函数的极值及其应用

第1页（共10页） 函数的极值及其应用 作 者：xxxxx 指导老师：xx

摘要：论述了函数的极值问题，讨论了求函数极值的必要条件和充分条件，通过例题分析了求函数的极值问题的具体步骤，并用实例展现了函数的极值在解决实际问题中的重要作用． 关键词：函数的极值;函数极值的必要条件;函数极值的充分条件

在日常生活、工程实践和生产技术中，常会碰到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能用料最少而所生产的产品最多，或者成本最低等．企业生产成本是影响企业利润的一个重要因素，因此企业经营者为了获得较高的利润，必须在企业经营中考虑如何最大限度地降低生产成本．通常这类问题最后都归结为一个数学问题，有些通过初等方法就能得到解决．例如，初等数学中的求极值的方法在这类问题的解决中就有着极其广泛的应用．这些都是数学中的极值问题．同样，高等数学函数问题中，函数极值的求法与应用也是一个值得深思的问题．那么从哪些方面对高等数学中函数的极值问题进行研究呢？

1 一元函数的极值问题及其应用 1.1 一元函数极值的定义 设函数fx在0x的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于0x的x恒有：0fxfx，则称0fx为函数的极大值，称0x为函数的极大值点．0fxfx，则0fx称为函数的极小值，称0x为极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为函数的极值点[1]． 1.2 函数极值存在的条件 1.2.1 函数极值存在的必要条件 设函数fx在点0x处可导，且在0x处取得极值，那么'0fx[2]． 第2页（共10页）

由费马定理]1[知：'0fx只是可导函数存在极值的必要条件．但不是充分条件，原因在于，如果00fx，0x并不一定是极值点．例如，对于函数3fxx来说，00f，但是由于当0x时有0fx，当0x时，0fx，而00f，所以0x不是它的极值点．使导数等于零的点（即方程0fx的实根）叫做函数fx的驻点．据此可知，导函数的极值点必定是它的驻点，而函数的驻点却不一定是极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()fxx在点0x处不可导，但函数在该点取得极小值． 应该注意的是：极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区间上的极值点可能有若干个． 怎样判定函数在驻点或不可导点处究竟是否取得极值？如果是，究竟取得极大值还是极小值？下面给出两个判定极值的充分条件． 1.2.2函数极值存在的充分条件 函数极值的第一充分条件 设函数fx在0x的一个邻域内可导，或者在点0x处不可导但必须连续．若当在该邻域内x由小于0x连续地变为大于0x时，其导数fx

改变符号，则0fx为函数的极值，0x为函数的极值点．若导函数fx

由正值变为负值，则0x为极大值点，0fx为极大值；若导函数fx由负值变为正值，则0fx为极小值，0x为极小值点[2]． 由此可知：如果fx在0x处可导且00fx但fx在0x的两侧同号，则0x不是函数的极值点，fx在0x处不取得极值． 函数极值的第二充分条件 设函数fx在0x处的二阶导数存在，若00fx，且00fx，则0x是函数fx的极值点，0fx为函数fx的极值，并且当00fx

时，0x为极小值点，0fx为极小值；当00fx时，0x为极大值点，0fx为极大值[3]．

这表明，如果函数fx在驻点0x处的二阶导数00fx，那么该驻点一定是极值点，并且可以按二阶导数0"()fx的符号来判定0fx是极大值还是极小值．但如果0"()0fx，上述结论就不能应用．事实上， 第3页（共10页）

当00fx且0"()0fx时，fx在0x处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值．例如，443123(),(),(=fxxfxxfxx）这三个函数在0x处就分别属于这三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定． 1.3 用微分法求函数极值的理论依据 定理1 （极值的必要条件）如果函数fx在点0x处可导，而且在点0x处有极值（极大值或极小值）则必有00fx[1]． 由定理1可知：可导函数有极值点，则其极值点必是使其导函数值等于零的点（即方程'0fx的实根）；但反过来能使导函数值为零的点不一定是极值点． 1.4 例题 例1 当x为何值时函数2481fxxx有极值，其极值如何？ 解 由题设条件知88fxx，令880fxx知01x，当1x 时，0fx；当1x时，0fx．故01x是函数2481fxxx的极小值点，且10f． 例2 求3229123fxxxx的极值． 解 对原函数求导数可得：261812,1218,fxxxfxx令0fx，则由2618120xx，得到11x，22x．由于当0fx时

原函数在x处取得极小值，当0fx时原函数在x处取极大值．将

11x代入得1121860f，所以函数在11x处取得极大值，其值为12f；将22x代入得2241860f，所以函数在22x处取得极小值，其值为21f． 例3 在厨房屋角有一个八尺深的方窖，现要利用窖的两壁拦一角来做一个长方体形状的煤仓，其容量是288立方尺，问如何做能最省材料． 解 设仓库宽为x尺(0)x，长为y尺(0)y，则容量是8288xy，因为0x，0y，这是一个关于两个正数的函数问题，且36xy，两正数之积为一定数，故当xy时，其和有极值，即6x，6y 时，yx

最小．如果用S代表所用材料的面积，则S=8x+y，当6x，6y时，S最小最省材料．

2 二元函数的极值问题及其应用 第4页（共10页）

2.1 二元函数极值的定义 设函数,zfxy在点0,0xy的邻域内有定义，对于该邻域内异于0,0xy的点，如果都有0,0,fxyfxy，则称0,0fxy为函数

,zfxy

的极大值；如果都有0,0,fxyfxy，则称0,0fxy为函数,zfxy的极小值；极大值和极小值统称为二元函数,zfxy的极值；使二元函数,zfxy取得极大值的点或者极小值的点0,0xy，称为极大值点或者极小值点；极大值点和极小值点统称为极值点[3]． 2.2 二元函数极值存在的实例分析 例4 二元函数2234zxy在点0,0处存在极小值． 解 因为点0,0的任一邻域内异于0,0的点的函数值都为正，而且在点0,0处的函数值为零．另外，从几何图形上看这是显然的，因为点0,0,0是开口向上的椭圆抛物面2234zxy的顶点． 例5 二元函数22zxy在点0,0处存在极大值． 解 因为点0,0是位于xoy面下方的锥面22zxy的顶点，所以二元函数22zxy在点0,0处存在极大值． 例６ 二元函数zxy在点0,0处不存在极值． 解 因为在点0,0处的函数值为零，而在点0,0的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点，所以函数zxy在点(0,0)处既不存在极大值也不存在极小值． 2.3 二元函数极值存在的条件 二元函数极值存在的必要条件 设二元函数,zfxy在点0,0xy处有极值，且两个偏导数存在，

则在该点的偏导数必为零，即0,00xfxy且0,00yfxy[4]． 凡是能使0,00xfxy且0,00yfxy的点0,0xy称为二元函数的驻点．极值存在的必要条件说明，如果二元函数的两个偏导数存在，则二元函数的极值点一定是驻点．但是二元函数的驻点不一定是极值点．例如，点0,0是函数xyz的驻点，因为0,00xf且0,00yf，但是函数,zfxy在点0,0不存在极值． 第5页（共10页）

与一元函数的情形相同，二元函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值．例如，22(,)fxyxy在原点没有偏导数，但(0,0)0f是f的极小值． 二元函数极值存在的充分条件 设函数,zfxy在点0,0xy的某个邻域内连续且有二阶连续的

偏导数，有0,00xfxy且0,00yfxy，记二阶偏导数为0,0xxfxyA，0,0xyfxyB，0,0yyfxyC，2BAC，则函数,zfxy在点0,0xy

处是否取得极值的条件如下[5]： (1) 当0且0A时，函数,zfxy在点0,0xy处取得极大值； (2) 当0且0A时，函数,zfxy在点0,0xy处取得极小值； (3) 当0时，函数,zfxy在点0,0xy处不取得极值； (4) 当0时，函数,zfxy在点0,0xy处可能取得极值，也可能不取得极值]6[． 2.4 二元函数极值的实例分析及应用 例７ 求二元函数322,421fxyxxxyy的极值． 解 根据题意： (1) 首先求出二元函数,fxy的偏导：2',382xfxyxxy， ',22yfxyxy，",68xxfxyx，",2xyfxy，",2yyfxy．

(2) 然后解方程组：2,3820,220xyfxyxxyfxyxy，可得到驻点0,0和

2,2．

(3) 分析2BAC的符号：当0,00,0xy时，有8A，2B，2C，20BAC；而当0,02,2xy时有，4A，2B，2C，20BAC

．

(4) 求二元函数的极值：综合以上得出的结果可知二元函数在点0,0处取得极大值，在点2,2处不存在极值，即二元函数的极大值是

0,01f．

例8 求二元函数3322,3+39fxyxyxyx的极值． 解 根据题意：