高三函数与导数专题(含答案)经典

函数与导数（理科数学）

1、对于R 上的可导函数()f x ，若满足/(1)()0x f x -≥，则必有（C ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>

2、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/

()()0xf x f x -≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C )

A.()()af a f b ≤

B.()()bf b f a ≤

C.()()af b bf a ≤

D.()()bf a af b ≤

3、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x +≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C )

A 、()()af a f b ≤

B 、()()bf b f a ≤

C 、()()af b bf a ≤

D 、()()bf a af b ≤

4、记{}???>≤=q p q q

p p q p 当当.,,min ．若函数?

??

?

??+=x x x f 2

41log ,log 3min )(， 则函数)(x f 的解析式_______________.2)(

答案：（1）??????+=x x x f 241log ,log 3min )(=??

???>+≤++x x x x

x x 241224

141log log 3,

log log log 3,log 3 3分

解x x 24

1log log 3=+得4=x ．又函数x y 4

11log 3+=在),0(+∞内递减，x y 22log =在),0(+∞内递增，所

以当40<

1log log 3>+；当4≥x 时，x x 24

1log log 3≤+．

所以??

?

??≥+<<=4,log 34

0,log )(41

2x x x x x f ．

（2）2)(

?

??<+≥2log 3,441

x x ②．

解得：440><

5、设函数32

3()(1)1,32

a f x x x a x a =

-+++其中为实数。

（1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；

（2）已知不等式'

2

()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。 解: (1) '

2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '

(1)0f = 即 310,1a a a -++==∴

(2) 方法一由题设知：2

2

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，

即2

2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，设 2

2

()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，

()g a 为单调递增函数()a R ∈，所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，

即 2

20x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{

|20x x -≤≤

方法二 由题设知：2

2

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，

即2

2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，于是2222

x x

a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，

即22

202

x x

x +≤+20x -≤≤∴于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 6、已知函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点。 （1）证明：275c -<<；

（2）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。 解：（1）因为函数43219

()42

f x x x x cx =

+-+有三个极值点, 所以3

2

()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.

设3

2

()39,g x x x x c =+-+则2

()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+-当3x <-时，()0,g x '>

()g x 在(,3)-∞-上为增函数;当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数;

当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数;所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时,()0g x =最多只有两个不同实根.因为()0g x =有三个不同实根,

所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<,解得27,c >-且5,c <故275c -<<. （2）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点. 不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则

123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x 若)(x f 在区间[],2a a +上单调

递减，

则[],2a a +?1(]x -∞，, 或[],2a a +?23[,]x x ,

若[],2a a +?1(]x -∞，,则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <-

若[],2a a +?23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<又3

2

()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，

2()(3)(3)f x x x '=-+;

当5c =时，2

()(5)(1)f x x x '=+-.因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-

且2 3.a +≤即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时，总可找到(27,5),c ∈-使函数

)(x f 在区间[],2a a +上单调递减.

综上所述, a 的取值范围是(5)(3,1)-∞-- ，. 7、设函数21

32()x f x x e

ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．

（1）求a 和b 的值； （2）讨论()f x 的单调性； （3）设3

22()3

g x x x =

-，试比较()f x 与()g x 的大小． 解：（1）因为1

22()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，

又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，

因此6203320a b a b -+=??

++=?，，

解方程组得1

3a =-，1b =-．

（2）因为1

3

a =-，1

b =-，所以1

()(2)(e

1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．

因为当(2)x ∈-∞-，(01) ，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞ ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的． （3）由（Ⅰ）可知21

321

()e 3

x f x x x x -=--，故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-， 令1

()e

x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，

时，()0h x '≤， 所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，

上单调递增．故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥． 所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又2

0x

≥，因此()()0f x g x -≥，

故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥．

8、设函数4

3

2

()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （1）当10

3

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；

（3）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．

（1）解：3

2

2

()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．当10

3

a =-

时， 2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，21

2

x =

，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以()f x 在102?? ???

，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122?? ???

，内是减函数． （2）解：2

()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2

4340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须2

4340x ax ++≥恒成立，即有2

9640a ?=-≤． 解此不等式，得8833

a -≤≤．这时，(0)f

b =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833

??-????

，．

（3）解：由条件[]22a ∈-，

可知2

9640a ?=-<，从而2

4340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．

因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当

(1)1(1)1f f ??-?≤，≤， 即22b a b a

--??

-+?≤，

≤ 在[]22a ∈-，

上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．

9．设函数()(1)ln(1),(1,0)f x x a x x x a =-++>-≥ （1）求()f x 的单调区间；

（2）当1a =时，若方程()f x t =在1[,1]2

-上有两个实数解，求实数t 的取值范围； 解析：（1）/

()1ln(1)f x a x a =-+-

①0a =时，/()0f x > ∴()f x 在（—1，+∞）上是增函数 ②当0a >时，()f x 在1(1,1]a

a

e

---上递增，在1[1,)a a

e

--+∞单调递减.

（2）由（Ⅰ）知，()f x 在1

[,0]2-上单调递增，在[0,1]上单调递减 又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+ ，∴1

(1)()02

f f --<

∴当11

[,ln 2,0)22

t ∈-+时，方程()f x t =有两解

10.设函数

()323,()ln (,)f x ax ax g x bx x a b R =-=-∈

（1）求b 的值；

（2）若函数(),0()(),0f x x F x g x x ≤?=?>?，且方程()2

F x a =解：（1）()()2

'33'10f x ax a f =-?=，()1

'2'g x bx g x

=-

?依题意：210b -=，所以12

b =；（2）()0,1x ∈时，()'g x x =()1

'0g x x x =->，所以当1x =时，()g x 取极小值()112

g =；

当0a =时，方程()2

F x a =不可能有四个解；

当0a <时，(),1x ∈-∞-时，()'0f x <，

()1,0x ∈-时()'0f x >，

所以1x =-时，()f x 取得极小值()'1f -=2a ，又()00f =以()

F x 的图像如下：

从图像可以看出()2

F x a =不可能有四个解。当0a >时(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，()1,0x ∈-时()'0f x <，

所以1x =-时，()f x 取得极小值()'1f -=2a ，又()00f =， 所以()F x 的图像如下：

从图像看出方程()2

F x a =有四个解，则

21

22

a a <<，

所以实数a 的取值范围是2)2

。 11. 已知函数)0()(,ln )(<==a x

a

x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。 （1）求F （x ）的单调区间；

（2）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线斜率2

1

≤k 恒成立，求实数a 的最小值。 （3）是否存在实数m ，使得函数1)1

2(

2

-++=m x a g y 的图象与)1(2

x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。 解.(1) F 0(ln )()()(>+

=+=x x a x x g x f x )0(1)('22>-=-=x x

a

x x a x x F ）上单调递增。在（由+∞∴+∞∈?>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a 由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈?<'。 ）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F （2）恒成立)30(21)(),30()(02

002≤<≤-='=≤<-=

'x x a x x F k x x a

x x F m in 020)21(x x a +-

≥ 当212110200取得最大值时，x x x +-=2

1

,21=∴≥∴nmn a a （3）若21

211)1

2(22-+=-++=m x m x a g y 的图象与

)1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点，

即

)1ln(212122+=-+x m x 有四个不同的根，亦即，2

1

21)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。 令21

21)1ln()(22

+-+=x x x G ，则1

)1)(1(1212)(2232+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。

当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：

由表格知：02ln )1()1()(,2

)0()(>=-===

=G G x G G x G 最大值最小值。 画出草图和验证212125ln )2()2(<+-=-=G G 可知，当)2ln ,2

1

(∈m 时