直线和椭圆的弦长问题课件
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直线与椭圆-高考复习课件
弦所在直线方程为
.
答案x+2y-3=0
解析 由题意知,以 M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率存在,设其方程为
2 + 2 2 -4 = 0,
得
y=kx+b,则有 k+b=1,即 b=1-k,即 y=kx+(1-k).联立方程组
= + (1-),
1 + 2
2
2
2 2
(1+2k )x +(4k-4k )x+(2k -4k-2)=0,所以 2
同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是:若直线经过的
定点在y轴上且斜率存在,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算;若直线经
过的定点在x轴上且斜率不为0,一般设为my=x-a可以减小运算量.
2
对点训练 2 已知斜率为 2 的直线经过椭圆
5
于 A,B 两点,则弦 AB 的长为
.
+
2
1
又 k1=
1
1 +2
-7 1 -12
,代入上式可得 x3= 4
1 +7
1
,所以 y3=4
1 +7
,
所以点 C
-7 1 -12
4 1 +7
同理可得点 D
1
, 4
1 +7
-7 2 -12
4 2 +7
7
.
2
, 4
.
2 +7
1
7
1
故 = 3 + 4 ,3 - 4 , = 4 + 4 ,4 - 4 .因为 Q,C,D 三点共线,所以
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.2第二课时 直线与椭圆的位置关系及应用》课件
又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
新高考数学人教版必修2课件第3章 习题课 弦长问题
C. 34
D.
17 2
解析 将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8， 可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
∴x1＝－2，x2＝25，∴y1＝－1，y2＝75，
∴直线 y＝x＋1 被椭圆 x2＋4y2＝8 截得的弦长为 52＋22＋75＋12＝125 2.
1234
3.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过右焦点F2且垂直于x轴的直 线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为
二、与弦长有关的最值问题
例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e ＝ 22，且点 P(2,1)在椭圆 C 上.
(1)求椭圆C的方程；
e＝ac＝ 22， 解 由题意得a42＋b12＝1，
a2＝b2＋c2，
a＝ 6， ∴b＝ 3，
∴椭圆 C 的方程为x62＋y32＝1.
y1y2＝－m21＋2， ∴S△AOB＝12|OF2|·|y1－y2|＝12 y1＋y22－4y1y2
＝12
－m22＋m 22－4×－m21＋2＝ 2×
m2＋1 m4＋4m2＋4
＝ 2×
m2＋1 m2＋12＋2m2＋1＋1
＝
2×
1 m2＋1＋m21＋1＋2
≤ 2×
2
1
＝
m2＋1·m21＋1＋2
22，
62 A. 7
43 B. 7
√12 2
C. 7
83 D. 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 设直线 AB 的方程为 y＝x－1，联立椭圆方程x42＋y32＝1， 整理可得7x2－8x－8＝0，
直线与椭圆的弦长公式
直线与椭圆的弦长公式
1.椭圆与直线的关系
椭圆是一种闭合曲线，可以由一组参数来表示。
椭圆与一般的直线是可以关联的，可以根据一定的关系，通过椭圆的参数来求解椭圆与直线的弦长。
2.根据给定参数公式求解椭圆与直线的弦长
当椭圆的参数为$(h,k),a,b$时，其与直线的交点可以求得。
而这条直线与椭圆相切时对应的弦长，可以用下面的公式来计算：
\begin{equation}
S=2a\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+(2hx+b^2-a^2)^2}{4a^2(x-h)^2+b^2}} \, \mathrm{d}x
\end{equation}
其中，$x_{0}$和$x_{1}$是椭圆最高点$(-h,k+b)$和最低点$(-h,k-b)$的横坐标，即$x |_{0}=-h+\frac{a^2-b^2}{2h}$，$x |_{1}=-h-\frac{a^2-
b^2}{2h}$。
3.应用
椭圆与直线的弦长公式，可以应用在多种场景中，其中最常见的就是利用椭圆与直线的弦长关系来求解数学问题。
比如，根据已知的线段长度得出直线与椭圆的弦长，从而可以解决许多古代测地学、运动学和结构学中的问题。
椭圆与直线的弦长公式，也可以用来解决有关扇形、正多边形、椭圆形和抛物线的许多问题。
直线与椭圆的位置关系、弦长公式市公开课一等奖省赛课获奖课件
出中点坐标和斜率．
第16页
3.弦中点问题
例: 已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2, 整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点直线有且只有一条
解后反思: 中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活利用中点坐标公式及韦达定理，
第17页
练习：
x2 y2 1
1、假如椭圆36被9
平分，那
D
弦被（4，2）
么这弦所在直x2 线y2 方1 程为（
）
5m
A、C x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、
2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭16 圆 点，则m范围（5 ）
恰有公共
第18页
小结
1.直线与椭圆三种位置关系及判断方法；
相切(一个交点)
相交(二个交点)
第4页
直线与椭圆位置关系判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组： x2 y2 1
a2 b2
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
第5页
1直线与椭圆位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
直线与椭圆的位置关系(优质公开课)
由例1可知：y=x 5 与椭圆相切
故最小值是 3 5- 5 2 最大值是 = 10
2
3 5+ 5 2 于 A、B 两点 变式 1: 直线 y x 3 与椭圆 y 1 y2 1 例2：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点， 4
O 为坐标原点，求△OAB 的面积。
什么样的位置关系?
2
一.直线和椭圆位置关系的判定
x 2 y 1 【例 1】 m 为何值时，直线 y x m 与椭圆 4
相交、相切、相离？
y x+m 解：联立方程 2 消y 得： 2 8mx 4m2 4 0 5x 2 x 4 y 4
(8m) 20(4m 4) 16(m 5)
AB 1 k x1 x2 1 k
2 2
8 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
2
x 2 变式 2：设点 F 是椭圆 y 1的左焦点，弦 1 2
4 AB 过椭圆的右焦点，且△ F1 AB 的面积为 ，求 3
弦 AB 所在的直线方程。
2
变式 3：已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率 e 3 ， 2 又知椭圆截直线 y=x+2 所得的线段 AB 的长为 16 2 , 5 求椭圆的标准方程。
小结 联立直线与椭圆方程 方程(组)的 思想 一元二次方程
判别式
韦达定理
椭圆与直线的 位置关系的判断
AB 1 k 2 x1 x2 1 12 y1 y2 k
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
4
解 :由椭圆方程知 : a2 4, b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3,0). 直线l方程为: y x 3. y x 3 2 消y得： 2 8 3x 8 0 5x x y2 1 4 8 3 8 , x1 x2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则x1 x2 5 5
故最小值是 3 5- 5 2 最大值是 = 10
2
3 5+ 5 2 于 A、B 两点 变式 1: 直线 y x 3 与椭圆 y 1 y2 1 例2：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点， 4
O 为坐标原点，求△OAB 的面积。
什么样的位置关系?
2
一.直线和椭圆位置关系的判定
x 2 y 1 【例 1】 m 为何值时，直线 y x m 与椭圆 4
相交、相切、相离？
y x+m 解：联立方程 2 消y 得： 2 8mx 4m2 4 0 5x 2 x 4 y 4
(8m) 20(4m 4) 16(m 5)
AB 1 k x1 x2 1 k
2 2
8 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
2
x 2 变式 2：设点 F 是椭圆 y 1的左焦点，弦 1 2
4 AB 过椭圆的右焦点，且△ F1 AB 的面积为 ，求 3
弦 AB 所在的直线方程。
2
变式 3：已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率 e 3 ， 2 又知椭圆截直线 y=x+2 所得的线段 AB 的长为 16 2 , 5 求椭圆的标准方程。
小结 联立直线与椭圆方程 方程(组)的 思想 一元二次方程
判别式
韦达定理
椭圆与直线的 位置关系的判断
AB 1 k 2 x1 x2 1 12 y1 y2 k
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
4
解 :由椭圆方程知 : a2 4, b2 1, c2 3. 右焦点F ( 3,0). 直线l方程为: y x 3. y x 3 2 消y得： 2 8 3x 8 0 5x x y2 1 4 8 3 8 , x1 x2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则x1 x2 5 5
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本文档探讨了直线与椭圆的位置关系，包括相离、相切和相交，并重点介绍了在直线与椭圆相交情况下弦长的求解方法。首先，通过联立直线与椭圆的方程，可以判断它们之间的位置关系。在相交的情况下，弦长的求解成为关键。文档详细推导了两点间距离公式、焦半径公式和弦长公式，并给出了这些公式的适用场景。其中，两点间距离公式适用于平行于坐标轴的直线与椭圆相交产生的弦长；焦半径公式则把弦长看作两个焦半径之和，适用于过焦点的直线与椭圆相交的情况；而弦长公式则更为通用，只需知道直线的斜率以及弦端点的者更好地理解和掌握弦长求解的方法。