最优控制4

第4章
4.4 非线性系统的最少燃料控制问题
最少燃料控制问题的提法： 设受控系统状态方程为
x(t ) f [ x(t ), t ] B[ x(t ), t ]u(t )
给定端点约束条件为 x (t0 ) x0
Байду номын сангаас
(4 1)
[ x(t f ), t f ] 0 (4 2) 寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束
4)计算状态转移的最短时间
作业： 秦寿康 教材，第三章 习题1，3
第4章
求解状态转移最短时间t*：
x2 A(x10,x20) O tBO B tAB x1
t * t AB t BO 1 1 x2 x x1 t 2 x20t x10 A B 2 x u 2 x2 t x20 1 x1B t AB 2 x20t AB x10 B点坐标 (1) 2 x2 B t AB x20
u j (t ) 1 ( j 1, 2,..., m) (4 3)
使系统从已知初始状态 x(t0 ) 转移到目标集中某一状态 x(t f ) 时，如
下目标泛函取极小值，其中 t f 未知
J [u (t )]
tf
t0
m C j u j (t ) dt j 1
(4 15)
中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡的。（至少有一个为奇异矩阵 时，系统是奇异的）
（2）系统最优解存在的条件：常数矩阵A的特征值全部具有非正实部。
（3）最优解唯一性定理：系统是平凡的且最短时间控制存在，则最短时 间控制必然是唯一的。
（4）开关次数定理：系统是平凡的且最短时间控制存在，又若系统矩阵 A的特征值均为实数,则最优控制u*的任一分量 u* 的切换次数最多为n-1次 j 。（n为系统维数）
第4章
平凡最短时间控制系统
q* j 只是在各个孤立的 瞬刻才取零值， 是有 u* j
第一类间断点的分段恒 值函数。
奇异（非平凡）最短时间 控制系统。 并不意味着在该区间内最 优控制不存在，仅表明， 从必要条件不能推出确切 关系式。
第4章
4.2 线性时不变系统的最短时间控制问题
线性时间最优调节器问题的提法： 设受控系统状态方程为
第4章
最短时间计算公式：
初态(
x1 , x2
)
终态（0，0)
1 2 x2 4 x1 2 x2 , x1 2 x2 x2 1 * t ( x1 , x2 ) x2 , x1 x2 x2 2 1 2 x2 4 x1 2 x2 , x1 x2 x2 2
定义u(t)=f(t)/m , 则（4-16）式变为：
y(t ) u(t )
(4 18)
x1 (t ) x2 (t ) (t ) 则有 取状态变量 x1 (t ) y(t ), x2 (t ) y x2 (t ) u (t )
0 1 0 矩阵形式为： x(t ) x(t ) u (t ) 0 0 1 (4 20)
第4章
第4章 最短时间和最少燃料控制
本章主要内容：
4.1 非线性系统的 4.2 线性时不变系统 最短时间控制问题
4.3 双积分模型的
4.4 非线性系统的 4.5 线性时不变系统 最少燃料控制问题
4.6 双积分模型的
时间最优控制：导弹以最短时间击毁敌机 最少燃料最优控制：航天航空控制（高度、姿态、交会）
(4 19)
第4章
双积分模型最短时间控制问题的提法： 已知二阶系统的状态方程为
x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) u (t )
给定端点约束条件为
(4 21)
x20 ]T
x(0) [ x10 x(t f ) [0
0]T
(4 22)
寻求有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束
u* sgn{BT λ(t )} sgn[2 (t )] (4 24)
下面利用协态方程求解 2 (t )
H 1 T f 1 1x2 2u
H 1 (t ) 0 x1 (t ) H 2 1 x 2
u(t ) 1
(4 23)
使系统以最短时间从任意初态转移到终态。 先判断该系统是否平凡？
0 1 0 x(t ) x(t ) u (t ) 0 0 1
G [B
0 1 AB] 1 0
第4章
由上节重要结论可知： （1）本系统为平凡最短时间控制系统 （2）其时间最优控制存在且唯一 （3）时间最优控制u(t)至多切换一次 最优控制表达式：
* u q min u q j j j 1 * * j j u j 1 j 1 m m
则极值条件可写为：
(4 8)
第4章
* u q min u q j j j 1 * * j j u j 1 j 1 m m
(4 8)
m * j 1
由式（4-8）可见，由于 q 是确定的，故使 u j q j 取极小值的最优控制为
第4章
双积分模型时间最优控制工程实现的闭环结构
x1


h 1
1
u 1 x2 1
1
s
s
x1
1 x2 x2 2
第4章
最短时间控制问题 小结： 通过对非线性系统的最短时间控制问题的分析，得到最优控制的 一般形式(砰-砰控制） n
* u* j sgn q j sgn{ bij i } i 1
第4章
4.3 双积分模型的最短时间控制问题
双积分模型的物理意义：惯性负载在无阻力环境中运动
m 质量，y(t ) 位移，f (t ) 作用力
负载运动方程： 传递函数：
my(t ) f (t )
G( s) Y ( s) 1 2 F ( s) ms
(4 16)
(4 17)
（由两个积分环节组成）
{1}, {1}, {1,1}, {1,1}
下面通过图解法，在相平面上分析相轨迹转移的规律，从而寻找最优 控制u*(t)。首先求解状态轨线的方程：
(1) x1 (t ) x2 (t ) (2) x2 (t ) u (t ) dx x x (1) 1 2 2 , 1 (2) dx2 u (t ) dx1 x2 dx2 2 x1 x 2 c 2 (4 26)
(4 10)
具体到线性时不变系统，得到最短时间控制问题的若干重要结论。 （开关次数定理，非平凡判据） 将上述结论应用于双积分模型的最短时间控制问题，求解过程为：
1)应用最小值原理得出最优控制表达式
u* sgn[2 (t )]
2)解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的候选函数序列 3)在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律
* j
1 u* 1 j 不定
qj 0 qj 0 qj 0 （4 9）
u *j
1
0 1
n
q* j
（砰-砰控制）
或简写为：
* u* sgn q sgn{ bij i } j j i 1
(4 10)
根据 q* j 是否为零，将系统分为两种情形：
H[ x(t ), (t ), u(t ), t ] 1 T ( f Bu)
(4 5)
在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件
1 T ( f Bu* ) min {1 T ( f Bu)}
u j ( t ) 1
(4 6) ( j 1, 2,..., m)
u j (t ) 1 ( j 1, 2,..., m) (4 3)
使系统从已知初始状态 x(t0 ) 转移到目标集中某一状态 x(t f ) 时，如
下目标泛函取极小值，其中 t f 未知
J [u(t )] dt t f t
t0
tf
(4 4)
0
第4章
应用最小值原理，系统的哈密尔顿函数为：
为开关曲线
1 2
{( x1 , x2 ) : x1
1 2 x2 , x2 0} 2
第4章
定义
h x1
1 x2 x2 2
x2
R {( x1 , x2 ) : h 0} u 1 ( x1 , x2 ) R
*
0
x1
R {( x1 , x2 ) : h 0} u * 1 ( x1 , x2 ) R
BO 1 1 x2 x x1 t 2 x2 B t x1B 2 x u 2 x2 t x2 B 1 0 t BO 2 x2 B t BO x1B 2 0 t BO x2 B (2)
O点坐标
(1)式带入（2）式即可解出 t AB , t BO
为抛物线
第4章
2 {( x1 , x2 ) : x1 x2 , x2 0}
1 2
x2
1 2 x1 x 2 c 2 u 1
0
1 x1 x 2 c 2 2 x1 u 1
{( x1 , x2 ) : x1 x2 x2 }
(4 27)
第4章
应用最小值原理，系统的哈密尔顿函数为：
H [ x(t ), (t ), u(t ), t ] C j u j T ( f Bu)
j 1
m
(4 28)
在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
给定终端约束条件为
(4 11)
x(t0 ) x(0) a x(t f ) 0 (4 12)
寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束
u j (t ) 1
( j 1, 2,..., m) (4 13)
使系统从以最短时间从初始状态 x(0) 转移到状态空间原点。
1 (t ) 10 2 (t ) 10t 20
u* sgn(20 10t ) 1
第4章
u* (t ) sgn(2t ) sgn(20 10t ) 1
(4 25)
由式（4-25）可知，2 (t )为一直线，由于开关次数的限制，其四种可能 的开关序列为：
T B[ x* (t ), t ]u* (t ) min { T B[ x* (t ), t ]u(t )}
u j ( t ) 1
将（4-6）式中的矩阵表达式展开成分量形式
1
2
b11 b12 ... b1m u1 qj b u m n b ... b 21 22 2 m 2 u { b } (4 7) ... n ... j 1 j i 1 ij i ...... b b ... b nm um n1 n 2
根据上一节的结论，可得极值条件为：
* T * u* sgn q sgn{ b j j λ (t )} j
(4 14)
第4章
对于线性时不变系统的最短时间控制问题，经过理论推导和证明，可得 如下重要结论： （1）系统平凡的充要条件：当且仅当m个矩阵
Gj [bj , Abj , A2bj , ..., An1bj ]
第4章
4.1 非线性系统的最短时间控制问题
最短时间控制问题的提法： 设受控系统状态方程为
x(t ) f [ x(t ), t ] B[ x(t ), t ]u(t )
给定终端约束条件为 x (t0 ) x0
(4 1)
[ x(t f ), t f ] 0 (4 2) 寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束