安徽省合肥市合肥一中、合肥六中2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题 含答案
2018-2019学年第二学期合肥一中合肥六中
高一年级期中考试数学试卷
时长：120分钟 分值：150分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
) 1.若a 、b 、c ∈R ，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A.2
2
b a > B.
b a 11< C.
c b c a > D.1
12
2+>+c b
c a 2.若A 、B 是∆ABC 的内角，且sin A > sin B ，则A 与B 的关系正确的是( ) A. A<B B.A>B C. A+B>
2
π
D.无法确定 3.已知实数－1、a 、x 、b 、－9依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A. 3或－3 B. 3 C.－3 D.不确定
4.在∆ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A. a=50，b=30，A=600 B. a=30，b=65，A=300 C. a=30，b=60，A=300 D. a=30，b=50，A=300
5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件，若使得该女子所织布的尺数不少于10 尺，则该女子所需的天数至少为( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5 6.若关于x 的小等式ax 2+bx+3>0的解集为（－1，2
1），其中a ，b 为常数，则不等式 3x 2 +bx+a <0的解集是( ) A. (－1，2) B. (－2，1) C.（21-
，1） D.（－1，2
1） 7.一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为( ) A.6海里 B.12海里 C. 6海里或12海里 D.63海里 8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a,≠0，2S n = a n 2＋ a n ，则⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅+11n n a a 的前n 项和为（ ）
A.
n
n 21- B. n n +1 C. n n 1- D. 11
+-n n
9.已知正数x ，y 满足x+y=1，则
y
x ++14
1的最小值为（ ） A. 5 B. 14/3 C. 9/2 D.2
10.己知正项数列{a n }单调递增，则使得不等式(1一a i x)2 < 1对任意a i （i= 1,2,3,……, k)都成立的x 的取值范围是( ) A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛11,
0a B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12,0a C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k a 1,0 D ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛k a
2
,0
11.在斜∆ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，己知asinA+b sin B 一c sin C=4b sin B cos C ，CD 是角C 的内角平分线，且CD= b ，则cosC=( )
A.
81 B.43 C. 32 D. 6
1
12.已知数列{a n }中，a 1＝1，且)()2
1(1+
+∈-=-N n a a n n n ，若存在正整数n ，使得
0))((1<--+n n a t a t 成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A.
13
2<<t B. 121<<t C. 6532<<t D. 221
<<t
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题目的横线上。
)
13.已知实数x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥-+≤-62030
2y x y x y x ，则z=x －2y 的最小值为
14.己知数列{a n }中，a = 2019，a n ＋1=3a n +2(n ∈N +)，则数列{a n }的通项公式为 15.己知∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，且(b + c)2一a 2＝43S 则角A=
16.每项为正整数的数列{a n }满足⎪⎩
⎪⎨⎧+=+是奇数，是偶数
，n n n n n a a a a a 1321
1，且a 6=4，数列{a n }的前6项和的最大
值为S ，记a 1的所有可能取值的和为T ，则S －T ＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
) 17.(本小题满分10分)
己知关于x 的不等式ax 2-x+1-a<0 (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ∈R 时，解关于x 的不等式。
18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A b B a cos 3sin = (1)求角A 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，△ABC 的周长为6，求边长a 。
19.(本小题满分12分)
已知等差数列和{a n }的公差d ≠0，a 3 +a 9=22，且a 1，a 2，a 5成等比数列；数列{a n }的前n 项和S n ，且满足2S ＝1一b n 。
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设b
n
n b a c =，求数列{c n }的前n 项和T n 。
20.(本小题满分12分)
合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4000cm 2，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白。
(1)如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小? (2)设画面的高与宽的比为t ，且
10
9
52≤≤t ，求t 为何值时，宣传画所用纸张面积最小
?
21.(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. (1)若己知c(cos A + cos B) = a + b ，判断△ABC 的形状； (2)若己知BC 边上的高为2a ，求c
b
b c +的最大值。
22.(本小题满分12分)
己知数列{a n }中，a 1=1，na n+1=2(a 1+a 2+………+a n )。
数列{b n }满足21
1=b ，n n n n b a b b +=++2
121)
( (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：
21)
1(1
11+->-+n b b n n (3)证明：b n <1。
合肥一中和六中2018-2019学年上学期高一期中考(试卷版) (1)
一中&六中高一 2018 秋答案解析
一、选择题：
1-6 CDDBAB 7-12 ACBCDB
二、填空题：
13. 2b +1 1- a
14.
æ çè
1 3
,
+¥
ö ÷ø
15. 4 或 1 4
16. 2
三、解答题：
17. （I） A Ç B={x 2 £ x < 3} ；（Ⅱ） a Î(-4,+¥)
合肥一中&六中 2018—2019 学年第一学期期中考试
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 已知 P = {x -1 < x < 1},Q = {x -2 < x < 0} ，则 P Ç CRQ = ( )
A. (-2,1)
B. (-1,0]
C. [0,1)
D. (-2,-1)
x2 f
( x1 ) - x1 f
x1 - x2
( x2 )
< 0 ，记
( ) ( ) f
a=
e0.3
f ,b =
3-2
,c = f (log2 5) （ e 为自然对数的底数），则 a,b, c 的大小关系为（
）
e0.3
3-2
log2 5
A. a > b > c
B. b > a > c
C. a > c > b
2
（Ⅱ）若对于任意的 t Î[-2,1] ，函数 f ( x) 在区间 [t,t + 2]的最大值、最小值的差不超过1，求 k 的取值范围.
21. 已知函数 f ( x) 满足：对任意 x, y Î R ，都有 f (x + y) = f (x) × f ( y) - f (x) - f ( y) + 2成立，且当 x < 0 时， 1< f (x) < 2， x > 0 时， f (x) > 2 。 （Ⅰ）求 f (0)的值； （Ⅱ）猜测 f (x) 的单调性并加以证明； （Ⅲ）若函数 g ( x) = f ( x) - k 在 (-¥,0) 上递减，求实数 k 的取值范围。
安徽省合肥市联考2018～2019学年度高2021届高2018级高二第二学期期中考试数学理科数学一中合肥六中及解析
2018～2019学年度第二学期合肥一中、合肥六中高中二年级年级期中考试理科数学试题试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若复数z 满足()12z i i +=,其中i 为虚数单位,则z =( ) A. 1i -B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【试题参考答案】B根据复数的除法,求出复数z 即可. 【试题解答】Q 复数z 满足()12z i i +=,211iz i i∴==++, 故本题选B.本题考查复数的四则运算,要求掌握复数的除法运算,比较基础.2.己知()()tan ,'f x x f x =为()f x 导数,则'3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 4B. 23 D. 2-【试题参考答案】A先转化为()f x ═sin cos xx,再根据导数的运算法则求导,并代入数值计算即可. 【试题解答】sin ()tan cos xf x x x==Q ,2222cos sin 1()cos cos x x f x x x'+∴==, 14134f π'⎛⎫∴== ⎪⎝⎭, 故本题选A.本题考查了导数的运算法则和三角函数的求值,属于基础题.3.若函数()2123ln 2f x x x x =--,则函数()f x 的单调递减区间为( ) A. (,1)(3,)-∞-+∞U B. ()1,3-C. (0,3)D. ()3,+∞【试题参考答案】C先求函数()f x 的定义域,再求导数()f x ',最后令()0f x '<,解之即可得到结果. 【试题解答】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为:{|0}x x >, 因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x '---+=--==, 令(3)(1)0x x x-+<并且0x >,得:03x <<,所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0,3).故本题正确答案为C.本题主要考查利用导数研究函数的单调性,掌握常见函数的导数是关键,属基础题.4.用反证法证明命题“已知,*∈a b N ,如果ab 可被5整除,那么,a b 中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( ) A. ,a b 都能被5整除 B. ,a b 都不能被5整除 C. ,a b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除【试题参考答案】B根据反证法的概念,利用命题的否定,即可求解,得到答案.【试题解答】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证,“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”.故选B.本题主要考查了反证法的概念及其应用,其中解答中熟记反证法的概念,合理利用命题的否定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.5.水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管,其中有些是进水管,有些是出水管,如果同时开放两条水管,注满水池的时间如下表:那么单开一条水管,最快注满水池的水管编号为( ) A. ①B. ②C. ④D. ③或⑤【试题参考答案】C将表格中数据两两横向对比即可比较出不同水管的进水速度,从而得到答案.【试题解答】①②用2小时,②③用15小时,所以①的速度要比③快;②③用15小时,③④要用6小时,所以④比②进水速度快;③④用6小时,④⑤用3小时,所以⑤比③进水速度快;④⑤用3小时,⑤①用19小时,④比①进水速度快;①②用两个小时,⑤①用19个小时,所以②比⑤进水快. 根据以上分析可得到:进水速度①>③;④>②;⑤>③;④>①;②>⑤. 所以最快的是④. 所以C 选项是正确的.本题考查识别表格的能力,关键根据表格中两个水管灌满水的时间,每两个横向比较,找到最快的.6.函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致为( )A. B.C. D.【试题参考答案】A根据排除法可令x =1,排除C,D,且当0x <时,2()(2)0xf x x x e =-<,排除B,从而得到答案. 【试题解答】令x =1,则f (1)=e >0,所以排除C,D,令2()(2)0xf x x x e =-<,解得0x <或2x >,则0x <时,2()(2)0xf x x x e =-<,排除B,选A. 所以本题选A.本题考查函数图象的判断,一般采用排除法,可利用赋值,求函数奇偶性等进行排除,属基础题.7.用S 表示图中阴影部分的面积,若有6个对面积S 的表示,如图所示,()ca S f x dx =⎰①;()c aS f x dx =⎰②;()c aS f x dx =⎰③;()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰④;()()cbbaS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤;()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【试题参考答案】B先将阴影部分的面积用定积分()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰表示,然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.【试题解答】由定积分的几何意义知,区域内的面积为:()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰,又当[],x a b ∈时,()0f x ≤,当[],x b c ∈时,()0f x ≥, 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以③,⑤,⑥是正确的. 所以本题答案为B.本题考查定积分在求面积中的应用,解题时要注意分割,关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负(积分的几何意义强调代数和),属于基础题.8.已知111()12f n L n n n n =++++++,用数学归纳法证明:对于任意的*n N ∈,13()14f n <,由n k =的归纳假设证明1n k =+,若()()1()k f k k fg +=+,则()g k =( ) A.122k +B.112122k k +++ C.11221k k -++D.112122k k -++ 【试题参考答案】D根据111()12f n L n n n n=++++++,可知111()122f k k k k =++⋯+++,11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++,从而可得n k =到1n k =+变化了的项. 【试题解答】111()122f k k k k=++⋯+++Q , 11111(1)2322122f k k k k k k +=++⋯+++++++,11111(1)()212212122f k f k k k k k k ∴+-=+-=-+++++,(1)()()f k f k g k +=+Q ,11()2122g k k k ∴=-++. 所以D 选项是正确的.本题考查数学归纳法,考查数学归纳法中的推理,确定n k =到1n k =+变化了的项是解题的关键,属基础题.9.己知函数()()2f x x x c =-,在2x =处取得极大值,则实数c 的值是( ) A.23B. 2C. 2或6D. 6【试题参考答案】D由题意可得(2)0f '=,解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件. 【试题解答】函数2()()f x x x c =-的导数为2()()2()f x x c x x c '=-+-()(3)x c x c =--,由()f x 在2x =处有极大值,即有(2)0f '=,即(2)(6)0c c --=, 解得2c =或6,若2c =时,()0f x '=,可得2x =或23,由()f x 在2x =处导数左负右正,取得极小值, 若6c =,()0f x '=,可得6x =或2 ,由()f x 在2x =处导数左正右负,取得极大值. 综上可得6c =. 所以D 选项是正确的.本题考查利用导数研究函数的极值,根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性,属基础题.10.设ABC ∆的三边长分别为,,,a b c ABC ∆的面积为S ,内切圆半径为r ,则2=++Sr a b c,类比这个结论可知:四面体A BCD -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ,内切球半径为R ,四面体A BCD -的体积为V ,则R =( )A. 1234+++VS S S SB. 12342+++VS S S SC. 12343+++VS S S SD. 12344+++VS S S S【试题参考答案】C根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【试题解答】设四面体的内切球的球心为O , 则球心O 到四个面的距离都是R , 所以四面体的体积等于以O 为顶点, 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和, 则四面体的体积为 ()123413A BCD V S S S S R -=+++, ∴12343VR S S S S =+++故本题正确答案 C.本题主要考查类比推理,将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键,属基础题.11.函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是( ) A. y x =B. 32y x =-C. 23y x =-+D.21y x =-【试题参考答案】D先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式,然后对函数()f x 进行求导,进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程. 【试题解答】2()2(2)88f x f x x x =--+-Q ,2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--. 2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-,得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-,2()f x x ∴=,()2f x x '=,()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=,∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-. 所以本题答案为D.本题主要考查求函数解析式的方法,函数的求导法则以及导数的几何意义,函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.12.己知函数()()()()21ln 10f x a x x x ax a =++-->是减函数,则实数a =( )A. 2B. 1C.2e D.12【试题参考答案】A求出原函数的定义域,求出原函数的导函数,把f (x )是定义域内的减函数转化为f ′(x )=a ln(x ＋1)-2x 恒成立.再利用导数求得导函数的最大值,由最大值等于0求得a 值. 【试题解答】f (x )的定义域为(-1,＋∞),f ′(x )=a ln(x ＋1)-2x .由f (x )是减函数得,对任意的x ∈(-1,＋∞),都有f ′(x )=a ln(x ＋1)-2x ≤0恒成立. 设g (x )=a ln(x ＋1)-2x .∵212()1a x g x x '⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+,由a >0知,112a->-, ∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时,g '(x )>0;当1,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,g '(x )<0, ∴g (x )在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, ∴g (x )在12ax =-时取得最大值. 又∵g (0)=0,∴对任意的x ∈(-1,＋∞),g (x )≤g (0)恒成立, 即g (x )的最大值为g (0). ∴102a-=,解得a =2. 所以本题答案为A.本题考查利用导数研究函数的单调性,根据函数的单调性求参数可转化为不等式恒成立问题,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.己知34n n A C =,则n =________.【试题参考答案】27根据排列组合的公式化简求解可得结果.【试题解答】由34n n A C =得,(1)(2)(3)(1)(2)4321n n n n n n n =-----⨯⨯⨯,解得,27n =. 所以本题答案为27.本题考查排列组合的公式,熟记公式,认真计算,属基础题.14.设1()cos 0x f x x x ≤≤=<⎪⎩，,则12()f x dx π-=⎰________.【试题参考答案】14π+由题意得,122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰,根据定积分的几何意义可知,可得1表示的是四分之一的圆的面积,再根据微积分基本定理,可求2cos xdx π-⎰,最后相加即可得到结果.【试题解答】由题意得,122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰,根据定积分的几何意义可知,1表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的面积,如图(阴影部分):故1214x dx π-=,又022cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ--==--=⎰, 所以102022()cos 114f x dx xdx x dx πππ--=+-=+⎰⎰.所以本题答案为14π+. 本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义,利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键,属基础题.15.从2位医生,4位护士中选3人为参加救护工作,且至少有1位医生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案) 【试题参考答案】16分析题意可知,需要分两种情况讨论求解:①当有一位医生时,有1224C C ⋅种;②当有两位医生时,有2124C C ⋅种,最后相加即可得到答案.【试题解答】因为选择3人,且至少有1位医生,所以当有一位医生时,有122412C C ⋅=种, 当有两位医生时,有21244C C ⋅=种,故共有12416+=种. 故本题正确答案为16.本题考查排列组合,涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于基础题.16.若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线,则实数a 的取值范围是________.【试题参考答案】1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭分别求出导数,设出各自曲线上的切点,得到切线的斜率,结合切点满足曲线方程,再设出两条切线方程,变形为斜截式,从而根据切线相同则系数相等,可得切点坐标的关系式,整理得到关于一个坐标变量的方程,借助于函数的极值和最值,即可得到a 的范围. 【试题解答】1(),()22f x g x x x''==+,设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++, 所以切线方程分别为:()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-, 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+, 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ,得()222ln ln 221a x x =-+-, 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<,1()201f x x x '=-<+, 所以f (x )在(1,0)-单调递减,(0)ln 21,(1)f f =---→+∞,ln 21y >--, 故ln ln 21a >--,解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-,若求曲线y =f (x )过点(m ,n )的切线,应先设出切点()()00,x f x ,把(m ,n )代入()()()000y f x f x x x '-=-,求出切点,然后再确定切线方程.而对于切线相同,则分别设切点求出切线方程,再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.三、解答题:共70分。
安徽省合肥市六校联盟2018-2019学年高一下学期期末数学试题及解析word版
合肥六校联盟2018-2019学年第二学期期末联考高一年级数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差D. 极差2.已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A. 22ca ac >B. ac bc >C. 22ab cb >D. ab ac >3.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 16B. 226C. 616D. 8564.在等差数列{}n a 中，5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，则{}n a 的前14项和为（ ） A. 55B. 60C. 65D. 705.在ABC ∆中，60C =︒，AC =AB =A =（ ）A. 15︒B. 45︒C. 75︒D. 105︒6.已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（ ） A. 8B. 16C. 32D. 647.设实数,x y 满足约束条件35472x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A. 2-B. 9C. 11D.4148.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是白球9.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形10.若正实数,x y 满足141x y +=，且234yx a a +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A .[1,4]-B. (1,4)-C. [4,1]-D. (4,1)-11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A. 16B. 17C. 18D. 1912.如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A.37B.217C.413213二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填写在答题卡上）13.关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，则b c +=______．14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6b =，sin 2sin A C =，3B π=，则ABC ∆的面积为__________.16.已知一组样本数据1210,x x x L ，且22212102020x x x +++=L ，平均数9=x ，则该组数据的标准差为__________.三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项等比数列{}n a 中，12a =，318a =，等差数列{}n b 中，12b =，且123a a a ++=1234b b b b +++. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .18.下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间x 与每天获得的利润y （单位：万元）的有关数据． 星期x 星期2 星期3 星期4 星期5 星期6 利润y 23569（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$； （2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式：()() ()$1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nxa y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$19.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.20.在ABC∆中，角A,B,C，的对应边分别为,,a b c，且2coscosa c Cb B-=.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若ABC∆3210a c+=D为AC的中点，求BD的长．21.已知数列{}n a的前n项和为n S，满足21n nS a=-，*n N∈，数列{}n b满足1(1)(1)n nnb n b n n+-+=+，*n N∈，且11b=.（1）求数列{}n a通项公式；（2）求证：数列nbn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求数列{}n b通项公式；（3）若n n nc a b={}n c的前n项和为n T，对任意的*n N∈，都有2n nT nS a a≤++，求实数a的取值范围.合肥六校联盟2018-2019学年第二学期期末联考高一年级数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤L ， 中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++L ，后来平均数234817x x x x x '=+++L （） 平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦L 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 2.已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A. 22ca ac > B. ac bc >C. 22ab cb >D. ab ac >【答案】D 【解析】c ＜b ＜a ，且ac ＜0，可得c ＜0且a >0．利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0， ∴c ＜0且a >0，b 与0的大小关系不定． ∴满足bc ＞ac ，ac ＜ab ， 故选D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 16 B. 226C. 616D. 856【答案】B 【解析】 【分析】 抽样间隔为10002050f ==，由第三组中的第6个数被抽取到，结合226是第12组中的第6个数，从而可得结果．【详解】从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验, 抽样间隔为10002050f ==， 66Q 号学生被抽到，∴第四组中的第6个数被抽取到，226是第12组中的第6个数，226∴被抽到,故选：B .【点睛】本题主要考查系统抽样的性质，确定抽样间隔是解题的关键，属于基础题.4.在等差数列{}n a 中，5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，则{}n a 的前14项和为（ ） A. 55 B. 60C. 65D. 70【答案】D 【解析】根据根与系数之间的关系求出a 5+a 10，利用等差数列的前n 项和公式及性质进行求解即可． 【详解】∵5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，可得51010a a +=， ∴11414142a a S +=⨯51014514702a a +=⨯=⨯=. 故选D ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式的应用，考查了等差数列的性质的运用，根据根与系数之间的关系建立方程关系是解决本题的关键． 5.在ABC ∆中，60C =︒，AC =AB =A =（ ）A. 15︒B. 45︒C. 75︒D. 105︒【答案】C 【解析】 【分析】由题意和正弦定理求出sin B ，再由边角关系求出角B ，则可求得A ． 【详解】由题意得，60C =︒，AC AB ==，， 由正弦定理得，AC AB sinB sinC=，则sinB == 所以B ＝45︒或135︒，因为AB ＞AC ，所以C ＞B ，则B ＝45︒， 则A=180456075︒-︒-︒=︒ 故选C ．【点睛】本题考查正弦定理及三角形内角和定理的应用，属于基础题． 6.已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（ ） A. 8 B. 16C. 32D. 64【答案】B 【解析】 【分析】先由数列前9项的乘积为1，结合等比数列的性质得到951a =，从而可求出结果.【详解】由已知1291a a a =L ，又2192837465a a a a a a a a a ==== ，所以951a = ，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，116a = ，故选B. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型.7.设实数,x y 满足约束条件35472x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则4z x y =+的最大值为（ ） A. 2- B. 9C. 11D.414【答案】C 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数4z x y =+为44x z y =-+， 联立247x x y =⎧⎨-=-⎩，解得92,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，由图可知，当直线4z x y =+过点92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值11， 故选：C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是白球【答案】C 【解析】 【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【详解】对于A ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A 不正确对于B ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B 不正确对于C ：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C 正确对于D ：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴这两个事件是对立事件，∴D 不正确 故选C ．【点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题 9.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A 【解析】 分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B 的范围，可得三角形形状. 【详解】因为在三角形中，sinC<cosA sinB变形为sin sin cos C B A <由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +< 化简可得：sin cos 0cos 0A B B <∴< 所以2B π>所以三角形为钝角三角形 故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题. 10.若正实数,x y 满足141x y +=，且234yx a a +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. [1,4]- B. (1,4)-C. [4,1]-D. (4,1)-【答案】A 【解析】 【分析】先利用基本不等求出4y x +的最小值，然后根据234y x a a +≥-恒成立，可得2min 344y a a x ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，再求出a 的范围．【详解】因为正实数x ，y 满足141x y+=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当44x yy x=，即5x y ==时取等号， 234y x a a +≥-Q 恒成立，所以只需2min 344y a a x ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，2340a a ∴--≤，14a ∴-≤≤，a ∴的取值范围为[]1,4-，故选：A .【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A. 16 B. 17C. 18D. 19【答案】C 【解析】 【分析】先由8109S S S <<，得到90a >，100a <，9100a a +>，公差大于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.【详解】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<， ()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型. 12.如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A.37B.217C.413D.1313【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得233EFA πππ∠=-=，由三角形面积公式计算可得△DEF 和△ACF 的面积，进而可得△ABC 的面积，由几何概型公式计算可得答案． 【详解】根据题意，DEF V 为等边三角形，则3EFD π∠=，则233EFA πππ∠=-=， DEF V 中，6DF =，其面积1166sin 23S π=⨯⨯⨯=ACF V 中，2AF =，8CF EF EC =+=，其面积21228sin23S π=⨯⨯⨯= 则ABC V的面积123S S S =+=故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率137S P S ===， 故选：A .【点睛】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填写在答题卡上）13.关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，则b c +=______． 【答案】72【解析】 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到b 和c 的值，得到答案.【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-， 由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=.【点睛】本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题. 14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.【答案】6 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 S =1，i =1满足条件S <40，执行循环体，S =3，i =2 满足条件S <40，执行循环体，S =7，i =3 满足条件S <40，执行循环体，S =15，i =4 满足条件S <40，执行循环体，S =31，i =5 满足条件S <40，执行循环体，S =63，i =6此时，不满足条件S <40，退出循环，输出i 的值为6． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6b =，sin 2sin A C =，3B π=，则ABC ∆的面积为__________.【答案】 【解析】 【分析】由已知及正弦定理可得：12c a =，进而利用余弦定理即可求得a 的值，进而可求c ，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】sin 2sin A C =Q ，∴由正弦定理可得：12c a =， ,63B b π==Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得222116+2222a a a a ⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，整理可得：a =-（舍去），c ∴=11sin 22ABC S ac B ==⨯=V故答案为：【点睛】本题注意考查余弦定理与正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.16.已知一组样本数据1210,x x x L ，且22212102020x x x +++=L ，平均数9=x ，则该组数据的标准差为__________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据1210,,...,x x x ，且22212102020x x x ++⋯+=，平均数9x =，则其方差()()()()22221210110S x x x x x x =-+-+⋯+-()2222121011012110x x x x =++⋯+-=，则其标准差11S ==， 故答案为：11.【点睛】本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题. 样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，标准差s =三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项等比数列{}n a 中，12a =，318a =，等差数列{}n b 中，12b =，且123a a a ++=1234b b b b +++. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）2322n n nS =+.【解析】 【分析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，由已知列式求得公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由1312234a a a b b b b ++=+++，求解等差数列的公差，则数列{}n b 的前n 项和可求．【详解】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，由13182,a a ==,得3129218a a q ===，则q =3. 123n n a -∴=⋅；(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 由1312234a a a b b b b ++=+++， 得1261846b d ++=+， ∴d =3.∴数列{}n b 的前n 项和2(1)332222n n n n nS n -⨯=+=+【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了等比数列的通项公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.18.下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间x 与每天获得的利润y （单位：万元）的有关数据．（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$； （2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式： ()()()$1122211nni i i ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，求出横标的平均数，把求得的数据代入线性回归方程的系数公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程．（2）根据二问求得的线性回归方程，代入所给的x 的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值． 【详解】（1）由题意可得2345645x ++++==，2356955y ++++==，因此，2233455669545 1.749162536516b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯$， 所以$5 6.8 1.8ay bx =-=-=-$，- 所以$1.7 1.8y x =-；（2）由（1）可得，当7x =时，$1.77 1.810.1y =⨯-=（万元）， 即星期日估计活动的利润为10.1万元．【点睛】关键点通过参考公式求出$a，b $的值，通过线性回归方程求解的是一个估计值． 19.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.【答案】（1）众数为75，中位数为73.33；（2）910. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图能求出a =0.030．由此能求出众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，基本事件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[50，60）包含的基本事件个数1122339m C C C =+=，由此能求出这两人的分数至少一人落在[50，60）的概率．【详解】（1）由频率分布直方图得： (0.0100.0150.0150.0250.005)101a +++++⨯=，解得0.030a =， 所以众数为：7080752+=，[)40,70Q 的频率为(0.010.0150.015)100.4++⨯=，[)70,80的频率为0.03100.3⨯=，中位数为：0.50.4701073.330.3-+⨯≈. （2）用分层抽样的方法从[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，[)40,50的频率为0.1，[)50,60的频率为0.15，[)40,50∴中抽到0.1520.25⨯=人，[)50,60中抽取0.15530.25⨯=人， 从这五人中任选两人参加补考， 基本事件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[)50,60包含的基本事件个数1122339m C C C =+=，所以这两人的分数至少一人落在[)50,60的概率910m P n ==. 【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率 20.在ABC ∆中，角A,B,C ，的对应边分别为,,a b c ，且2cos cos a c Cb B-=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆a c +=D 为AC 的中点，求BD 的长． 【答案】（I ）3B π=；(II)3BD =【解析】 【分析】（I ）由正弦定理得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得4ac =，利用1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r平方求解即可【详解】（I ）2cos cos a c Cb B -=Q，由正弦定理得2sin sin cos sin cos A C C B B-= 整理得2sin cos sin cos cos sin sin()A B B C B C B C =+=+B C A π+=-Q ，则2sin cos sin A B A =(0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠1cos 2B ∴=(0,)B π∈Q ，3B π∴=.(II)1sin 23ac π=Q，4ac ∴= 1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r Q ，两边平方得2221(2)4BD BA BC BA BC =++⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r222211||()[()]944BD a c ac a c ac u u u v ∴=++=+-=3BD ∴=【点睛】本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，*n N ∈，数列{}n b 满足1(1)(1)n n nb n b n n +-+=+，*n N ∈，且11b =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）若n n c a ={}n c 的前n 项和为n T ，对任意的*n N ∈，都有2n n T nS a a ≤++，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12n n a -=；（2）证明见解析，2n b n =；（3）0a ≥或1a ≤-.【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得12n n a a -=，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以()1n n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得12n n c n -=⋅，由数列的错位相减法求和，可得()112nn T n =+-⋅，化简2n n T nS a a ≤++,即212n a a n +-≥-，对任意的N n *∈成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围． 【详解】(1)21n n S a =-，可得11121a S a ==-，即11a =；2n ≥时,1121n n S a --=-,又21n n S a =-，相减可得12121n n n a a a -=--+,即12n n a a -=，则12n n a -=；(2)证明：()()111n n nb n b n n +-+=+， 可得111n nb b n b+-=+， 可得n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项和公差均为1的等差数列， 可得nb n n=,即2n b n =；(3) 12n n n c a n -==⋅，前n 项和为211122+32...2n n T n -=⋅+⋅⋅++⋅，2321222+32...2n n T n =⋅+⋅⋅++⋅，相减可得23112+2...22n nn T n --=+++-⋅12212n n n -=-⋅-， 可得()112nn T n =+-⋅，2n n T nS a a ≤++,即为()()211221n n n n a a +-⋅≤-++，即212n a a n +-≥-,对任意的*n N ∈成立， 由()()1122120n n n n n ++---=-<，可得{}2nn -为递减数列，即n =1时取得最大值1−2=−1，可得211a a +-≥-，即0a ≥或1a ≤-.【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。
2018-2019学年第二学期合肥一中、合肥六中高二年级期中考试数学(文科)参考答案
2018-2019学年第二学期合肥一中、合肥六中高二年级期中考试数学（文科）参考答案1-5 BBBDA 6-10 CAC D A 11-12 AD13．649 14．(0,2) 15．[216．[)+∞172分<，只需证22<，即证2()a b a b ++<+，即证0a b -+>，即证20->．………………………………………………8分因为a b ≠，所以20>成立，所以原不等式成立．……………………………10分18．解：易知函数的定义域为(0,)+∞，………………………………………………2分 24(22)4(2)(2)'()(22)a x a x a x a x f x x a x x x+--+-=+--==（0x >），………………4分 令'()0f x =，则2x =或2x a =-，（1）当22a -=，即1a =-时，'()0f x ≥在0x >时恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）当22a ->，即1a <-时，()f x 在(0,2)和(2,)a -+∞上单调递增，在(2,2)a -上单调递减；（3）当022a <-<，即10a -<<时，()f x 在(0,2)a -和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)a -上单调递减；（4）当20a -≤，即0a ≥时，()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．……12分19．解：（1）依题6110204011x =⨯-=，110(402020)30y =-++=；……………4分 （2）22110(40302020)7.8260506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，7.82 6.635>，………………………………………10分 查表可得，有99%的把握认为同意生二胎与性别有关．………………………………………………12分20．解：（1）可判定点(1,14)-在曲线()y f x =上．∵2'()31f x x =+．∴()f x 在点(1,14)-处的切线的斜率为'(1)4k f ==．∴切线的方程为144(1)y x +=-，即418y x =-．………………………………………………4分（2）设切点坐标为00(,)x y ，则直线l 的斜率为200'()31f x x =+，300016y x x =+-，∴直线l 的方程为230000(31)()16y x x x x x =+-++-．又∵直线l 过坐标点(0,0)，∴2300000(31)()16x x x x =+-++-，整理得，308x =-，∴02x =-，……………………………………………………………………8分∴30(2)(2)1626y =-+--=-，得切点坐标(2,26)--，…………………………………………10分 23(2)113k =⨯-+=，∴直线l 的方程为13y x =．………………………………………………12分21．解：（1）设“抽到相邻两个月的数据”为事件A ，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别为()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,()()()()()()()()2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6每种情况都是可能出现的，其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种所以()51153P A ==，则()23P A =．…………6分 （2）(Ⅰ)由数据求得11x =,24y =， 由公式求得，187b = ， 所以 307a y bx =-=- ，所以y 关于x 的线性回归方程为 183077y x =-．…………10分 (Ⅱ)当10x =时， 1507y =，150|22|27-<； 同样，当6x =时， 787y =，78|12|27-<． 所以，该协会所得线性回归方程是理想的． …………12分22．解：（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，易知定义域为(0,)+∞，……………………2分 11'()1x f x x x-=-=， 当01x <<时，'()0f x >，()f x 递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 递减．又'(1)0f =，所以max ()(1)0f x f ==，即max ()0f x =，所以函数()f x 的零点数个数为1．……………………6分（2）因为()ln f x x ax a =-+，所以当1x ≥时，不等式()(1)xf x a x ≤-恒成立⇔1x ≥时，2(1)ln 0a x x x --≥恒成立．设2()(1)ln (1)g x a x x x x =--≥，则'()2ln 1g x ax x =--．令()2ln 1(1)h x ax x x =--≥，则21'()(2a h x x x a =-． 当12a ≥时，112a≤，因此'()0h x ≥，所以'()g x 递增，即'()'(1)210g x g a ≥=-≥，故()g x 递增， 所以()(1)0g x g ≥=，所以当1x ≥时，2(1)ln 0a x x x --≥恒成立． 当102a <<时，112a >．若112x a<<，则'()0h x <，'()g x 递减，'()'(1)210g x g a <=-<， 因此，()g x 递减，即()(1)0g x g <=，这与当1x ≥时，2(1)ln 0a x x x --≥恒成立矛盾． 综上所述，实数a 的取值范围是1[,)2+∞．………………………………12分。
安徽省合肥市2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
分 析 ： 根 据 题 意 将 已 知 条 件 等 价 转 化 为x 1 y
2，故而可得
1
4
1
x 1 y
1
4
，利用基本不等式即可得结果.
x 1
y
2
x
1
y
详解：∵正数
x, y知足x
y
1，∴x
1 y
2，
∴1
4
1x 1 y
1
4
1 1 y 4x
5
9
x 1 y 2
x 1 y
2 x
1 y
2
1
y
4x
2
y
1
D正确
【此题正确选项：D
- 2 -
【点睛】 此题考察三角形解的个数的求解，要点是能够娴熟掌握作圆法，经过b sin A与a、a
与b之间大小关系的比较获得结果.
5.古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织
几何?”意思是： “一女子擅长织布，每日织的布都是前一天的
2倍，已知她5天共织布
-10-
【详解】由
an 1
3an
2
得：an
11
3 an
1
数列
n
1
是以a1
1
2020
为首项，
3
为公比的等比数列
a
an
1
2020
3n 1
an
2020
3n 1
1
此题正确结果：20203n 11
【点睛】此题考察依据递推关系式求解数列通项公式的问题，要点是能够将递推关系式配凑
成切合等比数列的形式，依据等比数列通项公式求得结果.
2018-2019 学年第二学期合肥一中、合肥六中高二年级期中考试数学(理)(答案)
令 h(x0 ) ex0 x0 1 ，则 h(x0 ) e x0 1 0
又因为
h(0)
0
，所以
x0
0
，则
g(0)
1
1 m
0
，解得
0
m
1
综上：实数 m 的取值范围是{m | 0 m 1} .
……9 分 ……12 分
22. （本题满分 12 分）
解：
（Ⅰ）函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ， f (x) 2(x2 ax 1) x
种分法；②若分成 3 1111的
5
组，有 C73 种分法；
将分好的
5
组全排列，对应
5
个部分，则一共有
(
C72C52 A22
C73 )
A55
16800 种放法
……12 分
19. （本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）因为 f (x) 1 x3 4x 4 ，所以 f (x) x2 4x ，令 f (x) 0 ，解得 x 2 或 x 2
……12 分
解：
（Ⅰ）因为 f (x) ex a x ，所以 f (x) ex a
……1 分
①当 a 0 时， f (x) e x a 0 ，所以 f (x) 在 R 上单调递增；
……3 分
②当 a 0 时， f (x) e x a 0 得 x ln a ，又因为 f (x) 是增函数
令
g(x)
ex
ln(x
m)
1
，定义域为 {x
|
x
m} ，则
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一(下)期末数学真题试卷
2019学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．（4分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差D．极差2．（4分）已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项一定正确的是（）A．ca2＞ac2B．ac＞bc C．ab2＞cb2D．ab＞ac3．（4分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验．若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．16 B．226 C．616 D．8564．（4分）在等差数列{a n}中，a5，a10是方程x2﹣10x﹣6＝0的两个根，则{a n}的前14项和为（）A．55 B．60 C．65 D．705．（4分）在△ABC中，C＝60°，，，则A＝（）A．15°B．45°C．75°D．105°6．（4分）已知等比数列{a n}的公比，该数列前9项的乘积为1，则a1＝（）A．8 B．16 C．32 D．647．（4分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为（）A．﹣2 B．9 C．11 D．8．（4分）从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是（）A．至少一个黑球与至少一个红球B．至少一个黑球与都是黑球C．至少一个黑球与都是红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球9．（4分）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形10．（4分）若正实数x，y满足+＝1，且x+≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4）C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）11．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S8＜S10＜S9，则满足S n＞0的正整数n的最大值为（）A．16 B．17 C．18 D．1912．（4分）如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝3AF ＝6，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞．﹣2）∪（﹣，+∞），则b+c的值为．14．（4分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为15．（4分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，sin A＝2sin C，B＝，则△ABC的面积为．16．（4分）已知一组样本数据x1，x2，…x10，且x12+x22+…+x102＝2020，平均数＝9，则该组数据的标准差为．三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝18，等差数列{b n}中，b1＝2，且a1+a2+a3＝b1+b2+b3+b4．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n18．（10分）如表是某地一家超市在2019年六月份某一周内周二到周六的时间x与每天获得的利润y（单位：万元）的有关数据．星期x 2 3 4 5 6利润y 2 3 5 6 9（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程，＝x+；（2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式：回归直线方程，＝x+；19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），[60，70），…[90，100]后得到如图频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50，60）的概率．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，a+c＝2，D为AC的中点，求BD的长．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣1，n∈N*，数列{b n}满足nb n+1﹣（n+1）b n＝n（n+1），n∈N*，且b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{}是等差数列，求数列{b n}的通项公式：（3）若c n＝a n，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N*，都有T n≤nS n+a2+a，求实数a的取值范围．2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．2．【解答】解：：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，b﹣a＜0；∴ab＞ac．故选：D．3．【解答】解：某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2， (1000)从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验．抽样间隔为f＝＝20，∵66号学生被抽到，∴第三组中的第6个数被抽取到，226是第12组中的第6个数，∴226被抽到．故选：B．4．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a5，a10是方程x2﹣10x﹣6＝0的两个根，∴a5+a10＝10，∴{a n}的前14项和为：＝7（a5+a10）＝7×10＝70．故选：D．5．【解答】解：由题意得，C＝60°，AC＝，由正弦定理得，，则sin B＝，所以B＝45°或135°，因为AB＞AC，所以C＞B，则B＝45°，则A＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故选：C．6．【解答】解：由已知a1a2…a9＝1，又，所以，即a5＝1，等比数列{a n}的公比，所以，a1＝16，故选：B．7．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z＝x+4y为y＝﹣，联立，解得A（2，），由图可知，当直线z＝x+4y过点（2，）时，z取得最大值11．故选：C．8．【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，故选：D．9．【解答】解：∵由已知可得：sin C＜sin B cos A，∴可得：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＜sin B cos A，整理得：sin A cos B＜0，∵sin A≠0，∴cos B＜0．∵B∈（0，π），∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形．故选：A．10．【解答】解：∵正实数x，y满足+＝1，∴x+＝＝≥＝4，当且仅当，即x＝y＝5时取等号，∵x+≥a2﹣3a恒成立，∴只需a2﹣3a≤，∴a2﹣3x﹣4≤0，∴﹣1≤a≤4，∴a的取值范围为[﹣1，4]．故选：A．11．【解答】解：由S8＜S10＜S9得，a9＞0，a10＜0，a9+a10＝S10﹣S8＞0．又，，，故选：C．12．【解答】解：根据题意，△DEF为等边三角形，则∠EFD＝，则∠EF A＝π﹣＝，△DEF中，DF＝6，其面积S1＝×6×6×sin＝9，△ACF中，AC＝2，CF＝EF+DC＝8，其面积S2＝×2×8×sin＝4，则△ABC的面积S＝S1+3S2＝21，故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率P＝＝＝；故选：A．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．【解答】解：∵不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞．﹣2）∪（﹣，+∞），∴﹣2和是方程x2+bx+c＝0的两实根，∴由韦达定理，有，∴，∴．故答案为：．14．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝1，i＝1满足条件S＜40，执行循环体，S＝3，i＝2满足条件S＜40，执行循环体，S＝7，i＝3满足条件S＜40，执行循环体，S＝15，i＝4满足条件S＜40，执行循环体，S＝31，i＝5满足条件S＜40，执行循环体，S＝63，i＝6此时，不满足条件S＜40，退出循环，输出i的值为6．故答案为：6．15．【解答】解：∵sin A＝2sin C，∴由正弦定理可得：c＝a，∵B＝，b＝6，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：62＝a2+（a）2﹣2a••，整理可得：a＝4，或﹣4（舍去）．∴c＝2，S△ABC＝ac sin B＝＝6．故答案为：6．16．【解答】解：根据题意，一组样本数据x1，x2，…x10，且x12+x22+…+x102＝2020，平均数＝9，则其方差S2＝（x12+x22+…+x102﹣10×2）＝121，则其标准差S＝＝11；故答案为：11．三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1＝2，a3＝18，得，则q＝3．∴；（2）设等差数列{b n}的公差为d，由a1+a2+a3＝b1+b2+b3+b4，得2+6+18＝4b1+6d，∴d＝3．∴数列{b n}的前n项和S n＝．18．【解答】解：（1），，＝＝1.7．．∴y关于x的线性回归方程为；（2）由，取x＝7，得．估计星期日获得的利润为10.1万元．19．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.030．∴众数为：＝75，∵[40，70）的频率为（0.01+0.015+0.015）×10＝0.4，[70，80）的频率为0.03×10＝0.3，中位数为：70+≈73.33．（2）用分层抽样的方法从[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，[40，50）的频率为0.1，[50，60）的频率为0.15，∴[40，50）中抽到5×＝2人，[50，60）中抽取5×＝3人，从这五人中任选两人参加补考，基本事件总数n＝，这两人的分数至少一人落在[50，60）包含的基本事件个数m＝＝9，∴这两人的分数至少一人落在[50，60）的概率p＝．20．【解答】解：（I）∵＝，由正弦定理得＝整理得2sin A cos B＝sin B cos C+cos B sin C＝sin（B+c）∵B+C＝π﹣A，则2sin A cos B＝sin A．．∵A∈（0，π），∴sin A≠0∴cos B＝∵B∈（0，π），∴B＝．（II）由ac sin＝，ac＝4．2019学年安徽省合肥市六校联盟高一(下)期末数学真题试卷∵＝（+），两边平方得||2＝（||2+||2+2•）∴||2＝（a2+c2+ac ）＝[（a+c）2﹣ac]＝9∴BD＝3．21．【解答】解：（1）S n＝2a n﹣1，可得a1＝S1＝2a1﹣1，即a1＝1；n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣1，又S n＝2a n﹣1，相减可得a n＝2a n﹣1﹣2a n﹣1+1，即a n＝2a n﹣1，则a n＝2n﹣1；（2）证明：nb n+1﹣（n+1）b n＝n（n+1），可得﹣＝1，可得{}是首项和公差均为1的等差数列，可得＝n，即b n＝n2；（3）c n＝a n＝n•2n﹣1，前n项和为T n＝1•1+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，相减可得﹣T n＝1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，可得T n＝1+（n﹣1）•2n，T n≤nS n+a2+a，即为1+（n﹣1）•2n≤n（2n﹣1）+a2+a，即a2+a﹣1≥n﹣2n，对任意的n∈N*成立，由（n+1）﹣2n+1﹣（n﹣2n）＝1﹣2n＜0，可得{n﹣2n}为递减数列，即n＝1时取得最大值1﹣2＝﹣1，可得a2+a﹣1≥﹣1，即a≥0或a≤﹣1．第11页（共11页）。
2018～2019学年安徽省合肥一中、合肥六中高二下学期期中联考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前安徽省合肥一中、合肥六中2018～2019学年高二下学期期中联考质量检测数学(文)试题(解析版)2019年5月 一、选择题。
1.设集合{0,1,2}M =，{}2|560N x x x =-+≤，则M N ⋂等于（ ）A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2} 【答案】B【解析】【分析】根据集合的基本运算进行求解．【详解】M ＝{0,1,2},N ＝{x |x 25x 60-+≤}＝{x |2≤x ≤3},则M ∩N ＝{2},故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的化简,考查了交集的概念及运算,比较基础．2.已知复数21iz i -=+,其中i 为虚数单位,则z 的虚部是（ ） A. 32 B. 32- C. 32i D. 32i - 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【详解】复数()()()()2121311122i i iz i i i ---===-+-+i ,则z 的虚部是-32．故选：B ．【点睛】本题考查了复数的除法运算法则及虚部的概念,考查了计算能力,属于基础题．3.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有有理数根,那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时,下列假设正确的是（ ）A. 假设a 、b 、c 都是偶数B. 假设a 、b 、c 都不是偶数C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数【答案】B【解析】【分析】根据反证法的概念,可知假设应是所证命题的否定,即可求解,得到答案。
【详解】根据反证法的概念,假设应是所证命题的否定,所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有有理根,那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时,假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”,故选B 。
【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用,其中解答中熟记反证法的概念,准确作出所证命题的否定是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一下学期期末数学试题一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A【解析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤L ， 中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++L ，后来平均数234817x x x x x '=+++L （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦L 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A ．22ca ac > B ．ac bc >C ．22ab cb >D ．ab ac >【答案】D【解析】c ＜b ＜a ，且ac ＜0，可得c ＜0且a >0．利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0且a >0，b 与0的大小关系不定．∴满足bc ＞ac ，ac ＜ab ， 故选D ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．16 B ．226C ．616D ．856【答案】B【解析】抽样间隔为10002050f ==，由第三组中的第6个数被抽取到，结合226是第12组中的第6个数，从而可得结果． 【详解】从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验, 抽样间隔为10002050f ==， 66Q 号学生被抽到，∴第四组中的第6个数被抽取到，226是第12组中的第6个数，226∴被抽到,故选：B . 【点睛】本题主要考查系统抽样的性质，确定抽样间隔是解题的关键，属于基础题.4．在等差数列{}n a 中，5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，则{}n a 的前14项和为（ ） A ．55 B ．60C ．65D ．70【答案】D【解析】根据根与系数之间的关系求出a 5+a 10，利用等差数列的前n 项和公式及性质进行求解即可． 【详解】∵5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，可得51010a a +=，∴11414142a a S +=⨯51014514702a a +=⨯=⨯=. 故选D ． 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式的应用，考查了等差数列的性质的运用，根据根与系数之间的关系建立方程关系是解决本题的关键． 5．在ABC ∆中，60C =︒，AC =AB =A =（ ）A ．15︒B ．45︒C ．75︒D ．105︒【答案】C【解析】由题意和正弦定理求出sin B ，再由边角关系求出角B ，则可求得A ． 【详解】由题意得，60C =︒，AC AB ==，， 由正弦定理得，AC ABsinB sinC=，则sinB2==， 所以B ＝45︒或135︒，因为AB ＞AC ，所以C ＞B ，则B ＝45︒， 则A=180456075︒-︒-︒=︒ 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理及三角形内角和定理的应用，属于基础题． 6．已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（ ） A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B【解析】先由数列前9项的乘积为1，结合等比数列的性质得到951a =，从而可求出结果. 【详解】由已知1291a a a =L ，又2192837465a a a a a a a a a ==== ，所以951a = ，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，116a = ，故选B. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型.7．设实数,x y 满足约束条件35472x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．2-B ．9C ．11D ．414【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数4z x y =+为44x z y =-+， 联立247x x y =⎧⎨-=-⎩，解得92,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，由图可知，当直线4z x y =+过点92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值11， 故选：C . 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个白球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球【答案】C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 【详解】对于A ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A 不正确对于B ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B 不正确对于C ：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C 正确对于D ：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴这两个事件是对立事件，∴D 不正确 故选C ． 【点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题9．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B 的范围，可得三角形形状. 【详解】 因为在三角形中，sinC<cosA sinB变形为sin sin cos C B A < 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +< 化简可得：sin cos 0cos 0A B B <∴< 所以2B π>所以三角形为钝角三角形故选A 【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题. 10．若正实数,x y 满足141x y +=，且234yx a a +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,4]- B ．(1,4)-C ．[4,1]-D ．(4,1)-【答案】A【解析】先利用基本不等求出4y x +的最小值，然后根据234y x a a +≥-恒成立，可得2min 344y a a x ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，再求出a 的范围．【详解】因为正实数x ，y 满足141x y+=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当44x yy x=，即5x y ==时取等号， 234y x a a +≥-Q 恒成立，所以只需2min 344y a a x ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，2340a a ∴--≤，14a ∴-≤≤，a ∴的取值范围为[]1,4-，故选：A . 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】先由8109S S S <<，得到90a >，100a <，9100a a +>，公差大于零，再由数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零. 又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型. 12．如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．37B ．217C ．413D ．21313【答案】A【解析】根据题意，分析可得233EFA πππ∠=-=，由三角形面积公式计算可得△DEF 和△ACF 的面积，进而可得△ABC 的面积，由几何概型公式计算可得答案． 【详解】根据题意，DEF V 为等边三角形，则3EFD π∠=，则233EFA πππ∠=-=， DEF V 中，6DF =，其面积1166sin 9323S π=⨯⨯⨯=ACF V 中，2AF =，8CF EF EC =+=，其面积21228sin23S π=⨯⨯⨯=， 则ABC V的面积123S S S =+=故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率137S P S ===， 故选：A . 【点睛】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．二、填空题13．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，则b c +=______．【答案】72【解析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到b 和c 的值，得到答案. 【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-， 由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=. 【点睛】本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题. 14．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.【答案】6【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 S =1，i =1满足条件S <40，执行循环体，S =3，i =2 满足条件S <40，执行循环体，S =7，i =3 满足条件S <40，执行循环体，S =15，i =4 满足条件S <40，执行循环体，S =31，i =5 满足条件S <40，执行循环体，S =63，i =6此时，不满足条件S <40，退出循环，输出i 的值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6b =，sin 2sin A C =，3B π=，则ABC ∆的面积为__________. 【答案】63【解析】由已知及正弦定理可得：12c a =，进而利用余弦定理即可求得a 的值，进而可求c ，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】sin 2sin A C =Q ，∴由正弦定理可得：12c a =， ,63B b π==Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得222116+2222a a a a ⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，整理可得：a =或-（舍去），c ∴=11sin 22ABC S ac B ==⨯=V故答案为：【点睛】本题注意考查余弦定理与正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.16．已知一组样本数据1210,x x x L ，且22212102020x x x +++=L ，平均数9=x ，则该组数据的标准差为__________. 【答案】11【解析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案． 【详解】根据题意，一组样本数据1210,,...,x x x ，且22212102020x x x ++⋯+=，平均数9x =，则其方差()()()()22221210110S x x x x x x =-+-+⋯+-()2222121011012110x x x x =++⋯+-=，则其标准差11S ==， 故答案为：11. 【点睛】本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题. 样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =三、解答题17．已知正项等比数列{}n a 中，12a =，318a =，等差数列{}n b 中，12b =，且123a a a ++=1234b b b b +++.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）2322n n nS =+.【解析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，由已知列式求得公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由1312234a a a b b b b ++=+++，求解等差数列的公差，则数列{}n b 的前n 项和可求． 【详解】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为q (q >0)， 由13182,a a ==,得3129218a a q ===，则q =3. 123n n a -∴=⋅；(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 由1312234a a a b b b b ++=+++， 得1261846b d ++=+， ∴d =3.∴数列{}n b 的前n 项和2(1)332222n n n n nS n -⨯=+=+【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了等比数列的通项公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.18．下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间x 与每天获得的利润y （单位：万元）的有关数据．（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$； （2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式： ()()()$1122211nni i i ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$【答案】见解析【解析】（1）根据表中所给数据，求出横标的平均数，把求得的数据代入线性回归方程的系数公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程。
安徽省合肥一六八中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷(凌志班) Word版含答案#(
合肥一六八中学2018-2019学年度第二学期高一期中考试数学试卷（凌志班）一、单选题（本题共60分，每小题5分，每小题仅有一个正确选项） 1．函数y =1g （1-x ）+的定义域是（ ） A ． B ． C ．D ．2．在中，，，，，则（ ）A ．或B ．C ．D ．3．设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，若，，且，则A ．B ．2C ．D ．3 4．在中，角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，若，，，则A ．B ．6C ．7D ．85．等差数列 前项和为 ,且33535=-s s ,则数列的公差为( )A ．3B ．2C ．1D ．46．已知是等差数列，是正项等比数列，且，，，，则A ．2274B ．2074C ．2226D ．2026 7．已知偶函数在区间单调递减，则满足的x 取值范围是 A ．B ．C ．D ．8．的三个内角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）A．0.9升B．1升C．1.1升D．2.1升10．已知则（）A． B． C． D．11．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）A．个B．个C．个D．个12．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（）A．5米B．10米C．15米D．20米二、填空题（本题共20分，每小题5分，请将答案写在答题卷上）13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．14．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.15．记等差数列的前n 项和为，若，则_______16．若实数x ，y 满足约束条件则的最大值为______．三、解答题（本大题共70分） 17．（本题满分10分）已知在中，角，，的对边分别是，，，且.（1）求角的大小； （2）若2==c a ，求的面积.18．（本题满分12分）如图，在梯形中，，为上一点，，.（1）若，求；（2）设，若，求.19．（本题满分12分）已知数列的前项和为，满足，631+=-+n n n a s s .（1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式。