17.24 一元二次方程的解法 求根公式法
一元二次方程的公式法讲解
一元二次方程的公式法讲解一元二次方程是高中数学中经常遇到的一种形式，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为已知系数。
为了求解这种类型的方程，人们发展出了一元二次方程的公式法。
一元二次方程的公式法是一种通过一元二次方程的一般形式，利用特定的公式来求解方程的方法。
这个公式被称为二次方程的求根公式，它可以帮助我们快速地计算出方程的根。
二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a其中，±表示两个解，√表示平方根。
这个公式中的√(b²-4ac)被称为判别式，它的值决定了方程的根的性质。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。
当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
通过这个公式，我们可以很方便地求解一元二次方程。
首先，我们需要确定方程中的系数a、b、c的值。
然后，我们将这些值代入到求根公式中，计算出方程的根。
例如，考虑方程2x²+5x-3=0。
根据公式法，我们可以得到：x = (-5 ± √(5²-4*2*(-3))) / 2*2= (-5 ± √(25+24)) / 4= (-5 ± √49) / 4根据公式，我们可以得到两个根：x₁ = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 1/2x₂ = (-5 - 7) / 4 = -12/4 = -3因此，方程2x²+5x-3=0的根为x=1/2和x=-3。
公式法是求解一元二次方程的一种常用方法，它的优点是计算简单、快速。
通过这个公式，我们可以直接求解方程的根，无需进行其他繁琐的计算步骤。
需要注意的是，使用公式法求解一元二次方程时，我们需要注意判别式的值。
判别式的正负与方程的根的性质有关，可以帮助我们判断方程有几个实根或复根。
一元二次方程的公式法是一种简洁高效的求解方法。
一元二次函数求根公式法
一元二次函数求根公式法
一元二次函数求根公式：x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a。
二次函数（quadraticfunction）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法1. 引言一元二次方程是数学中最常见的方程之一，它具有形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式，其中a、b和c是已知系数，x是未知数。
求解一元二次方程的根是解方程的重要任务之一，本文将介绍一元二次方程的两种常见解法：因式分解法和求根公式法。
2. 因式分解法因式分解法是一种常用的求解一元二次方程的方法，它的基本思想是将方程通过因式分解的方式化简为两个一次方程，再分别求解这两个一次方程。
解题步骤如下：1.将方程化简为标准形式ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知系数。
2.尝试因式分解方程左侧，将方程写成(mx + p)(nx + q) = 0的形式，其中m、n、p和q是待求系数。
3.根据因式分解的性质，可知(mx + p)(nx + q)为零的条件是mx + p = 0或nx + q = 0，即x = -p/m或x = -q/n。
4.将得到的两个根代入方程，验证是否满足原方程。
需要注意的是，因式分解法只适用于方程可以通过因式分解的情况。
当方程无法因式分解或因式分解十分困难时，可以使用求根公式法。
3. 求根公式法求根公式法是一种基于二次根式的求解一元二次方程的方法，它适用于所有一元二次方程。
通过求根公式，可以直接计算出方程的根。
求解一元二次方程的求根公式为：求根公式求根公式其中，-b和-4ac是待求系数，可以直接代入。
+/-表示方程可能有两个根。
解题步骤如下：1.将方程化简为标准形式ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知系数。
2.根据求根公式，计算出方程的两个根x1和x2。
–x1 = (-b + sqrt(b^2-4ac)) / (2a)–x2 = (-b - sqrt(b^2-4ac)) / (2a)3.将得到的两个根代入方程，验证是否满足原方程。
需要注意的是，在计算求根公式的时候，需要注意方程的判别式b^2 - 4ac的正负情况，以确定是否存在实数根或复数根。
一元二次方程的求解方法
一元二次方程的求解方法一元二次方程是一种常见的数学问题，它的解法有多种。
本文将介绍三种常用的求解一元二次方程的方法：因式分解法、配方法和求根公式法。
通过这些方法，我们可以轻松解决一元二次方程，并找到它们的根。
1. 因式分解法一元二次方程一般形式为：ax²+ bx + c = 0。
当我们将方程化简后，可以尝试使用因式分解法求解。
例如，对于方程x² + 5x + 6 = 0，我们可以尝试将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
这样，我们就可以得到两个根分别为x = -2和x = -3。
2. 配方法如果无法通过因式分解法求解一元二次方程，我们可以尝试使用配方法。
该方法的核心思想是通过添加一个适当的常数使方程能够进行因式分解。
以方程x² + bx + c = 0为例，我们可以通过添加一个常数m，使得方程变为x² + bx + c + m = (x + p)² = 0的形式。
然后，我们可以通过p = b/2和p² = c + m的关系求解出m的值，并将其带入方程中求解x的值。
3. 求根公式法求根公式法是一元二次方程求解的基本方法之一。
一元二次方程ax² + bx + c = 0的两个根可通过求根公式得到。
求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)根据方程的三个系数a、b和c，我们可以直接将求根公式带入计算，找到方程的根。
总结：通过因式分解法、配方法和求根公式法，我们可以解决一元二次方程，并找到它们的根。
当方程可以通过因式分解法求解时，我们可以直接因式分解得到方程的根。
当无法因式分解时，我们可以尝试使用配方法，通过添加适当的常数来进行求解。
而求根公式法是一种基本的求解方法，适用于所有的一元二次方程。
根据方程的系数，我们可以直接带入求根公式，求得方程的根。
以上就是三种常见的求解一元二次方程的方法。
初中数学一元二次方程解法总结
初中数学一元二次方程解法总结一元二次方程解法总结一、引言初中数学中，一元二次方程是一个重要的内容，它的解法涉及了解析几何、代数方程及应用问题的解答等多个领域。
本文将总结一元二次方程的解法，包括求根公式法、配方法、图像法、因式分解法等，以帮助初中学生更好地掌握这一知识点。
二、求根公式法求根公式法是一种通用而简洁的解法，适用于任意一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以使用求根公式来求解。
求根公式为：x₁ = (-b + √(b²-4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b²-4ac))/(2a)三、配方法配方法是一种常用的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² +bx + c = 0，其中a≠0且b²-4ac不为完全平方数的方程，可以使用配方法来解决。
具体步骤如下：1. 将方程重新排列，以使得二次项系数为1。
2. 将方程两边加上一个适当的常数使其成为一个完全平方。
3. 通过完全平方公式求解新的二次方程。
4. 将求解得到的值代入原方程，验证是否为正确的解。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的解法，适用于通过图像来解决一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0的方程，可以通过作出二次函数的图像来求解。
具体步骤如下：1. 根据二次方程的系数a、b和c，确定二次函数的图像形状。
2. 在坐标系中画出二次函数的图像。
3. 根据图像与x轴的交点，求解方程的根。
五、因式分解法因式分解法是一种巧妙的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以尝试通过因式分解来求解。
具体步骤如下：1. 将方程分解成二次因式的乘积形式。
2. 令每个因式等于零，求解得到方程的根。
3. 验证求得的根是否满足原方程。
六、实际应用一元二次方程在生活中有很多实际应用，比如求解质点运动问题、面积和体积最大最小问题等。
一元二次方程的解法(二)--公式法,因式分解法 (基础)
要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.类型一、公式法解一元二次方程1．用公式法解下列方程．(1)； (2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1) ∵，，，∴，∴，∴，．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．【变式】用公式法解方程答案与解析【答案】原方程化为一般形式，得．∵∴∴, 即2．用公式法解下列方程：(1)；(2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1)∵，，，，∴．∴，．(2)原方程可化为．∵，，，，∴，∴，．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．【变式】用公式法解下列方程：；答案与解析【答案】移项，得．∵，，，，∴，∴，．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)；(2)(2x+3)2-25＝0．答案与解析【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x1＝-2，．(2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x1＝1，x2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)．答案与解析举一反三【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根【变式】（2）答案与解析【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.（2）3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0.巩固练习一、选择题1．方程的根是( )A． B．， C． D．，2．方程的解是( )A． B． C．， D．，3．一元二次方程的解是( )A．； B．；C．； D．；4.方程x2-5x-6＝0的两根为( )A．6和1 B．6和-1 C．2和3 D．-2和35．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝76．已知，则的值为 ( )A． 2011 B．2012 C． 2013 D．2014二、填空题7．方程x2-4x＝0的解是___________；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是___________．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___________．10．若方程x2-m＝0的根为整数，则m的值可以是___________．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x、y 满足，则________．12．已知y＝(x-5)(x+2)．(1)当x为___值时，y的值为0；(2)当x为___值时，y的值为5.三、解答题13．用公式法解方程（1）；（2）；14. 用因式分解法解方程（1）x2-6x-16＝0．（2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．的符号的关系的值(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．(3)利用上面的结论解答下题．当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】可分解为2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B；【解析】要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b＝-5，积ab＝-6，∴(x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0．∴x1＝-1，x2＝6．5.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴(x-5)(x-6-1)＝0，∴，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x＝1，∴．二、填空题7.【答案】x1＝0，x2＝4．【解析】可提公因式x，得x(x-4)＝0．∴ x＝0或x-4＝0，∴ x1＝0，x2＝4．8.【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．9.【答案】；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案．10.【答案】4；【解析】 m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．11.【答案】2；【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-2＝0得(x2+y2+1)(x2+y2-2)＝0又由x，y为实数，∴x2+y2＞0，∴x2+y2＝2．12.【答案】 (1) x＝5或x＝-2；(2) 或．【解析】(1)当y＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴x-5＝0或x+2＝0，∴x＝5或x＝-2．(2)当y＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴，，∴或．三、解答题13.【答案与解析】（1）原方程化为一般形式，得∵∴∴∴（2）∵∴∴∴14.【答案与解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴，．（2）设y＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴y+1＝0或y+2＝0，∴y＝-1或y＝-2．当时，，；当时，，．∴原方程的解为，．15.【答案与解析】，的的符号(2)①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．(3)，①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m≠2；②当原方程有两个相等的实数根时，，即；③当原方程没有实数根时，，即．。
一元二次方程求根公式解方程
一元二次方程求根公式解方程一元二次方程是初中数学中的重要内容，其中求根公式更是解决这类方程的有力工具。
在学习一元二次方程求根公式之前，咱们先来回顾一下什么是一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
那求根公式到底是啥呢？它就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这个公式看起来有点复杂，但是用起来可厉害了。
就说我之前教过的一个学生吧，叫小明。
小明一开始对这个求根公式那是一头雾水，怎么都搞不明白。
有一次上课，我出了一道题：x² + 2x - 3 = 0 ，让大家用求根公式来求解。
其他同学都开始埋头计算，小明却坐在那儿直发愣。
我走过去问他怎么了，他愁眉苦脸地说：“老师，这公式我记不住，也不知道咋用。
”我就耐心地跟他说：“小明啊，咱们别着急。
你先看看这个方程，a = 1 ，b = 2 ，c = -3 ，咱们把这些值代入求根公式里。
先算 b² - 4ac ，就是 2² - 4×1×(-3) = 16 。
然后再把其他的值代入公式里，就能算出答案啦。
”小明听了之后，试着算了算，还真算出了答案。
从那以后，小明对求根公式就没那么害怕了，还经常主动找一些题目来练习。
咱们再来说说怎么用这个求根公式解方程。
比如说方程 2x² - 5x + 2 = 0 ，这里 a = 2 ，b = -5 ，c = 2 。
先算 b² - 4ac ，就是 (-5)² - 4×2×2 = 9 。
然后把值代入求根公式，x = [5 ± √9] / 4 ，也就是 x₁ = 2 ，x₂ = 1/2 。
在使用求根公式的时候，要特别注意 b² - 4ac 的值。
如果 b² - 4ac >0 ，方程就有两个不相等的实数根；如果 b² - 4ac = 0 ，方程就有两个相等的实数根；如果 b² - 4ac < 0 ，方程就没有实数根，而是有两个共轭复数根。
一元二次方程的解法汇总
一元二次方程的解法汇总一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程是数学中非常重要的一部分，它在实际问题中的应用广泛，如物理、经济学等领域。
本文将对一元二次方程的解法进行汇总，包括求解公式、配方法、因式分解法和图像法等。
1. 求解公式法求解公式法是最常用的解一元二次方程的方法。
根据一元二次方程的定义可知，其解可以通过求根公式来得到。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示两个解，分别对应加号和减号。
这个公式又称为二次方程的根公式，可以直接带入方程的系数a、b、c来计算方程的解。
2. 配方法当一元二次方程的系数不方便使用求解公式的时候，可以采用配方法来求解。
配方法的基本思想是将一元二次方程的二次项与一次项相乘，使其变为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：- 将一元二次方程写成a(x^2 + b/a*x) + c = 0的形式，其中b为一次项的系数。
- 将方程中的b/a*x一项配方，即加上一个常数使其变为一个完全平方的形式。
- 将方程中的常数项与刚刚配方得到的项合并，得到一个完全平方的二次项。
- 将方程进行因式分解，得到一个一次项与一个完全平方的二次项相乘的形式。
- 令一次项与完全平方的二次项分别等于0，解得方程的解。
3. 因式分解法因式分解法是一种利用因式分解的方法来解一元二次方程的方法。
当一元二次方程的系数较为复杂时，可以尝试使用因式分解法来求解。
具体步骤如下：- 将一元二次方程写成(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式，其中a1、a2、b1、b2为已知常数。
- 将方程进行因式分解，得到两个一次项相乘的形式。
- 令每个一次项等于0，解得方程的解。
4. 图像法图像法是一种通过观察二次函数的图像来求解一元二次方程的方法。
根据二次函数的图像特征，可以直观地确定一元二次方程的解。
一元二次方程解法公式法
一元二次方程解法公式法一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是解法公式法。
一元二次方程解法公式法是通过使用一元二次方程的解法公式来求解方程的根。
解法公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以分别计算出方程的两个根。
我们需要确定一元二次方程的系数a、b、c的值。
然后，代入解法公式中进行计算。
在计算过程中，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
根据判别式的值，我们可以得出方程的根的情况。
如果判别式大于0，则可以直接使用解法公式计算出两个实根。
如果判别式等于0，则可以得到一个实根，另一个实根与之相等。
如果判别式小于0，则可以得到两个虚根，它们是共轭复数。
解法公式法是一种简便而且通用的方法，适用于解任何一元二次方程。
通过解法公式法，我们可以快速求解一元二次方程的根，并得出方程的解的情况。
下面我们通过一个例子来演示一元二次方程解法公式法的具体步骤。
例题：解方程x^2 + 4x + 4 = 0。
根据解法公式法，我们可以得到a=1，b=4，c=4。
计算判别式的值：判别式 = 4^2 - 4*1*4 = 0。
由于判别式等于0，说明方程有两个相等的实根。
然后，代入解法公式计算根的值：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*4)) / 2*1。
化简得：x = (-4 ± √(0)) / 2。
由于根号内的值为0，因此方程的根为x = -2。
经过计算，我们得到方程x^2 + 4x + 4 = 0的解为x = -2。
通过这个例子，我们可以清楚地看到一元二次方程解法公式法的应用过程。
根据方程的系数，确定a、b、c的值，计算判别式，然后代入解法公式进行计算，最后得出方程的根的值。
一元2次方程公式法公式
一元2次方程公式法公式一元二次方程公式法是求解一元二次方程的一种常用方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数，且a≠0。
我们可以利用一元二次方程公式来求解方程的根，即方程的解。
一元二次方程公式的表达式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
其中，±表示两个根的取正负号，√表示开平方，^表示乘方。
我们可以发现，一元二次方程的解一般可以有两个根（即两个解），因此在公式中会有±的形式。
公式中的√(b^2 - 4ac)表示方程的判别式，用来判断方程有几个实根。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，只有复数根。
公式中的2a表示方程中二次项的系数的两倍，可以看作是方程的"系数倍数"。
这个系数倍数的存在是为了保证公式的正确性。
通过一元二次方程公式法，我们可以轻松求解一元二次方程的根。
下面我们通过一个例子来说明一下具体的步骤。
假设有一个一元二次方程为2x^2 + 5x - 3 = 0，我们要求解该方程的根。
根据方程的系数，我们可以得到a=2，b=5，c=-3。
然后，代入一元二次方程公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)中的变量，进行计算。
计算过程如下：判别式D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49根据判别式的值，我们可以判断方程有两个不相等的实根。
根的计算公式为x = (-b ± √D) / (2a)将a、b、D代入可以得到x = (-5 ± √49) / (2 * 2)化简得到x = (-5 ± 7) / 4因此，方程的两个解分别为x1 = (-5 + 7) / 4 = 1/2 和 x2 = (-5 - 7) / 4 = -3。
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对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,能不 能用已知数a、b、c来表示？ 探索：是否可以用配方法来解这个一元二 次方程？
解： ax2 bx c 0(a 0)
b c 1. 移项、化去 x x a a 二次项系数 b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) a 2a a 2a 2. 配方 能直接开平 b 2 b 2 4ac (x ) 方吗？ 2 2a 4a
例2：用公式法解下列方程： (1) x2 2( 5x 3) 1 (2) 2( x2 1) x( x 2) 1
解：(1)化为一般式： x 2 5x 5 0
2
a 1, b 2 5 , c 5 b 2 4ac 20 20 0
b b 2 4ac 2 5 x 5 2a 2
2
∵a≠0，∴4a2>0
3. 开平方
2 b b 4ac 2 当b -4ac>0时，x 2a b 当b2-4ac=0时，x1 x2 2a
当b2-4ac>0时，方程无实数根。
由上述讨论可以得到： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac≥0时，它有两个实数根：
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
这就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式。
例题1：用公式法解下列方程： (1) 5x 2 6 x 1 0 (2) x2 2 2 2 x
解：(1) a=5,b=6,c=1
∴原方程的根是 x1 x2 5
例2：用公式法解下列方程： (1) x2 2( 5x 3) 1 (2) 2( x2 1) x( x 2) 1
2 ( 2 1 ) x 2 x 2 1 0 解：(2)化为一般式：
a 2 1, b 2, c 2 1 b 2 4ac 4 4( 2 1)( 2 1) 8
b2-4ac=62-4×5×1=16
b b 2 4ac 6 16 x 2a 10 64 1 64 即：x1 10 5 , x2 10 1 1 ∴原方程的根是 x1 , x2 1 5
例题1Байду номын сангаас用公式法解下列方程： (1) 5x 2 6 x 1 0 (2) x2 2 2 2 x
x2 x 6 0
x1 3, x2 2
(5) x 2 4 x 1 0
(6) 2 x2 3x 2 0
1 x1 , x2 2 2
x1 2 3, x2 2 3
思索：我们知道一元一次方程ax+b=0(其中a、 b是已知数，且a≠0)的根是唯一存在的，可用 b x a、b表示方程的根是_________
b b 2 4ac 2 8 x 2a 2( 2 1) 22 2 22 2 x1 1, x2 3 2 2 2( 2 1) 2( 2 1)
∴原方程的根是 x1 1, x2 3 2 2
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac≥0时，它有两个实数根：
解：(2) 化为一般式 x2 2 2 x 2 0
a=1,b= 2 2 ,c=-2
b2-4ac=8-4×(-2)×1=16
b b 2 4ac 2 2 16 x 2a 2
即：x1 2 2, x2 2 2
∴原方程的根是 x1 2 2, x2 2 2
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
2. “转化”思想的渗透
作业布置： 1. 练习册17.2(4) 2. 预习17.2(5)
一、课前练习 解下列方程： (1) 3x2 4 0
2 3 2 3 x1 , x2 3 3
你用哪些方法 解这些方程？
2 (2 x 1) 9 0 (2)
x1 2, x2 1
(3) ( x 1)(2x 1) 3x 3 0 (4)
x1 x2 1