因式分解 公式法 十字相乘法

知识点一、平方差、完全平方公式
1计算下列各式，并根据左面的式子填空
（1）=-+)3)(3(x x ， （1）=-92x
（2）=-+)4)(4(y x y x ， （2）=-2216y x
（3）=-+)23)(23(n m n m ，（3）=-2
249n m
思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？
2．公式法：
平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- 完全平方公式： 222)(2b a b ab a ±=+±
3.小结：分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。

（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。

（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。

知识点二、运用平方差公式分解因式
例1下列多项式能否用平方差公式进行因式分解
（1）x 2－9y 2； （2）16x 4－y 4； （3）12a 2x 2－27b 2y 2；
例2（1）（x+2y ）2－（x －3y ）2； （2）xy xy 333
-； （3）a ax ax ax -+-23
练习1（1）
2220951b a -； （2）164+-a ； （3）m 2（16x －y ）+n 2（y －16x ）．
（4）2xy x -； （5）2
2)23()32(y x y x --+； （6）424255b m a m -
练习2．（1）已知x+y=7，x －y=5，求代数式x 2－y 2－2y+2x 的值．
（2）．已知x+y+z=0，化简x 2－y 2+xz －yz ．
练习3．简便计算： （1） 22171429- （2） 24485245152
2⨯-⨯
培优题： (1)222224)(b a b a -+ (2))(42s t s s -+-
(3)1)3)(2)(1(++++x x x x
知识点三、运用完全平方分解因式
例1（1）229124b ab a +- （2）2
2816y x xy +-
（3）24
11x x ++ （4）xy y x 4422-+
练习：把下列各式分解因式：
（1）．1692
+-t t （2）．412
r r +- （3）．236121a a +- （4）．4
2242b b a a +-
例2．把下列各式分解因式：
（1）．122++n n m m （2）．222n m mn -- （3）．ax y ax y ax ++2232 （4）．22224)1(4)1(a a a a ++-+
练习：把下列各式分解因式：
（1）．n n m m y y x x
42242510+- (2)．222y xy x -+- (3)21222+-x x
(4)16
1)(21)(2+---y x y x (5)n n m m y y x x 2245105-+-
例3．利用因式分解进行计算：
（1）．4
19.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ （2）．2298196202202+⨯+
（3）．225.15315.1845.184+⨯+
例4完全平方公式的应用
（1）．已知212=
-b a ，2=ab 求：42332444b a b a b a -+-的值．
（2）．已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且ca bc ab c b a ++=++2
22求证：此三角形为等边三角形．
（3）．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且0)(22222=+-++c a b c b a 你能判断△ABC 的形状吗？请说明理由．
（4）．求证：不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．
知识点四：十字相乘法分解因式
1计算下列各式，并根据左面的式子填空
（1）=++))((q x p x ， （6）()=+++pq x q p x 2 （2）=++))((q bx p ax ， （7）=+++pq x bp aq abx )(2
思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？
（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．
例如：322--x x 和652
++x x 都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项
式．同样，多项式12)(7)(2
++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
3．十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
4经典例题
例1 把下列各式分解因式：
(1)1522--x x ； （2） （3）
(4)2265y xy x +-． (5）120)8(22)8(222++++a a a a
例2 把下列各式分解因式：
(1)3522--x x ； (2)3832
-+x x ．
（3）32231212x x y xy -+
例3 把下列各式分解因式：
（1）91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(2
22++++a a a a ．
例4 （1）90)242)(32(22+-+-+x x x x （2）653856234++-+x x x x
（3）655222-+-+-y x y xy x
例5 （重点）已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-
(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++
一、选择题
1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b )
2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )
A ．10和－2
B ．－10和2
C ．10和2
D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )
A ．22-+x x
B ．x x x 310322+-
C ．242++x x
D ．22865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )
A ．20)(13)(22++-+y x y x
B ．20)(13)22(2++-+y x y x
C ．20)(13)(22++++y x y x
D ．20)(9)(22++-+y x y x
6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；
④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；
(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
(1)2224)3(x
x -- (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x (460)(17)(2
22++-+x x x x 8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．。