岩石强度理论
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岩体本构关系与强度理论
岩体力学
Rockmass Mechanics
第七章 岩体本构关系与强度理论
概述 岩石的本构关系 岩石强度理论 岩体变形及本构关系 岩体破坏机制及破坏判据
概述
－－岩体的力学性质表现为弹性、塑性和粘性或三者之间的组合，如
粘弹性、弹粘性、弹塑性、弹塑粘性等。
如何求解岩体的基本力学问题呢？
3
(12c)1
1 3c
3(12)t
那么最大正应变强度判据可写成：
f C tg
1 1 3 c
当岩石应力条件满足以上判据时，岩石发生张破裂。取其中最小的
比较。 该强度理论适用于无围压和低围压及脆性岩石。
0
0
2. （二次）抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石，
如泥灰岩、泥岩、砂岩、泥页 岩、页岩等岩石的强度包络线 近似于二次抛物线。
3．双曲线型 岩性坚硬、较坚硬的岩石，
如砂岩、灰岩、花岗岩等，其强 度包络线近似于双曲线。
二次抛物线型莫尔强度包络线 双曲线型莫尔强度包络线
0
说明：莫尔－库仑判据（强度理论）实质上是一种剪应力强度判据（理 论），既适用于塑性岩石，又适用于脆性岩石的剪切破坏，应用很广。
那么，岩石承受低于瞬时强度的荷载作用，是否会破坏？
只要收到长期荷载作用下，由于流变作用，岩石完全可能发生破坏。 而且岩石强度随外荷载作用时间的延长而降低，通常将时间t→∞的强度 （最低值）称为岩石的长期强度。
对大多数岩石，长期强度/瞬时强度（S∞/S0）一般为0.4～0.8，软的 和中等坚固岩石为0.4～0.6，坚固岩石为0.7～0.8。
2.莫尔－库仑强度理论
（Coulomb-Mohr Strength theory）
Rockmass Mechanics
第七章 岩体本构关系与强度理论
概述 岩石的本构关系 岩石强度理论 岩体变形及本构关系 岩体破坏机制及破坏判据
概述
－－岩体的力学性质表现为弹性、塑性和粘性或三者之间的组合，如
粘弹性、弹粘性、弹塑性、弹塑粘性等。
如何求解岩体的基本力学问题呢？
3
(12c)1
1 3c
3(12)t
那么最大正应变强度判据可写成：
f C tg
1 1 3 c
当岩石应力条件满足以上判据时，岩石发生张破裂。取其中最小的
比较。 该强度理论适用于无围压和低围压及脆性岩石。
0
0
2. （二次）抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石，
如泥灰岩、泥岩、砂岩、泥页 岩、页岩等岩石的强度包络线 近似于二次抛物线。
3．双曲线型 岩性坚硬、较坚硬的岩石，
如砂岩、灰岩、花岗岩等，其强 度包络线近似于双曲线。
二次抛物线型莫尔强度包络线 双曲线型莫尔强度包络线
0
说明：莫尔－库仑判据（强度理论）实质上是一种剪应力强度判据（理 论），既适用于塑性岩石，又适用于脆性岩石的剪切破坏，应用很广。
那么，岩石承受低于瞬时强度的荷载作用，是否会破坏？
只要收到长期荷载作用下，由于流变作用，岩石完全可能发生破坏。 而且岩石强度随外荷载作用时间的延长而降低，通常将时间t→∞的强度 （最低值）称为岩石的长期强度。
对大多数岩石，长期强度/瞬时强度（S∞/S0）一般为0.4～0.8，软的 和中等坚固岩石为0.4～0.6，坚固岩石为0.7～0.8。
2.莫尔－库仑强度理论
（Coulomb-Mohr Strength theory）
应用莫尔—库仑强度理论分析岩石强度
应用莫尔—库仑强度理论分析岩石强度摘要：本文介绍了应用莫尔—库仑强度理论来分析岩石强度，该方法具有表达简洁、通俗易懂、使用简单、物理意义清晰等优点，对于分析岩石强度问题具有非常重要的作用。
关键词：库仑强度公式；莫尔应力圆；岩石强度1前言由于岩石成因、矿物成分、成岩环境的多样性，受力状态的复杂多变，岩石的强度特性不容易分析清楚。
准确把握岩石的强度对于工程有着极其重要的作用。
莫尔—库仑强度理论是用来分析岩石抗剪切强度的一种表达简便、使用简单的方法。
2基本思想莫尔—库仑强度理论是在大量试验数据处理、统计分析的基础上得到的。
该理论的基本思想：岩石的剪切破坏并不会发生在只有正应力或者只有剪应力的相对简单的应力条件下，只有在正应力和剪应力同时存在的较复杂的应力条件下才会发生。
只有岩石试件某个截面上作用的剪应力满足岩石的抗剪切强度时，岩石才会沿着该截面发生剪切破坏。
并且莫尔—库仑强度理论假定：岩石的强度只与大、小主应力有关，与中间主应力无关。
岩石的断裂面基本上与中间主应力的作用方向平行。
3库仑强度公式岩石内部各点在荷载作用下将产生应力，为了表述简便清晰，可以将各点任一截面上的应力分解为垂直于截面的正应力和平行于截面的剪应力。
只有岩石试件中一点某截面上作用的剪应力超过岩石的抗剪切强度时，试件才会沿着该截面产生相对滑移，发生滑移破坏。
取成因、矿物成分和成岩环境相同，大小也相同的岩石来模拟岩石剪切破坏。
对岩石上下施加一定的竖直荷载P，然后在岩石左右缓慢施加剪切力，直至岩石上下平行错动，发生剪切破坏，此时剪切力记为S。
若岩石的剪切面面积为A，则剪切面上的正应力为σ=P/A，剪应力为τ=S/A。
分别对不同的岩石施加不同的竖直荷载P，可以得到岩石破坏时不同的剪切力S，进而可以得到σ与τ之间的关系，近似为一直线，用数学公式表示成：τ=σ?tanφ+c,为库仑抗剪强度公式，当中φ称为岩石的内摩擦角， c称为岩石的内聚力。
4平面应力状态下的莫尔应力圆在实际工程中，可以将复杂的空间应力状态简化为平面应力状态（单元体中存在正应力、剪应力均等于零的一对平面）。
第四章 岩石的强度
第四章岩石的强度岩石强度是岩石的一种重要的力学特性。
是指岩石抵抗载荷（外力）而不受屈服或破裂的能力,是岩石承受外力的极限应力值。
岩石受力后会发生变形，一旦应力达到岩石的极限应力值，岩石就会发生破坏。
在岩石强度应力值之前，存在屈服点(应变明显增大，而应力不再需要明显增大时的应力)，超过屈服点和达到极限强度(岩石破裂要达到的最大应力值)前，一般仍有一些抵抗应变而恢复原形的能力，但达到极限强度后岩石破裂，就完全失去恢复能力。
通常所讲的岩石强度，一般是指岩石样件的测量强度，它仅代表岩体内岩块的强度，不能代表整个岩体的强度。
但在涉及岩石强度的工程问题中，一般是针对岩体的强度，而岩体往往包含一些软弱的结构面。
几组软弱结构面可以将岩体分割成各种形状和大小不同的岩块。
因此，岩体的强度取决于这些岩块强度和结构面的强度，岩块内微结构面的作用将直接反映到岩石的力学性质上。
岩石受力方式的不同，表现出的强度特性不尽相同。
如在张力、压力和剪切力的作用下，同种岩石会呈现出不同的强度特性。
因此岩石具有抗张、抗压和抗剪切强度等之分。
岩石受力条件的不同，可表现出变形、破裂、蠕变等现象，这些现象有着一定的规律性。
岩石的强度是衡量岩石基本力学性质的重要指标，是建立岩石破坏判据的重要指标，还可估计其他力学参数。
岩石的这些力学特性广泛用于建筑行业、水利水电工程、地质灾害研究与预防、断裂构造研究等方面。
4.1影响岩石强度的主要因素1)岩石成分和结构组成岩石的矿物种类及含量、矿物颗粒大小、固结程度、胶结物种类、矿物形态与分布等均影响到岩石的各种强度。
固结程度高、硅质胶结、细粒、交错结构的强度大。
2)岩石中不连续面和间断面岩石中微裂缝、微小断裂、节理层理等的发育程度和分布情况直接影响到岩石的强度，这些不连续或间断面会降低岩石在不同方向上的强度。
3)岩石孔隙度及流体性状岩石的孔隙度以及其中所含流体种类、饱和度、渗透率等因素以较复杂的关系影响着岩石强度。
第三讲 岩石强度
下图。
2P X Dl
（2-22）
6P y （2-23） Dl
•计算公式：当P值达到峰值破坏荷载Pmax时，在垂直径向的
x方向（水平方向）产生均匀拉应力σxmax即为岩石的拉应力：
2 Pmax Rt Dl
（2-25）
（3）点荷载试验法
–是上世纪发展起来的一种简便的现场试验方法。 –试件：任何形状，尺寸大致50mm，不做任何加工。 –试验：在直接带到现场的点荷载仪上，加载劈裂破坏。
在实验过程中，如何预见岩石的宏观破坏形式呢？ 也就是说在试验过程中，能否通过某种方式预先知道 （预测）它的破坏结果？（声发射技术的应用）
abLeabharlann cdef
– 由上图可知，声发射技术是一门无损监（检）测技 术，被动声发射监测，可以用来监测了解材料的破 坏趋势。
• 室内实验中影响岩石抗压强度的主要因素：
– 岩石试件的形状：圆柱体形、立方块、长方块等不同 的形状影响岩石的抗压强度，立方块和长方块容易在 棱角上产生应力集中，影响岩样的强度。
1. 岩石抗压强度：是指岩石承受最大外荷载的能力。
（1）单轴抗压强度：无围压（无侧限）强度 –岩样：圆柱形（尺寸直径48~54mm、高径比=2~2.5） –计算公式：压力与受载面积的比。
Pc Rc A
（2-14）
非标准试样的抗压强度计算公式：
为非标准岩样的强度，d为岩 样的直径或边长，h为高度。
• 试验方法：直剪仪，垂向压力P作 用下的直接剪切； • 试样：一般为立方块（尺寸：棱 长50mm），有时也用长方块； • 计算方法：
P A
P
岩样
直剪仪剪切盒
（2-15） （2-16）
T A
地应力及岩石强度课件
岩石在地应力作用下会发生变形和破坏，地应力对岩石的强度具有直接影响。
岩石的强度参数，如单轴抗压强度、抗拉强度和剪切强度，会随着地应力的变化而变化。
在高地应力区域，岩石的强度参数通常较低，而在低地应力区域则较高。
岩石的强度参数还与其岩性、结构和构造等因素有关，这些因素在地应力场中也会发生变化。
在地下工程中，地应力和岩石强度是影响工程稳定性的重要因素。
地应力可能导致岩石的变形和破坏，从而影响工程的稳定性。
岩石强度则决定了工程结构的承载能力和稳定性，同时也影响着地应力的分布和变化。
CHAPTER
地应力与岩石强度的应用
04
岩石地基承载力分析
根据岩石的抗压、抗拉和抗剪强度，分析岩石地基的承载能力，确保建筑物安全稳定。
通过地应力和岩石强度的监测，及时发现岩石工程的变形、位移和破坏迹象，保障工程安全。
岩石强度与损伤演化关系研究
岩石在受力过程中会发生损伤演化，研究岩石强度与损伤演化之间的关系有助于深入了解岩石破坏的机理和预测岩石的稳定性。
岩石强度与化学作用关系研究
化学作用对岩石强度的影响也是当前研究的热点之一，例如水对岩石的侵蚀作用、酸性气体对岩石的腐蚀作用等，这些研究有助于提高岩石工程的稳定性。
地应力和岩石强度研究涉及到地质学、力学、物理学等多个学科，未来需要加强跨学科合作，综合各学科的优势进行深入研究。
跨学科合作
随着传感器技术和数据处理技术的发展，智能化监测技术在地应力和岩石强度研究中将发挥越来越重要的作用，能够提高监测精度和效率。
智能化监测技术
数值模拟和虚拟现实技术能够模拟地应力和岩石强度的复杂环境和过程，为研究提供更直观和深入的手段。
地应力及岩石强度课件
目录
contents
岩石的强度参数，如单轴抗压强度、抗拉强度和剪切强度，会随着地应力的变化而变化。
在高地应力区域，岩石的强度参数通常较低，而在低地应力区域则较高。
岩石的强度参数还与其岩性、结构和构造等因素有关，这些因素在地应力场中也会发生变化。
在地下工程中，地应力和岩石强度是影响工程稳定性的重要因素。
地应力可能导致岩石的变形和破坏，从而影响工程的稳定性。
岩石强度则决定了工程结构的承载能力和稳定性，同时也影响着地应力的分布和变化。
CHAPTER
地应力与岩石强度的应用
04
岩石地基承载力分析
根据岩石的抗压、抗拉和抗剪强度，分析岩石地基的承载能力，确保建筑物安全稳定。
通过地应力和岩石强度的监测，及时发现岩石工程的变形、位移和破坏迹象，保障工程安全。
岩石强度与损伤演化关系研究
岩石在受力过程中会发生损伤演化，研究岩石强度与损伤演化之间的关系有助于深入了解岩石破坏的机理和预测岩石的稳定性。
岩石强度与化学作用关系研究
化学作用对岩石强度的影响也是当前研究的热点之一，例如水对岩石的侵蚀作用、酸性气体对岩石的腐蚀作用等，这些研究有助于提高岩石工程的稳定性。
地应力和岩石强度研究涉及到地质学、力学、物理学等多个学科，未来需要加强跨学科合作，综合各学科的优势进行深入研究。
跨学科合作
随着传感器技术和数据处理技术的发展，智能化监测技术在地应力和岩石强度研究中将发挥越来越重要的作用，能够提高监测精度和效率。
智能化监测技术
数值模拟和虚拟现实技术能够模拟地应力和岩石强度的复杂环境和过程，为研究提供更直观和深入的手段。
地应力及岩石强度课件
目录
contents
岩石的强度
2．影响因素
（1）岩石本身性质方面的因素，如矿物组成、结构 构造、密度、风化程度，层理结构（Rc∥＜Rc⊥）等
（2）试验条件
①试件的几何形状及尺寸大小；（形态和尺寸效应) ②端面条件；（端部效应）（试件端面与压力机板间
的摩擦作用，如端面粗糙和不平行Rc ↓）
③加荷速率；（v↑，Rc↑） ④湿度和温度；随温度升高，岩石的脆性降低，塑性增强，岩石强度随
5. 库伦-莫尔强度理论（coulomb 1773-mohrs 1900)
之降低。水侵入岩石时，将顺着裂隙进入并湿润试件中的矿物颗粒，由于水分子的 进入，改变了岩石的物理状态，削弱了颗粒间的连结力，降低了岩石的强度。
3．岩石抗压强度与弹性模量的关系
E=350Rc 近似直线，也就是说，岩石刚度越大（E越大，变
形越小），则强度越大Rc。
第二节 单轴抗拉强度（Uniaxial tensil
σ1=f（σ2、σ3）或 f（σ1，σ2、σ3）=0 ε1=f（ε2、ε3）或 f（ε1，ε2、ε3）=0
一. 岩石的破坏特性 岩石的破坏形式比较复杂，根据破坏时的应力类型，分为三 种类型： （脆性破坏）--（过渡型）--（塑性/延性破坏） (拉破坏) (剪切破坏) (流动) -------三种破坏机制 (多数岩石) (岩石常见)(一般条件下大部分岩石并不呈现 )
第一节 岩石的单轴抗压强度
（uniaxial compressive strength） 1．Rc的确定
（1）抗压试验：Rc=Pc/A （MPa）
Pc—荷载（破坏时）（N） A—横断面积（mm2） 标准岩石试件通常为圆柱状或长方柱状。 圆柱状： 直径D=5cm或7cm，h=（2～3）D 方柱状：断面S=5×5cm2，h=（2～3）S 断面S=7×7cm2，h=（2～3）S （2）点荷载试验→间接求取Rc Rc=（22.8～ 23.7）Is(50) 式中Is(50)为直径50mm标准试件的点荷载强度。
岩石力学课程讲义岩石强度PPT59页
3.5.2 室内试验方法
直剪试验 仪器：岩石直剪仪
P A T A
P
T
§3.5 岩石的抗剪强度
3.5.2 室内试验方法
直剪试验
裂纹发展、 增长阶段
失稳阶段， 晶格滑移
弹性阶段， 裂纹产生
§3.5 岩石的抗剪强度
3.5.2 室内试验方法
三轴压缩试验 绘制试验对应σ’1和σ’3的应力圆（或称莫尔圆），以及这
在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状 态下可以具有塑性性质，同时它的强度极限也大大提高； 在各向压缩的情况下，岩石能够承受很大的荷载，而没有 可觉察到的破坏（如在隧洞开挖后，三向应力状态转化为 平面应力状态）
§3.6 岩石的强度理论（破坏准则）
最大正应力理论 最大正应变理论 最大剪应力理论 八面体剪应力理论 Mohr理论及Mohr-Coulomb准则 Griffith强度理论
接削弱了岩块的抗拉强度。相对而言，空隙对岩块抗压强度的影响就小 得多，因此，岩块的抗拉强度一般远小于其抗压强度。
通常把抗压强度与抗拉强度的比值称为脆性度，用以表征岩石的脆性 程度。
§3.5 岩石的抗剪强度
3.5.1 基本概念
岩石的抗剪强度就是岩石抵抗剪切滑动 的能力，它是岩石力学中需要研究的最重要 指标之一，往往比抗压和抗拉强度更有意义。
节点数16240 单元数14702
武都重力坝坝基
§3.2 岩石的破坏形式
脆性破坏 岩石发生破坏时，变形很小，明显声响，一般发生在单轴
或低围压坚硬岩石（岩爆） 。
塑性破坏 破坏时，变形较大，有明显的“剪胀”效应，一般发生在
较软弱岩石或高围压坚硬岩石。
沿软弱结构面（原生）剪切破坏 由于岩层中存在节理、裂隙、层理、软弱夹层等软弱结构
岩石力学第四章 岩石本构关系与强度理论
yx
14
下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平
衡方程：
Fx 0 :
(
x
x x
dx ) dy
1
x
dy
1
(
yx
yx y
dy )
dx
1
o
x
yx
y
P A xy X x B C y
D
x
x
x
dx
Y
xy
xy x
dx
y
yx y
y
yx y
dy
dy
yx dx 1 X dx dy 1 0
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
问题相反。
11
2、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于柱面并且不沿长度变
化的面力，同时体力也平行于柱面并且不沿长度变化。
εz = 0 τzx = 0 τzy = 0
如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。
y
x
P
x
图 2－2
是坐标的已知函数。
23
2、应力边界条件
当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满 足与面力相平衡的力的平衡条件。
l(x)s m(yx)s X
m(y)s
l(xy)s
Y
其中 X 和 Y 为面力分量，( x )s、( y )s 、( xy ) s 、( yx )s 为边界上的应 力分量。
当边界面垂直于 x轴时，应力边界条件简化为：
变分量与应力分量之间的
关系如下：
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
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上节内容—— 岩 石 的 强 度 性 质
岩块强度：岩块抵抗外力破坏的能力。 脆性破坏 拉破坏 剪切破坏 塑性破坏(延性破坏） 受 力 状 态 一、单轴抗压强度 二、单轴抗拉强度
岩块破 坏方式
三、剪切强度
四、三轴压缩强度
2.8 岩石强度理论
主要内容
2.8.1 库仑强度准则
2.8.2 莫尔强度理论
2.8.1 库仑强度准则
由图7-6可得： 并可改写为：
1
1 sin 2c ctg 3 1 sin 1 sin
(7-30)
若取 3 0 ，则极限应力 1 为岩石单轴抗压强度 c ，即有：
c
2c ctg 1 sin
（7-31）
力的平衡关系（平衡方程） 位移和应变的关系（几何方程）
+
边界条件
=
应力场 位移场
应力和应变的关系（物理方程或本 构方程）
岩体本构关系:指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。
依据适合于岩体的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。
2.8 岩石强度理论
岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。
arctan
2 t
c
在主应力 1 , 3 坐标平面内的库仑准则可以利用单轴抗压强度和抗拉强度来 确定。
• 库仑准则主要公式：
τ = C +σ tg = c +σ f 2c cos 1 +sin σ1 = +σ 3 1 sin 1 sin σ c = 2c cos /(1 sin ) α = 45 + / 2 σ1 = σ c +σ 3 tg α
σc
σ1
σ
图7-9 完整岩石的莫尔强度曲线
2.8.2 莫尔强度理论
1、二次抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石。
τ
+ σ ( nσ t )
σ M(
,τ )
n t
2
(7-41)
τ
2 =
1
τ
t 式中： 为岩石的单轴抗拉强度； n 为待
3
σ
2
2α
定系数。
σ
0
t
σ
3
利用图 7-10中的关系，有：
σ3 σ σ 1=
3
1 1 f 2 1 f 3 f 2 1 f 2c 1 2 c
P β
(7-39)
0 -σ t S
σ c/ 2 A
σc
σ1
3 1
1 1 c 2
2
2.8.1 库的强度包络线是一条斜直 线，破坏面与最小主平面的夹角α恒等于45－φ/2。 •库仑 - 纳维尔判据适用于坚硬、较坚硬的脆性岩石产生 剪切破坏的情况，而不适用于拉破坏的情况。
•该判据没有考虑中间主应力σ2的影响。
2.8 岩石强度理论
2.8.2 莫尔强度理论
2
2
故：
1 1 ( 1 3 ) c ctg ( 1 3 ) sin 2 2
若用平均主应力 m和最大剪应力 m 表示，上式变成：
m m sin c cos
其中：
(7-29)
1 1 m 1 3 , m 3 2 2
由： 有： 或：
cos 2 f
2 1 1 f
f 2 1
f 2 1 3 1 f f 2 1
2 1 f 2 1 f
f 2 1 3 f 2 1 f
f 2 1
由于 f 2 1 0 ，故若 0 ，则有：
1 f 2 1 f 3 f 2 1 f 0
(7-38)
1 2
方程（7-37）式与（7-38）式联立求解可得：
1 c
2.8.1 库仑强度准则
图 7-8 中直线 AP代表 1 的有效取值范围。 3为负值（拉应力），由实验知，可能会在垂直于 3平面内发生张性破裂。 特别在单轴拉伸 1 0, 3 0 中，当拉应力值达到岩石抗拉强度 t 时，岩石发生 张性断裂。基于库仑准则和试验结果分析，由图 7-8给出的简单而有用的准则可 以用方程表示为：
图7-8 σ 1－σ 3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线
2.8.1 库仑强度准则
在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。
角
(1)当 0 时，岩石属单轴拉伸破裂； 1 1 12 2 cc 33 t t 1 (2)当 1 1 时，岩石属双轴拉伸破裂； 1 0 0 22 cc t t 3 c c 1 3 (3)当 1 c 3 0 时，岩石属单轴压缩破裂； (4)当 1 c 3 0 时，岩石属双轴压缩破裂。 另外，由图 7－8 中强度曲线上A 点坐标 ( c / 2, t ) 可得，直线 A P的倾 为：
f
2.8 岩石强度理论
2.8.1 库仑强度准则
•固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力 (τ)应等于或大于材料本 身的抗切强度(C)和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力(σtgφ)之和。 • 岩石的破坏：剪切破坏。
• 岩石的强度：抗摩擦强度等于岩石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面上法 向力产生的摩擦力。平面中的剪切强度准则（图 7-6 ）为：
1 3 tan2 c
2.8.1 库仑强度准则
σ1
1 tan 2 c
1 3 坐标系统中库仑准则的
完整强度曲线。如图 7-6所示，极 限应力条件下剪切面上正应力 和 剪力 用主应力 表示为：
σc
O
arc( tan2 θ)
σ3
1 1 1 3 cos 2 1 3 图7-7 σ1－σ3坐标系的库仑准则 2 2 (7-34) 1 sin 2 1 3 2 由方程（7-27）式并取 ，得： f t an
2.8.2 莫尔强度理论
莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。 包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等等。 斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。 主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。
单轴压缩
莫尔破坏包络线
σ1 σ 2 =σ3
三轴压缩
单轴拉伸
σt
σ3
（7-37）
2.8.1 库仑强度准则
上式表示（图7-8 ) 的直线交 1于 ，且： c
c 2c f 2 1 f
交 3轴于 s 0 。 注意： s 0 并不是单轴抗拉强度
σ3 σ σ 1=
3
P β
0 -σ t S σ c/ 2 A σc σ1
s0 2c f 2 1 f
1 1 | | - f 1 3 sin 2 -f cos 2 f 3 2 2
(7-35)
2.8.1 库仑强度准则
方程（7-35）式对 求导可得
由此给出
tan2 1 / f
| | - f 的最大值，即
1 1 3 2 1 f 1 f 1 3 2
岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理
论。
强度准则：又称破坏判据，岩石在极限应力状态下（破坏条件）的应力状态和岩 石强度参数之间的关系。可表示为极限应力状态下的主应力间的关系方程，即 :
1 f 2 , 3
或处于极限平衡状态截面上的剪应力 和正应力 间的关系方程：
岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏（出现显著的塑性 变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破 坏发生于应力达到屈服极限。 强度准则：通过试验以及强度理论。
岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质两类，变形性质
主要通过本构关系来反映，强度性质主要通过强度准则来反映。
2.8 岩石强度理论
由于（岩面）材料的破坏，从微观颗粒脱离情况而言，不外远离、 错开两种可能，物体破坏只有拉坏和剪坏两种。
由于岩石抗压不抗拉，材料力学中第一、二、三、四强度 理论不适用。
2.8 岩石强度理论
岩体力学研究对象:岩体，岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性质往往表现 为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。 岩体基本力学问题求解基本单元: 岩体微分单元体，其基本求解过程如下：
2
| | f max
(7-36)
根据方程（7-27）式，如果方程（7-36）式小于 它等于（或大于） c ，则发生破坏。令
c
，破坏不会发生；如果
| | f c
则方程（7-36）式变为
2c 1 f 2 1 f 3 f 2 1 f
莫尔（Mohr，1900年）把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主要的贡献 是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极限状态时，滑动平面 上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值”，并可用下列函数关系 表示：
f
(7-40)
(7-40)式在 坐标系中为一条对称于 轴的曲线，它可通过试验方法求 得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩及三轴压缩）下的破坏莫尔 应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线（图7-9) ，称为莫尔强度包络线给定。
图7-8 σ 1－σ 3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线
2.8.1 库仑强度准则
岩石发生破裂（或处于极限平衡）时 1 取值的下限确定： 考虑到剪切面（图 7-6 ）上的正应力 0 的条件，这样在 值条件下，由方 程（7-34）式得：
岩块强度：岩块抵抗外力破坏的能力。 脆性破坏 拉破坏 剪切破坏 塑性破坏(延性破坏） 受 力 状 态 一、单轴抗压强度 二、单轴抗拉强度
岩块破 坏方式
三、剪切强度
四、三轴压缩强度
2.8 岩石强度理论
主要内容
2.8.1 库仑强度准则
2.8.2 莫尔强度理论
2.8.1 库仑强度准则
由图7-6可得： 并可改写为：
1
1 sin 2c ctg 3 1 sin 1 sin
(7-30)
若取 3 0 ，则极限应力 1 为岩石单轴抗压强度 c ，即有：
c
2c ctg 1 sin
（7-31）
力的平衡关系（平衡方程） 位移和应变的关系（几何方程）
+
边界条件
=
应力场 位移场
应力和应变的关系（物理方程或本 构方程）
岩体本构关系:指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。
依据适合于岩体的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。
2.8 岩石强度理论
岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。
arctan
2 t
c
在主应力 1 , 3 坐标平面内的库仑准则可以利用单轴抗压强度和抗拉强度来 确定。
• 库仑准则主要公式：
τ = C +σ tg = c +σ f 2c cos 1 +sin σ1 = +σ 3 1 sin 1 sin σ c = 2c cos /(1 sin ) α = 45 + / 2 σ1 = σ c +σ 3 tg α
σc
σ1
σ
图7-9 完整岩石的莫尔强度曲线
2.8.2 莫尔强度理论
1、二次抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石。
τ
+ σ ( nσ t )
σ M(
,τ )
n t
2
(7-41)
τ
2 =
1
τ
t 式中： 为岩石的单轴抗拉强度； n 为待
3
σ
2
2α
定系数。
σ
0
t
σ
3
利用图 7-10中的关系，有：
σ3 σ σ 1=
3
1 1 f 2 1 f 3 f 2 1 f 2c 1 2 c
P β
(7-39)
0 -σ t S
σ c/ 2 A
σc
σ1
3 1
1 1 c 2
2
2.8.1 库的强度包络线是一条斜直 线，破坏面与最小主平面的夹角α恒等于45－φ/2。 •库仑 - 纳维尔判据适用于坚硬、较坚硬的脆性岩石产生 剪切破坏的情况，而不适用于拉破坏的情况。
•该判据没有考虑中间主应力σ2的影响。
2.8 岩石强度理论
2.8.2 莫尔强度理论
2
2
故：
1 1 ( 1 3 ) c ctg ( 1 3 ) sin 2 2
若用平均主应力 m和最大剪应力 m 表示，上式变成：
m m sin c cos
其中：
(7-29)
1 1 m 1 3 , m 3 2 2
由： 有： 或：
cos 2 f
2 1 1 f
f 2 1
f 2 1 3 1 f f 2 1
2 1 f 2 1 f
f 2 1 3 f 2 1 f
f 2 1
由于 f 2 1 0 ，故若 0 ，则有：
1 f 2 1 f 3 f 2 1 f 0
(7-38)
1 2
方程（7-37）式与（7-38）式联立求解可得：
1 c
2.8.1 库仑强度准则
图 7-8 中直线 AP代表 1 的有效取值范围。 3为负值（拉应力），由实验知，可能会在垂直于 3平面内发生张性破裂。 特别在单轴拉伸 1 0, 3 0 中，当拉应力值达到岩石抗拉强度 t 时，岩石发生 张性断裂。基于库仑准则和试验结果分析，由图 7-8给出的简单而有用的准则可 以用方程表示为：
图7-8 σ 1－σ 3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线
2.8.1 库仑强度准则
在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。
角
(1)当 0 时，岩石属单轴拉伸破裂； 1 1 12 2 cc 33 t t 1 (2)当 1 1 时，岩石属双轴拉伸破裂； 1 0 0 22 cc t t 3 c c 1 3 (3)当 1 c 3 0 时，岩石属单轴压缩破裂； (4)当 1 c 3 0 时，岩石属双轴压缩破裂。 另外，由图 7－8 中强度曲线上A 点坐标 ( c / 2, t ) 可得，直线 A P的倾 为：
f
2.8 岩石强度理论
2.8.1 库仑强度准则
•固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力 (τ)应等于或大于材料本 身的抗切强度(C)和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力(σtgφ)之和。 • 岩石的破坏：剪切破坏。
• 岩石的强度：抗摩擦强度等于岩石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面上法 向力产生的摩擦力。平面中的剪切强度准则（图 7-6 ）为：
1 3 tan2 c
2.8.1 库仑强度准则
σ1
1 tan 2 c
1 3 坐标系统中库仑准则的
完整强度曲线。如图 7-6所示，极 限应力条件下剪切面上正应力 和 剪力 用主应力 表示为：
σc
O
arc( tan2 θ)
σ3
1 1 1 3 cos 2 1 3 图7-7 σ1－σ3坐标系的库仑准则 2 2 (7-34) 1 sin 2 1 3 2 由方程（7-27）式并取 ，得： f t an
2.8.2 莫尔强度理论
莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。 包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等等。 斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。 主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。
单轴压缩
莫尔破坏包络线
σ1 σ 2 =σ3
三轴压缩
单轴拉伸
σt
σ3
（7-37）
2.8.1 库仑强度准则
上式表示（图7-8 ) 的直线交 1于 ，且： c
c 2c f 2 1 f
交 3轴于 s 0 。 注意： s 0 并不是单轴抗拉强度
σ3 σ σ 1=
3
P β
0 -σ t S σ c/ 2 A σc σ1
s0 2c f 2 1 f
1 1 | | - f 1 3 sin 2 -f cos 2 f 3 2 2
(7-35)
2.8.1 库仑强度准则
方程（7-35）式对 求导可得
由此给出
tan2 1 / f
| | - f 的最大值，即
1 1 3 2 1 f 1 f 1 3 2
岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理
论。
强度准则：又称破坏判据，岩石在极限应力状态下（破坏条件）的应力状态和岩 石强度参数之间的关系。可表示为极限应力状态下的主应力间的关系方程，即 :
1 f 2 , 3
或处于极限平衡状态截面上的剪应力 和正应力 间的关系方程：
岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏（出现显著的塑性 变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破 坏发生于应力达到屈服极限。 强度准则：通过试验以及强度理论。
岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质两类，变形性质
主要通过本构关系来反映，强度性质主要通过强度准则来反映。
2.8 岩石强度理论
由于（岩面）材料的破坏，从微观颗粒脱离情况而言，不外远离、 错开两种可能，物体破坏只有拉坏和剪坏两种。
由于岩石抗压不抗拉，材料力学中第一、二、三、四强度 理论不适用。
2.8 岩石强度理论
岩体力学研究对象:岩体，岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性质往往表现 为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。 岩体基本力学问题求解基本单元: 岩体微分单元体，其基本求解过程如下：
2
| | f max
(7-36)
根据方程（7-27）式，如果方程（7-36）式小于 它等于（或大于） c ，则发生破坏。令
c
，破坏不会发生；如果
| | f c
则方程（7-36）式变为
2c 1 f 2 1 f 3 f 2 1 f
莫尔（Mohr，1900年）把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主要的贡献 是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极限状态时，滑动平面 上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值”，并可用下列函数关系 表示：
f
(7-40)
(7-40)式在 坐标系中为一条对称于 轴的曲线，它可通过试验方法求 得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩及三轴压缩）下的破坏莫尔 应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线（图7-9) ，称为莫尔强度包络线给定。
图7-8 σ 1－σ 3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线
2.8.1 库仑强度准则
岩石发生破裂（或处于极限平衡）时 1 取值的下限确定： 考虑到剪切面（图 7-6 ）上的正应力 0 的条件，这样在 值条件下，由方 程（7-34）式得：