地下洞室围岩稳定性分析(DOC)
地下气库(LPG)洞室围岩稳定性数值分析
目前应用广泛 的弹塑性模 型主要 有 ： 莫 尔一 基于 库伦 屈服 准则 的库 伦模 型 （ ｏｌ ）德鲁 克一 Ｃ ｕ ｍｂ 、 ｏ 普拉 格 （ ｒｃ— Ｄｕｋ ｅＰａｅ） 型 、 桥 （ ａ ｒ ｇ ） 型 、 德 （ ａｅ 模 ｒ ｒｇｒ模 － 剑 Ｃ ｍｂｉ ｅ 模 ｄ 拉 Ｌｄ） 型 、 德一 肯 （ ａｅＤ ｎａ ） 型 等 。 摩 尔一 伦 屈 服 拉 邓 Ｌ ｄ— ｕ ｃｎ 模 库
挖过 程及 开 挖后 洞室 围岩 的 内力 和 变形 将 怎样 变 化 是 未知 的 ， 而造 成 施 工 时 的 风 险 。有 限元 法 作 为 一 种 从 强有 力 的数值 分 析 方 法 ， 已经 被 广 泛 地 应 用 于 许 多 工 程分析 与 模拟 中 ［２， １１它不仅 可 以求 出土 体 中各 点 的应 －
地下气库 （ Ｐ 洞室 围岩稳 定性 数值 分析 Ｌ Ｇ）
刘红 刘 王秀 王本洲 军 ， 泉维 ， 海 ， ２
（ ．中国海洋大学海洋环境与生态教育 部重 点实验室，山东 青岛 ２ ６ ０ ； ． １ ６ １ ０ ２ 青岛市黄岛 区国土资源局 ，山东 青岛 ２ ６ ０ ） ６ ５ ０
受压情况， 为避免 ２种材料的重叠， 计算 时， 常取 １ 个 很大 的法 向刚 度 系数 ， 样 就 不 可避 免地 带 来 一 定 的 这 误差 （ 特别 是应 力 ） ［ 。而 Ｄｓｉ ｅａ等人提 出的薄 四边形 单 元则避免了摩擦型接触面单元的这一缺陷， 可以较好的 反 映法 向变形和 切 向变形 以及 应 力的 传递 ＿。 因此 ， ８ Ｊ 采 用德塞斯 （ ｅ ） 四边形 单元对接触 面进行模拟 。 Ｄｓ 薄 ｋ 接触 面 变形 的数 学 模 型 ： ｓｉ 元 与普 通 单 元 一 Ｄｅａ单 样 在平 面问题 中有 ３ 应 力分 量 和 ３个 应 变 分 量 。对 个 划入有厚度接触单元内的接触面和其附属 的岩土体来 说 ， 形分 为 两部 分 ： 变 一是土 体基 本 变形 ｛ ｅ ｝它与一 △ ， 般土体的变形一样 ； 二是破坏变形， 包括滑 动破坏和接 触破坏 ｛ｅ ｝总的变形为两者的向量叠加， ： △ ２， 即 ｛ ｅ ＝｛ ｅ ｝ △ ２ △ ｝ △ １ ＋｛ ｅ ｝ （） ８ 基本 变 形 所 采 用 的 本 构 关 系 与 土 体 其 他 单 元 相 同， 其应力 应变关 系不再重 复。破坏变形对接触面上 的一点来说， 它们的变形都是刚塑性的， 即破坏前接触 面上 无 相 对 位 移 ， 旦 破 坏 ， 裂 或 错 动 ， 对 位 移 不 一 张 相
采用不同屈服准则对地下洞室群围岩稳定性数值分析成果的影响研究
其 中 为岩 土 材料 的 内摩 擦角 。
上述三 种 屈服 准 则在 盯平 面投 影如 图 １ 示 。 所
Ｍｏ ｒ ｏ ｌｍｂ屈 服 准 则 的 屈 服 面 是 一 个 六 边 形 ｈ —Ｃ ｕｏ
蓄爹 ， ｒ
／
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锥 体 ， ｒｃｅ —Ｐａｅ 屈服准 则 的屈服 面是 Ｍｏｒ Ｄｕｋｒ ｒｇｒ ｈ— Ｃ ｕｏ ｏｌ ｍｂ六 边 形 锥 体 的 内 切 圆 锥 ， ｉ ｋｅ ｉ Ｚｅ ｉｗｃ ｎ ｚ— Ｐ ｎｅ 服准 则则 是对 Ｍｏｒ ｏ ｌ ａｄ 屈 ｈ —Ｃ ｕ ｍｂ六边形 锥 体 ｏ
对 于 洞室 岩 体 目前 采 用 弹 塑性 或 粘 弹 （ ） 塑 性
并 用双 曲线 近 似 屈 服面 在 ｚ平 面 Ｅ的投 影 得
到：
＝ 一ｓｎ ｉ ＝ａ２ ｉ 一Ｃ Ｃ ｎ‘ 一 ２ ＯＳ ａｓ
模型进行模拟分析 。常用的弹塑性模型屈服准则有
三 种 ： ｈ —Ｃ ｕｏ Ｍｏｒ ｏｌｍｂ准 则 、Ｄ ｕｋｒ—Ｐａｅ 服 ｒｃｅ ｒｇｒ屈
…
ｃｓ 。
稳 定分 析 与支 护设计 直 接关 系 到 电站 的安全运 行 和 工 程投 资 ， 因此 对 地下 洞 室群 的 围岩 稳 定 性 研究 分 析 非 常重要 。
一
其中０ 为罗台应力角 ， 其取值范 围为 ：
＂
ｒ ＜ ｒ
在地下 洞 室群 的 围岩稳 定性 研究 中除 了吸取 专 家 的意见 和 已建工 程 的经 验 外 ， 行 围岩 稳 定性 力 进 学 数值 分 析研 究也 是 一 种 方 法 ， 其 对 较 大 规模 的 尤
杂 ， 挖及 支 护工程 量 巨大 ， 开 地下 厂房 洞 室群 的 围岩
大型地下洞室围岩稳定性分析及实践探讨
。建筑 与工程 ０
Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ ＹＩ Ｆ Ｒ ＴＯ ＣＥ Ｃ ＆Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｏ ＭＡ Ｉ Ｎ Ｎ
２０ ０ ８年
第 ２ 期 ｌ
大型地下洞室围岩稳定性分析及实践探讨
（． １河海大 学 土木 工程 学院 江苏
冯 科锋 ’ 杨师 东 郭纹华 南京 ２ ０ ９ ； ． １ ０ ８ ２ 中南 勘测 设计研 究 院
形情况， 得尤为重要。 显 本 文 分 析 了某 电站 地 下 厂 房 开 挖 过 程 中 的 围 岩 变 形 特 征 ， 论 了 讨 围岩 支 护 的 合 理 时 间 及 重 要 性 ， 类 似 洞 室 的 设 计 、 挖 提 供 有 效 的 为 开 参考 。
２ 工程 概 况 ．
２１工 程 简 介 ． 该 水 电 站 装 机 容 量 ６ ０ ＭＷ ，枢 纽 建 筑 物 主要 有混 凝 土 重 力 坝 、 ００
影 响 。
图 １ 主 厂 房 轴 线 地 质 剖 面 示 意 图
３ 围岩 变 形 监 测 、 形 时 效 特 征 分 析 及 其 回 归 曲 线 ． 变
３ １ 形 监测 ．变
图 ３ Ｍ ４断商各深度围岩变形一 时间曲线 ４
髑
岩 体 作 为 一种 非 线 性 介 质 ． 室 开 挖 后 围 岩 中发 生 的 物 理 、 学 变 形 趋 势 会 越 来越 平 缓 ． 现 了水 利 工 程 地 下 洞 室 开 挖 的 洞 室 群 效要 有 两 大 类 ： 是 由岩 体 结 构 面 和 开 挖 面 组 合 形 成 一 的局 部 块 体 稳 定 性 问 题 口 另 一 类 是 由岩 体 强 度 和 岩 层 层 面 、 间 破 碎 ： 层 带 或 断 层 控 制 的洞 室 整 体 稳 定 性 问 题 。 于 大 型地 下 洞 室 跨 度 一 般 较 由 大 ， 深 较 深 ， 以 施 工 难 度 较 高 ， 开 挖 的 过程 中 ， 时 掌 握 围岩 的变 埋 所 在 及
洞室围岩处理
7 洞室围岩处理【主要内容】7.1 地应力与洞室围岩的变形及破坏基本类型7.2 围岩的工程地质分类及其应用7.3 围岩稳定性计算7.4 地下洞室围岩稳定性的分析方法7.5 地下工程地质问题7.6 保障地下洞室围岩稳定性的处理措施【重点】主要的地下工程地质问题的分析及保障地下洞室围岩稳定性的处理措施。
【难点】地下工程地质问题的分析。
在岩（土）体内，为各种目的经人工开凿形成的地下工程构筑物称为地下洞室。
研究地下洞室围岩稳定性的实质，是研究岩体在开凿洞室后，力学变化机理和岩体中应力分布状况。
一般情况下，在查明岩体结构特征和地应力条件的基础上，根据岩体的强度和变形特点就可以判别围岩的稳定性。
目前用于研究围岩稳定性的方法有：数学力学计算方法，围岩的变形和破坏机制分析方法，围岩地质结构分析和围岩稳定性分类方法，模拟试验方法等。
本章的主要内容有：以岩体结构及地应力理论为基础；系统的分析岩体变形与破坏机制和基本类型；介绍围岩的工程分类及其应用。
此外还要讨论围岩稳定性的评价方法，常见地下工程地质问题。
7.1地应力与洞室围岩的变形及破坏地应力也称天然应力、原岩应力、初始应力、一次应力，是指存在于地壳岩体中的应力。
由于工程开挖，使一定范围内岩体中的应力受到扰动而重新分布，则称为二次应力或扰动应力，在地下工程中称围岩应力。
地应力包括岩体自重应力、地质构造应力、地温应力、地下水压力以及结晶作用、变质作用、沉积作用、固结脱水作用等引起的应力。
洞室开挖后，地下形成了自由空间，原来处于挤压状态的围岩，由于解除束缚而向洞室空间松胀变形；这种变形大小超过了围岩所能承受的能力，便发生破坏，从母岩中分离、脱落，导致坍塌、滑动、隆破和岩爆等。
洞室围岩的变形与破坏程度，一方面取决于地下天然应力、重分布应力及附加应力；另一方面与岩土体的结构及其工程地质性质密切相关。
一、围岩的变形二、围岩的破坏（一）脆性破坏（二）块体滑动与塌落（三）层状岩体的弯曲折断（四）碎裂岩体的松动解脱（五）塑性变形和膨胀（六）松散围岩的变形与破坏（七）特殊地质问题1、涌水2、有害气体3、地温4、岩爆5、腐蚀7.2 围岩的工程地质分类及其应用分类科学也称为分类学，是研究分类理论的内涵，包括基础、原理、过程及规则，岩体分类的目的是为了系统的认识岩体的工程特性及其产生变形和破坏的一般规律，以便有效地利用和改造岩体，为工程设计和施工提供依据。
复杂地质条件下大型地下洞室群稳定性分析
２ ３ 监 测 、 波 测试 信 息 验 证 ． 声
个 节点 ； 为 了较 准确 获 得 塑 性 区 大小 ， 道 周 边单 ② 巷
元尺 寸约 为 ２ｍ； 模 型底 部边 界施 加 、 、 向位移 ③ ｙｚ
约束 ， 模型 左部 、 右部 边界施 加法 向位 移约束 ， 型前 、 模 后边 界施 加 法 向位 移 约束 ， 型 顶 部 未 施 加 约 束 ； 模 ④
管 、 调室 、 尾 引水 隧洞 岩 体变 形 参 数 、 度参 数进 行 了 强 ２ ％折减 ； 岩体 选 用摩 尔库 伦本 构 模 型 ； 整个 数 ０ ⑥ ⑦ 值 模 型区域 材料属 性值 见表 １ 。
表 １ 岩体 力 学 参数
两断层 影 响 ； 高地 应 力 状 态 ， ③ 目前 大 多 数 学者 认 为
开挖稳 定最 重要 的因素有 ３个方 面 ： 地 下 洞室 尺 寸 ①
较大 ， 室开挖 必然 引 起 围 岩塑 性 区、 形 范 围扩 大 ； 洞 变
② 地质 条件 复杂 ， ２表 明 ， 研 究 断 面 将 通 过 ｆ３ 图 待 １、
ｆ １ ４断层 带 （ Ｖ类 围 岩 ） 在 此 区域 开挖 必 须 考 虑上 述 ，
第４ ３卷 第 ３期 ２０ １２ 年 ２ 月
文 章 编 号 ：０ １—４ ７ ２ ２） ３—０ ３ １０ １ ９（ ０１ ０ ０ ９—０ ４
人 民 长 江
Ｙａ ｇ ｚ Ｒｉ ｅ ｎ ｔｅ ｖｒ
湖南省涔天河水库扩建工程地下洞室的围岩稳定监测措施
湖南省涔天河水库扩建工程地下洞室的围岩稳定监测措施摘要：着重从施工过程中围岩稳定监测的具体监测内容和要求及目的，洞内施工监测的具体测量方法和测点布置及要点进行介绍。
并应用于湖南涔天河水库扩建工程隧洞的安全监测中，起到了指导工程安全施工的良好作用。
关键词：地下洞室围岩稳定监测措施湖南涔天河水库扩建工程湖南省涔天河水库扩建工程坝址位于湘水支流潇水上游雾江段，坝址位于永州市江华瑶族自治县东田镇境内，下距东田镇和江华县城分别为3km 和12km。
本工程为扩建工程，洞室的土石方明挖与支护主要包括导流洞、2#泄洪洞、发电洞、1#泄洪洞；本标段隧洞断层带分布较多，且断层带围岩以ⅳ类为主，其稳定性较差，将存在掉块、渗水等现象。
导流洞和2#泄洪洞的洞身拟采取分层、分区开挖支护。
采用“手风钻+潜孔钻+液压钻孔相结合”的分层钻孔爆破法进行开挖。
出渣采用cat320b型反铲配合zlc50c型装载机装车，由15t自卸汽车弃运至指定的弃渣场。
为确保施工和后期工作安全，需要对地下洞室的围岩稳定性采取监测措施：一、安全监测的内容及要求（1）施工安全监测包括开挖爆破时的动态监测、围岩收敛变形观测。
（2）开挖爆破时的动态监测部位为洞脸边坡、洞室支护与衬砌结构及建（构）筑物等，以及业主、设计单位和监理人认为有必要的部位。
（3）开挖爆破动态监测密切配合开挖爆破程序进行，并与同次钻爆参数密切配合，每次爆破后及时整理、分析监测成果，地质不良洞段于监测当天、其它洞段于监测次日报送业主、设计单位和监理人，便于及时采取工程措施。
（4）围岩收敛变形观测断面距离在iv类、v类围岩洞段不大于20m，在其它洞段不大于50m。
观测断面必须紧跟开挖掌子面布置，开挖后7天内每天观测次数不少于一次，7天后依围岩稳定情况可逐渐减少。
当发现围岩变形异常时，加密观测次数。
（5）监测仪器满足安全监测的要求，在实施监测之前要进行必要的仪器标定；实施监测过程中注意仪器的保养，定期对仪器进行校准。
分析影响隧道围岩稳定性因素
文章编号:1004 5716(2003)05 59 02中图分类号:U451+ 2 文献标识码:B 分析影响隧道围岩稳定性因素习小华(西安科技学院,陕西西安710054)摘 要:主要对影响隧道围岩稳定性的自然因素如岩石性质及岩体的结构、岩体的天然应力状态、地质构造、地下水进行了详细的分析。
关键词:围岩稳定性;天然应力状态;地质构造毫无疑问,隧道围岩的稳定性对隧道的正常运营是至关重要的。
从许多隧道发生的交通事故中可以知道,隧道围岩的稳定性不仅与岩石的性质、岩体的结构与构造、地下水、岩体的天然应力状态、地质构造等自然因素有关,而且还与隧道的开挖方式及支护的形式和时间等因素有关。
但其中起主导作用的还是岩石性质及岩体的结构、岩体的天然应力状态、地质构造、地下水等自然因素。
因此了解这些因素对围岩稳定性的影响和机理,才能够客观实际的采取相应的维护隧道围岩稳定的措施。
1 岩石性质及岩体的结构围岩的岩石性质和岩体结构通过围岩的强度来影响围岩的稳定性,是影响围岩稳定性的基本因素。
从岩性的角度,可以将围岩分为塑性围岩和脆性围岩,塑性围岩主要包括各类粘土质岩石、粘土岩类、破碎松散岩石以及吸水易膨胀的岩石等,通常具有风化速度快,力学强度低以及遇水软化、崩解、膨胀等不良性质,故对隧道围岩的稳定最为不利;脆性围岩主要各类坚硬体,由于这类岩石本身的强度远高于结构面岩石的强度,故这类围岩的强度主要取决于岩体的结构,岩性本身的影响不是很显著。
从围岩的完整性(围岩完整性可以用岩石质量指标RQ D、节理组数Jn、节理面粗糙程度Jy、节理变质系数Ja、裂隙水降低系数Jw、应力降低系数SR F八类因素进行定量分析)角度,可以将围岩分为五级即:完整、较完整、破碎、较破碎、极破碎。
如果隧道围岩的整体性质良好、节理裂隙不发育(如脆性围岩)即围岩为完整或较完整,那么,隧道开挖后,围岩产生的二次应力一般不会使岩体发生破坏,即使发生破坏,变形的量值也是较少的。
任务四-岩体稳定性评价
评价方法：
传统的工程地质学定性分析 岩石力学定量分析
相互结合
目前已形成以研究岩体稳定性为主要任务的新学科
——岩体工程地质力学
（－）岩体的稳定性及影响岩体稳定性的因素
▪1. 岩体的稳定性及岩体工程地质力学
(3)岩体工程地质力学主要观点如下： ①认为岩体稳定性问题是一个岩体结构问题。 岩体结构是在长期地质历史中，经过岩石建造、
（－）岩体的稳定性及影响岩体稳定性的因素
▪2. 影响岩体稳定性的因素
①岩体所在位置周围地质环境的稳定性对该环境 内的岩体稳定性有宏观控制作用。
地质环境的稳定性包括： 区域稳定性 山体稳定性 地面稳定性
（－）岩体的稳定性及影响岩体稳定性的因素
▪2. 影响岩体稳定性的因素
①岩体所在位置周围地质环境的稳定性对该环境内的岩 体稳定性有宏观控制作用。
岩体失稳:
在工程施工和运营期间，岩体发生了不能容许的 变形和破坏。
▪ 稳定的：岩体未发生不能容许的变形和破坏。
（－）岩体的稳定性及影响岩体稳定性的因素
▪1. 岩体的稳定性及岩体工程地质力学
▪ (1)岩体稳定性:
各类工程有不同的结构特点和用途，
对岩体的稳定性有不同的要求。
▪ 拱桥基础对地基岩体变形要求十分严格； ▪ 简支梁桥基础容许一定数量的地基岩体均匀压缩变形。 ▪ 水库边坡上容许发生一些规模不大的滑坡与崩塌； ▪ 铁路路堑边坡不容许发生这样的边坡岩体滑动与崩塌。 ▪ 不同的地下工程对地下洞室围岩稳定性有不同要求。
方法和物理力学测试技术。
④在分析岩体结构时要考虑应力状态和荷载的作 用，力学分析时注意应力分布受岩体结构的影响， 使分析方法与之相适应。
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第八章地下洞室围岩稳定性分析第一节概述地下洞室(underground cavity)是指人工开挖或天然存在于岩土体中作为各种用途的构筑物。
从围岩稳定性研究角度来看，这些地下构筑物是一些不同断面形态和尺寸的地下空间。
较早出现的地下洞室是人类为了居住而开挖的窑洞和采掘地下资源而挖掘的矿山巷道。
如我国铜绿山古铜矿遗址留下的地下采矿巷道，最大埋深60余米，其开采年代至迟始于西周(距今约3000年)。
但从总体来看，早期的地下洞室埋深和规模都很小。
随着生产的不断发展，地下洞室的规模和埋深都在不断增大。
目前，地下洞室的最大埋深已达2 500m，跨度已超过30m；同时还出了多条洞室并列的群洞和巨型地下采空系统，如小浪底水库的泄洪、发电和排砂洞就集中分布在左坝肩，形成由16条隧洞(最大洞径14.5m)并列组成的洞群。
地下洞室的用途也越来越广。
地下洞室按其用途可分为交通隧道、水工隧洞、矿山巷道、地下厂房和仓库、地下铁道及地下军事工程等类型。
按其内壁是否有内水压力作用可分为有压洞室和无压洞室两类。
按其断面形状可分为圆形、矩形、城门洞形和马蹄形洞室等类型。
按洞室轴线与水平面的关系可分为水平洞室、竖井和倾斜洞室三类。
按围岩介质类型可分为土洞和岩洞两类。
另外，还有人工洞室、天然洞室、单式洞室和群洞等类型。
各种类型的洞室所产生的岩体力学问题及对岩体条件的要求各不相同，因而所采用的研究方法和内容也不尽相同。
由于开挖形成了地下空间，破坏了岩体原有的相对平衡状态，因而将产生一系列复杂的岩体力学作用，这些作用可归纳为：(1)地下开挖破坏了岩体天然应力的相对平衡状态，洞室周边岩体将向开挖空间松胀变形，使围岩中的应力产生重分布作用，形成新的应力状态，称为重分布应力状态。
(2)在重分布应力作用下，洞室围岩将向洞内变形位移。
如果围岩重分布应力超过了岩体的承受能力，围岩将产生破坏。
(3)围岩变形破坏将给地下洞室的稳定性带来危害，因而，需对围岩进行支护衬砌，变形破坏的围岩将对支衬结构施加一定的荷载，称为围岩压力(或称山岩压力、地压等)。
(4)在有压洞室中，作用有很高的内水压力，并通过衬砌或洞壁传递给围岩，这时围岩将产生一个反力，称为围岩抗力。
地下洞室围岩稳定性分析，实质上是研究地下开挖后上述4种力学作用的形成机理和计算方法。
所谓围岩稳定性是一个相对的概念，它主要研究围岩重分布应力与围岩强度间的相对比例关系。
一般来说，当围岩内一点的应力达到并超过了相应围岩的强度时，就认为该处围岩已破坏；否则就不破坏，也就是说该处围岩是稳定的。
因此，地下洞室围岩稳定性分析，首先应根据工程所在的岩体天然应力状态确定洞室开挖后围岩中重分布应力的大小和特点；进而研究围岩应力与围岩变形及强度之间的对比关系，进行稳定性评价；确定围岩压力和围岩抗力的大小与分布情况。
以作为地下洞室设计和施工的依据。
为此，本章将主要讨论地下洞室围岩重分布应力、围岩变形与破坏、围岩压力和围岩抗力等的岩体力学分析计算问题。
第二节围岩重分布应力计算地下洞室围岩应力计算问题可归纳为：①开挖前岩体天然应力状态(natuarLstress或称一次应力、初始应力和地应力等)的确定；②开挖后围岩重分布应力(或称二次应力)的计算；③支护衬砌后围岩应力状态的改善。
本节仅讨论重分布应力计算问题。
地下开挖前，岩体中每个质点均受到天然应力作用而处于相对平衡状态。
洞室开挖后，洞壁岩体因失去了原有岩体的支撑，破坏了原来的受力平衡状态，而向洞内空间胀松变形，其结果又改变了相邻质点的相对平衡关系，引起应力、应变和能量的调整，以达到新的平衡，形成新的应力状态。
我们把地下开挖后围岩中应力应变调整而引起围岩中原有应力大小、方向和性质改变的作用，称为围岩应力重分布作用。
经重分布作用后的围岩应力状态称为重分布应力状态，并把重分布应力影响范围内的岩体称为围岩。
据研究表明，围岩内重分布应力状态与岩体的力学属性、天然应力及洞室断面形状等因素密切相关。
一、无压洞室围岩重分布应力计算(一)弹性围岩重分布应力对于那些坚硬致密的块状岩体，当天然应力大约等于或小于其单轴抗压强度的一半时，地下洞室开挖后围岩将呈弹性变形。
因此这类围岩可近似视为各向同性、连续、均质的线弹性体，其围岩重分布应力可用弹性力学方法计算。
这里以水平圆形洞室为重点进行讨论。
1.圆形洞室深埋于弹性岩体中的水平圆形洞室，围岩重分布应力可以用柯西(Kirsh,1898)课题求解。
如果洞室半径相对于洞长很小时，可按平面应变问题考虑。
则可将该问题概化为两侧受均布压力的薄板中心小圆孔周边应力分布的计算问题。
图8-1是柯西课题的概化模型，设无限大弹性薄板，在边界上受有沿x方向的外力p作用，薄板中有一半径为R0的小圆孔。
取如图的极坐标，薄板中任一点M(r,θ)的应力及方向如图所示。
按平面问题考虑，不计体力，则M点的各应力分量，即径向应力σr、环向应力σθ和剪应力τrθ与应力函数φ间的关系，根据弹性理论可表示为：图8-1 柯西课题分析示意图(8-1)(8-1)式的边界条件为：(8-2)为了求解微分方程(8-1)，设满足该方程的应力函数φ为：(8-3)将(8-3)式代入(8-1)式，并考虑到边界条件(8-2)式，可求得各常数为：将以上常数代入(8-3)式，得到应力函数φ为：(8-4)将(8-4)式代入(8-1)式，就可得到各应力分量为：(8-5)式中：σr，σθ，τrθ分别为M点的径向应力、环向应力和剪应力，以压应力为正，拉应力为负；θ为M点的极角，自水平轴(x轴)起始，反时针方向正；r为向径。
(8-5)式是柯西课题求解的无限薄板中心孔周边应力计算公式，我们把它引用到地下洞室围岩重分布应力计算中来。
实际上深埋于岩体中的水平圆形洞室的受力情况是上述情况的复合。
假定洞室开挖在天然应力比值系数为λ的岩体中，则问题可简化为图8-2所示的无重板岩体力学模型。
若水平和铅直天然应力都是主应力，则洞室开挖前板内的天然应力为：图8-2 圆形洞室围岩应力分析模型(8-6)式中：σv，σh为岩体中铅直和水平天然应力；τzx，τxz为天然剪应力。
取铅直坐标轴为z，水平轴为x，那么洞室开挖后，铅直天然应力σv引起的围岩重分布应力也可由(8-5)式确定。
在(8-5)式中，p用σv代替，而θ角应是向径OM与z轴的夹角θ′。
若统一用OM与x轴的夹角θ来表示时，则这样由σv引起的重分布应力为：(8-7)由水平天然应力σh产生的重分布应力，可由(8-5)式直接求得，只需把式中p换成λσv即可。
因此有：(8-8)将(8-7)和(8-8)式相加，即可得到σv和λσr同时作用时圆形洞室围岩重分布应力的计算公式为：(8-9)或(8-10)由(8-9)式和(8-10)式可知，当天然应力σh，σv和R0一定时，围岩重分布应力是研究点位置(r，θ)的函数。
令r＝R0时，则洞壁上的重分布应力，由(8-10)式为：(8-11)由(8-11)式可知，洞壁上的τrθ＝0，σr＝0，仅有σθ作用，为单向应力状态，且其σθ大小仅与天然应力状态及计算点的位置θ有关，而与洞室尺寸R0无关。
从(8-11)式，取λ＝σh /σv 为1/3，1，2，3…等不同数值时，可求得洞壁上0°，180°及90°，270°两个方向的应力σθ如表8-1和图8-3所示。
结果表明，当λ＜1/ 3时，洞顶底将出现拉应力；当1/3＜λ＜3时，洞壁围岩内的σθ全为压应力且应力分布较均匀；当λ＞3时，洞壁两侧将出现拉应力，洞顶底则出现较高的压应力集中。
因此可知，每种洞形的洞室都有一个不出现拉应力的临界λ值，这对不同天然应力场中合理洞形的选择很有意义。
表8-1 洞壁上特征部位的重分布应力σθ值2。
2F〗〖XXZSX2－YX〗〖XXZSY2－YX〗〖BSZSX1Y2〗σθ〖BSYSX2Y1〗θ〖BSZXX1Y12〗λ0°，180°90°，270°〖XXZSX2－YX〗〖XXZSY2－YX〗〖BSZSX1Y2〗σθ〖BSYSX2Y1〗θ〖BSZXX1Y12〗λ0°，180°90°，270°[BHDG1*2]0 3σv －σv 1／3〖〗8σv／3 0〖BH〗1 2σv[]2σv[]2[]σv[]5σv[BH]3[]0[]8σv[]4[]－σv[]11σv 5 －σv 14σv [HT]〖TP3，11*2。
40#〗图8-3 σθ/σv随λ的变化曲线为了研究重分布应力的影响范围，设λ＝1，即σh＝σv＝σ0，则(8-10)式变为：(8-12)(8-12)式说明：天然应力为静水压力状态时，围岩内重分布应力与θ角无关，仅与R0和σ0有关。
由于τrθ=0，则σr，σθ均为主应力，且σθ恒为最大主应力，σr恒为最小主应力，其分布特征如图8-4所示。
当r＝R0(洞壁)时，σr=0，σθ=2σ0，可知洞壁上的应力差最大，且处于单向受力状态，说明洞壁最易发生破坏。
随着离洞壁距离r增大，σr逐渐增大，σθ逐渐减小，并都渐渐趋近于天然应力σ0值。
在理论上，σr，σθ要在r→∞处才达到σ0值，但实际上σr，σθ趋近于σ0的速度很快。
计算显示，当r=6R0时，σr和σθ与σ0相差仅28%。
因此，一般认为，地下洞室开挖引起的围岩分布应力范围为6R0。
在该范围以外，不受开挖影响，这一范围内的岩体就是常说的围岩，也是有限元计算模型的边界范围。
图8-4 σr，σθ随r增大的变化曲线2.其他形状洞室为了最有效和经济地利用地下空间，地下建筑的断面常需根据实际需要，开挖成非圆形的各种形状。
下将讨论洞形对围岩重分布应力的影响。
由圆形洞室围岩重分布应力分析可知，重分布应力的最大值在洞壁上，且仅有σθ，因此只要洞壁围岩在重分布应力σθ的作用下不发生破坏，那么洞室围岩一般也是稳定的。
为了研究各种洞形洞壁上的重分布应力及其变化情况，先引进应力集中系数的概念。
地下洞室开挖后洞壁上一点的应力与开挖前洞壁处该点天然应力的比值，称为应力集中系数。
该系数反映了洞壁各点开挖前后应力的变化情况。
从(8-11)式可知，圆形洞室洞壁处的应力σθ可表示为：(8-13)式中：α，β为应力集中系数，其大小仅与点的位置有关。
类似地，对于其他形状洞室也可以用(8-13)式来表达洞壁上的重分布应力，不同的只是不同洞形，α，β也不同而已。
图8-5列出了常见的几种形状洞室洞壁的应力集中系数α，β值。
这些系数是依据光弹实验或弹性力学方法求得的。
应用这些系数，可以由已知的岩体天然应力σh，σv来确定洞壁围岩重分布应力。
由图8-5可以看出各种不同形状洞室洞壁上的重分布应力有如下特点：①椭圆形洞室长轴两端点应力集中最大，易引起压碎破坏；而短轴两端易出现拉应力集中，不利于围岩稳定。