12[1].4椭圆的性质
椭圆的简单性质(第2课时)课件(北师大选修1-1)
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)由题意知 m＝2，椭圆方程为x42＋y2＝1，c＝
4－1＝ 3，
∴左、右焦点坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点 到同侧顶点的距离为 3； (3)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)∵2a＝2×2b， ∴a＝2b，当焦点在 x 轴时，方程为4xb22＋by22＝1，
b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44 163 691.
第2课时 椭圆方程及性质的应用
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.会应用椭圆的简单几何性质解决与椭圆相关的问题． 2.会应用椭圆的简单几何性质解决相关的实际问题． 3.会判断直线与椭圆的位置关系.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.椭圆中与焦点相关的三角形问题．(重点) 2.与航天器运行轨道相关的应用问题．(难点) 3.直线与椭圆的交点问题．(易混点)
工具
第二章 圆锥曲线与方程
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推 进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问 飞船巡天飞行的平均速度是多少？(结果精确到1 km/s)
本题主要考查椭圆的基础知识及应用，明确近地点、远地 点是解题的关键．
第一课时 椭圆及其性质
3
且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ( C ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.2
考点突破 栏目索引
(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x. 在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|·cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x· cos∠BF2F1①,
在△AF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1, 即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1②, 由①②得x= 3 ,所以2a=4x=2 3 ,a= 3 ,所以b2=a2-c2=2.
+
y2 b2
=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点
的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则
(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;
教材研读 栏目索引
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos θ;
栏目索引
=4a2-4c2=4b2,
∴S
PF1F2
=
1 2
r1r2=b2=9,
∴b=3.
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椭圆的简单几何性质(第1课时)(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
)
3
的离心率为 2 ，则m=(
)
D．23
【做一做3】在Rt ∆中， = = 1，如果一个椭圆通过A､B两点，它的一个焦点为点C，
另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率e=（
A． 3 − 2
B． 2 − 1
C． 3 − 1
）
D． 6 − 3
（三）典型例题
1.利用椭圆的方程研究几何性质
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
2 = 5 × 2
=5
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1；
25
=5
=1
2
若焦点在y轴上，设其标准方程为 2
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
y2
2 = 5 × 2
= 25
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为25 + 625＝1.
1．通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？
[提示] 椭圆C1上的点：－5≤x≤5，－4≤y≤4.椭圆C2上的点：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
2
2.椭圆2
+
y2
=1(a>b>0)上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(－x，y)也满足方程．这说明椭圆
2
的图形有什么性质，类似地还有什么性质？
②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如一；
e越趋向于0越圆，形如O.
（二）椭圆的简单几何性质
2
【做一做1】已知椭圆C:2
1
A.3
B.
椭圆的几何性质(简单性质)
3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
主页
【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ， 构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3， 所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)． 设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，
人教版数学选择性必修第一册3_1_2椭圆的简单几何性质课件
用标准方程研究几何性质的步骤
方
法
总
结
(1)将椭圆方程化为标准情势；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意]
长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，
而应是a，b，c的两倍．
跟踪训练
2
1．已知椭圆C1：
100
+
2
64
＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、
短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
有何变化？
课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
2
(1)椭圆 2
+
2
＝1(a>b>0)的长轴长等于a
2
( × )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c ( √ )
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( √ )
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( B )
可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求
2
2
2
参数．列方程(组)时常用的关系式有b ＝a －c ，e＝ 等．
跟踪训练
2．求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝
6
3
；
2 2
(3)过点M(1,2)，且与椭圆 ＋
解得k1＝ ，k2＝ ，故 ＋ ＝ 或 ＋
4
2
12
6
4 12
6
2 2
即所求椭圆的标准方程为 ＋ 9
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。
在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。
椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。
准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。
准线的长度定为2b（短轴）。
椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。
3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。
副轴是短轴，长度为2b。
长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。
4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
我们把这个距离之和称为焦准距。
对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。
5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。
离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。
当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。
离心率越接近于0，椭圆形状越扁。
6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。
标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。
7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。
即PF1+PF2=2a。
8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。
椭圆知识点归纳总结
椭圆知识点归纳总结椭圆的定义可以用数学表达式表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中a和b分别表示椭圆的主轴长度和次轴长度，椭圆的标准方程为椭圆定点到F1、F2的距离之和等于常数2a的定点轨迹的数学描述。
椭圆是一种非常基本的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
本文将对椭圆的性质、参数方程、焦点、直径、离心率、焦距、渐近线、面积等方面进行归纳总结。
第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的对称性1.4 椭圆的离心率和焦点第二部分：椭圆的参数方程和一般方程2.1 参数方程和一般方程的含义2.2 椭圆的参数方程2.3 椭圆的一般方程第三部分：椭圆的焦点、直径和离心率3.1 椭圆的焦点特点3.2 椭圆的直径特点3.3 椭圆的离心率特点第四部分：椭圆的焦距和渐近线4.1 椭圆的焦距含义4.2 椭圆的渐近线含义4.3 椭圆的焦距和渐近线的性质第五部分：椭圆的面积和周长5.1 椭圆的面积公式5.2 椭圆的周长公式5.3 椭圆的面积和周长的计算方法第六部分：椭圆的相关定理和实例分析6.1 椭圆的凸性定理和实例分析6.2 椭圆的垂直切线定理和实例分析6.3 椭圆的切线与法线定理和实例分析结论部分：椭圆的应用和拓展7.1 椭圆在日常生活中的应用7.2 椭圆的拓展和推广第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的主轴长度。
椭圆的主轴长度决定了椭圆的大小和形状。
椭圆的参数包括主轴长度a、次轴长度b、焦距2c、离心率e等。
其中焦距2c和主轴长度a之间有关系：c^2 = a^2 - b^2。
离心率e的计算公式为：e = c/a。
主轴长度a和次轴长度b决定了椭圆的形状，焦距2c和离心率e描述了椭圆与焦点之间的距离关系。
1.2 椭圆的性质椭圆具有许多特殊的性质，如平行轴定理、离心角定理、矩形椭圆定理等。
新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(学生版)
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[思路点拨]
[题后感悟]已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
变式训练：
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
三、巩固拓展
●必做：教材第49页，习题2.2 A组第8、9、10题，B组第1、2、3、4题
●补充作业：
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆 ＋ ＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()
A．8,2B．5,4C．9,1D．5,1
2．已知F1、F2为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝ ，则椭圆的方程是()
，则动点 的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程：若焦点在 轴上，则左准线是 ；右准线是 ；
若焦点在 轴上，则下准线是 ；上准线是 ；
3、椭圆上任意一点 的焦半径（其中， 为左焦点， 为右焦点）：
，
（若焦点在 轴上，其中， 为下焦点， 为上焦点，则 ，
●典例导析：
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
8．(10分)如图，椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，
x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程．
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2
相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质引言椭圆是几何学中常见的曲线，具有许多有趣和重要的性质。
在本文档中，我们将讨论椭圆的一些基本几何性质，包括定义、形状、焦点和直径等方面。
通过了解这些性质，我们将更好地理解椭圆的特点及其在现实世界中的应用。
定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于到一定长度（称为主轴长度）的定点（称为短轴长度）的距离。
换句话说，椭圆是一个点对的加权平均轨迹，并且总距离恒定。
形状椭圆的形状由其焦点之间的距离和主轴的长度确定。
较大的焦点之间的距离，或较短的主轴长度，将导致一个更扁平的椭圆，而较小的焦点之间的距离，或较长的主轴长度，将导致一个更靠近圆形的椭圆。
焦点和直径椭圆的定义中提到了焦点，它们在椭圆的构造中起着重要的作用。
对于任何给定的椭圆，焦点的数量是固定的，通常为两个。
这些焦点位于椭圆的主轴上，并且距离椭圆中心的距离等于椭圆的短轴长度。
椭圆的直径是经过椭圆中心的任意两点之间的线段。
一个有趣的性质是，椭圆的任何直径都会通过椭圆的两个焦点之一。
这个性质与其他几何形状，如圆或矩形不同，因此是椭圆独特的特点之一。
离心率离心率是一个用来度量椭圆形状的参数。
它定义为椭圆的焦距之间的比值与主轴的长度的比值。
离心率越接近零，椭圆的形状越接近于圆形；离心率越接近于一，椭圆的形状越扁平。
离心率是椭圆形状的一个重要特征，它对于许多应用领域具有重要意义，比如天文学中行星轨道的研究，或物理学中的电子轨道模型等。
弦在椭圆中，一条弦是连接椭圆上任意两点的线段。
一个有趣的性质是，通过椭圆上两个给定点的弦的长度之和是恒定的。
这个性质可以通过椭圆的定义和三角形的性质进行证明。
弦的垂直性质椭圆还具有一个有趣的性质，即通过椭圆上两个给定点的弦和通过这两个点的切线之间的夹角是直角。
这个性质称为弦的垂直性质，它对于椭圆的建模和分析非常有用。
总结椭圆作为几何学中的重要曲线，在许多领域都具有广泛的应用。
通过了解椭圆的基本几何性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，从而在实际问题中得到更准确和有意义的结果。
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点差法
主要适用于题中涉及到中点和斜率的 问题。
步骤：
(1) 设两交点为A(x1,y1), B(x2,y2); (2) 把A, B坐标代入曲线方程中；
(3) 将两式作差，整理化成左边为斜率
(4) 再将中点坐标代入。
点差法
例5. 斜率为2的直线l交椭圆 x 2 y 1 于 两点A,B，求线段AB中点的轨迹方程。 导学练：P-75
2 2
点差法
x2 y2 1 ，它的一条弦AB被 例4. 已知椭圆： 16 4 点M(1,1)平分，求AB所在的直线方程。导学练：P-73
A
解： 设：A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x12 则 16 2 x2 16 ① ② y12 1 4 2 y2 1 4
y
6 6 , , 3 3
o
x
x2 y 2 （2）求直线x 2与椭圆 1的交点个数 4 2 一个
动点轨迹问题
例1、已知ABC的边BC长为8，周长 为 ，求顶点A的轨迹方程。 18 y 解： 以BC的中点为原点，BC为x轴
5x 2 2mx m2 1 0 （2）设弦的两个端点为：A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 2m m2 1 则 x1 x2 , x1 x2 5 5 而 | AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
解： O1 (1,0), O2 (1,0)
设动圆圆心P(x,y), 动圆半径为r 由题意： | PO1 | 1 r | PO2 | 3 r | PO1 | | PO2 | 4 由椭圆定义，点P的轨迹是 以O1，O2为焦点的椭圆。
P
O1 o O2
x
定义法求轨迹
∴点P的轨迹是
2a 4 a 2 且 b2 3 2c 2 c 1
例5. 斜率为2的直线l交椭圆 x 2 y 1 于 两点A,B，求线段AB中点的轨迹方程。 导学练：P-75 解：设直线AB的方程为： y y 2x m A 联立方程 y 2 x m 2 o x x 2 y2 1 B x2 2(2x m)2 1 2 2 9 x 8mx 2m 1 0 64m2 4 9(2m2 1) 0 x 4m 9 x 3 2 3 2 m m y 4 2 2 y 设：A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 9 AB中点M(x,y) x1 x2 4m 轨迹方程为 x 4 y 0 则 x 2 2 2 2 2 m9 ( x ) y 2x m 3 3 9
例1、已知椭圆 x 2 y 2 1，直线l : x y m 0 4 （ ）讨论直线与椭圆的位 1 置关系 （2）求l被椭圆截得的最长弦所 在的直线方程 导学练：P-73 解：(1) x y m 0 4x2 ( x m)2 1 2 4x y2 1
2 2
解： 设：A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则 x12 2 y12 1 ① ②
o
B
y
A
x
x 2y 1
2 2 2 2
2 2 2 2 ① ② ( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 0
( x1 x2 )( x1 x2 ) 2( y1 y2 )( y1 y2 ) y1 y2 x1 x2 x 4y 0 2 2 x 2 2 x1 x2 2( y1 y2 ) 3 x 2 y 1 2x 2 即 x 4 y 0 ( 2 2 x 2 2 ) 2 2y 3 3
M
① ②
B
o
x
2 2 x12 x2 y12 y2 0 16 4
y1 y2 x1 x2 x1 x2 4( y1 y2 ) 2 1 即 k 4 2 4
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y y2 )( y1 y2 ) 直线AB: 1 16 4 x 4y 5 0
x2 y 2 1 4 3
x2 y2 1 ，它的一条弦AB被 例4. 已知椭圆： 16 4 点M(1,1)平分，求AB所在的直线方程。导学练：P-73
解：设直线AB的方程为：
y k ( x 1) 1
A
y
M B
y k ( x 1) 1 o x 联立方程 x2 y 2 1 16 4 2 x 2 4 k ( x 1) 1 16 (1 4k 2 ) x2 (8k 2 8k ) x 4k 2 8k 12 0 设：A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 1 k 8k 2 8k 4 则 x1 x2 1 2 直线AB: y ( x 1) 1 1 4k 4 8k 2 8k 由题意 2 2 即 x 4y 5 0 1 4k
椭圆的性质
（三）
椭圆与直线的位置关系
相交 相切 二个 一个 0个 相离
注意观察交点个数。
直线与椭圆位置关系的判断方法
x2 y 2 直线Ax By C 0与椭圆 2 2 1(a b 0) a b
[1]将直线方程代入椭圆方程，得到x（或 y） 的一元二次方程 [2]计算一元二次方程的判别式△ [3]若△0 ，说明直线与椭圆相交 若△=0 ，说明直线与椭圆相切 若△< 0 ，说明直线与椭圆相离
5x 2 2mx m2 1 0 4m2 4 5(m2 1) 4(5 4m2 )
5 5 1 当 0时，即 m 椭圆与直线相交 2 2 5 2 当 0时，即m 椭圆与直线相切 2 5 5 椭圆与直线相离 3 当 0时，即m 或m 2 2
x2 y 2 例7、已知椭圆 1及右焦点F1，P为椭圆 25 9 上的一动点，求线段PF1的中点M的轨迹方程。 y F1 (4,0) 解： P M 设 M ( x, y), P( x1 , y1 ) o x1 4 y1 F1 x 则 x ,y 2 2 x1 2x 4, y1 2 y 2 2 4( x 2) 4 y 1 ∵点P在椭圆上 25 9 2 2 x1 y1 1 ∴ ( x 2) 2 y 2 轨迹方程为 25 9 1 2 2 25 9 (2 x 4) (2 y ) 即有 1 4 4 25 9
x 设动圆圆心P(x,y), C 动圆半径为r 由题意： | PC |10 r | PC | | PA | 10 且 | PA | r 由椭圆定义，点P的轨迹是 以A，C为焦点的椭圆。 定义法求轨迹
例3、已知圆O1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆O2 : ( x 1) 2 y 2 9， 动圆P与圆O1外切，与圆O2内切，求动圆圆心P的 y 导学练：P-75 轨迹方程。
正方向建立坐标系，如图： 则有B(-4,0)，C(4,0) 设A(x,y)，且有
A
O
| AB | | AC | 10
B
C
x
由椭圆定义，点A的轨迹是以B， C为焦点的椭圆。 定义法求轨迹
2a 10 a 5 且 b3 c 4 2c 8 x2 y2 ∴点A的轨迹方程是 1 ( x 5) 25 9
例1、已知椭圆 x 2 y 2 1，直线l : x y m 0 4 （ ）讨论直线与椭圆的位 1 置关系 （2）求l被椭圆截得的最长弦所 在的直线方程 导学练：P-73 解：(1) x y m 0 4x2 ( x m)2 1 2 4x y2 1
例2、已知动圆P与圆C : ( x 4) y 100
2 2
相内切， 且过点A(4, 0), 求动圆圆心P的轨迹方程。
导学练：P-75
y P o A
解： C (4,0), A(4,0)
2a 10 a 5 且 b3 c 4 2 y 2 2c 8 x 1 ∴点P的轨迹是 25 9
2m m2 1 4m2 5 2 2 2 m 0 4 5 25 5 ∴直线l：y=x
2
练一练：
（1）若直线l : y kx 2与椭圆2 x 2 3 y 2 6 相交于两个不同点，求实数k的取值范围
y
导学练：P-74
C (0,2)
B(0, 2)
x2 y 2 例6、过椭圆 1 内一点A(1, 0)作动弦， 9 4 导学练：P-75 求动弦中点M 的轨迹方程。 y 解： 设弦的两端点 , y2 )
M
o A x x12 y12 则 1 ① F 92 42 x2 y2 1 ② 9 4 2 2 y 0 4 2x ① ② x12 x2 y12 y2 k AM 0 x 1 9 2y 9 4 ( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 4 x2 9 y 2 4 x 0 9 4 y1 y2 4( x1 x2 ) 轨迹方程为 k EF 9( y1 y2 ) x1 x2 4 x2 9 y 2 4 x 0
作业：
练习册：P-29 习题 B组 12.4 1～ 6