基于量子粒子群算法的判断矩阵一致性修正

Ｖｏ１．４０．Ｎｏ．９　Ｓｅｐ，２０１５　火力与指挥控制　Ｆｉｒｅ　Ｃｏｎｔｒｏｌ＆Ｃｏｍｍａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　第４０卷第９期　

２０１５年９月　

文章编号：１００２—０６４０（２０１５）０９－０１２４—０５　

基于量子粒子群算法的判断矩阵一致性修正木　

陈强，陈长兴，牛德智，程蒙江川　（空军工程大学理学院，西安７１００５１）　

摘要：对层次分析法中判断矩阵一致性调整存在的问题进行了分析。把原始判断矩阵认为是理想矩阵受干扰　后形成的构造偏差矩阵，在达到基本一致性阈值的前提下使偏差矩阵修改量最小，建立了判断矩阵一致性修正的非　线性规划模型。针对遗传模拟退火法收敛结果陷入局部最优的问题，设计了量子粒子群算法求解非线性规划，并和　文献的算法进行对比，最后给出算例结果证明该优化算法更简单有效。　关键词：判断矩阵，一致性，非线性规划，量子粒子群算法　中图分类号：ＴＰ３０１．６　文献标识码：Ａ　

Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ　Ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉ０ｎ　０ｆ　Ｊｕｄｇｍｅｎｔ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｂａｓｅｄ　０ｎ　Ｐａｒｔｉｃｌｅ　Ｓｗａｒｍ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｂｅｈａｖｅ　

ＣＨＥＮ　Ｑｉａｎｇ，ＣＨＥＮ　Ｃｈａｎｇ－ｘｉｎｇ，ＮＩＵ　Ｄｅ－ｚｈｉ，ＣＨＥＮＧＭＥＮＧ　Ｊｉａｎｇ－ｃｈｕａｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ａｉｒ　Ｆｏｒｃｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’吼７１００５１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ　ｉＳ　ａｓｓｕｍｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ　ｏｆ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｉＳ　ｆｏｒｍｅｄ　ａｆｔｅｒ　ｉｔｓ　ｉｄｅａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ｄｉｓｔｕｒｂｅｄ．Ａｓ　ａ　ｒｅｓｕｌｔ，ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｏｒ　ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ，ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ　ｑｕａｎｔｉｔｙ　ｃａｎ　ｂｅ　ｍｉｎｉｍａｌｌｙ　ｍｏｄｉｆｉｅｄ　ａｎｄ　ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｉＳ　ａｌｓｏ　ａｔｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｎ　ａ　Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｄｅｌｔａ—Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ—Ｗｅｌｌ—ｂａｓｅｄ　Ｐａｒｔｉｃｌｅ　Ｓｗａｒｍ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　（ＱＤＰＳＯ）ｉｓ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｍｏｄｅ１．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ，ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ＱＤＰＳＯ　

０　引言　层次分析法…（Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　Ｈｉｅｒａｒｃｈｙ　Ｐｒｏｃｅｓｓ，即　ＡＨＰ）是于２０世纪７０年代由美国运筹学家萨迪（Ｔ．　Ｌ．ｓａａｔｙ）提出来的一种多准则决策方法，它把一个复　杂的决策问题表示成一个有序的递阶层次性结构，　再把各属性问题数学化，将人为主观性判断的定性　分析通过两两比较的形式构造判断矩阵转化为定量　化数值，ＡＨＰ以其思路条理清晰、方法结构简单、适　用实用性强、系统性显著等诸多特点，目前已在工程　应用、社会生活和经济管理方面得到了广泛的应用，　是目前系统建模领域的重要方法和理论之一＿Ｉ　］。　但是ＡＨＰ在实际应用中由于专家水平观念的差异　导致形成的判断矩阵往往不具备基本的一致性。目　前，一致Ｉ生调整的方法很多，主要有：诱导矩阵法［５］，　利用原判断矩阵和通过构造的完全一致性矩阵加　权求和的修正方法［６］、模式识别法　、向量余弦夹角　法［８］等，但大多都是局部修正，没有较好地保留专　家信息，偏差太大，所以都不是行之有效的方法。其　中文献［９］的基本思路是将一致性调整问题转化为　ＢＰ神经网络模型，通过构建完全一致性矩阵作为　ＢＰ神经网络的调整方向（教师信号），运用ＢＰ神经　网络算法使得原判断矩阵一致性逼近教师信号，输　出结果返回专家组确认符合萨迪标度。文献［１０］通　过建立非线性规划，同时设定一致性阈值，运用模拟　退火算法寻求最优解。　针对文献［１０］提出的：①全局最优解是否存在　且唯一；②求解线性规划更简单有效的算法，本文　

收稿日期：２０１４—０８－０５　修回日期：２０１４－０８—２７　；Ｉｃ基金项目：陕西省自然科学基础研究计划基金资助项目（２０１４ＪＭ８３４４）　作者简介：陈强（１９８９－），男，江西南昌人，硕士。研究方向：数据链效能评估与仿真建模。　

・１２９・　（总第４０—１６２６）　火力与指挥控制　２０１５年第９期　在总结和综合前人工作和研究成果基础上，笔者提　出了运用量子粒子群算法优化非线性规划问题，最　后给出算例证明。　

１　判断矩阵一致性调整算法　１．１基本概念与基本定理　为了论述的合理性和严密性，以下简要引述了　部分相关的ＡＨＰ概念，完整信息可查阅文献［２］。　定义１若矩阵Ａ＝（嘶）…满足：　１）非负性：　＞０，（ｉ　＝ｌ，２，…凡）。　２）互反性：　１，（ｉ，ｊ＝ｌ，２，…ｎ）。　３）对角线元素为１：％＝１，（ｉ＝１，２，…／／，）。　则称Ａ为ｎ阶正互反判断矩阵。　定义２　Ａ为ｎ阶正互反判断矩阵，若以下成　立　＝　，　ｉ．／，ｋ＝ｌ，２，…　）则称矩阵Ａ为ｔ／，阶完　

全一致性正互反矩阵。　定理１：对于正互反矩阵Ａ＝（　）…，如果施加式　（１）的数学变换，则由此构造的矩阵为完全一致性矩　阵。　

＝∑　／∑　Ｊ　（ｆ、　＝１，２，…　）　（１）　ｔ＝１　，＝ｌ　定理２：矩阵Ａ为完全一致性矩阵的充分必要　

条件是：Ａ＝　＝（口　）…；　定理３：近似计算判断矩阵Ａ＝（％）…特征向量　和积法的具体求解步骤由于篇幅限制不再陈述，具　

ｍｉｎ∑∑（　）　ｉ＝１　ｊ＝ｉ＋ｌ　判断矩阵一致性指标通常认为是　

ａ　１　缶ｉｉ　ｉ，　（　＋　－２）＇女Ⅱ果Ａ为完全一致　

性矩阵，则ＣＩ＝Ｏ，为了达到满意一致性必须使　ＣＩ＜Ｏｄ，故设立一致性指标阈值　修正后的判断矩　阵偏离总量必须满足　１　缶ｒ＃　￣Ｌ（　＋　＋专＋　－２）＜西　才能　

达到满意的一致性要求，同时为了满足判断矩阵的　互反性，必须使得修改后的总量　＋岛＞０（　＜　ｏ这　样就构造了一种通过设定一致性阈值而达到最少修　改量的方法，具体的非线性规划问题如下：　

ｎ∑∑　）２　

ｃ，＝　婪（　竹２）＜　’　＋孱＞０　求解以上非线性规划问题得到的解　（　），从而　ｆ　＋　，ｉ＜Ｊ　修改后的　｛—　，ｆ＞　【　＋　

……　脚…ｃ　＝　理想完全一致性矩阵，但受专家观念水平的差异，特　别是在比较对象复杂且繁多的情况下，专家给出的　判断矩阵往往是有误差的，不满足一致性要求，如果　把　矩阵当成Ａ是被扰动后的矩阵，即有：　产ａ　Ｌ／／￣　

ｆ　

其中　＞ｏ，　＝　。因此　＝　，当且仅当　＝１，　一　一“　（　，　∈１，２，…ｎ）时，Ａ为完全一致性矩阵。　

１．２算法模型　为了力求最大限度地忠实于原判断矩阵，尽可　能地保留专家的有用信息，用最少的修改量达到最　好的满意度，基于文献［１０］的部分思想笔者设计如　下。　假定对判断矩阵Ａ的每个元素偏离量设为％，　因为Ａ是正互反矩阵，所以对判断矩阵上三角修改　量记为岛，要求总的修改量最少，记为　

・１３０・　

∑　／＝１　∑　ｌ＝１　

即为修改之后的判断矩阵。　

为Ｊ论还的多芒整性和严　性，　卜回对　ａ　１　善（　＋　＋玄＋　一２）＜　是否满　１　

足满意的一致性进行讨论。　２非线性规划模型的求解　

设ｗ　＝（　，ｗ。　，…，　）为　最小的偏差排序向　量，则Ａ　（　）　。　

给出定理：　

ｉ＝１轰　＋专　＜　

兰ｉ＝１　ｃ　＋　一２　ｃ３　

根据和积’泱的求解公式有．　陈强，等：基于量子粒子群算法的判断矩阵一致性修正　（总第４０—１６２７）　—　Ｗ　

（４）　

若Ａ＝（　）…为完全一致性矩阵，则Ａ中任意　两列的对应元素成比例（证明见文献）。　

即有：　＝∑口　，／∑　，为了尽可能保留专　Ｊ　ｉ＝１　／ｉ＝１　家判断信息的完整性，同时极大地简化了运算步骤，　

／　笔者用乙ａ“／己　近似替代原判断矩阵权重向量　

，算例结果证明是可行且简便的。同文献［１０］证　明，由定理可知　

。（　＋　－４－　１　—２）＜西时可以　

作为一致性阈值条件，满足满意的一致性要求。　粒子群算法（Ｐａｒｔｉｃｌｅ　Ｓｗａｒｍ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＰＳＯ）　是一种基于群体智能理论的新兴优化算法，它是通　过群体中粒子间的竞争与合作过程产生的群体智能　引导优化搜索［“］。ＰＳＯ的本质思想是利用自身信　息、个体的极值信息和全局极值３个数值信息指导　粒子下一步迭代位置。量子粒子群优化算法　（Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｄｅｌｔａ—Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ－Ｗｅｌｌ—ｂａｓｅｄ　Ｐａｒｔｉｃｌｅ　Ｓｗａｒｍ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＱＤＰＳＯ）是在量子空间基于量子理论　针对ＰＳＯ陷入局部最优解的问题推导出来的一种　优化算法，其优点是能在整个空间最大限度地搜索　全局最优解，不容易陷入局部最优，克服了遗传退火　法“过早收敛，收敛速廖陧”等问题，极大地提高了算　法的性能，在充分保留专家信息的前提下，提高了判　断矩阵的一致性，达到了满意的一致性要求［１２］。笔　者是基于文献［１０］求解非线性规划的最优解，寻求　最佳的一致性调整方法。　２．１适应度函数　即非线性规划的目标函数：ｍｉｎ∑∑（　）　。　２．２约束条件的处理　非线性规划中有２个约束条件，即：　ｊ　Ｋ－）　ｉ＝１　ｊ　＝ｉ＋ｌ　坩　－２）＜　【　＋岛＞０　（５）　由于在ＰＳＯ算法中需要对粒子赋初值，对约束　条件的处理就是要使代表决策变量的粒子值位于不　等式约束条件的范围内。此处决策变量　共有　（Ｆ／，２－ｎ）／２个，即分别为卢。　，卢　，，…，　。　，对　所赋　的粒子初值要同时满足不等式（５）中的两个不等式。　由于式（５）中的第１个不等式为非线性不等式较难　处理，所以采用前（ｎ２－ｎ）／２—１个岛在满足式（５）中　第２个不等式的条件下赋初值。获得了前（凡２＿ｎ）／　２－１个　的初值后，式（５）中的第１个不等式变为　只含有一个未知量　。　的非线性不等式，在该不等　式的条件下对　，　赋初值，这样就完成了所有　的　赋初值要求，且可以保证各初值满足不等式（５）。　接下来给出　赋初值的具体实现过程。首先在　满足式（５）中的第２个不等式条件下对前（ｎ２－ｎ）／　２—１个　赋初值，使得　＞一蛳。给定任意随机数　ｒａｎｄｎ，ｒａｎｄｎ∈（一∞，＋∞），贝４　ｅ　＞０，这样　ｅ　ｒａｎｄｎ一　＞一　，这样就可以对　赋初值为：　＝ｅ　一　，显然　满足　＋岛＞０的要求。　在得到前ｎ２－ｎ）／２一１个岛的初值后，式（５）中　第１个不等式转化为：　１　（　一１，　＋　一１，　＋—————二—　——一十一２）＋　’　ｎ一１，ｎ＋　一１。ｎ　ｃ＜　ｆ　一１）ＣＩ　Ｌｏ　其中　ｈ为已知，ｃ为根据式（５）中第２个不等　式对　赋初值后的前　（Ｈ２－ｎ）　２一　个（　＋　＋　÷　一２）的和，即：　’　ｏ￡　ｌ，　（　－Ｉ－　－Ｉ－。　１—２）。　求解关于　的一元二次方程