新高考数学复习第一章 空间几何体单元测试(巅峰版)附答案解析

第一章 空间几何体单元测试卷（巅峰版）

一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．三棱锥P －ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

2．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )

A ．72＋6π

B ．72＋4π

C ．48＋6π

D ．48＋4π

3 .设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ?为等边三角形且其面积为93，则三 棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）

A ．123

B ．183

C ．243

D ．543

4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．43

B ．2

C 42

D ．83

5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为棱A 1B 1、AD 、CC 1的中点，则对角线BD 1与平面EFG 所成角的大小为（ ）

A ．π6

B ．π4

C ．π3

D ．π2

6.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）

A ．158

B ．162

C ．182

D ．32

7.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）

A ．点P 到平面QEF 的距离

B ．三棱锥P QEF -的体积

C ．直线PQ 与平面PEF 所成的角

D ．二面角P EF Q --的大小

8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）

A ．2865+

B ．60125+

C ．56125+

D ．3065+

9．某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ，分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）

A ．22

B ．1

C ．212+

D ．2

11.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O 的半径为( )

A.3172 B ．210 C.132 D ．310

12.在三棱锥P －ABC 中,PA ＝3侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A ．π B.3

π C. 4π D.43π 二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为 _______3

m ．

俯视图

侧视图

正视图

11

1

1

3

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

A．16 B．20 C．52 D．60

15．在矩形ABCD中，AB

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．

其中正确结论的序号是________．

16.已知正方体

1111

ABCD A B C D

-的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH

-的体积为．

D

1C1

B

1

A

1

M

H G

F

E

D C

B

解析附后

第一章 空间几何体单元测试卷（巅峰版）

一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【答案】：C

【解析】依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3

，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P －ABC 的高的最大值为5＋3＝8，选C.

2．【答案】A

【解析】选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14

部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋14

×2π×2×4＝72＋6π，故选A.

3 .【答案】B

【解析】设等边三角形ABC 的边长为x ，则

21sin 60932x =6x =． 设ABC ?的外接圆半径为r ，则62sin 60

r =，解得23r =，所以球心到ABC ?所在平面的距离224(23)2d =-=，则点D 到平面ABC 的最大距离146d d =+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值max 11693618333

ABC V S ?=?=?=B ．

4．【答案】D

【解析】由三视图可知，该几何体是正方体中的正四棱锥P—ABCD．∴

18

2222

33

P ABCD

V

-

=???=．

5.【答案】D

【解析】如图，在正方体中取M、N、P分别为棱B1C1、AA1、CD的中点，则易知六边形ENFPGM为正六边

形，在正方体中易证BD1⊥平面ENFPGM，∴对角线BD1与平面EFG所成角的大小为π

2

．

6.【答案】B

【解析】由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即11(46)3(26)32722

ABCDE S =+?++?=五边形，高为6， 则该柱体的体积是276162V =?=．

故选B ．

7.【答案】C

【解析】A ：∵QEF 平面也就是平面CD B A 11，既然P 和平面QEF 都是固定的，∴P 到平面QEF 的距离是定值；B ：∵QEF ?的面积是定值．（∵EF 定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A 的结论P 到QEF 平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P QEF -的体积是定值；C ：∵Q 是动点，EF 也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ 与平面PEF 所成的角不是定值；D ：∵CD B A //11，Q 为11B A 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，∴二面角P EF Q --的大小为定值．故选：C ．

8.【答案】D

【解析】画出直观图如下图所

示,111125654545430652222

ABC ABD ACD BCD S S S S +++=

?+??+??+??=+B D

C

9．【答案】A

【解析】

由三视图可知，该凸多面体是如图所示的三棱锥A BCD - ，由图可知，三棱锥的三个面中，只有ADB ? 是直角三角形，即直角三角形的个数为1 ，故选A.

10. 【分析】本题求解关键是得出直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径

【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ?面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.

11.【分析】先确定球心位置,再利用222R r d =+确定球的半径 【解析】如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,

则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12

AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.

12.【解析】如图7所示,过P 点作底面ABC 的垂线,垂足为O ,设H 为外接球的球心,连接,,AH AO 因60,3,

PAO PA ∠==故32AO =,32PO =，又△AHO 为直角三角形,222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+

22233344()(),1,1.2233

r r r V ππ∴=+-∴=∴=?=

三、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】2

【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m ，高为1m 的平行四边形，四棱锥的高为3m ，故其 体积为121323

???=(3m )． 14．【答案】B

【解析】选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体

积V ＝12×3×4×6－2×13

×2×4×3＝20，故选B.

15．【解析】：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接CE ，如图所示，则AE ⊥BD ，BD ⊥AC .又AE ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AEC ，从而有BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①错误．

②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB

③假设AD ⊥BC ，∵DC ⊥BC ，AD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面ADC ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且

AB 为斜边，而AB

16.【答案】112

【解析】连接1AD ，1CD ，1B A ，1B C ，AC ，因为E ，H 分别为1AD ，1CD 的中点，所以EH ∥AC ，

12

EH AC =

，因为F ，G 分别为1B A ，1B C 的中点， 所以FG ∥AC ，12

FG AC =，所以EH FG ∥，EH FG =，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG HF =，EH HG =，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥

M EFGH -的体积为2111(32212

??=． 如何学好数学

1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了

2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！

3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A 等于60度直接假设B 和C 都等于60°带入求解。省时省力！

4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！

5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简

单！

6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！考到概率超小

7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的

7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案

8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运气，文科可以试试。）

9.遇到这样的选项A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的如果答案在前面3个的话D应该是2(4/2).

数学无耻得分综合篇！

做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。

大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准

形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。

理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。

第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。

第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。

第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。

第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我

说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。选修题说下参数方程与极坐标，各种曲线的参数方程的标准形式要记准，里面谁是参数，以及各量的意义以及参数的几何意义，一般都是先画成直角坐标，变成直角坐标题意就简单了，有的题要用到参数方程里参数的几何意义来解题（注意直线参数方程只有是标准的参数方程才能用t的几何意义，要不会差一个倍数，弦长|AB|=|t1-t2|，|PA||PB|=|t1t2|（注意P点得是你参数方程里前面的（a，b），

只有这样联立后的参数t才表示PA、PB）），这时会简单许多。极坐标也是，先化成直角坐标再解题，这样就简单了。