江苏专用2018版高考数学大一轮复习4.5简单的三角恒等变..._1684149378.ppt
高考数学大一轮复习 4.6简单的三角恒等变换课件 理 苏教版
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
b 其中 sin φ＝ a2＋b2 ，cos φ＝
a a2＋b2 .
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( × )
(2)设 α∈(π，2π)，则
1－cosπ＋α
二看名，三看式子结构与
特征.
(2)三角函数式化简要注意
观察条件中角之间的联系
(和、差、倍、互余、互补
等)，寻找式子和三角函数
公式之间的共同点.
解析
例 1 (2)已知 sin α＝21＋cos α，
且 α∈(0，2π)，则sicnoαs－2απ4的值
为
.
答案
思维升华
解析
∴例 且方s法 1iαn∈一α(－(20)，已c∵o2πs知s)αi，n＝siα则n21＝，sαi12＝cn＋oαs21c－＋2oαsπ4coα的s，α值，
值为23.( √ )
题号
1 2 3 4
答案
sin α
－
6 3
－3 5 2 π 2
解析
由已知 cos α＝－53，
∴sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝ 2sin(α＋π4＋4π) ＝ 2cos α＝－35 2.
解析
题型一 三角函数式的化简
求值
例 1 (1)已知 0<θ<π，化简：
1＋sin θ＋cos θsin2θ－cosθ2 2＋2cos θ
∵α∈(0，2π)，
答案
思维升华
解析
答案
例 1 (2)已知 sin α＝21＋cos α，
且∴＝sαin∈α1(＋0＋，c34o2π＝s)α，＝27则，ssicnino2αsα－2＋απ4co的s2值α＋2sin αcos α
简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习
所以矩形ＡＢＣＤ面积的最大值为８－４√３．
则
［溯源点评］两题的区别在于扇形内接矩 ＡＢＣＤ方式不同，考虑该问是否能转化为更简单、熟悉来解决．根据图对称性作∠ＰＯＱ平分线别交ＡＤ，ＢＣ于点ＦＥ从而使整个问题又回到教材中的．
谢观赏！
Ｃ
Ａ Ｄ． ５＋３
ＢＣ＝５－１ Ｂ
金三角形．如图，在黄△ＡＢＣ中
ｃ．５＋４
Ａ．２×５－１Ｂ．＋
又因为ｃｏｓ２３６°＋ｉｎ＝１，
【解析】选Ｂ．由题设，可得ｃｏｓ ７２°＝１－ｉｎ３６Ｖ５所以ｃｏｓ２３６°＝１５＋，又 ∈（Ｓ所以ｃｏｓ ３６°＝（９０－５４）ｉｎ１＋
４
３．已知ａ，β∈（０π）且ｔｎ－＝ 则２α的值为【解析】因为ｔａｎ ＝［（－β）＋］ｍａ－＋ 所以ａｍ （２０－Ｂ＋ｔ＝１．＞０， 又因为ａｎ２＝－ｍ１３＞０，所以Ｏ＜ａ２ 所以０＜２α 因为ｔａｎ β＝－＜０，所以＂＜βπ，－２ａ０．所以２ａ－β＝３４
－ｓｉｎ２ａ＋６ ｃｏ＝１）（３ 因此，当α＝＂时矩形ＡＢＣＤ的面积最大为【解析】在Ｒｔ△ＯＢＣ中，＝ｃｏｓ ａｉｎ．
０Ａ＝ｔａｎ ＂＝√３．
在Ｒｔ△ＯＡＤ中，
ＯＡ＝Ｄ３Ｂｃｓｉｎａ，
ＡＢ＝Ｏ－ｃｏｓ αｉｎａ．
所以当２ａ＋６＝，即α时 最大＝１６－
三角恒等变换中的最值问题
矩形ＡＢＣＤ内接于扇，∠ＰＯ＝ａ
４．（忽视隐含条件）已知２ｓｉｎ α＝１＋ｃｏａ，则Ｂ．２Ｄ．２ ｔａｎ２＝１ｓｃｏａ＝
Ａ．２ Ｃ．２或不存在 α≠ｋπ＋（∈Ｚ）时，
核心考点·分类突破
［例１］（）函数ｆｘ＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ－可以化简为Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－＂）Ｄ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋＂）
考点一三角函数式的化简 Ａ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－３）Ｃ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋３）【解析】选Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ １－ｃ２ｓｘ＋ｉｎ ＝ ｓｉｎ２ｘ－１ｃｏ（５）
高考数学文科江苏版1轮复习课件第3章三角函数解三角形4第4讲简单的三角恒等变换
所以 f??π8??＝ 1 π＝ 2.
sin4
三角函数的求值问题 已知34π<α<π，tan α＋ta1n α＝－130. (1)求 tan α 的值；
(2)求5sin2α2＋8sin2sα2inco??sα－α2＋π4??11cos2α2－8的值．
1．必明辨的 1 个易错点 化简过程中忽视等价变形致错． 2．必会的 3 种方法 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法 通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手 法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公 式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变形 公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”．
【解】 (1)因为 tan α＋tan1 α＝－130， 所以 3tan2α＋10tan α＋3＝0， 解得 tan α＝－13或 tan α＝－3. 因为34π<α<π，所以－ 1<tan α<因为 tan α＝－13，
所以5sin2α2＋8sin
α 2cos
(3)证明：要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化 同名、不同角则化同角，利用公式变形即可；对条件证明问 题，要尽量化未知角为已知角．
1．化简cos（30°＋θ）co＋s cθos（30°－θ）的结果为___3__． [解析] cos（30°＋θ）co＋s cθos（30°－θ）＝
2cos
第三章 三角函数、解三角形
第4讲 简单的三角恒等变换
常见的三角恒等变换有三种形式：化简，求值，证明． (1)化简：要求是项数尽量少，次数尽量低，能求值的则求值， 常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式 及和、差、倍角公式进行转化求解． (2)求值：分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充 分利用条件进行转化求解，注意尽量用已知角表示未知角．
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为
，求θ的最小值.
解答
引申探究 π
在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移 6 个单位长度，得到g(x)的图象，
解答
求由g(x()1的)知解f析(x)式＝，5s并in(写2x出－gπ6()x，)图因象此的g(对x)＝称5中si心n[2. (x＋π6)－π6]＝5sin(2x＋π6).
1 2.(教材改编)将y＝ 2 sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐
sin x 标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝______.
答案 解析
将函数 y＝12sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，
横坐标不变，便得到函数 f(x)＝2×12sin x＝sin x 的图象.
(2)求 ω，确定函数的周期 T，则 ω＝2Tπ.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上
还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体
如下：“第一点”(即图象上升时与x轴π的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象 2
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令 2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得 x＝k2π－1π2，k∈Z.
即 y＝g(x)图象的对称中心为(k2π－1π2，0)，k∈Z.
思维升华
(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量 代换，设z＝ωx＋φ，由z取0， π2，π，，322ππ来求出相应的x，通过 列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. (2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象， 有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质课件文苏教版
因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，
π π 所以 y＝－tan x 的单调递减区间为(－2＋kπ，2＋kπ) (k∈Z).
sin 11° ＜sin 168° 3.(教材改编)sin 11° ， cos 10° ， sin 168° 的大小关系为_________________ ＜cos 10° 答案 _________.
奇偶性
奇函数 _______
偶函数 _______
π (2＋kπ，0) (k∈Z) ________________
奇函数 _______
对称中心
对称轴方程 周期
(kπ，0)(k∈Z) ____________
π x＝2＋kπ(k∈Z) _______________
kπ ( 2 ，0)(k∈Z) _____________
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，( π ，0)， 2 (π，－1) ，( 3π ，0)，(2π，1). 2
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 值域
R ___ [－1，1] ________
2 π (6)若 sin x> 2 ，则 x>4.( × )
考点自测
π 1.函数f(x)＝cos(2x－ π )的最小正周期是____. 6
答案 解析
2π 2π 最小正周期为 T＝ ω ＝ 2 ＝π.
π π (－2＋kπ，2＋kπ)(k∈Z) 2.(教材改编)函数y＝－tan x的单调递减区间是______________________.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第3节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
第二十三页，共56页。
(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
第十二页，共56页。
考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
第十三页，共56页。
【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
第十八页，共56页。
cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
第十九页，共56页。
解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 三角恒等变形 第1课时 三角恒等变形教师用书
第1课时三角恒等变形教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5 三角恒等变形第1课时三角恒等变形教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5 三角恒等变形第1课时三角恒等变形教师用书文北师大版的全部内容。
变形第1课时三角恒等变形教师用书文北师大版1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β,（Cα－β）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，（Cα＋β)sin(α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，(Sα－β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β,（Sα＋β)tan（α－β）＝错误!，（Tα－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β。
(Tα＋β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；(S2α)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)tan 2α＝错误!.(T2α)【知识拓展】1．降幂公式：cos2α＝错误!，sin2α＝错误!.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α.3．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ），其中sin φ＝错误!，cos φ＝错误! .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √）（2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)（3）若α＋β＝45°,则tan α＋tan β＝1－tan αtan β。
【步步高】2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第四章4.5第2课时简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ . (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)4－3310解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝4－3310. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝ . (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118B ．－118 C.1718D ．－1718 答案 (1)－1 (2)D解析 (1)cos x ＋cos(x －π3) ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos(x －π6) ＝3×(－33)＝－1. (2)cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 题型二 三角函数的求值命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12解析 ∵α为锐角，∴sin α＝1－(17)2＝437. ∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2， ∴cos(α＋β)＝－1114. cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12. (2)(2015·广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π4)的值； ②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. ②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4C.7π4D.5π4或7π4 (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 (1)C (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)， ∴α＋β＝7π4. (2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－(13)2＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4. 引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ . 答案 π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ .(2)(2016·成都检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( )A.7π4B.5π4C.5π4或7π4D.3π2 答案 (1)268 (2)A 解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1 ＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝268.(2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0， 所以2α∈[π2，π]， 所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]， 又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]， 所以β－α∈[π2，π]， 所以cos(β－α)＝－31010， 因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×(－255)＋(－31010)×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22， 又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4，故选A. 题型三 三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是 ⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减． 思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 ．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 ． 答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分] (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分] 从而当0≤2x －π3≤π2， 即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分] 当π2≤2x －π3≤π， 即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．[12分]1．(2016·青岛模拟)设tan(α－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4答案 C解析 因为tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－4，故选C. 2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725答案 D解析 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 3．(2016·福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．6答案 D解析 sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 4．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 5．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2 答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)， ∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， 由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2. 6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z )． ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 7．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ． 答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8.8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ .答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 9．化简：3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ . 答案 －4 3解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23(12sin 12°－32cos 12°)cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是 ． 答案 3－1 解析 f (x )＝3sin 23x －(1－cos 23x ) ＝2sin(23x ＋π6)－1， 又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤23π， ∴f (x )min ＝2sin 23π－1＝3－1.11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值； (2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)． 解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)， 所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4) ＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)． 又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)， 所以cos α＝－45， 所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45) ＝10＋32－4620. 12．(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. *13.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值． 解 (1)f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )． 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
最新-2018届高考数学一轮复习 三角函数及三角恒等变换 同角三角函数的基本关系式及诱导公式调研课件
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1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ sinx
cos2α ＝ 1， cosα ＝ tan α ， 掌 握 已 知 一 个 角 的 三 角 函 数 值 求 其他三角函数值的方法．
π 2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(2 ±α，π± α的正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式求三角函数 值，感受诱导公式的变化规律．
【解析】
cos(π＋x)＝－cosx＝35，
∴
cosx＝－35<0.∴
x∈
3π (π， 2 )．
此 时 sinx＝－45， ∴ tanx＝43， 故选 D.
【答案】 D
4 (2)(09·北京)若sin θ＝－5，tanθ >0，则cos θ＝ ____________. 【解析】 ∵sinθ <0，tan θ >0，θ在第三象限内，
分式，分母为1，将1变为sin2α＋ cos2α，便可顺利求解．
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴4sin2α－3sinα cosα－5cos2α
4sin2α－ 3sinαcosα－5cos2α 4tan2α－ 3tanα－ 5
＝
sin2α＋ cos2α
＝
tan2α＋ 1
＝1
sinα
解法二 ∵tanα＝2，即
2tanα－3 2×2－3 原 式＝4tanα － 9＝4× 2－ 9＝ － 1.
2sin2α－3cos2α 2tan2α－3 2×22－3 5 (2)4sin2α － 9cos2α ＝4tan2α － 9＝ 4× 22－ 9＝7.
(3)与 (1)(2)不 同 ，但注意 到式子有 二次齐次 式， 不妨把其 看成