第一章-函数极限连续教案

第一章 函数·极限·连续

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⎨⎧质闭区间上连续函数的性初等函数的连续性间函数的间断点与连续区

函数连续的定义连续两个重要极限极限的四则运算法则无穷大量和无穷小量右极限函数的左定义数列极限与函数极限的极限简单的经济函数模型复合函数与初等函数基本初等函数函数的简单性质义域函数的定义和函数的定函数、

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；了解闭区间上连续函数的性质。

1．函数的定义域

2．基本初等函数

3．复合函数

4．极限的运算

5．连续的概念

1．复合函数

2．极限的概念

3．重要极限

4．连续的概念

1.1 函数

【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简单性质，基本初等函数，复合函数以及初等函数，简单的经济函数模型。

【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

【教学重点】1．函数的定义域；2．基本初等函数的图像与性质；3．复合函数的分解；4．成本函数、收入函数、利润函数。

【教学难点】1．复合函数的概念与分解；2．经济函数模型建立。

【教学时数】3学时 【教学进程】

一、函数的概念与性质 (一) 函数的概念

提问：什么叫函数？请你举出1到2个函数的例子。

教师可举例：在某商店，可一双皮鞋卖200元，两双多少元？x 双呢？（x y 200=）从而归纳出函数的定义。

１．定义

定义1．1 设有两个变量x 和y ，当变量x 在非空数集D 内取某一数值时，变量y 按照某种对应法则f ，有惟一确定的数值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作

)(x f y =

其中x 称为自变量，y 称为函数或因变量，数集D 称为函数)(x f 的定义域． 函数的表示方法，一般有解析法、表格法、图像法。 2．定义域

提问：如何求函数的定义域？

当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义。因此，要求： （1）分式，分母必须不等于零；

（2）偶次根式，被开方式必须大于等于0； （3）对数，真数必须大于零，底大于零且不等于1； （4）正切符号下的式子必须不等于2

ππ+

k （Z k ∈）；

（5）余切符号下的式子必须不等于πk （Z k ∈）；

（6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1．

如果表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集．在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑到变量的实际意义

例1 求下列函数的定义域。 （1）x

x y 22

2

-=

； （2）32-=x y ； （3）1)

34ln(2++-=x x x y ； （4）)12(log 4)1arcsin(32-+--=

x x

x y 解 （1）分式的分母不能为0，由022

≠-x x 解得0≠x 且2≠x ，即定义域为

),2()2,0()0,(+∞-∞Y Y ．

（2）偶次根式被开方式大于等于零，由032

≥-x 解得3-≤x 或3≥

x ；即定

义域为),3[]3,(+∞--∞Y ．

（3）对数的真数大于零，由⎩

⎨⎧≠+>+-010342x x x 解得⎩⎨⎧-≠><13

1x x x 或；即定义域为

),3()1,1()1,(+∞---∞Y Y ．

（4）要使式子有意义，x 必须满足的条件⎪⎩⎪⎨⎧>->-≤-01204112

x x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-≤≤212220x x x ，解得

221<

⎫

⎝⎛2,21． 课堂练习：

（1）16

1)(2

+=

x x f （答案：),(+∞-∞）

（2）)42ln(31)(-+-=

x x

x f （答案：)3,2(）

（3）3

1arcsin

)(x

x f -= （答案：]4,2[-） 强调定义域必须用区间或集合表示。

介绍邻域概念：我们称开区间)(00δδ+-x x ，为点0x 的δ邻域，简称点0x 的邻域。δ为正数，称为邻域的半径。如点1的2邻域，即1为中心，2为半径的邻域指的是开区间（-1，3）。

3．函数值

提问：什么叫函数值？如何求函数值？

如果x 取数值D x ∈0时，则函数)(x f 在0x 处有定义，与0x 对应的数值0y 称为函数

)(x f 在点0x 的函数值，记作

0|)(0x x y x f =或

即

0y ＝)(0x f 或0|x x y =＝)(0x f

全体函数值的集合，称为函数的值域。

例2 已知2

11)(x

x f +=，求)2(f ，)(a f ，)1(+x f ，)1

(x f -。 解 51211)2(2=+=

f ，2

11

)(a

a f +=，221)1(11)1(22++=++=+x x x x f ， 2

2

21111

)1

(x x x x

f +=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=

-． 提问：什么样的函数是表示同一只函数？

函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素。当两个函数的定义域与对应法则一致时，这两个函数表示的是同一个函数。如2)(x x f =

与||)(x x g =，它们的定义域与对

应法则一致，只是表示不同而已，实际是同一个函数。

４．分段函数

提问：我们在产品销售中往往会遇到这样的事，某产品销量在100件以内（包括100件）按每件50元销售，超过100件，超过的部分可打八折，那么销售收入与销售量之间的