黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模数学(文)试卷

黑龙江省哈尔滨市第九中学2017届高三二模数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，则的共轭复数是，故选D.2. 设非空集合满足，则（）A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】试题分析：由于,因此不属于集合的元素一定不属于集合,故答案B 是正确的，应选B.考点：集合的运算．3. 若过点的直线与圆的圆心距离记为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知，点在圆外，当直线经过圆心时，圆心到直线的距离最小为0，圆心到点的距离，是圆心到直线的最大距离，此时，故选.考点：1.直线与圆的位置关系；2.两点间的距离公式.4. 从中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（）........................A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得输出的结果为，令，即，解得，即的值可能为4,5,6,7,8，所以输出的不小于40的概率为；故选B．考点：1.程序框图；2.古典概型．5. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得，即；若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得,即.综上可得或.故选：B.6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴几何体的体积.故选：C.7. 已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，，.所以零点在区间. 考点：零点与二分法.8. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵ D是正△ABC的中心，∴ AD是△ABC的外接圆半径.∵ AD＝，又OD＝＝OA，OA ＝OD ＋AD ，∴ R ＝，∴ R ＝，∴球的表面积S＝4πR＝.故选C9. 若实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：其图形如图所示,,由图形知,故选A.考点：线性规划.10. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11. 已知抛物线的焦点为,准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为.设，则，，根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，有，故.12. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由a n=（-1）n（2n-1）+1，得a1=−+1=1，a2=3cosπ+1=-2，a3=−5+1=1，a4=7cos2π+1=8，…由上可知，数列{a n}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120．故选：D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为，由以上信息，得到下表中的值为__________．天数繁殖个数【答案】6【解析】试题分析：∵，，∴代入到回归直线方程中得：，∴.考点：线性回归方程.15. 设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．【答案】【解析】等差数列{an}的公差为d，前n项和为S n，若a1=d=1，∴ ,(当且仅当n=4时取等号)．故答案为：．点睛：本题考查数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力．16. 设函数.其中，存在使得成立，则实数的值为__________．【答案】【解析】试题分析：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得.考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系式求得实数的值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.【答案】(1) ，;(2).【解析】试题分析：（1）先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将化为，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）以及角A的范围解得角A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解．试题解析：（1）的最大值为2．要使取最大值，，故的集合为（2），即．化简得，只有．在中，由余弦定理，．由知，即，当时取最小值1．,考点：1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质；3．余弦定理；4．基本不等式．18. 某批次的某种灯泡个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出的值；（2）某人从这个灯泡中随机地购买了个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（3）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值.【答案】(1) ;(2);（3）.【解析】试题分析: (1) 由频率分布表中的数据，求出的值；(2)根据频率分布表中的数据，求出此人购买的灯泡怡好不是次品的概率；(3)由这批灯泡中优等品、正品和次品的比例数，再按分层抽样方法，求出购买灯泡数的最小值.试题解析:（1）.（2）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件，由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为.（3）由表，得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为，所以按分层抽样法，购买的灯泡数，所以的最小值为10.【方法点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件抽样方法及古典概型概率公式，属于中档题题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和；在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面.（1）求证:；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2) .（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，【解析】试题分析：AC⊥PD证得；（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．试题解析：(1)底面为菱形，底面面面.(2)设，设到平面的距离为，则由题意，，在等腰中，可求，，.20. 椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)或.【解析】试题分析：（1）首先设，然后根据离心率得到与的关系，再根据三角形面积取得最大值时点为短轴端点，由此求得的值，从而求得椭圆方程；（2）首先设出直线的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标．试题解析：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，则椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立可得，则，，直线的方程为，直线的方程为，则，，假设为直径的圆是否恒过定点，则，，，即，即，，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算．【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．21. 已知，函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明: 存在，使；（3）若存在属于区间的，且，使，证明:.【答案】(1)时，函数的单调增区间为；时，函数的单调增区间为，单调减区间为;(2).【解析】试题分析：（1）求的单调区间，由于函数含有对数函数，因此求的单调区间，可用导数法，因此对函数求导得，，令，解得，列表确定单调区间；（2）当时，证明：存在，使，可转化为在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到两个，是得即可，故本题把代入得，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，，故，取，则，即可证出；（3）若存在均属于区间的，且，使，由（1）知的单调递增区间是，单调递减区间是，故，且在上的最小值为，而，，只有，由单调性可知，，从而可证得结论.试题解析：（1）（1分）令，解得（2分）当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间是，单调递减区间是（5分）（2）证明：当时，，由（1）知在内单调递增，在内单调递减．令．（6分）由于在内单调递增，故，即（7分）取，则.所以存在，使，即存在，使．（9分）（说明：的取法不唯一，只要满足，且即可．）（3）证明：由及（1）的结论知，从而在上的最小值为，（10分）又由，，知（11分）故即（13分）从而（14分）考点：函数单调性，根的存在性定理.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过曲线的左焦点.（1）直线与曲线交于两点，求；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（2）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．试题解析：(1)曲线，曲线与直线联立得，方程两根为，则.(2)设矩形的第一象限的顶点为，所以，所以当时，最大值为.23. 选修4-5：不等式证明选讲已知函数，且恒成立.（1）求实数的最大值；（2）当取最大时，求不等式的解集.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论；（2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可．试题解析：（1）因为，且恒成立，所以只需，又因为，所以，即的最大值为.（2）的最大值为时原式变为，当时，可得，解得；当时，可得，无解；当时，可得，可得；综上可得，原不等式的解集是.。