2019高中数学必修2.3幂函数
幂函数知识点高一必修一
幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。
在高一必修一的数学课程中，学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。
本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握幂函数。
一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$x$是自变量，$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。
当$a$为有理数时，幂函数的定义域是实数集；当$a$为整数时，幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零；当$a$为实数时，幂函数的定义域可以是正实数集和零集。
二、幂函数的性质1. 定义域：幂函数的定义域取决于指数的取值范围，通常为实数集或者特定的数集。
2. 奇偶性：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数是偶函数；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数是奇函数；当指数$a$为实数且为非整数时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 单调性：当指数$a>0$时，幂函数是增函数；当指数$a<0$时，幂函数是减函数。
4. 对称轴：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数的对称轴为$y$轴；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数没有对称轴。
三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。
1. 当指数$a>1$时，幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大；在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。
2. 当指数$a=1$时，幂函数的图像为直线$y=x$。
3. 当指数$0<a<1$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，并且在$x$轴上趋于无穷。
4. 当指数$a=0$时，幂函数的图像为常数函数$y=1$。
5. 当指数$a<0$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。
综上所述，幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势，具体取决于指数的取值范围。
四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，尤其在自然科学和工程技术领域。
第三章 3.3 幂函数2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教材)
课前预习
@《创新设计》
课堂互动
核心素养
5.幂函数的图象不过第四象限.( √ ) 1
6.当 0<x<1 时，y＝x2的图象在 y＝x2 图象的下方.( × ) 1
提示 0<x<1 时，y＝x2图象位于 y＝x2 的图象的上方.
@《创新设计》
9
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
[微训练]
1.下列所给的函数中是幂函数的为( )
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
二、素养训练
1.已知幂函数 y＝f(x)的图象经过点4，14，则 f(2)＝(
)
1
2
A.2
B.2 C. 2
D. 2
解析 设幂函数为 y＝xα，∵幂函数的图象经过点4，14，∴14＝4α，∴α＝－1，∴y ＝x－1，∴f(2)＝2－1＝12.
26
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
一、素养落地 1.通过本节课的学习，能培养学生运用数学抽象的思维方式思考并解决问题，重点
提升学生的数学抽象、逻辑推理素养. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直 线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.
有幂函数的图象？ 提示 第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
12
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
题型一 与幂函数的概念有关的问题
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0
人教A版2019必修第一册3.3 幂函数 课件(共23张PPT)
y x3
y x2
yx
y
1
x2
y x 1
环节四
拾级而上拓认知
观察指数在0到1上的图象变化
环节四
拾级而上拓认知
观察指数在大于1上的图象变化
环节四
拾级而上拓认知
观察指数在小于0上的图象变化
环节四
拾级而上拓认知
【跟踪训练】速“秒”幂函数图象
y x 2
环节五
深度学习提素养
单 单调递 单调递减， 单调
上单调递 (0, ) 上单调
调 增
在 (0, )上 递增
增
递减
性
单调递增
环节三 总结归纳得性质
课堂活动三：小组合作探究
从这些函数的图象可以看出幂函数随着指数的取值不同，它们的性质和图象也
存在着差异，这些差异之间存在着哪些共性和个性呢?同学们根据表格和图象，小组
交流讨论。
环节五
深度学习提素养
实际情境
3.密码学和数学是相互联系和相互依赖的学科.密码学
依托于数学的各个分支来设计加密算法和进行密码破
解，同时也推动了数学理论的发展和创新.为了保证信
息的安全传输需要使用加密方式.有一种方式其加密、
解密原理为：发送方由明文到密文（加密），接收方
由密文到明文（解密）.现在加密密钥为 = (为常
域
值
域
yx
yx
2
y x3
y
1
x2
y x 1
R
R
R
[0, ) (,0) (0, )
R
[0, )
R
[0, ) (,0) (0, )
奇
偶 奇函数
幂函数教案：高中数学必修的章节之一
幂函数教案：高中数学必修的章节之一在高中数学必修的课程中，幂函数是一道重要而又基础的数学知识，更是我们学习其他数学知识的基础。
因此，针对高中数学必修中的幂函数教案，我们需要作出详细的讲解和探究，同时需要结合一些实例和练习来帮助学生更好地理解和掌握这一知识，提高数学素养和解题能力。
一、教学目标1.理解幂函数的定义和性质，知道其图像特征并能用具体实例说明。
2.能变形解决简单的幂函数的运算。
3.能应用指数函数和对数函数的性质，解决幂函数与指数函数、对数函数的联立方程。
二、教学重点1.在数轴上绘制幂函数的图像并分析其特征。
2.掌握幂函数的运算规则，以及幂函数与指数函数、对数函数的联立方程解法。
三、教学难点1.理解并掌握幂函数的定义和性质，知道幂函数的图像特点。
2.掌握幂函数的运算规则，能解决幂函数的简单运算。
3.掌握幂函数和指数函数、对数函数联立方程的解法。
四、教学过程1.幂函数的定义和性质幂函数是形如y=x^a（a为实数）的函数，其中x>0(x=0时，a>0)。
幂函数的图像特征与指数函数相似，是利用对数函数的概念、运算，指数函数的知识，掌握的一个重要的数学工具。
幂函数的图像特征：当a>1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐加速，当a=1时为与x 轴正比例函数y=x，当0<a<1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐减缓，最后趋近于x轴。
当a<0时，幂函数y=x^a的图像下降，且在x轴右侧有垂直渐近线x=0，在x轴左侧有水平渐近线y=0。
2.幂函数的运算规则加减法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数相加或相减。
即x^a+x^b=x^(a+b)，x^a-x^b=x^(a-b)。
乘法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数乘积。
即x^a*x^b=x^(a+b)。
幂函数的运算可以变形为指数函数和对数函数的运算，如x^a=y，可变形为a=logx(y)或者y=x^a，可变形为a=logy(x)。
2019(新课标)高中数学人教B版目录(全)新版
2.1.1 等式的性质与方程的解集
4.6 函数的应用 (二)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与 系数的关系
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
2.1.3 方程组的解集
第五章 统计与概率
2.2 不等式
5.1 统计
2.2.1 不等式及其性质
2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.3 平面向量线性运算的应用 本书拓展阅读目录 对数发明起源的简介 素数个数与对数 指数运算与生活哲学 我国古代统计工作简介 用样本估计总体的失败案例 “黄金７２小时”中的概率 向量的推广与应用
人教B版 （2019）必修三 第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制
6.1.1 向量的概念
自主招生中的充分条件与必要条件
6.1.2 向量的加法
《九章算术》中的代数成就简介
6.1.3 向量的减法
函数定义的演变过程简介
6.1.4数乘向量
物理中的变化率
6.1.5 向量的线性运算
付出与收获的关系
6.2 向量基本定理与向量的坐标
二分法在搜索中的应用
6.2.1 向量基本定理
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
10.2 复数的运算
1.2.5 空间中的距离
10.2.1 复数的加法与减法
第二章 平面解析几何
10.2.2 复数的乘法与除法
2.1坐标法
10.3 复数的三角形式及其运算
2.2 直线及其方程
第十一章 立体几何初步
2.2.1直线的倾斜角 与斜率
11.1 空间几何体
高中数学：2.3幂函数 (30)
第二章 2.3A 级 基础巩固一、选择题1．下列6个函数：y ＝x 53 ，y ＝x 34，y ＝x －13，y ＝x 23，y ＝x －2，y ＝x 2中，定义域为R 的函数有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[解析] 函数y ＝x 53 ，y ＝x 23，y ＝x 2的定义域为R ，函数y ＝x 34的定义域为[0，＋∞)，函数y ＝x －13及y ＝x －2的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以定义域为R 的函数有3个，应选择B ．2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( B ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 12[解析] 函数y ＝x 13，y ＝x 3，在(－∞，0)上均是增函数，y ＝x 12 在(－∞，0)上无意义，y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数．3．幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( B )A ．－1<m <0,0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1[解析] 当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x－1的图象下方，∴n <－1；又0<m <1，故选B ．4．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是( C ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a[解析] ∵0.6∈(0,1)，∴y ＝0.6x 是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y ＝x 0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c >a >b ，故选C ．5．(2019·天津和平区高一期中测试)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(－2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( B )A ．(－∞，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)[解析] 由题意得4＝(－2)α，∴α＝2. ∴f (x )＝x 2.∴f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)． 6．函数y ＝3x α－2的图象过定点( A ) A ．(1,1) B ．(－1,1) C ．(1，－1)D ．(－1，－1) [解析] ∵y ＝x α的图象过定点(1,1)，∴函数y ＝3x α－2的图象过定点(1,1)． 二、填空题7．(2019·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )＝__x 34__. [解析] 设f (x )＝x α， 由题意得427＝3α，∴334＝3α，∴α＝34，∴f (x )＝x 34 .8．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知函数f (x )＝(m 2＋3m ＋1)x m2＋m －1是幂函数，且其图象过原点，则m ＝__－3__.[解析] 由题意得m 2＋3m ＋1＝1， ∴m 2＋3m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－3. 当m ＝0时，f (x )＝x －1＝1x ，其图象不过原点， ∴m ＝－3. 三、解答题9．已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x，因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称 又f (－x )＝－x －2－x＝－(x －2x )＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．(3)f (x )在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－(x 2－2x 2)＝(x 1－x 2)(1＋2x 1x 2)，因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0,1＋2x 1x 2＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．B 级 素养提升一、选择题1．a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝1.112的大小关系是( D ) A ．c <a <b B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <b <a[解析] ∵y ＝x 12是增函数，∴1.212>(10.9)12 >1.112，即a >b >c .2．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( B )A ．0B ．1C ．2D ．0或1[解析] 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数， 所以3m －5＜0，故m ＜53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝0时， f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时， f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意． 综上知，m ＝1.3．(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝( D )A ．－1B ．0C ．1D ．2[解析] 由题意得m 2－m －1＝1，∴m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，∴m ≠－1； 当m ＝2时，f (x )＝x －1＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∴m ＝2.4．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( C ) A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析] 幂函数y ＝x 12，y ＝x －1在(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C ．二、填空题5．已知幂函数f (x )＝x －14，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是__(3,5)__. [解析] ∵f (x )＝x －14＝14x(x ＞0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2a ＞0a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜5a ＞3.∴3＜a ＜5. 6．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__9__.[解析] 由题意可知函数y ＝x α中，当x ＝4时，y ＝2，∴2＝4α，∴α＝12.∴y ＝x 12 .∴当y ＝3时，x 12＝3，∴x ＝9. 三、解答题7．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数．∴f (x )＝x 4.8．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f (x )的最小值． [解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝x 2与y ＝x－2的图象如图．则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≤－1)x －2(－1<x <0)x －2(0<x ≤1)x 2(x >1).∴f (x )在x ＝－1与x ＝1处均取得最小值1，即f (x )min ＝1. 9．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，22)． (1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性和单调性，并说明理由． [解析] (1)设幂函数y ＝f (x )＝x α， ∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，22)， ∴2α＝22，α＝－12，f (x )＝x －12. (2)由(1)知函数的定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 任取两个实数x 1，x 2,0<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2(x 2＋x 1).又∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在定义域上是单调递减函数．。
单元复习 幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版2019必修第一册)
故 f(x)=lg
+1
(2)由(1)知,f(x)=lg 1- (-1<x<1),
-+1
1-
1+ -1
1+
所以 f(-x)=lg1-(-)=lg1+=lg 1- =-lg 1- =-f(x),
所以 f(x)为奇函数.
+1
(3)原不等式可化为 lg 1- ≥lg(3x+1)(-1<x<1),
改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
m
n
是奇数．根据函数图象，当 x∈(1，＋∞)时，y＝x 的图象在 y＝x 图象的下方，
m
n
m
所以 n <1.故选 C.
(2)当 0<a<1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，
1
于是函数 y＝ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，函数ຫໍສະໝຸດ 1 1
1
y＝logax＋2的图象过定点2，0，在－2，＋∞上单调递减．
是由函数 f(x)＝ax 的图象向下平移一个单位长度，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上
方得到，分 a>1 和 0<a<1 两种情况作图，如图．当 a>1 时，直线 g(x)＝2a 与函数 f(x)
幂函数的图象和性质
高中数学：幂函数的图象和性质
(1)若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(B)
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
解析：由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.
(2)(2019·辽宁大连八中月考)已知幂函数f(x)＝x m2－4m的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则整数m＝2__.
解析：由题意可得幂函数f(x)＝x m2－4m为偶函数，
所以m2－4m为偶数．又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m2－4m<0，解得0<m<4，故m＝2.
【条件探究】若本典例(2)中，将函数“f(x)＝x m2－2m－3”变为“f(x)＝(m2＋2m－2)x m2－3m”，其他条件不变，则m的值如何？
解：由于f(x)为幂函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3，经检验只有m＝1符合题意，所以m＝1.
1.比较幂值大小的常见类型及解决方法
2.幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征：
(1)幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为
(C)
A．－1B．0
C．1D．2
解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m －3＝－4，满足要求．。
2019A新高中数学必修第一册：2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)
(1) 根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式, 说明溶液酸
碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升, 计算
纯净水的 pH.
解:
(1)
公式化为
pH
=
lg[H+]-1 =
lg
1 [H
, ]
此对数函数是 (0, ∞) 上的增函数,
当[H+]增大时,
当 I=10-12 W/m2 时,
LI =10lg(1100--1122 ) =10lg1 =0.
∴人听觉的声强级范围是 0 到 120 dB.
3. 声强级 LI (单位: dB) 由公式 LI =10lg(10I-12 )
给出, 其中 I 为声强 (单位: W/m2).
(1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1 W/m2, 能
y = logax (a>0, a≠1). 即 指数函数与对数函数互为反函数.
一般地, 求一个函数的反函数, 就是将函数中 的自变量 x 表示成 y 的函数, 其定义域是原函数的 值域.
由于习惯用 x 表示自变量, 所以将变换后函数 中的字母 x, y 相交换.
如: y=log3x,
用 y 表示 x: x=3y,
5. (1) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、 b, 都有 f(a·b)=f(a)f(b)” 的函数例子, 你能说出这些 函数具有哪些共同性质吗?
(2) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、b, 都有 f(ab)=f(a)·f(b)” 的函数例子, 你能说出这些函 数具有哪些共同性质吗?
函数中的字母 x, y 相交换得
y=g(x), 指数函数与对数函数互为反函数. 如果两函数互为反函数, 则它们的图象关 于直线 y=x 即称.
高中数学,幂函数知识点及题型
第七节幂函数❖基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1) ❖常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一幂函数的图象与性质[典例](1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2[解析](1)设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C. (2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.[答案] (1)C (2)B[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．[题组训练]1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 函数y ＝x －4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c[解析] 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . [答案] D[题组训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选B 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525>c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a >c >b . 2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [课时跟踪检测]1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4 B. 2 C ．2 2D ．1解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12D ．－1解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x24的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <z <yB ．y <x <zC ．y <z <xD ．z <y <x解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14. 答案：1410．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________． 解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3. 答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________． 解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。
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2. 3 幂函数教案
【教学目标】
1．掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
2．能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
【教学重难点】
教学重点：从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
【教学过程】
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（1）边长为a的正方形面积2Sa，S是a的函数；
（2）面积为S的正方形边长12aS，a是S的函数；
（3）边长为a的立方体体积3Va，V是a的函数；
（4）某人ts内骑车行进了1km，则他骑车的平均速度1/vtkms，这里v是t的函数；
（5）购买每本1元的练习本w本，则需支付pw元，这里p是w的函数.
已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑
说出来。
设计意图：步步导入，吸引学新知：一般地，形如yx()aR的函数称为幂函数，
其中为常数.
试试：判断下列函数哪些是幂函数.
①1yx；②22yx；③3yxx；④1y.
探究任务二：幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1）yx；（2）12yx；（3）2yx；（4）1yx；（5）
3
yx
．
从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象，总结填写下表：
xy
2
xy
3
xy
2
1
xy
1
xy
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
（三）合作探究、精讲点拨。
例1讨论()fxx在[0,)的单调性.
解析：证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性。
证明：任取),0[,21xx，且21xx，则
212121
2121
2121
))(()()(xxxxxxxxxxxxxfxf
，
因为21xx，021xx，所以02121xxxx，
所以)()(21xfxf，即()fxx在[0,)为增函数。
点评：证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写，利用作商法比较大小时注意函数符号
要一致。
变式训练1：讨论3()fxx的单调性.
（学生板演，小组讨论）
例2比较大小：
（1）1.5(1)a与1.5(0)aa； （2）223(2)a与232；（3）121.1与120.9.
分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数单调性来比较大小。
变式训练2
练习1. 讨论函数23yx的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单
调性.
练习2. 比大小：
（1）342.3与342.4； （2）650.31与650.35；
（3）32(2)与32(3)
(四)小结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？幂函数的图象和形
状就可能发生很大的变化。我们今天主要研究了幂函数在第一象限的性质。本课的设计采
用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决
重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检
测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
【板书设计】
一、幂函数概念及其性质
1. 概念
2. 性质
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】课本79页2
2.3 幂函数学案