最优控制模型(DP 连续模型)

645六、最优控制模型：（动态优化模型， DP ――Dynamical programming ）

Ⅰ. 最速升降问题（或登月飞船软着陆问题） u(t) 问题：① 设有一个物体M （例如：直升飞机、升降机、

电梯）作垂直升降运动（设物体M 的质量为m ）；

② M 内部装有一个控制器，产生一个控制作用力 g

)t (u （时间的函数），用以控制M 的上下运动，由 x(t)

于作用力)t (u 大小有限，故满足一个约束不等式： x

const k k )t (u =≤

问题：是要寻找一个合适的作用力)t (u 的变化规律，使得S M =最快的速度达到地点，而且：

已知elevation 的初始状态在0t t =时，M 离开地面的高度为M ,)t (x 0的垂直运动速

度为)t (x

0 。 解：物体M 应满足的运动规律（即与时间变量t 有关的动态过程），因此，为描述物体运动

的状态，令：

)t (x )t (x 1=：为物体M 离开地面的高度（t 时刻）

dt

)

t (dx )t (x 12=

：为物体M 在t 时刻的速度 于是物体在t 时的运动状态可描述成为：

状态方程： f )t (u m f (t)a a m f g )t (u dt )t (dx )t (x dt )

t (dx 221⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴⋅=-==为控制函数）（ 同时应满足初始状态： ⎩⎨

⎧==初始速度　

初始高度

)()(20020101x t x x t x

路径条件(终值状态)：

⎩⎨

⎧==终端速度 终端高度

0)t (x 0)t (x f

2f 1 控制约束： c o n s t )

(k k )t (u =≤ 目标函数：寻找一个U )t (u ∈(闭的函数类)，使你所用的总时间0f t t -最短，即使 ()0f t t t t dt )t (u J J

f 0

-==

=⎰

取最小值

或：寻求一个 U )t (*u ∈，使得：

()())t (u J )t (*u J ≤

M

或：寻求一个U )t (*u ∈，使得：

()())t (u J min )t (*u J U

)t (u ∈≤

或者说：在容许控制的函数类U 中，找一个控制函数U )t (*u ∈，使状态⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=)t (x )t (x )t (x 21

从初始状态

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=)t (x )t (x )t (x 02010

转移到终端状态(目标集：

{}

0)x (h ,0)x (g ,R )t (x )t (x S i i n =≤∈= ) ⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=)t (x )t (x )t (x f 2f 1f (此问题中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00)t (x f

)， 而且使所用的时间最短，即：()⎰

-===∈f

t t 0f U

u )t t min(dt min

)u (J min *u J ，如果满足上述条

件的U )t (*u ∈是存在的，则说)t (*u 是该系统的最优控制(或极值控制)，而把对应的状态

)t (*u 叫做该系统的最优轨线(或极值轨线()t (*u ，)t (*x )叫最优对，*)u (J 叫最优性能指

标。

注意：1.上述的极值问题，求()())t (u J min )t (*u J =，函数)(J ⋅的定义域是函数类U )t (u ∈，

因此)(J ⋅是泛函。因此，求U *u ∈，使())u (J min *u J U

u ∈=是求泛函的极值问题，故最优

控制问题也称为泛函极值问题，所以常用的方法即变分法、极大值原理、动态规划等。 注意：Ⅱ性能指标(或目标泛函)的不同提法：按照系统设计者不同着眼点来考虑给出：

一般形式为：()()()⎰

+

ϕ=⋅f

t t f f dt t (t),u (t), x L t ),t ( x ) (u J

例如：上述同一个问题可解释为：登月飞船的软着陆问题：

问题：登月飞船 着陆问题： f

设 ①飞船自重M ，所带燃料为F ，即

F M m +=(飞船自重F M 燃料+)月球重力加速度为g ； g

② 飞船登陆月球时要先靠发动机产生一个与月球重力 方向相反的推力f 所产生的加速度m

)

t (f )t (u =实现软着陆 （即登上月球时的速度为零）

问题：是如何选择最好的发动机推力程序)t (f ，使燃料消耗最少。 解：约束条件及假设同升降机问题，即设

时刻的重量

为飞船在 时刻的速度为飞船在 时刻为飞船离月球的高度 t F(t)M m(t) t )t (x dt

)

t (dx )t ( )t (x )t (x 211+===

月球

M M+F=m

于是为约束方程：

状态方程：⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧=-=∆-==时刻飞船重量的变化时刻加速度

时刻速度const t

h )t (hf t )

t (dm t g )t (u dt )

t (dx t

)t (x dt )

t (dx 221 初始状态：⎪⎩⎪⎨⎧+===F M t m x t x x t x )( )(

)(0

20021001初始速度初始高度 终端状态：目标集S

⎪⎩

⎪

⎨⎧===)

t (F )t (m 0

)t (x 0)t (x S f 1f f 2f 1： 控制约束：k )t (u ≤ 控制力)t (u m a m f ⋅=⋅= 受一定限制。 问题是：寻求一个合适的控制函数)t (u （)

t (m )

t (f )t (u =

从而设计出推进力)t (f 的程序），使所消耗的燃料F 最少（即F M m +=最多能带多少燃料）。

即： ())(min )(*f U

u t m t u J ∈=

Ⅱ. 生产―库存―销售最优管理问题：

问题：生产量 库存量 销售量要保持在一个合理的水平上，即最优管理问题，即如何

组织或控制生产量，使库存量与销售量保持平衡。 分析：库存量大 则 1. 积压资金周转；2. 库存费，损耗大。 库存量小 则 1. 使商品脱销失去多获得利润的机会；

2. 用户因不能按合同提货，则厂方产品有被退货的风险，同样有失

去市场和赚钱的机会。

量化：)t (x ：表示在t 时刻的实际库存量；

)t (u ：表示在t 时刻的实际生产速度（生产率）；

)t (s ：表示在t 时刻的实际销售速度（销售率）； 于是有以下条件来描述该系统的情况：

状态方程：

)t (s )t (u dt

)

t (dx )t (x

-== 初态： 00x )t (x =