.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2⇒R2＝（6-R）2+r2⇒R6=；∴球O的表面积为：4πR2＝4π25036π⨯=⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.10．在260202x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b=+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（）A．74B．94C．52D．2【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y==时，810z a b=+有最大值为40，即81040z a b=+=，故4520a b+=.()(5115112541945252521002020204b aa ba b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 11．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论. 【详解】因为()sin()f x x π=-223，又553()2sin(2)2sin 2121236f ππππ=⨯-==，所以①正确. ()2sin(2)2sin()0333f ππππ--=⨯-=-=，所以②正确.将2sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，得22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，所以③错误.所以①②正确，③错误. 故选:B 【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.12．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴=故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年上海高考数学真题试卷(word解析版)
⎨ ⎩f ( ) n →∞绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 A = (-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为 . 4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为. ⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0 y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 6. 已知函数 f (x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2x ，则 3= .27. 若 x 、y ∈ R + ，且 1+ 2 y = 3 ，则 yx x的最大值为.8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.9. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2 = 4x 交于 A 、B ， A 在 B 上方， M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ =.10. 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N *）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y 2 = 上，则lim P n P n +1 6 2= .12. 已知 f (x ) = - a ( x > 1, a > 0) ，若a = a 0 ， f ( x ) 与 x 轴交点为 A ， f ( x ) 为曲线 L ，在 L 上任意一点 P ，总存在一点Q （ P 异于 A ）使得 AP ⊥ AQ 且 AP = a 0 =.AQ ，则 2 x -11二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知直线方程2x - y + c = 0 的一个方向向量d 可以是（ ） A. (2,-1)B. (2,1)C. (-1,2)D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知ω ∈ R ，函数 f (x ) = ( x - 6)2⋅sin (ωx ) ，存在常数 a ∈ R ，使得 f ( x + a ) 为偶函数，则ω 可能的值为（ ）A.πB.2πC. 3πD. π4516. 已知tan α ⋅ tan β = tan(α + β ) . ①存在α 在第一象限，角 β 在第三象限； ②存在α 在第二象限，角 β 在第四象限； A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分）17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 为 BB 1 上一点，已知BM = 2 ， AD = 4 ， CD = 3 ， AA 1 = 5 .（1） 求直线 A 1C 与平面 ABCD 的夹角； （2） 求点 A 到平面 A 1MC 的距离.18.（本题满分 14 分）已知 f ( x ) = ax +1x +1(a ∈ R ) . （1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) +1 < f ( x +1) 的解集； （2） 若 x ∈[1, 2]时， f ( x ) 有零点，求a 的范围.19.（本题满分 14 分）如图， A - B - C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧，BD = 39.2km ， ∠BDC = 22， ∠CBD = 68， ∠BDA = 58.（1） 求 BC 长度；2 （2） 若 AB = 40km ，求 D 到海岸线 A - B - C 的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分 16 分）已知椭圆 x+ y 8 4= 1， F 1 , F 2 为左、右焦点，直线l 过 F 2 交椭圆于 A 、B 两点.（1） 若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ；（2） 当∠F 1 AB = 90 时， A 在 x 轴上方时，求 A , B 的坐标；（3） 若直线 AF 1 交 y 轴于 M ，直线 BF 1 交 y 轴于 N ，是否存在直线l ，使 S △F AB = S △F MN ，11若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分）数列{a n } 有100 项，a 1 = a ，对任意n ∈[2,100] ，存在a n = a i + d , i ∈[1, n -1]，若a k与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质 P .（1） 若a 1 = 1，求a 4 可能的值；（2） 若{a n } 不为等差数列，求证：{a n } 中存在满足性质 P ；（3） 若{a n } 中恰有三项具有性质 P ，这三项和为C ，使用a , d , c 表示 a 1 + a 2 ++ a 100 .25 ⎨ ⎩3上海市 2019 届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 A =(-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出： (2,3) .【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】： 1 = 5 + i ， z =z1 5 + i = 5 - i (5 + i )(5 - i ) = 5 - 26 1 i . 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为.【思路分析】根据夹角运算公式cos θ 求解．【解析】： cos θ a ⋅ b = = 2 .5【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 x 2项的的项，再求系数．【解析】： T = C r ⋅ (2x )5-r ⋅1r = C r ⋅ 25-r ⋅ x 5-rr +155令5 - r = 2 ，则r = 3 ， x 2 系数为C 3 ⋅ 22 = 40 .【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 x = 0 ，y = 2 时， z min = -6 .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知函数 f( x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2 x ，则 f ( 2) =.【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 3 到已知范围0 < x ≤ 1内，代入函数解析式即2a ⋅b a ⋅ ba ⋅ b2 5 ⋅ 51⋅ 2 y x S n →∞3 可．【解析】：f ( ) = 21 f ( ) 2= -log1 = 1 .2 2【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7. 若 x 、y ∈ R + ，且1 +2 y =3 ，则 yx x的最大值为 .y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有x的式子求解1y ⎛ 3 ⎫2 9 【解析】：法一： 3 = + 2 y ≥ 2 x ，∴ ≤ ⎪ = ；x ⎝ 2 2 ⎭ 8 法二：由 1 = 3 - 2 y ， y = (3 - 2 y ) ⋅ y = -2 y 2+ 3y （ 0 < y < 3 ），求二次最值⎛ y ⎫ = 9 .⎪x x 2 ⎝ x ⎭max 8【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎧S n + a n = 2 得： a = 1a （ n ≥ 2 ） ⎨ ⎩ n -1{ } + a n -1 = 2(n ≥ 2)1n 2 n -1 1⋅[1 -( 1 )5] 231 ∴ a n 为等比数列，且a 1 = 1 ， q = 2 ，∴ S 5 == . 1 -1 16 29. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2= 4x 交于 A 、B ，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ = .【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得： A (1,2) ， B (1,-2) ，设 M 坐标 M (x , y )有： (x , y ) = λ(1,2) + (λ - 2) ⋅ (1,-2) = (2λ - 2,4) ，代入 y 2 = 4x 有：16 = 4 ⋅ (2λ - 2) 即： λ = 3 .【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.C 1 ⋅ C 2 ⋅ C 1 27【解析】：法一： P = 10 3 9 = 103100 （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） C 1 + P 3 27 法二： P = 1 - 10 10= 103100 （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N * ）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y2= 上，则lim P n P n +1 6 2= .1n →∞ 2 2【思路分析】利用点在曲线上得到 P n P n +1 关于 n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由 n 8 a 2 - n = 1 得： a n = 2 n 2 2( 6-1) ，∴ P n (n , 2( n -1)) ， 6 P n +1 (n +1, (n +1)2 2(61) ) ，利用两点间距离公式求解极限。
上海市奉贤区高三数学二模试题 理(含解析)沪教版
上海市奉贤区高三数学二模试题理（含解析）沪教版参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2013•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x的最小正周期是π．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式吧函数的解析式化为1﹣cos2x，由此可得它的最小正周期为．解答：解：函数f（x）=2sin2x=1﹣cos2x，故它的最小正周期为=π，故答案为π．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．2．（4分）（2013•奉贤区二模）在的二项展开式中，常数项是70 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：在的二项展开式中，通项公式为T r+1=•x8﹣r•（﹣1）r x﹣r=（﹣1）r••x8﹣2r．令8﹣2r=0，解得 r=4，故展开式中的常数项是=70，故答案为 70．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3．（4分）（2013•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是 4 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．解答：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．4．（4分）（2013•奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+…+10的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+…+10又∵2+4+…+10=30故答案为：30．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．5．（4分）（2013•奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=4•3x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34 ．考点：两点间的距离公式；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．解答：解：令 3x =t，可得x=log3t 43x =t 可得x=，故A、B两点之间的距离为 log3t﹣=log3t﹣（ log3t﹣log34）=log34，故答案为 log34．点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（4分）（2013•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要100cm2的铁皮．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由题意可得圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式S=πrl，计算可得．解答：解：由题意可得圆锥的底面半径r=10，由勾股定理可得：圆锥的母线长为l=10，故圆锥的侧面积S=πrl==100，故答案为：点评：本题考查圆锥的侧面积的求解，求出底面半径和母线长是解决问题的关键，属基础题．7．（4分）（2013•奉贤区二模）若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一个次不动点．设函数f（x）=lnx与反函数的所有次不动点之和为m，则m= 0 ．考点：反函数．专题：计算题；新定义．分析：求出函数y=lnx的反函数，利用函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），e x=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．从而求出两个函数的所有次不动点之和m的值．解答：解：函数y=lnx的反函数：y=e x；函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），而e x=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0，故答案为 0．点评：本题以新定义为载体，考查了函数图象的对称性的灵活运用，属于中档题．8．（4分）（2013•奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），在复平面上的一点Z对应的复数z满足|z|=1，则|z﹣m﹣ni|的取值范围是[，] ．考点：复数求模．分析：由题意求得方程的另一个根为 1﹣ni，由根与系数的关系可得m=﹣2，n2=1．满足|z|=1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|z﹣m﹣ni|表示点z到点M（m，n）的距离，求得|OM|的值，即可得到|z﹣m﹣ni|的取值范围．解答：解：∵关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴另一个根为 1﹣ni，由根与系数的关系可得（1+ni）+（1﹣ni）=﹣m，且（1+ni）（1﹣ni）=2．解得 m=﹣2，n2=1．满足|z|=1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|z﹣m﹣ni|表示点z到点M（m，n）的距离．而|OM|===，故|z﹣m﹣ni|的最小值为﹣1，最大为+1故|z﹣m﹣ni|的取值范围为[﹣1，+1]，故答案为[﹣1，+1]．点评：本题主要考查韦达定理、复数的模的定义，以及两个复数的差的绝对值的意义，属于基础题．9．（4分）（2013•奉贤区二模）在极坐标系中，直线的位置关系是相离．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，根据此距离与半径的大小关系判断直线和圆的位置关系．解答：解：直线即ρsinθ﹣ρcosθ=，即 x﹣y+1=0．圆ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即 x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线的距离为=＞1=r，故直线和圆相离，故答案为相离．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判定，属于中档题．10．（4分）（2013•奉贤区二模）已知函数f（x）=lg（a x﹣b x）（a＞1＞b＞0），且a2=b2+1，则不等式f（x）＞0的解集是（2，+∞）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：令u（x）=a x﹣b x，利用定义判断u（x）在x∈（0，+∞）上单调增，从而得到f（x）在x∈（0，+∞）上单调增，由a2=b2+1，可得f（2）=lg（a2﹣b2）=lg1=0，进而得到f（x）＞0=f（2）．解答：解：由题意可得：令u（x）=a x﹣b x，不等式即 lgu（x）＞0，∵a＞1＞b＞0，所以u（x）在实数集上是个增函数，且u（x）＞0，又因为u（0）=0，所以应有 x＞0，∴u（x）在定义域（0，+∞）上单调增，∴f（x）=lg（a x﹣b x）在x∈（0，+∞）上单调增．又因为a2=b2+1，所以f（2）=lg（a2﹣b2）=lg1=0，所以f（x）＞0=f（2）所以（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性与特殊点，由真数u（x）的单调性确定f（x）的单调性，利用特殊点lg1=0．11．（4分）（2013•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．解答：解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），所以f（2﹣x）==，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，故答案为：y=．点评：本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．12．（4分）（2013•奉贤区二模）设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题目给出的条件{an}和{}都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求．解答：解：由题意知数列{a n}的首项为a1，公差为d．因为数列{a n}的前n项和是S n，所以，，．又{}也是公差为d的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②﹣①得：③，把③代入①得：d（2d﹣1）=0．所以d=0或d=．当d=0时，a1=0，不合题意，当d=时，代入③解得．所以．故答案为．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．13．（4分）（2013•奉贤区二模）椭圆上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B1，B2的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的最小值是2a ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆上下顶点坐标，设M（x o，y o），N（x m，0），K（x n，0），利用三点共线求出K，N的横坐标，利用M在椭圆上，推出|ON|•|OK|=a2，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可．解答：解：由椭圆方程知B1（0，b），B2（0，﹣b），另设M（x o，y o），K（x k，0），N（x n，0）（2分）由M，N，B1三点共线，知=（4分）所以x n=（6分）同理得x k=（9分）|OK|•|ON|=||…①，又M在椭圆上所以即b2﹣y=代入①得 10分|OK|•|ON|=||=a2（12分）利用基本不等式，得|ON|+|OK|≥2=2a，当且仅当|OK|•|ON|取号，故|OK|•|ON|的最小值为2a．故答案为：2a．点评：本题是中档题，思路明确重点考查学生的计算能力，也可以由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标．14．（4分）（2013•奉贤区二模）如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y=f（x），当x∈[0，]时y=f（x）=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据三角形在滚动过程中的特点，要使x∈[0，]，说明三角形进行了两次滚动，一次是以C为圆心，A在四分之一圆周运动，一次是以B为圆心A在中心角是135°的扇形弧上运动，由此可求A的轨迹．解答：解：当等腰直角三角形以C为旋转点滚动时，A的轨迹是以C（2，0）为圆心，以AC 长为半径的圆的部分，当B点落在x轴上时，点A运动了四分之一圆周，所以其轨迹方程为（0≤x≤2）；当等腰直角三角形以B为旋转点滚动时，A的轨迹是以B（4，0）为圆心，以AB长为半径的圆的部分，当A点落在x轴上时满足A点的最大横坐标为．三角形不在滚动，此过程是以B（4，0）为圆心，以为半径的圆的部分，轨迹方程为（2≤x）．所以顶点A（x，y）的轨迹方程是f（x）=．故答案为．点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了分类讨论的数学思想，训练了圆的标准方程，是基础题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•奉贤区二模）下列命题中正确的是（）A．函数y=sinx与y=arcsinx互为反函数B．函数y=sinx与y=arcsinx都是增函数C．函数y=sinx与y=arcsinx都是奇函数D．函数y=sinx与y=arcsinx都是周期函数考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数y=sinx，当x∈[，]时存在反函数，逐个选项分析可得结论．解答：解：对于正弦函数y=sinx，当x∈[，]时存在反函数y=arcsinx，具有相同的奇偶性和单调性，故选项A错误；选项B，函数y=sinx不单调，故错误；选项C正确；选项D，函数y=arcsinx的定义为[﹣1，1]，故不是周期函数，故错误．故选C点评：本题考查命题真假的判断，涉及反正弦函数和函数的性质，属基础题．16．（5分）（2013•奉贤区二模）设事件A，B，已知P（A）=，P（B）=，P（A∪B）=，则A，B之间的关系一定为（）A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题．分析：由题意先求P（A）+P（B），然后检验P（A+B）与P（A∪B）是否相等，从而可判断是否满足互斥关系解答：解：∵P（A）=，P（B）=，∴P（A）+P（B）==又P（A∪B）=∴P（A∪B）=P（A）+P（B）∴A．B为互相斥事件故选B点评：本题主要考查了互斥事件的概率公式的简单应用，属于基础试题17．（5分）（2013•淄博一模）数列{a n}前n项和为S n，已知，且对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，若S n＜a恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．4考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由a m+n=a m•a n，分别令m和n等于1和1或2和1，由a1求出数列的各项，发现此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，而S n＜a恒成立即n趋于正无穷时，求出S n的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a的最小值．解答：解：令m=1，n=1，得到a2=a12=，同理令m=2，n=1，得到a3=a2•a1=所以此数列是首项为公比，以为公比的等比数列，则S n==∵S n＜a恒成立即而=∴则a的最小值为故选A点评：此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．18．（5分）（2013•奉贤区二模）直线x=2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥2B．C．a2+b2≤2D．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A，B的坐标，根据，确定坐标之间的关系，可得，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意，A（2，1），B（2，﹣1），设P（x，y），则∵∴x=2a+2b，y=a﹣b∵P为双曲线C上的任意一点，∴∴4ab=1∴∴故选B．点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2013•奉贤区二模）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．（1）求异面直线AC与B1D所成的角；（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；（2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用V A﹣CDE=V E﹣ADC即可得到体积．解答：解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．（1）依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），∴，∴，∴异面直线AC与B1D所成的角为．（2）设E（0，0，a），则，∵B1D⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴B1D⊥AE．∴，∴﹣1+2a=0，．∴V A﹣CDE=V E﹣ADC==．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．20．（14分）（2013•奉贤区二模）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=﹣（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC 的值，根据，利用两角差的余弦公式求得结果．（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．解答：解：（1）∵，∴．（2分）∴=．（6分）（2）利用余弦定理求得 BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ=125，∴．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时）．（14分）点评：本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．21．（14分）（2013•奉贤区二模）三阶行列式，元素b（b∈R）的代数余子式为H（x），P={x|H（x）≤0}，（1）求集合P；（2）函数的定义域为Q，若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围．考点：三阶矩阵；交集及其运算；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）三阶行列式，元素b（b∈R）的代数余子式为H（x）小于等于0，可得关于x的二次不等式，解之即可；（2）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值即可．解答：解：（1）=2x2﹣5x+2≤0（3分），∴（7分）（2）若P∩Q≠∅，则说明在上至少存在一个x值，使不等式ax2﹣2x+2＞0成立，（8分）即在上至少存在一个x值，使成立，（9分）令，则只需a＞u min即可．（11分）又．当时，，，从而u min=﹣4（14分）由（1）知，u min=﹣4，∴a＞﹣4．（14分）点评：本题考查行列式，代数余子式的概念，考查解不等式、对数函数的定义域，属于中档题．（2013•奉贤区二模）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（16分）22．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即①，得②，两式作差得（n﹣1）a n+1=na n③，从而有na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q 成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．解答：（1）解：令n=1，则a1=S1==0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2；（2）证明：由，即①，得②，②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n③，于是，na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1，又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n=n﹣1．（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，．所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列．点评：本题考查等差、等比数列的综合问题，考查等差数列的通项公式，考查递推公式求数列通项，存在性问题往往先假设存在，然后以此出发进行推理论证得到结论．23．（18分）（2013•奉贤区二模）动圆C过定点F，且与直线相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ的程为F（x，y）=0（1）求F（x，y）=0；（2）曲线Γ上的一定点P（x0，y0）（y0≠0），方向向量的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k PA，k PB，计算k PA+k PB；（3）曲线Γ上的两个定点P0（x0，y0）、，分别过点P0，Q0作倾斜角互补的两条直线P0M，Q0N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线的定义即可得出轨迹方程；（2）由直线l的方向向量可设直线l的方程为，与抛物线的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，得到根与系数的关系，利用斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件，即可得出k PA+k PB；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），可得到k MN．设MP0的直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）与抛物线联立，得到根与系数的关系，同理由直线Q0N的方程与抛物线的方程联立也得到根与系数的关系，代入k MN即可证明．解答：解：（1）过点C作直线的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）不过点P的直线l方程为，由得y2+2y0y﹣2y0b=0，则y1+y2=﹣2y0，====0．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则==（***）设MP0的直线方程为为y﹣y0=k（x﹣x0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）．由，的两根为y0，y1则，∴同理，得∴，代入（***）计算得．是定值，命题得证点评：熟练掌握抛物线的定义、直线l的方向向量、直线与抛物线相交问题转化为方程联立消去x得到关于y的一元二次方程及得到根与系数的关系、斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件等是解题的关键．。
上海市奉贤区2019届九年级中考数学二模试题(解析版)
【解析】
【分析】
直接求出每户使用环保方便袋的数量，进而求出答案．
【详解】∵某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9，
∴平均每户使用方便袋的数量为： （6+5+7+8+7+5+7+10+6+9）=7（只），
∴该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约：7×200=1400（只）．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出BD和DE的长，进而可得tanα的值．
【详解】如图，
∵小正方形的面积是25，
∴EB=5，
∵△ABC≌△DEB，
∴AB=DE，
∵大正方形的面积为49，
∴AD=7，
∴DB+DE=7，
设BD=x，
则DE=7-x，
在Rt△BDE中：x2+（7-x）2=52，
所以k-3＞0，
解得：k＞3，
故答案为：k＞3．
【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限解答．
12.如果关于 方程 有两个相等的实数根，那么 的值是____．
【答案】2
【解析】
【分析】
x的方程x2+4x+2k=0有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，代入即可求k值.
故中位数是第20个和第21个数据的平均数，
则该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是26∽30分．
故答案为：26~30分．
【点睛】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
2019年上海市高考数学真题试卷(Word版,含解析)
2019年上海市高考数学真题试卷（Word版，含解析）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则．2．（4分）计算．3．（4分）不等式的解集为．4．（4分）函数的反函数为．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．7．（5分）在的展开式中，常数项等于．8．（5分）在中，，，且，则．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为．12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则，．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，，，．故答案为：，．2．（4分）计算2．【解答】解：．故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为．【解答】解：由得，即故答案为：，．4．（4分）函数的反函数为．【解答】解：由解得，故答案为5．（4分）设为虚数单位，，则的值为【解答】解：由，得，即，．故答案为：．6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对①，得：．再与②式比较，可得：．故答案为：．7．（5分）在的展开式中，常数项等于15．【解答】解：展开式的通项为令得，故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．（5分）在中，，，且，则．【解答】解：，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为：．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有24种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当时，取最小值，故答案为：．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为，．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，，，，结合可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是1或．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即；当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．当时，同理可得无解．综上，的值为1或．故答案为：1或．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．【解答】解：，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错，的值域为，，故错．故选：．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；如图2，可得、、可能两两相交；如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：因为，则，同理可得，又因为，所以，则，即，则，设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．【解答】解：（1），分别为，的中点，，则为与所成角，在中，由，，可得，与的夹角为；（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，．．．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解答】解：（1），，；（2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．（2）是减函数，且，在上单调递增，令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得，抛物线的准线方程为，可得，，；（2）证明：当时，，设，，，则，联立和，可得，，，则存在常数，使得；（3）设，，，则，由，，则．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当，集合，0，．（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，等差数列的公差，，故，，又，2当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2．当时，，1，满足题意．④当时，，，所以或者，，，故，2，3．当时，，满足题意．⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，4，5，6．。
2019届奉贤区九年级二模数学Word版(附解析)
2019上海市奉贤区初三二模数学试卷2019.04一. 选择题1. 下列各数中，最小的数是（ ）A. |2|--B. 2(2)-C. (2)--D. 0(2)- 2. 电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元，数据4559000000用科学记数法表示为（ ）A. 845.5910⨯B. 945.5910⨯C. 94.55910⨯D. 104.55910⨯ 3. 关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A. 函数图像经过点(2,2) B. 函数图像位于第一、三象限C. 当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大D. 当1x >时，4y <- 4. 学习环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9，利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ）A. 200只B. 1400只C. 9800只D. 14000只 5. 把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么1∠的度数是（ ）A. 75°B. 90°C. 100°D. 105°6. 如图，已知△ABC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，ABD ACE ∠=∠，下列条件中，不能判断△ABC 是等腰三角形的是（ ）A. AE AD =B. BD CE =C. ECB DBC ∠=∠D. BEC CDB ∠=∠二. 填空题7. 计算：32()m m ÷-= 8. 不等式组1025x x ->⎧⎨<⎩的整数解是9. 10x x -=的根是10. 在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等边三角形和等腰三角形，如果从中任意抽取2张卡片，那么这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的概率是 11. 如果正比例函数(3)y k x =-的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围是 12. 如果关于x 的方程2420x x k ++=有两个相等的实数根，那么k 的值是 13. 下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含最小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是 分数段 18分以下 18~22分 22~26分 26分~30分 30分 人数379138这两个圆的位置关系是15. 如图，某水库大坝的横截面是梯形ABCD ，坝顶宽AD 是6米，坝高4米，背水坡AB 和迎水坡CD 的坡度都是1:0.5，那么坝底宽BC 是 米16. 已知△ABC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，13DE BC =，如果设 AB a =，DE b =，那么AC = （用向量a 、b 的式子表示）17. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tan α的值是18. 如图，矩形ABCD ，AD a =，将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF ，顶点A 、D 、C 分别与点E 、F 、G 对应（点D 与点F 不重合），如果点D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是 （用含a 的代数式表示）三. 解答题19. 先化简，再求值：22693111x x x x x x x -+--÷--+，其中2x =20. 解方程组：226320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩.21. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，28BC AB ==，对角线AC 平分BCD ∠，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ，交边AB 的延长线于点F ，联结CF . （1）求腰DC 的长； （2）求BCF ∠的余弦值.22. E-leaming 即为在线学习，是一种新型的学习方式，某网站提供了A 、B 两种在线学习的收费方式，A 种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B 种：每月的收费金额y （元）与在线学习时间是x （时）之间的函数关系如图所示. （1）按照B 种方式收费，当5x ≥时，求y 关于x 的函数关系式；（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A 种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B 种方式付费，那么他需要多付多少元？23. 已知：如图，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF BE ⊥，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG AF =.（1）求证：CG BE ⊥；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF CB =.24. 如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点(2,0)A -和点(4,0)B .（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；（2）点C 在线段OB 上，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为点C ，交抛物线于点D ，E 是BD 中点，联结CE 并延长，与y 轴交于点F . ① 当D 恰好是抛物线的顶点时，求点F 的坐标； ② 联结BF ，当△DBC 的面积是△BCF 面积的32时，求点C 的坐标.25. 如图，已知△ABC ，2AB =，45B ∠=︒，点D 在边BC 上，联结AD ，以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF AD ⊥.（1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果E 是弧DF 中点，求:BD CD 的值；（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长.参考答案一. 选择题1. A2. C3.C4. B5. D6. D二. 填空题7. m 8. 2 9. 1x = 10.1611. 3k > 12. 2 13. 26~30分 14. 相交 15. 10 16. 3a b + 17. 3418. 2a三. 解答题 19. 原式31x =-，带入得3. 20. 1142x y =⎧⎨=⎩，2233x y =⎧⎨=⎩.21.（1）5DC =；（2）4cos 5BCF ∠=. 22.（1）5y x =-；（2）按照A 种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是35小时，如果按照B 种方式付费，那么他需要多付10元. 23.（1）证明略；（2）证明略. 24.（1）211242y x x =-++，对称轴是直线1x =；（2）①3(0,)4F -；②8(,0)5C . 25.（1）y =03x ≤≤）；（2）4:5BD CD =；（3）1.。
上海市闸北区2019届高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2019年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）an的所有n的值．n=（an+3）2019年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是12．【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的值．【专题】计算题．【分析】由f（1）=3可得到关于a的式子，由f（0）+f（1）+f（2）得到关于a的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解．【解答】解：∵f（1）=a+a﹣1=3，f（0）=2，f（2）=a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=7，∴f（1）+f（0）+f（2）=12．故答案为：12【点评】本题考查指数幂的运算和运算法则，属基本运算的考查．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是a≥3．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出A，B，再利用B⊆A即可得出．【解答】解：由|x﹣2|＜a，可得2﹣a＜x＜2+a（a＞0），∴A=（2﹣a，2+a）（a＞0）．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．B=（﹣1，3）．∵B⊆A，则，解得a≥3．故答案为：a≥3．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由|z|=1，得|z2|=1，结合z2=a+bi，得a2+b2=1，然后利用基本不等式求得a+b的最大值．【解答】解：∵|z|=1，∴|z2|=1，由z2=a+bi，得a2+b2=1，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=2，故当时，a+b的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．4．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，∴=•，∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，∴3a﹣4b=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积运算、投影，考查了推理能力，属于基础题．5．某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是5000元．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知求出获得一、二、三等奖的概率分别为，由此利用一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，能求出参加此次大赛获得奖金的期望．【解答】解：∵某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，∴获得一、二、三等奖的概率分别为a，2a，4a，且a+2a+4a=1，解得a=，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，∵一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，∴参加此次大赛获得奖金的期望E（X）==5000元．故答案为：5000．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为1．【考点】正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】根据余弦定理求出cosB=﹣，故b=，由sinC=2sinA得c=2a，代入余弦定理计算a．【解答】解：∵ac+c2=b2﹣a2，∴cosB==﹣，∴B=，∴b=．∵sinC=2sinA，∴c=2a，∴三角形的最短边为a．由余弦定理得cosB=，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题．8．在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2与ρsinθ=2的公共点到极点的距离为1+．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】联立方程组消去sinθ求解即可．【解答】解：ρ=sinθ+2与ρsinθ=2消去sinθ，可得ρ（ρ﹣2）=2，由于ρ＞0，解得ρ=1+．故答案为：．【点评】本题考查极坐标方程的应用，利用ρ的几何意义是解题的关键．9．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段AB围成图形面积S的取值范围是．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】结合图形，可见当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，解答即可．【解答】解：如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴，随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题．10．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：依据题意得﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，即﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．当x=时，函数y=﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得m≤﹣或m≥，故答案为：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若|﹣|＞1，则平方得：2﹣2•+2=2﹣2•＞1，即•＜，则cosθ==•＜，∴θ∈（，π]，即p：θ∈（，π]，∵命题q：θ∈[，），∴p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键．12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．【专题】压轴题．【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由条件可得S n+1=4S n，对S1分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵a n+1=3S n，∴S n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，若S1=0，则数列{a n}为等差数列；若S1≠0，则数列{S n}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴S n=S1•4n﹣1，=3S1•4n﹣2（n≥2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．此时a n=S n﹣S n﹣1综上，数列{a n}可能为等差数列，但不会为等比数列．故选C．【点评】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）解法一：先找到直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为45°，来求三角形中边之间的关系，即可求出AE长度．解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出坐标，以及平面AA1D1D的法向量的坐标，因为直线D1E与平面AA1D1D成45°角，所以与平面AA1D1D的法向量成45°角，再用向量的数量积公式即可求出坐标，进而判断E点位置．（2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为E点到平面上任意一点的向量．【解答】解：（1）解法一：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA⊥平面AA1D1D，从而∠ED1A为直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，Rt△ED1A中，∠ED1A=45°．解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D1（0，0，1），平面AA1D1D的法向量为，设E（1，y，0），得，由，得，故（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，2，1），从而，，设平面DA1C1的法向量为，由令，所以点E到平面A1DC1的距离为=1．【点评】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求证：存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）•g（x0）能按照某种顺序成等差数列．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数与方程的综合运用．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由周期公式可得ω，ω＞0，再由对称中心可得φ值，可得f（x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；（2）当x∈（，）时sinx＞cos2x＞sinx•cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在（，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=sin （ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴，又曲线y=f （x ）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），∴sin （2×+φ）=0，可得，∴f （x ）=cos2x ，将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx 的图象，再将y=cosx 的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x ）=cos （x ﹣）的图象，由诱导公式化简可得g （x ）=sinx ；（2）当x ∈（，）时，，，∴sinx ＞cos2x ＞sinx •cos2x ，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx •cos2x 在（，）内是否有解．设G （x ）=sinx+sinx •cos2x ﹣2cos2x ，x ∈（，），∵，，且函数G （x ）的图象连续不断，∴函数G （x ）在（，）内存在零点x 0，即存在x 0∈（，），使得f （x 0），g （x 0），f （x 0）•g （x 0）能按照某种顺序成等差数列．【点评】本题考查三角函数图象变换，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx •cos2x 在（，）内是否有解是解决问题的关键，属中档题．17．若动点M 到定点A （0，1）与定直线l ：y=3的距离之和为4． （1）求点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点B （0，t ）（t ∈R ）对称的不同点有几对？请说明理由． 【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M （x ，y ），由题意，分类讨论，可得点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点．当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点，下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点即可．【解答】解：（1）设M（x，y），由题意…①：当y≤3时，有，化简得：x2=4y②：当y＞3时，有，化简得：x2=﹣12（y﹣4）（二次函数）综上所述：点M的轨迹方程为（如图）…（2）当t≤0或t≥4显然不存在符合题意的对称点当0＜t＜4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对（关于y轴对称的）对称点下面研究曲线C上关于B（0，t）对称但不关于y轴对称的对称点设P（x0，y0）是轨迹x2=4y（y≤3）上任意一点，则，它关于B（0，t）的对称点为Q（﹣x0，2t﹣y0），由于点Q在轨迹x2=﹣12（y﹣4）上，所以，联立方程组（*）得4y0=﹣12（2t﹣y0﹣4），化简得①当y0∈（0，3）时，t∈（2，3），此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点．②当y0=0时，t=2，此时方程组（*）只有一组解，即增加一组对称点．（注：对称点为P（0，0），Q（0，4））③当y0=3时，t=3，此时方程组（*）有两解为，没有增加新的对称点．综上所述：…【点评】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；=n（T n （2）设数列{}的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n﹣1﹣1）；（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1﹣）n＜（）m，其中m=1，2，…，n，求满足3n+4n+…+（n+2）an的所有n的值．n=（an+3）【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】分类讨论；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系即可得出；（2）法一：直接计算化简即可证明；法二：利用数学归纳法即可证明．（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出．【解答】（1）解：当n≥2时，，又∵a1=S1=1，∴a n=n．（2）证明：＜法一＞：∵，∴，∴==．＜法二＞：数学归纳法①n=2时，，，=k（T k﹣1），②假设n=k（k≥2，k∈N*）时有R k﹣1当n=k+1时，=，∴n=k+1是原式成立=n（T n﹣1）．由①②可知当n≥2，n∈N*时R n﹣1（3）解：∵，m=1，2，…，n．⇒相加得，，∵，∴3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n，∴n≥6时，∴3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n无解，又当n=1时；3＜4，n=2时，32+42=52；n=3时，33+43+53=63n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，不符合n=5时，35+45+55+65+75为奇数，而85为偶数，不符合．综上所述n=2或者n=3．【点评】本题考查了递推关系、学归纳法、“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。