概理论作业-567
《概率统计》作业参考答案
3 ∑ i=0
P (B |Ai )P (Ai ) = . . . = 0.02286. P (B |A2 )P (A2 ) = . . . = 0.496. P (B )
(2) 由贝叶斯公式, P (A2 |B ) =
习题一 8. 此题题意不明确, 应给出条件“发送字符AAAA, BBBB, CCCC 的概率各为1/3”, 然后利用全概率公式和贝叶斯公式分别求(1) 和(2).
3
综上, 得 0, y < 0, FY (y ) = y, 0 ≤ y < 1, 1, y ≥ 1. 从而 1, 0 ≤ y < 1, 0, 其它.
′ fY (y ) = FY (y ) =
习题二 8. 解: 已知 X ∼ e(λ), Y = min{X, 2}. (1) 首先, 注意到随机变量Y = min{X, 2} 的取值范围为: 0 ≤ min{X, 2} ≤ 2, 则 FY (y ) = P (Y ≤ y ) = P (min{X, 2} ≤ y ), 1) 当 y < 0 时, P (min{X, 2} ≤ y ) = 0; 2) 当 y ≥ 2 时, P (min{X, 2} ≤ y ) = 1; 3) 当 0 ≤ y < 2 时, P (min{X, 2} ≤ y ) = P (X ≤ y ) = FX (y ) = 1 − e−λy . 综上, 得 0, y < 0, FY ( y ) = 1 − e−λy , 0 ≤ y < 2, 1, y ≥ 2. (2) P (Y = 2) = FY (2) − FY (2−) = 1 − (1 − e−2λ ) = e−2λ . 亦可利用事件的等价 性, P (Y = 2) = P (X ≥ 2) = e−2λ . (3) ∵ FY (2−) = 1 − e−2λ ̸= 1 = FY (2), ∴ FY 不连续, 4
山东建筑大学概率论第五章作业及答案
证明： 显然xi byi a ,
1 n 1 n 1 n x x i (byi a ) b yi a by a . n i 1 n i 1 n i 1 1 n 1 n 2 2 sx ( xi x ) n 1 [byi a (by a )]2 n 1 i 1 i 1 1 n 2 b2 ( yi y ) 2 b 2 s x . n 1 i 1
2 2 2
从
F (n1 1, n2 1) ．
8
二. 计算题
1. 设总体
X ~ N (40,52 ),
（1）抽取容量为36的样本，求样本均值 X在38与43之间的概率； （2）抽取容量为64的样本，求 P (| X 40 | 1) ; （3）抽取容量n多大时，才能使概率 P (| X 40 | 1)达到0.95。
3
3. 设总体X服从“0-1”分布： ( X x ) p x (1 p)1 x , P
x 0,1.
抽取样本 X 1 , X 2 ,, X n ，求样本均值 X的概率分布、数学
期望和方差。
解: 显然
X
i 1
n
i
~ B( n, p), 即 nX ~ B( n, p),
m P ( nX m ) C n p m q n m , m 0,1,, n.
D( X )
2
,
记
1 n 1 n 2 X Xi ,S ( Xi X )2 . n i 1 n 1 i 1
2
证 明 (1)
E ( X ) , D( X ) 2 / n. (2)
《概率论与数理统计》作业参考答案
《概率论与数理统计》作业参考答案一、填空题 1．0.84，6. 2．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F ，1. 3． N(30,1)，1/2，8)30(4241221()(--∑==i i x ex p π.4． 83 5．161， （2分）816． 0.096 7． 1/3，（2分）-1/6.8． 2，9，92)2(2231⋅--x e π.9． 0.1，0.5，0.5，0.2，0.9. 10． 3. 11．6. 12. 2y 13. 4114.np p )1(-15. )1,0(N 16. ]1,1[-17. 审视所考察事件是否为小概率 18. 0.5 19. 0.4 20.5321. 1 22. 3723. t (n) 二、选择题1． A 2． C 3． B 4． B 5． B 6． B 7． D 8．C 9． C 10． C 11. B 12. B 13. A 14. D 15. A 16. B 17. A 18. D 19. A 20. B 21.C 22. B 三、计算题1． 第一问是服从超几何分布第二问是服从二项分布 2． 解：由切贝晓夫不等式21)|(|εξεξξD E P -≥<-,8,nD E ==ξμξ于是281)|(|εεξξn E P -≥<-nn P 211481)4|(|2-=⋅-≥<-μξ.3． 解： 矩估计为,112ˆXX --=α极大似然估计为,1ln 1ˆ+-=i X α4． （1）)0(22)(2ln2>=-y ey y g yπ（2）)0(22)(22≥=-y ey g yπ5． （1）0.807（2）2,1,0)(3203128===-k CC C k P kkξ, 32.1=ξE 6． 矩估计 X =θˆ，极大似然估计 X =θˆ. 7．（1）2/9，（2）5/18， （3）1/2. 8．（1）)0(22)(2ln2>=-y ey y g yπ（2）)0(22)(2>=-y eyy g y π9． 矩估计 X =μˆ； 极大似然估计 X =μˆ. 10． 解： 矩估计为,1ˆX=λ极大似然估计为,1ˆX=λ11. 由公式)(1)(A P A P -= 109101112522=-=-=C C p12. 30114.0323.031)|()()|()()(2211=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P11330113.031)()()()(=⨯===A P B A P B P A B P p i i i13. 25125,,5335353=====P nk p P k n14. 8413.0)1()69096690()96(≈Φ=-<-=<ξξP P 5.0)0()69090690()90(=Φ=-<-=<ξξP P15. )3.1(1)3.1(≤-=>ξξP P25.0])2([13.1110≈-+-=⎰⎰dx x xdx16. .601!52,,255=====nk p P k n17. 设事件A ： 迟到，1B ：乘火车来，2B ：乘轮船来，3B ：乘汽车来，4B ：乘飞机来，203)()()(41==∑=i i iB A P BP A P5.0)()()()(111==A P B P B A P A B P18. 由1)(=⎰∞+∞-dx x f ，得1,10==⎰∞+-A dx Aex19. 6826.01)1(2)115651()8050(=-Φ=≤-≤-=≤≤ξξP P.34136826.050008050=⨯分的学生人数为分至20. )2()4()04(22≥=≥=≥-ξξξp p p8.05162=⎰=dx四、证明题1．证明：总体X ～N (0，1)，样本),,,(521X X X 来自总体X ，则i X 相互独立且与总体X 同分布，令221X X X +=，则X ～N (0，21)，于是221X X +～N (0，1)，令 )3(~2252423χX X X Y ++=，于是3/2Y X 服从t 分布，要使25242321)(XXXX X c +++服从t 分布，必须 23=c .2． 可用切贝晓夫不等式来证. 3． 证：∵1222,0)12(2=⋅⋅==+-k kk k D E ξξ而n D D nk knk k ==∑∑==11)(ξξ 故01lim)(1lim12==∑=∞→∞→nD nnk n k n ξ∴}{n ξ服从马尔科夫大数定律. 4． 证明：()∑-=---=11212)1(21n i i i X X E n ES()∑-=+++--=1121212)1(21n i ii i i X X X X E n()∑-=+++--=112121)(2)1(21n i ii i i EX X X E EXn()∑-=+++++-+-=1121211)(2)()1(21n i iii i i i EXDXEX EX EXDX n()∑-=++-+-=11222222)1(21n i n μσμμσ2σ=。
概率论作业
Homework2:More Exercises1.An auto insurer classifies its policyholders as either average or substandard risks according to some classification procedure.Seventy percent are classified as average risks. During the year,1%of the average risks are involved in an at-fault accident,and5%of the substandard risks are involved in an at-fault.What fraction of policyholders are involved in an at-fault?2.Let X be a discrete random variable that takes on values0,1,2with probabilities 1/2,3/8,1/8respectively.(i)Find E(X).(ii)Let Y=X2.Find the probability distribution of Y and E(Y),V ar(Y).3.Two boys play basketball in the following way.They take turns shooting and stop when a basket is made.Player A goesfirst and has probability p1of making a basket on any throw.Player B,who shoots second,has probability p2of making a basket.The outcomes of the successive trials are assumed to be independent.(i)Find the frequency function of the total number of attempts.(ii)What is the probability that player A wins?4.Let T be an exponential random variable with parameterλ.Let X be a discrete random variable defined as X=k if k≤T<k+1,k=0,1,···.Find the frequency function of X.15.The Weibull cumulative distribution function isF(x)=1−e−(x/α)β,x≥0,α>0,β>0(i)Find the density function.(ii)Show that if W follows a Weibull distribution,then X=(W/α)βfollows an expo-nential distribution.6.If T follows a t7distribution,find t∗and t∗∗such that(a)P(|T|<t∗)=0.9,and(b)P(T>t∗∗)=0.05.7.Suppose that X1,···,X50are independent random variables with density functionsf(x)=2x,0≤x≤1Let S=X1+···+e the central limit theorem to approximate P(S≤20).2。
概率论与数理统计各章作业
概率论与数理统计各章作业第一章随机事件与概率1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。
解：={正正、正反、反正、反反}A={正正、正反}，B={正正}，C={正正、正反、反正}第二章随机变量及其概率分布1.设某的概率分布列为：某i0123Pi0.10.10.10.7F(某)为其分布的函数，则F（2）=？解：F(2)=P{某<=2}=P{某=0}+P{某=1}+P(某=2)=0.3第三章多维随机变量及其概率分布2.设二维随机变量(某,Y)的联合分布律为：试根椐下列条件分别求a 和b的值；(1)P(某1)0.6；(2)P(某1|Y2)0.5；(3)设F(某)是Y的分布函数，F(1.5)0.5。
解：（1）P{某=1}=0.1+b+0.2=0.6,b=0.3(2)P{某=0}+P{某=1}=1,P{某=0}=1-P{某=1}=0.4=0.3+a,a=0.1第四章随机变量的数字特征1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用某表示取到的红球的个数，则E某是：B（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.2.设某有密度函数：E(某),E(2某1),E(3某2f(某)802某4其他,求1),并求某大于数学期望E(某)的概率。
2某3.设二维随机变量(某,Y)的联合分布律为Y某0100.10.110.2b2a0.2已知E(某Y)0.65，则a和b的值是：D（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。
第五章大数定律及中心极限定理2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由中心极限定理求最多“成功”6次的概率的近似值。
解：设成功的次数为某,则某∽B(100,0.04),np=4,npq=4某0.96=1.9596 P{某6}=P64某4Φ(1.02)=0.84611.95961.9596第六章样本与统计量1.有n=10的样本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，则样本均值某=1.57，样本均方差S0.2541，样本方差S20.06456。
1—7章概率论课后习题及答案
第一章 随机事件及其概率§1.1-2 随机试验、随机事件1. 多项选择题:⑴ 以下命题正确的是 （ ） A .()()AB AB A =； B .,A B AB A ⊂=若则；C .,A B B A ⊂⊂若则；D .,A B A B B ⊂=若则.⑵某学生做了三道题，以i A 表示“第i 题做对了的事件”)3,2,1(=i ，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ） A .123123123A A A A A A A A A ； B .122331A A A A A A ； C .122331A A A A A A ； D .123123123123A A A A A A A A A A A A .2. A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义：⑴ A ； ⑵ B C ； ⑶ AB C ； ⑷ A B C ； ⑸ AB C ； ⑹ABC .3. 一个工人生产了三个零件，以i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正 品、次品的事件.试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.§1.3-4 事件的概率、古典概型1. 多项选择题:⑴ 下列命题中,正确的是 （ ） A .B B A B A =；B .B A B A =；C .C B A C B A = ；D .()∅=)(B A AB . ⑵ 若事件A 与B 相容，则有 （ ） A .()()()P AB P A P B =+； B .()()()()P A B P A P B P AB =+-；C .()1()()P A B P A P B =--；D .()1()()P A B P A P B =-.⑶ 事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ ） A .()()()P AB P A P B = ； B .()0()1P AB P AB ==且；C .AB A B =∅=Ω且；D . AB =∅.2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.4. 10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.5. 将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１) 恰有三个邮筒各有一封信；（２）第二个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．6. 将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛．求上一届分别为第一、二名的两个队被分在同一小组的概率．§1.5 条件概率1. 多项选择题:⑴ 已知0)(>B P 且∅=21A A ,则（ ）成立.A .1(|)0P AB ≥； B .1212(()|)(|)(|)P A A B P A B A B =+；C .12(|)0P A A B =；D . 12(|)1P A A B =.⑵ 若0)(,0(>>B P A P ）且)(|(A P B A P =），则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .,A B 相容；D .,A B 不相容.2. 已知61)|(.41)|(,31)(===B A P A B P A P ，求)(B A P3. 某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；第二箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.5.某市男性的色盲发病率为7 %,女性的色盲发病率为0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为男:女=0.502:0.498)6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.§1.6 独立性1. 多项选择题 ：⑴ 对于事件A 与B ，以下命题正确的是( ).A .若B A 、互不相容,则B A 、也互不相容；B .若B A 、相容,则B A 、也相容；C .若B A 、独立，则B A 、也独立；D .若B A 、对立，则B A 、也对立. ⑵ 若事件A 与B 独立，且0)(,0)(>>B P A P ， 则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .B A 、相容；D .B A 、不相容.2. 已知C B A 、、互相独立，证明C B A 、、也互相独立.3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8180，求此射手每次射击的命中率.*4. 设C B A 、、为互相独立的事件，求证B A AB B A -、、 都与C 独立.5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.7. 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．第二章 一维随机变量及其分布§2.1 离散型随机变量及其概率分布1．填空题：⑴ 当c = 时()/,(1,,)P X k c N k N ===是随机变量X 的概率分布，当c = 时()(1)/,(1,,)P Y k c N k N ==-=是随机变量Y 的概率分布； ⑵ 当a = 时)0,,1,0(!)(>===λλ k k a k Y P k是随机变量Y 的概率分布； ⑶ 进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6. 以X 表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则X 的分布律为； ⑷ 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是,p 射中了就停止射击且至多只 射击10次. 以X 表示射击的次数，则X 的分布律为； ⑸ 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n 次，以X 表示此n 次抛掷中落地后正面向上的次数，则X 的分布律为 .2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X 表示取出的3只中次品的只数. 分别求出在 ⑴ 每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵ 取后不放回，两种情形下X 的分布律.3．一只袋子中装有大小、质量相同的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X 表示取出的3只球上点数的和. ⑴ 求X 的分布律；⑵ 求概率(46),(46),(46),(46)P X P X P X P X <≤≤<<<≤≤.4．某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是6.0. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.5．袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取1只，如果是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取1只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数X 的分布律.§2.2 连续型随机变量及其概率分布1．多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是 ( )A .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其20,0,cos )(πx x x f ； B .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其πx x x f 0,0,2cos )( ； C .⎪⎩⎪⎨⎧<<-=它其22,0,cos )(ππx x x f ； D .⎩⎨⎧<<=它其10,0,)(x xe x f x . 2．设随机变量X 的概率分布律如右,求X 的分布函数及)32(),30(),2(≤≤<<≤X P X P X P .3．设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，从此袋中任取一只球，并以X 表示取得的球上所标有的数字.求X 的分布律与分布函数.4．设连续型随机变量X 的概率密度如右，试求：⑴ 系数A ；⑵ X 的分布函数；⑶ (0.10.7)P X <<5．设连续型随机变量X ⑴ 系数k ；⑵ X 的概率密度；⑶ (||0.5)P X <.6．设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x R =+∈，试求：⑴ 系数A 与B ；⑵ X 的概率密度；⑶ X 在区间(,)a b 内取值的概率.§2.31．设离散型随机变量X 的分布律如右，求12,22,12+=-=+=X W X V X U 的分布律.2．设随机变量X 的概率密度为,0,0,)(<≥⎩⎨⎧=-x x e x f x 求随机变量X e Y =的概率密度.3．设随机变量X 在区间(0,)π上服从均匀分布，求：⑴ 随机变量2ln Y X =-的概率密度；⑵ 随机变量sin Z X =的分布函数与概率密度.4．设连续型随机变量X 的概率密度为2/2()()x f x e x R -=∈,求||Y X =的密度.*5．设1()F x 与2()F x 分别为两个随机变量的分布函数，证明：当0,0a b ≥≥且1a b +=时，)()()(21x bF x aF x +=φ可以作为某个随机变量的分布函数.§2.4 一维随机变量的数字特征1．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.2．设随机变量X 的概率密度为||()0.5,,x f x e x -=-∞<<+∞求,EX DX .3．设随机变量X 的概率密度为2(1),01(),0,x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它求EX 与DX .4．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分钟内均匀分布.求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).5．某工厂生产的设备的寿命X(以年计)的概率密度为/400.25,()0,x xef xx->⎧=⎨<⎩，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换.若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.*6．某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件将损失2000元. 而且预测到这种产品的销售量Y(件)服从指数分布(0.0001)E. 问要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？第三章 多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量1．设随机变量),(Y X 只取下列数组中的值：)0,0(、)1,1(-、)31,1(-、)0,2(且相应的概率依次为61、31、121、125.求随机变量),(Y X 的分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.2．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.3．设随机变量),(Y X 的概率密度，其它+∞≤≤+∞≤≤⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x 0,0,0,),()(2 试求：⑴ 常数c ；⑵ ),(Y X 的分布函数),(y x F ；⑶ }1{≤+Y X P .4．设随机变量),(Y X 的概率密度为 4.8(2),01,0(,)0,y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它求关于X 、Y 的边缘概率密度.5．设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴、y 轴及直线12+=x y 所围成，试求：⑴ ),(Y X 的概率密度),(y x f ；⑵ 求关于X 、Y 的边缘概率密度.*6．设某班车起点站上车的人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<乘客中途下车与否相互独立，并以Y 表示在中途下车的人数.求：⑴ 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；⑵ (,)X Y 的分布律.§1．设随机变量X 与Y 相互独立右表给出二维随机变量),(Y X 律及边缘分布律中的部分数值.试将 其余数值填入表中的空白处.2．设随机变量),(Y X 分布律如右:⑴ a 、b 、c 时X 与Y 相互独立？⑵写出),(Y X 的分布律与边缘分布律.3．设随机变量X 在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y 在X ~1中等可能地取一个整数.求：⑴=X 2时Y ,的条件分布律；⑵=Y 1时X ,的条件分布律.4．设随机变量),(Y X 的概率密度为其它0,0,0,),()(>>⎩⎨⎧=+-y x e y x f y x .⑴ 求)|(|x y f X Y ；⑵ 求)|(|y x f Y X ；⑶ 说明X 与Y 的独立性.*5． 箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随机变量如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品； 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品 ，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于X 与Y 的条件分布律，并说明X 与Y 的独立性.* 6．设随机变量),(Y X 的概率密度为,||,10(,)0,cy x x f x y <--<<⎧=⎨⎩，其它求参数c 与条件概率密度)|(,)|(||y x f x y f Y X X Y .§3.31. 设),(Y X 的分布律如右,求 ⑴0|3{,}2|2{====X Y P Y X P ⑵ ),max(Y X V =的分布律；⑶ ),min(Y X U =的分布律；⑷ Y X W +=的分布律.2．设X 与Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1λ、2λ的泊松分布. 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.3．设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数为0.25p =的两点分布，记随机变量Z 为1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩为奇数，非为奇数求X 与Z 的联合分布律与EZ .4．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为321100,,(),(),32000,0,yxX Y x y e e f x f y x y --⎧⎧≥≥⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩求随机变量U X Y =+的概率密度.5．某种商品一周的需求量X 是一个随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,)(x x xe x f x .设各周的需求量是相互独立的，试求：⑴ 两周；⑵ 三周的需求量的概率密度.6．设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从(1160)E 分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过180小时的概率。
概率论作业大全
、解答题1・已知总体X〜3(1, p), Xi，X2，…,X”是X的一个样本，求(1)X1, X2,…，X〃的联合分布律；(2)£ &的分布律；1-1(3)三E(Q,D(X),E$).解：因为X的分布律为P{X = /：} = (1 - p)l-k p\k = 04 (0< p<l)且X1，X2,…X?均于x独立同分布, 所以(1) X1, X2,…，X”的联合分布律为P{X l=x l,X2=x2,...,X ll=x il} = YlP{X i=x i}f=l=pz (1 一p) z ,兀=0丄j = l,2，…/(2 ) 因为Y = ±Xj ~ B(n, p) , 所以(-1P{Y = y} = C； P>'(1- p)f = 0丄2,3,..., n .(3)因为，所以如2 =理二£2,E(S2) = D(X)=/?(1-P)・E(X) = E(X) = p, D(X) =n n2.从总体N(52, 6.32)中随机抽取一个容量为36 的样本，计算样本均值X落在50.8到53.8之间的概率.解：因为X〜N(52, 6.32),所以八N(52,薯P{50.8<X<53.8} =①(A 8,)一 ①严8,)= 0.82936.3/V36 6.3/V363. 某种灯管寿命X (以小时计)服从正态分布 X 〜N (“，o-2), 乂为来自总体X 的样本均值.(1)求乂与“的偏差大于手的概率.(2)若“未知，a 2 = 100,现随机取100只这种灯管，求乂与“的偏差小于1的概率.解：因为X 〜N (“，□), 仏口，与川(0,1),所 < 11 ) a/yjn以4. 在天平上反复称量重量为w 的物体，每次称量结果独立同服从N(w, 0.04),若以乂表示斤次称重的算术平均，则为使P{|X-w|< 0.1} >0.95 ,斤至少应该是多少?解：Xi ，X2, X”为称重的结果，则 Xi ，X2,…，X 〃相(2)因为er 2 = 100, n=100,訂屁 1,所以=①(1)一 ①(一 1) = 24>(1)-1 = 2- 24>(1) = 2x 0.8413-1 = 0.6826.互对立且均服从叽°叫于是欲使P{|x-w|< 0.1} >0.95, 须使> 0.95，< 0.5y/n \ = 2①(0.5亦)- 1 > 0.95,解得①(0.5亦) >0.975, 查表得①(1.96) = 0.975,由于①⑴是递增函数，须使0.5^ >1-96,解得11>15.366?故11 至少为16.5.从正态总体N(“,oQ 中抽取样本Xi ，X2，…,X10 (1)已知 “=0,求I /-I-(2) “未知，求H 丈(乙 -X)2 >0.6751 ・解：(1 )因为 &〜N(0, 0・5 2), 口 ~ N(0, I)，即 2X( ~ N(0,l)?0 • 5令力2 = Y(2XJ 29 贝|J 才=工(2£尸~才(10)(-1 I由于查表知 xls (10) = 16 ,所以 >A=p{x 2>16}=0,l.(2))因为Xi 〜N®, 0.5 2),即八竺］,所以I 10 ；10>16P丈疋刊"任(2X/pjgC^-X)2 >0.675J吕 X.-XlS (T^75)-0.675 0.275Xj-乂 V0.275)'〜才(10) > 2.4545 r10E(1-170.275查表知加98㈣* 2.45，所以=0.9924 •解：⑴由归一性知：1=0 f(x，y)dxdy = & & Axydxdy =扌，故A=4(2)P{X=Y}=0(3)P{X<Y}=J01f 4xydydx =扌⑷jm(u,v)dudv = F(x,y)=" 0, xVO 或yVO4 Q Q uvdudv, 0<x<l,0<y<l< 4uvdudv, 0 < x < l,y > 14fofo uvdudv, x > 1,0 < y < 1< 1, x > l,y > 1"0, xVO 或yVO x2y2, 0<x<l,0<y<l即F(x，y)气x2, 0 <x< l,y> 1y2, x > 1,0 < y < 1< 1, x > l,y > 15•解：P{X+Y>1}=打（3）如严忙（宀¥如*等.v+y>l $ ' 上6解:X 的所有可能取值为0，l ，2，Y 的所有可能取值为 0，1，2,3.P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=l}=0.53=0.125P{X=1,Y=1}=C ；0.5'x 0.5 = 0.25，P{X=1,Y=2}=C ；0.5'x0.5 = 0.25P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X ，Y 的分布律可用表格表示如下：八0 1 2 3Pi.0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.250.520.125 0.125 0.250.125 0.375 0.375 0.125 17.解:+•»f W = “（兀 y^y = <r —xJ", X0,x>0 x<00.x>0 x <0(1)因为 x 〜N(3,4) P{2<X <5}=尸(5)-F(2)=0(1)—①(0.5)-1 = 0.8413+ 0.6915-1 = 0.5328P{-4<X <10}= F(10)-尸(-4)=①(3.5)-①(一3.5) -1 = 2 ①(3.5) -1= 2x0.998-1 = 0.996P|jx|>2}=l-P{x<2} = l-P{-2<X <2}=1-[F(2)-F(-2)]=l-[①(一0.5)-①(_2.5)]=1-[①(2.5)-①(0.5) ] = 1-0.3023 = 0.6977+x九（刃=”（兀加={! -XQdx 、y >0y <09T0,y>0y <08.解」g)= f JX 2 < y < 1x<0(1)1 =匚匚/(x, y)dxdy = (J ； ex 2 ydydx = 2c£ x 2 2 21所以c=21/4⑵氏仏）=匚/（尢刃dy =21——兀 4 Jr 2畔2叶】其它121fy(y)= i x f^y)dx=\^，+ocr _x 2ydx0,OV)Y1 = <其它ZzZ 2 0,0<y<l13.解：其它所以P{X >3}=1-P{X <3} = 1-F(3) =1-0(0) =1-0.5 =0.5(2) P{X >c}=l-P{X <c},贝I 」P{X <c}=- = F(c)二①(—) = -,2 2经查表得①(0) = \即字二0,得c = 3；由概率密度关于x=3 对称也容易看出。
概率统计作业解答
《概率论与数理统计》作业解答第一章 概率论的基本概念习题（P24-28）1. 写出下列随机试验的样本空间S ：(1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数.(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果.(4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果.解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数.设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ⎧⎫==⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭. (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =⋅⋅⋅. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为：{}00,100,0100,0101,0110,0111,1010,1011,1100,1101,1110,1111S =(5) 所求样本空间为：{}22(,):1S x y x y =+<2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生. (3) ,,A B C 至少有一个发生. (4) ,,A B C 都发生.(5) ,,A B C 都不发生. (6) ,,A B C 不多于一个发生. (7) ,,A B C 不多于两个发生. (8) ,,A B C 至少有两个发生.分析 本题只要掌握事件运算的概念即可解决.解 (1) “A 发生，B 与C 不发生”＝A B C --(或ABC )(2) “A 与B 都发生，而C 不发生.”＝AB C -(或ABC ) (3) “,,A B C 至少有一个发生”＝A B C ++. (4) “,,A B C 都发生”＝ABC (5) “,,A B C 都不发生”＝ABC(6) “,,A B C 不多于一个发生”＝ABC ABC ABC ABC +++ (7) “,,A B C 不多于两个发生”＝ABC(8) “,,A B C 至少有两个发生”＝AB AC BC ++.第二章随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布分析 本题只要掌握随机变量独立性概念及公式：,)~ (,)X Y f x y Z X Y ⇒=+（的密度为：()(,)d (,)d Z f z f x z x x f z y y y +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰解 由已知，112()e e e ,,1,,)~ (,)0,x y x y x y X Y f x y ---+⎧⋅=>=⎨⎩其它（故2(())21111()(,)d e d e d x z x z Z x x z x x z f z f x z x x x x +∞-+---∞><-><-=-==⎰⎰⎰12210,12e d e (2),12z zzz z x z z z ----⎧⎪=⎨=--⎪⎩⎰即即≤1,≤>1,>第四章 随机变量的数字特征（P110-115）分析 本题只要掌握下列有关公式：XY ρ=(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y ±=+± 22()()()D X E X E X =-2[(,)](,) (,)d d R E g X Y g x y f x y x y =⎰⎰可见，要先求,X Y 的一阶矩和二阶矩. 为此，可以先求,X Y 的边缘密度.解 2011()d (1),02, () (,)d 840,X x y y x x f x f x y y +∞-∞⎧+=+⎪==⎨⎪⎩⎰⎰≤≤其它2011()d (1),02,() (,)d 840,Y x y x y y f y f x y x +∞-∞⎧+=+⎪==⎨⎪⎩⎰⎰≤≤其它222232000111117() ()d d ()d 444326x E X x f x x x x x x x x x +∞-∞+⎡⎤===+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2222223243000111115() ()d d ()d 444433x E X x f x x x x x x x x x +∞-∞+⎡⎤===+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故2225711()()()3636D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理，由对称性得，7()6E Y =，25()3E Y =，11()36D Y =. 202022200() (,)d d d d 814=d ()d 83x R y x yE XY xy f x y x y xy x yx xy x y y +==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤故4771(,)()()()=36636Cov X Y E XY E X E Y =-⋅-⨯=-1111XY ρ-===-111115()()()2(,)23636369D X Y D X D Y Cov X Y ⎛⎫+=++=++⨯-= ⎪⎝⎭.注 本题中，由于 () ()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，故,X Y 不相互独立.注 本题中，若联合密度改为联合分布律：XY 0101/61/311/31/6，重算结果.第五章 大数定律及中心极限定理知识点复习1. 若12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列，2(),()i i E X D X μσ==，则当n 充分大时，12n X X X +++近似服从正态分布2(,)N n n μσ.2. 由于~(,)X B n p ⇒12n X X X X =+++其中~(1,),1,i X B p i n =且相互独立，(),(),(1)i i E X p D X pq q p ===-. 故由如上中心极限定理得：当n 充分大时，~(,)X B n p ⇒X 近似服从正态分布(,)N np npq .第六章 样本及抽样分布知识点复习3. 若12,,,n X X X 是来自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，则其样本均值2~(,)X N nσμ.4. 若12,,,n X X X 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本，则称统计量222212n X X X χ=++⋅⋅⋅+为自由度为n 的2χ统计量，记为2222212~()n X X X n χχ=++⋅⋅⋅+5. 若12,,,,n X X X Y 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本，则称统计量T =为自由度为n 的t 统计量，记为~()T t n第七章 参数估计2. 设总体X概率密度为1,01,()0,x f x =⎪⎩其它,≤≤其中(0)θ>为未知参数，12,,,n x x x 是来自总体X 的样本12,,,n X X X 的观察值，试求未知参数θ的（1）矩估计量；（2）极大似然估计值.解：（1）由矩估计法，令111112() ()d d 111XE X x f x x x xX XXX X θ+∞-∞======⇒=-⎛⎫⎛⎫⎪⎝= -⎭⇒⎪⎝⎭⎰⎰比例性质：两边分母同减去分子 即得参数θ的矩估计量.（2）由已知，观察值：120,,,n x x x ≤≤1，故似然函数为12() () () ()n L f x f x f x θ=⋅⋅⋅111))=⋅⋅⋅112(n n x x x =⋅⋅⋅达最大，即取自然对数后：()ln ()g L θθ=12ln 1)ln()2n nx x x θ=+-⋅⋅⋅达最大121())02n n g x x x θθ'=⋅+得唯一驻点2212ˆln ()n n x x x θ=（即最值点）即为参数θ的0极大似然估计值.。
概率论与数理统计作业题及参考答案
东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题（一）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。
2．用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X 的分布函数为 。
3．已知随机变量X 和Y 成一阶线性关系，则X 和Y 的相关系数=XY ρ 。
4．简单随机样本的两个特点为：5．设21,X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，若2120041X CX +为μ的一个无偏估计，则C = 。
二、选择题1．关系（ ）成立，则事件A 与B 为互逆事件。
（A ）Φ=AB ； （B ）Ω=B A ； （C ）Φ=AB Ω=B A ； （D ）A 与B 为互逆事件。
2．若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立。
)(A )(x f y =的定义域为[0,1] )(B )(x f y =非负)(C )(x f y =的值域为[0,1] )(D )(x f y =在),(+∞-∞内连续3．设Y X ,分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EY EX <,DY DX >则 ( ) (A ) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B ) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C ) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D ) 甲的工作效率及稳定性都不如乙4．样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，μ=EX 为已知，而2σ=DX 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）(.A ).∑==4141i i X X (B ).μ241++X X (C ).∑=-=4122)(1i i X X k σ (D ).∑=-=4122)(31i i X X S 5．设θ是总体X 的一个参数，θˆ是θ的一个估计量，且θθ=)ˆ(E ，则θˆ是θ的（ ）。
（A ）一致估计 （B ）有效估计 （C ）无偏估计 （D ）一致和无偏估计三、计算题1．两封信随机地投向标号1，2，3，4的四个空邮筒，问：（1）第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少；（2）两封信都投入第二个邮筒的概率是多少？2．一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求（1）这4个中的次品数X 的分布列；（2）)1(<X p3．已知随机变量X 的分布密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其他,021,210,)(x x x x x f ，求DX EX ,.4．设随机变量X 与Y（1）求X 与Y 的边缘分布列 （2）X 与Y 是否独立？5．总体X 服从参数为λ的泊松分布)(λp ，λ未知，设n X X X ，，， 21为来自总体X 的一个样本： （1）写出)(21n X X X ，，， 的联合概率分布； （2）}{max 1i ni X ≤≤，21X X +，212XX n-，5，∑=ni iX 12)(λ－中哪些是统计量？6．某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对05.0=α，求出滚珠平均直径的区间估计)96.1,645.1(025.005.0==Z Z概率论与数理统计作业题（二）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。
概率论第一章作业题
第一章 随机事件及其概率1．填空题（1）若，则}9,6,4,2{ },8,4,2,1{==B A =∪B A ；=∩B A 。
（2）若是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为 D C B A ,,,；四个事件恰好发生两个可表示为 。
（3）有三个人，每个都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中恰有两人的概率是 ；（4）十件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率是 。
2．选择题（1）某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的任意一个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（ ）（A ）126 （B ）1260 （C ）3024 （D ）5040（2）若8.0)( ,9.0)(,,=∪=⊃⊃C B P A P C A B A ，则=−)(BC A P （ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.8 （D ）0.7（3）在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ）（A ）1/15 （B ）3/15 （C ）4/5 （D ）3/5（4）若3.0)( ,4.0)( ,5.0)(=−==B A P B P A P ，则为（ ）)(B A P ∪（A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.53．化简下列各式（1）；A B A −∪)(（3）； ))((C B B A ∪∪（2）))((B A B A ∪∪； （4）))()((B A B A B A ∪∪∪4．指出下列各式成立的条件并说明条件的意义（1）；A ABC =（3）AB B A =∪；（2）A B A =∪； （4）A C B A =∪∪；（5）;)(B A B A =−∪ （6）A AB =。
5．若、A B 、C 、是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件D （1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）、A B 都发生，而C 、都不发生；D （4）这四个事件至多发生一个。