人教版九年级数学讲义二次函数的应用(含解析)

第7讲二次函数的应用

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础一般

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数在实际问题以及几何图形中的应用，重点掌握常见的几类二次函数题型的分析过程和处理方法。本节课的部分内容属于中考常考知识点，同时也是中考难点之一，需要同学们灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题。

知识梳理

讲解用时：20分钟

二次函数的应用题型

（1）利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此

类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后再通过配方的方

式确定其最大值；

实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数

的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值以及动

态几何中的最值的讨论；

求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的

取值范围；而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化

较多。

课堂精讲精练

【例题1】

如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是（不写定义域）。

【答案】S=﹣2x 2+10x

【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，

设平行于墙的一边为（10﹣2x ）米，则垂直于墙的一边为x 米，

根据题意得：S=x （10﹣2x ）=﹣2x 2+10x 。

讲解用时：2分钟

解题思路：根据题意分别表示出每条边的长度，然后根据矩形面积公式列出S 与x 的二次函数解析式即可。

教学建议：根据题意列出S 与x 的二次函数解析式即可。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区一模年份：2018

【练习1】

如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面AA 1的距离为8m ，过AA 1的中点O 建立如图所示的直角坐标系．则该抛物线的函数表达式为。

【答案】y=12

1-x 2+8 【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，

由题意可得，点C 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣6，5），

设此抛物线的解析式为y=ax 2+8，

5=a×（﹣6）2+8，解得a=12

， ∴此抛物线的解析式为y=121-x 2+8. 讲解用时：3分钟

解题思路：根据题意可以得到抛物线的顶点C 的坐标和所经过的点B 的坐标，然后设出顶点式，即可求得该抛物线的解析式。

教学建议：利用二次函数的顶点式解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：城阳区一模年份：2018

【例题2】

烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=﹣2

5t 2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）。

A ．3s

B ．4s

C ．5s

D ．6s

【答案】B

【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，

∴h=﹣25t 2+20t+1，∴h=﹣2

5（t ﹣4）2+41， ∴当t=4秒时，礼炮达到最高点爆炸，故选：B ．

讲解用时：3分钟

解题思路：将一般式化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论。教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：古冶区一模年份：2017

【练习2】

烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）间的关系是h=﹣2t 2+20t+1，若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为 s 。

【答案】5

【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，

∴h=﹣2t 2+20t+1=﹣2（t ﹣5）2+51，∴当t=5时，礼炮升到最高点。

讲解用时：3分钟

解题思路：将h 关于t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论。

教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：梁子湖区期末年份：2017秋【例题3】

如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m 时，水面的宽为m。

【答案】67

【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，

以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，

∴点（6，﹣4）在函数图象上，

∴﹣4=a×62，得a=，∴y=，

当y=﹣7时，﹣7=，得，，

∴当水面下降3m时，水面的宽为：m。

讲解用时：3分钟

解题思路：根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，求得抛物线的解析式，进而求得当水面下降3m时，水面的宽。

教学建议：建立合适的平面直角坐标系，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：秦淮区期末年份：2017秋【练习3】

如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观

光窗，两窗的水平距离为100米，则拱门的最大高度（）。

A．100米B．150米C．200米D．300米

【答案】C

【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，

如图所示建立平面直角坐标系（以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为

y轴建立直角坐标系），

此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0），

设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），

∴抛物线经过点B（50，150），

可得150=a（50﹣100）（50+100），解得a=﹣，

∴y=﹣（x﹣100）（x+100），

即抛物线的解析式为y=﹣x2+200，顶点坐标是（0，200），

∴拱门的最大高度为200米，故选：C．

讲解用时：8分钟

解题思路：因为拱门是抛物线形，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y 轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题。

教学建议：建立适当的坐标系，由待定系数法求出函数解析式，即可得出结果。难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：古冶区期末年份：2016秋

【例题4】

已知如图，用长为18m的篱笆（3AB+BC），围成矩形花圃，一面利用墙（墙足够长），则围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为m2。

【答案】27

【解析】本题主要考查二次函数应用中的“面积最值问题”，

设AB=x，则BC=18﹣3x，

则围成的矩形花圃ABCD的面积为：

S=x（18﹣3x）=﹣3x2+18x=﹣3（x2﹣6x）=﹣3（x﹣3）2+27，

即围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为27m2．

讲解用时：5分钟

解题思路：首先表示出矩形的长与宽，进而利用二次函数最值求法得出答案。教学建议：表示出矩形的长与宽，利用矩形面积公式求出函数解析式。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：建昌县二模年份：2017

【练习4】

如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用10m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S（m2）与它一边长a（m）的函数关系式是，面积S的最大值是。

【答案】S=﹣a2+10a，25

【解析】本题主要考查二次函数应用中的“面积最值问题”，

当矩形的一边长为am时，另一边的长度为（10﹣a）m，

则矩形的面积S=a（10﹣a）=﹣a2+10a=﹣（a﹣5）2+25，

∴当a=5时，矩形的面积取得最大值，最大值为25m2。

讲解用时：3分钟

解题思路：由一边长为am知另一边的长度为（10﹣a）m，再根据矩形的面积公式得出函数解析式，将其配方成顶点式可得面积最大值。

教学建议：二次函数的最值问题归根结底考查配方法。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：顺义区期末年份：2017秋【例题5】

如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x ﹣k）2+h，已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）。

A．球不会过网B．球会过球网但不会出界

C．球会过球网并会出界D．无法确定

【答案】C

【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“抛球问题”，

（1）∴球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，

∴抛物线为y=a（x﹣6）2+2.6过点，

∴抛物线y=a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），

∴2=a （0﹣6）2+2.6，解得：a=﹣

601，故y 与x 的关系式为：y=﹣

601（x ﹣6）2+2.6，当x=9时，y=﹣

601（x ﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，﹣601（x ﹣6）2+2.6=0，解得：x 1=6+2＞18，x 2=6﹣2（舍去）故会出界，故选：C ．

讲解用时：8分钟

解题思路：利用球与O 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，可得k=6，h=2.6，由于球从O 点正上方2m 的A 处发出，将点（0，2）代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=﹣

601（x ﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，﹣60

1（x ﹣6）2+2.6=0，分别得出即可。

教学建议：注意从已知题意中建立二次函数模型，提炼出相关的坐标信息，从而求解相关问题。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：沂水县一模年份：2018 【练习5】

如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高 2.2m ，与篮圈中心的水平距离为8m ，当球出手后水平距离为4m 时达到最大高度4m ，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m ，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（）。

A ．比开始高0.8m

B ．比开始高0.4m

C ．比开始低0.8m

D ．比开始低0.4m

【答案】A

【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“抛球问题”，

由题意可得，运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样， ∴运动员出手的位置距地面的高度为3m ，

∴3﹣2.2=0.8，

∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m，故选：A．

讲解用时：3分钟

解题思路：根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题

教学建议：利用二次函数图象的对称性解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：江北区模拟年份：2017 【例题6】

“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本是50元，经市场调查发现，当销售单价是100元时，每天可以卖掉50条，每降低1元，可多卖5条。

（1）要使每天的利润为4000元，裤子的定价应该是多少元？

（2）如何定价可以使每天的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）70元或90元；（2）80元，最大利润是4500元

【解析】此题考查二次函数应用中的“利润问题”，

（1）设裤子的定价为每条x元，

根据题意，得：（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=4000，

解得：x=70或x=90，

答：裤子的定价应该是70元或90元；

（2）销售利润y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]

=（x﹣50）（﹣5x+550）

=﹣5x2+800x﹣27500，

=﹣5（x﹣80）2+4500，

∴a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下，

∴50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500，

答：定价为每条80元可以使每天的利润最大，最大利润是4500元．

讲解用时：8分钟

解题思路：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程求解可得；（2）根据（1）中的相等关系列出二次函数解析式，再转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答。

教学建议：注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：合肥模拟年份：2018

【练习6】

某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：

x（万元）12 2.535

y A（万元）0.40.81 1.22

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元。

（1）求出y B与x的函数关系式；

（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；

（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

【答案】（1）y B=﹣0.2x2+1.6x；（2）y A=0.4x；

（3）当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大为7.8万元

【解析】

（1）由题意得，将坐标（2，2.4）、（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx，求解得：

∴y B与x的函数关系式：y B=﹣0.2x2+1.6x；

（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，

故设函数关系式y A=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：，

解得：，则y A=0.4x；

（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元，W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8，

即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大为7.8万元.

讲解用时：10分钟

解题思路：（1）用待定系数法将坐标（2，2.4）、（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx 求解即可；（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值。

教学建议：（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值。

难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：寿光市模拟年份：2018

【例题7】

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，

）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点

P作PC∴x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，

求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）当n=时，线段PC有最大

值

【解析】本题考查了二次函数的综合运用，

（1）∴B（4，m）在直线y=x+2上，

∴m=6，即B（4，6），

∴A（，）和B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式y=2x2﹣8x+6；

（2）存在，设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，

∴﹣2＜0，∴开口向下，有最大值，

∴当n=时，线段PC 有最大值

．

讲解用时：15分钟

解题思路：（1）将点B 坐标代入直线解析式，求出m 的值，然后把A 、B 坐标代入二次函数解析式，求出a 、b ，即可求得解析式；（2）设动点P 的坐标为（n ，n+2），点C 的坐标为（n ，2n 2﹣8n+6），表示出PC 的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n 的值。

教学建议：根据解析式设出点P 和点C 的坐标，列出PC 的代数式。

难度：5 适应场景：当堂例题例题来源：陕西模拟年份：2017 【练习7】

如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，且A （﹣6，0），D （﹣2，﹣8）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，不与点A 、C 重

合，求过点P 作x 轴的垂线交于AC 于点E ，求线段PE 的最大

值及P 点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M ，使得∴ACM 为直角

三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）y=21

x 2+2x ﹣6；（2）PE 的长度最大值为29，（﹣3，﹣2

15）；（3）M 点的坐标为（-2，4）或（-2，-8）或（-2，-3+17）或（-2，-3-17）．

【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理等知识点，

（1）设抛物线的解析式为y=a （x+2）2﹣8，

把A （-6，0）代入得a （-6+2）2﹣8=0，解得a=

21， ∴抛物线的解析式为y=21（x+2）2﹣8，即y=2

1x 2+2x ﹣6；（2）如图，当x=0时，y=2

1x 2+2x ﹣6=﹣6，则C （0，-6），

设直线AC 的解析式为y=kx+b ，把A （-6，0），C （0，-6）代入得

，

解得，∴直线AC 的解析式为y= -x -6，设P （x ，2

1x 2+2x ﹣6）（-6＜x ＜0），则E （x ，-x -6） ∴PE= -x -6-（21x 2+2x ﹣6）= -21x 2-3x= -21（x+3）2+2

9，当x=﹣3时，PE 的长度有最大值为2

9，此时P 点坐标为（-3，-2

15）；（3）存在，抛物线的对称轴为直线x=﹣2，

设M （-2，t ），∴A （-6，0），C （0，-6），

∴AC 2=62+62=72，AM 2=（-2+6）2+t 2，CM 2=（-2）2+（t+6）2，

∴当AC 2+AM 2=CM 2，∴ACM 为直角三角形，

即72+（-2+6）2+t 2=（-2）2+（t+6）2，解得t=4，

此时M 点坐标为（-2，4）；

∴当AC 2+CM 2=AM 2，∴ACM 为直角三角形，

即72+（-2）2+（t+6）2=（-2+6）2+t 2，解得t=﹣8，

此时M 点坐标为（-2，-8）；

∴当CM 2+AM 2=AC 2，∴ACM 为直角三角形，

即（﹣2+6）2+t+2）2+（t+6）2=72，解得t 1=﹣3+17，t 2=﹣3﹣17，此时M 点坐标为（-2，-3+17）或（-2，-3-17）．

综上所述，M 点的坐标为（-2，4）或（-2，-8）或（-2，-3+17）或（-2，-3-17）．讲解用时：20分钟

解题思路：（1）设顶点式y=a （x+2）2-8，然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线的解析式；（2）先确定C （0，-6），再利用待定系数法求出直线AC 的解

析式为y= -x -6，设P （x ，2

1x 2+2x ﹣6）（-6＜x ＜0），则E （x ，-x -6），所以PE= -x -6-（2

1x 2+2x -6），然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设M （-2，t ），利用两点间的距离公式得到AC 2=72，AM 2=（-2+6）2+t 2，CM 2=（-2）2+（t+6）2，利用勾股定理的逆定理进行讨论：当AC 2+AM 2=CM 2，∴ACM 为直角三角形，；

当AC2+CM2=AM2，∴ACM为直角三角形；当CM2+AM2=AC2，∴ACM为直角三角形，然后分别解关于t的方程得到对应的M点坐标。

教学建议：（3）中分别表示出三角形三边长度，注意分类讨论。

难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：贵阳模拟年份：2018

课后作业

【作业1】

如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米，该抛物线的函数表达式为。

【答案】y=

【解析】本题考查二次函数的应用，

由题意可得，抛物线的顶点坐标是（4，6），函数图象过点（0，2），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+6，

则2=a（0﹣4）2+6，解得，a=，

即抛物线的解析式为y=。

讲解用时：4分钟

难度： 3 适应场景：练习题例题来源：硚口区期末年份：2016秋【作业2】

在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）。

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）该男生把铅球推出去多远？

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）13.75米

【解析】此题主要考查了二次函数,应用中的“运动轨迹问题”，

（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，

由于顶点坐标为（6，5），∴y=a（x﹣6）2+5，

又A（0，2）在抛物线上，∴2=62?a+5，解得：a=﹣，

∴二次函数的解析式为y=﹣（x﹣6）2+5，

整理得：y=﹣x2+x+2；

（2）当y=0时，﹣x2+x+2=0，

x=6+2，x=6﹣2（不合题意，舍去），

∴x=6+2≈13.75（米），

答：该同学把铅球抛出13.75米．

讲解用时：8分钟

难度： 4 适应场景：练习题例题来源：相山区二模年份：2018

【作业3】

已知点A（2，a）在抛物线y=x2上，

（1）求A点的坐标；

（2）在x轴上是否存在点P，使∴OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由。

【答案】（1）A（2，4）；

（2）（25，0），（﹣25，0），（4，0），（5，0）

【解析】此题主要考查了二次函数图象上点的性质以及等腰三角形的判定，（1）∴点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4，

∴A点的坐标为（2，4）；

（2）如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2或AO=AP2=2

5，

∴点P坐标：（25，0），（﹣25，0），

以A为顶点时，AO=OP，∴点P坐标：（4，0）；

以P为顶点时，OP′=AP′，∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x，

则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，

∴点P坐标：（5，0）.

综上使∴OAP是等腰三角形的P（25，0），（﹣25，0），（4，0），（5，0）．讲解用时：10分钟

难度：4 适应场景：练习题例题来源：丹阳市校级模拟年份：2016

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是，当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向平移个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线相同，又过原点，那么a ＝，b ＝，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是，当函数值0y <时，对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ．都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-m D ． 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、（－1，1） B 、（1 ，1） C 、（0 , 1） D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = （ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是（） A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++，若0a <，0c >，那么它的图象大致是（） 21、根据所给条件求抛物线的解析式：（1）、抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5）（2）、抛物线关于y 轴对称，且过点（1，－2）和（－2，0） 22．已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A （0，1），B （2，－1）两点. (1)求b 和c 的值； (2）试判断点P （－1，2）是否在此函数图像上？ 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边

九年级数学《二次函数》综合练习题及答案

九年级数学《二次函数》综合练习题一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向平移个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3

初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数一、二次函数的解析式 1. 二次函数解析式有三种： (1)一般式：y ax bx c a =++≠2 0() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为() h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12 0，，是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程 1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的关系。一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 0y =时的特殊情况。 2.图像与x 轴的交点个数：

①当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点 ()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的两根； ②当0?=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0?<时，图像与x 轴没有交点。 1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。板块一二次函数解析式 1.(1)把函数232 12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为 ____________________________； (3)把函数()2 324y x =-+化为它的一般式的形式为 __________________________；

(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)

22．1二次函数的图像和性质（一）一、学习目标 1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。问题5：什么是二次函数？形如。问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？

（三）尝试应用：例1．关于x 的函数是二次函数，求m 的值．注意：二次函数的二次项系数必须是的数。例2．已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5，求这个二次函数的解析式．（五）小结： 1．二次函数的一般形式是。2．会用法求二次函数解析式。（六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二）一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=

初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩：一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1

精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数

二次函数第01课二次函数及其图像知识点： (1)若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。 (2)形如的函数是一次函数，当时，它是函数。 (3)定义：一般地，形如，（a,b,c 常数，且）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．注意：当b 、c 为零时，解析式分别为均为二次函数。二次函数2y ax =的图象复习：画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。一次函数图象的形状是抛物线2ax y =的性质 (2)当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 0时,y 随x 的增大而。 (3)在前面图中，关于x 轴对称的抛物线有对，它们分别是哪些？答：。由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是。 (4)当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________。自主学习： 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。(分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y= ，整理为y= .)

2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是。例1.已知32)4(2 32 -+-=--x m y m m 是二次函数,求m 的值. 例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2 ．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．例3.画出函数2x y =，2 2 1x y =，22x y =的图象．解：列表：例4.请画出函数2 2 1x y -=，2x y -=，22x y -=的图象．解：列表：

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

人教版九年级数学二次函数应用题(含答案)

人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案）一、单选题 2+2t，则当t=4t（米）与时间（秒）的关系式为s=5t时，该物体所经1.在一定条件下，若物体运动的路程s过的路程为][ A．28米 B．48米 C. 68米米．88 D2 +bx+c的图象过点(1，0)……2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax 求证这个二次函数的，题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称．][ A．过点(3，0) B．顶点是(2，-1) C．在x轴上截得的线段的长是3 3)(0，D．与y轴的交点是3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面是离墙的距离OB1m，离地面m，则水流落地点BM垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙 A．2m B．3m C .4 m m5 D．之间的函数关系式是，则该运与水平距离4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第动员此次掷铅球的成绩是

][ A．6 m B．8m C. 10 m m．12 D 2，若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s)：4s，则此人下降的高度为坡底的时间为][ A．72 m 36 ．m BC．36 m m．18D2 +50x-500，则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元获得最大利润，销售单价为][ A．25元 B．20元 C．30元元40D．7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入2 +bx+c所示，则下列结论正确的是网．若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a00；④③；；①a<②

人教版九年级上册数学九年级二次函数综合测试题及答案

二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1