2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 函数f(x)=√1−e x +√x+3的定义域为( )A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]2. “x =2kπ+π6,k ∈Z ”是“sinx =12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知扇形的弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为( )A. π4B. π6C. π2D. 9π44. 函数y =log 13(6−x −x 2)的单调递增区间是( ) A. [−12,+∞)B. [−12,2)C. (−∞,−12]D. (−3,−12]5. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=4|b ⃗ |，且(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π66. 已知函数f(x)=lg(4x −13x −m)，若对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立，则实数m 的取值范围为( )A. [−193,+∞)B. (−∞,−114)C. [−193,−114]D. [−193,−114)7. 已知函数f(x)=ln(x 2−1)+2x +2−x ，则使不等式f(x +1)<f(2x)成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−13)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)8. 已知不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |在t =t 0处取最小值，当0<t 0<15时，θ的取值范围为( )A. (0,π3)B. (π3,π2)C. (π2,2π3)D. (2π3,π)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. φ=−2π3B. 函数f(x)图象的对称轴为直线x =kπ2+7π12(k ∈Z)C. 将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x −π3)的图象 D. 若f(x)在区间[2π3,a]上的值域为[−A,√3]，则实数a 的取值范围为[13π12,3π2]10. 已知x ，y 是正数，且2x +y =1，下列叙述正确的是( )A. xy 最大值为18 B. 4x 2+y 2的最小值为12 C. x(x +y)最大值为14D.x+2y 2xy最小值为411. 在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. 若AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的最大值为1812. 已知直线y =−x +2分别与函数y =e x 和y =lnx 的图象交于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则下列结论正确的是( )A. x 1+x 2=2B. e x 1+e x 2>2eC. x 1lnx 2+x 2lnx 1<0D. x 1x 2>√e2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知幂函数f(x)=(m 2−3m +1)x m2−4m+1的图象不过原点，则实数m 的值为 ．14. 设α，β∈(0,π)，cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根，则sinαsinβ= ．15. 设函数f(x)={2cos π3x,x ∈[−6,6]12|x|,x ∈(−∞,−6)∪(6,+∞)，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．16. 在平面四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，且AB =1，EF =√2，CD =√3，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 从给出的两个条件①a =1，②a =2，③a =3中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合A ={0,a +2}，B ={0,1，a 2}.(1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的值； (2)已知_____，若集合C 含有两个元素且满足C ⊆(A ∪B)，求集合C ．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx +2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω以及函数f(x)的对称中心； (2)已知f(x 0)=115,x 0∈[π6,π3]，求cos2x 0的值．19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3，D 是BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AD 交于点G ．(1)设AG⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (2)设H 是BE 上一点，且HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20. 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%，即假定奖励方案模拟函数为y =f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25,1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤x5恒成立． (1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)=115x +10；(Ⅱ)f(x)=2√x −6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数f(x)=a √x −10(a ≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．21. 对于集合Ω={θ1,θ2,…,θn }和常数θ0，定义：μ=cos 2(θ1−θ0)+cos 2(θ2−θ0)+⋯+cos 2(θn −θ0)n为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．(1)若集合Ω={π3,π4}，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；(2)若集合Ω={π3,2π3,π}，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；(3)若集合Ω={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．22.已知M={x∈R|x≠0且x≠1}，f n(x)(n=1,2，…)是定义在M上的一系列函数，满足：f1(x)=x，f i+1(x)=f i(x−1x)(i∈N+).(1)求f3(x)，f4(x)的解析式；(2)若g(x)为定义在M上的函数，且g(x)+g(x−1x)=1+x．①求g(x)的解析式；②若方程(2x−1−m)(2x(x−1)g(x)+3x2+x+1)+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【解答】解：要使原函数有意义，则{1−e x ≥0x +3>0，解得−3<x ≤0． ∴函数f(x)=√1−e x √x+3的定义域为(−3,0]． 故选：A ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了充分必要条件，考查三角函数问题，属于基础题． 根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由“x =2kπ+π6,k ∈Z ”能推出“sinx =12”，是充分条件， 由“sinx =12”推不出“x =2kπ+π6,k ∈Z ”，比如x =5π6，不是必要条件，故“x =2kπ+π6,k ∈Z ”是“sinx =12”的充分不必要条件， 故选：A ．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题．利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：扇形的圆心角θ=lr =3π2r=π2， 所以r =3，则扇形的面积S =12lr =12×3π2×3=94π．故选：D ．4.【答案】B【解析】 【分析】本题的考点是复合函数的单调性，对于对数函数需要先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间． 【解答】解：要使函数有意义，则6−x −x 2>0，解得−3<x <2， 故函数的定义域是(−3,2)， 令t =−x 2−x +6=−(x +12)2+254，则函数t 在(−3,−12)上单调递增，在[−12,2)上单调递减， 又因函数y =log 13x 在定义域上单调递减， 故由复合函数的单调性知y =log 13(6−x −x 2)的单调递增区间是[−12,2)． 故选：B ．5.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，且|b ⃗ |=t ，由向量垂直的性质可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0，由数量积运算性质可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于一般题． 【解答】解：根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，|b ⃗ |=t ，则|a ⃗ |=4|b ⃗ |=4t ，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=4t 2cosθ−2t 2=0， 则有cosθ=12，又由θ∈[0,π]，则θ=π3， 故选：B ．6.【答案】D【解析】 【分析】利用对数的不等式的解法将不等式转化为0<4x −13x −m ≤10，然后利用参变量分离转化为{m <4x −13xm ≥4x−13x −10，研究函数y =4x−13x 在[−1,1]上的单调性，求出函数的最值，即可得到m 的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，涉及了对数不等式的解法、函数单调性的判断与应用，要掌握不等式恒成立问题的常规解法：参变量分离法、数形结合法、最值法，属于较难题． 【解答】解：对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立， 即lg(4x −13x −m)≤1，可得0<4x −13x −m ≤10， 则有{m <4x −13xm ≥4x−13x −10， 因为y =4x 在[−1,1]上为增函数，函数y =13x 在[−1,1]上为减函数，所以函数y=4x−13x在[−1,1]上为增函数，故y min=14−3=−114，y max=4−13=113，所以113−10≤m<−114，则实数m的取值范围为[−193,−114)．故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了偶函数的定义及判断，判断函数单调性的方法，增函数的定义，二次函数和对数函数的单调性，以及绝对值不等式的解法，考查了推理和计算能力，属于中档题．容易看出f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，可设g(x)=2x+2−x，根据函数单调性的定义可判断g(x)在(1,+∞)上是增函数，从而判断出f(x)在(1,+∞)上是增函数，这样即可由f(x+1)<f(2x)得出f(|x+1|)<f(|2x|)，进而得出{|x+1|>1|2x|>1|x+1|<|2x|，解出x的范围即可．【解答】解：易得f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，设g(x)=2x+2−x，任取1<x1<x2，则g(x1)−g(x2)=2x1+2−x1−(2x2+2−x2)=2x1−2x2+2x2−2x1 2x1·2x2=(2x1−2x2)(2x1·2x2−12x1·2x2)，∵1<x1<x2，∴2x1−2x2<0,2x1·2x2−1>0,2x1·2x2>0,∴g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，∴g(x)在(1,+∞)上是增函数，且y=ln(x2−1)在(1,+∞)上是增函数，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴由f(x+1)<f(2x)得，f(|x+1|)<f(|2x|)，∴{|x +1|>1|2x|>1|x +1|<|2x|, ∴{(x +1)2>12x >1或2x <−1(x +1)2<(2x)2，解得x <−2或x >1， ∴x 的取值范围是：(−∞,−2)∪(1,+∞)． 故选：D ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围．由平面向量的线性运算得：得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量模的运算得：|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，由二次函数的性质可得：当t =t 0=1+2cosθ5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，再求向量夹角的取值范围即可．【解答】解：由题意有：不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)， 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，由二次函数的性质有：当t =t 0=1+2cosθ5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，即0<1+2cosθ5+4cosθ<15， 解得−12<cosθ<0， 又θ∈[0,π]， 即θ∈(π2,2π3)，故选：C ．9.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的性质，图象的平移变换，属于拔高题．根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐项判断即可得到结论．【解答】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=2，且34T=7π12−(−π6)=34π，所以T=π，解得ω=2πT=2，又f(7π12)=2sin(2×7π12+φ)=2，所以sin(7π6+φ)=1，即7π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，又|φ|<π，所以φ=−2π3，故选项A正确；所以f(x)=2sin(2x−2π3).令2x−2π3=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2+7π12，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+7π12(k∈Z)，故选项B正确；将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x+2π3−2π3)=2sin2x，故选项C错误；x∈[2π3,a]，则2x−2π3∈[2π3,2a−2π3]，因为f(x)在区间[2π3,a]上的值域为[−A,√3]，即[−2,√3]，且f(2π3)=2sin2π3=√3，所以3π2≤2a−2π3≤7π3，解得13π12≤a≤3π2，即实数a的取值范围为[13π12,3π2]，故D正确．故选：ABD．10.【答案】AB【解析】【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了利用基本不等式求解最值．【解答】解：∵x ，y 是正数，且1=2x +y ≥2√2xy ，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =12，x =14时取等号，∴解可得，xy ≤18，即xy 的最大值18，A 正确；4x 2+y 2=(2x +y)2−4xy =1−4xy ≥1−4×18=12，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =12，x =14时取得最小值12，B 正确； 因为2x +y =1， 所以y =1−2x ，所以x(x +y)=x(1−x)⩽(x+1−x 2)2=14，当且仅当x =1−x 即y =0，x =12时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C 错误； 因为x+2y2xy =12(1y +2x )=12(4x+2yx+2x+y y)=12(5+2y x+2xy )≥12(5+4)=92，当且仅当2yx =2xy且2x +y =1即x =y =13时取等号，D 不正确． 故选：AB ．11.【答案】BCD【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题．对选项 A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确．对选项C ，首先根据已知得到AD 为∠BAC 的平分线，即AD ⊥BC ，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确．对选项D ，首先根据A ，P ，D 三点共线，设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1，再根据已知得到{λ=t μ=1−t 2，从而得到y =λμ=t(1−t 2)=−12(t −12)2+18，即可判断选项 D正确． 【解答】 解：如图所示：对选项A,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误； 对选项B ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 故B 正确；对选项C,AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示平行于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量， 由平面向量加法可知：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |为∠BAC 的平分线表示的向量，为为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以AD 为∠BAC 的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD ⊥BC ，如图所示：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量，故选项 C 正确； 对选项 D ，如图所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线， 设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1， 又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{λ=t μ=1−t 2，0≤t ≤1， 令y =λμ=t ×1−t 2=−12(t −12)2+18，t =12时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确． 故选：BCD ．12.【答案】ABC【解析】 【分析】先根据题意画出图形，由函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，知函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称，y =−x +2也是关于直线y =x 对称，然后由直线y =−x +2与函数y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)也关于直线y =x 对称，得出x 2=y 1，再根据A(x 1,y 1)在y =−x +2上，后面再结合基本不等式、函数的零点存在定理等逐一判断即可．本小题主要考查函数对称性的应用、反函数、函数零点存在定理等知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于拔高题． 【解答】解：画出图形，如图，由于函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，故函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称， 因为直线y =−x +2也关于直线y =x 对称，从而直线y =−x +2与函数=y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 也关于直线y =x 对称，∴x 2=y 1，x 1=y 2，又A(x 1,y 1)在y =−x +2上，即有x 1+y 1=2，故x 1+x 2=2，故选项A 正确； e x 1+e x 2>2√e x 1⋅e x 2=2√e x 1+x 2=2e ，故B 正确；将y =−x +2与y =e x 联立可得−x +2=e x ，即e x +x −2=0， 设f(x)=e x +x −2，则函数f(x)为单调递增函数，因为f(0)=1+0−2=−1<0，f(12)=e 12+12−2=e 12−32>0，故函数f(x)的零点在(0,12)上，即0<x 1<12，由x 1+x 2=2得，32<x 2<2，x 1lnx 2+x 2lnx 1=x 1lnx 2−x 2ln 1x 1<x 1lnx 2−x 2lnx 2=(x 1−x 2)lnx 2<0，故C 正确．将y=−x+2与y=lnx联立可得−x+2=lnx，即2−x−lnx=0，记g(x)=2−x−lnx，则g(1)=1>0，g(√e)=2−√e−12=32−√e<0，则1<x2<√e，又x1x2=(2−x2)x2=x2lnx2，易知函数y=xlnx在(1,√e)上单调递增，故x1x2=x2lnx2<√eln√e=√e2，故选项D错误．故选：ABC．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义，熟练掌握幂函数的定义，性质是解题的关键．根据幂函数的定义求出m的值，验证函数图象是否过原点即可．【解答】解：由题意得：m2−3m+1=1，解得：m=0或m=3，m=0时，f(x)=x，过原点，m=3时，f(x)=1x2，不过原点，故m=3，故答案为：3．14.【答案】√76【解析】【分析】本题主要考查利用同角三角函数基本关系化简，结合根与系数之间的关系，利用转化法进行求解是解决本题的关键，是中档题．根据根与系数之间的关系，得到cosαcosβ，cosα+cosβ的值，然后利用同角的三角函数关系进行转化求解即可．【解答】解：∵cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根， ∴cosαcosβ=−26=−13，cosα+cosβ=−−36=12， (sinαsinβ)2=sin 2αsin 2β =(1−cos 2α)(1−cos 2β) =1−cos 2α−cos 2β+cos 2αcos 2β =(1+cosαcosβ)2−(cosα+cosβ)2=(1−13)2−14=49−14=736，∵α，β∈(0,π)，∴sinαsinβ>0， 则sinαsinβ=√76，故答案为：√76．15.【答案】(−∞,−52)∪{52}【解析】 【分析】作出函数f(x)的图象，设f(x)=t ，设关于t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，则方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，利用二次方程根的分别列出关于实数a 的不等式组，解之即可． 本题考查了函数零点与方程根的关系，属于中档题． 【解答】解：作出函数f(x)的简图如图，令f(x)=t ，要使方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根， 则方程t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，t 1⋅t 2=1，且由图可知方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根时，t 1=−2，t 2=−12，此时a =52；当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有6个根和0个根时，t 1∈(0,12)，t 2∈(2,+∞)，设g(t)=t 2+at +1，则有{g(0)=1>0g(12)=54+12a <0g(2)=5+2a <0，解得a <−52；当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有3个根和3个根时，t 1=t 2=2，不满足t 1⋅t 2=1，故不可能，所以实数a 的取值范围是(−∞,−52)∪{52}. 故答案为：(−∞,−52)∪{52}.16.【答案】13【解析】 【分析】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．画出图形，结合图形，先求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再利用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【解答】 解：如图所示，设AB ∩DC =O ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗2，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，两式相加得EF⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2； ∵AB =1，EF =√2，CD =√3，平方得2=1+3+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2； 又∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15， 即(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=15； ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−2 =13． 故答案为：13．17.【答案】解：(1)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A ⫋B ，当a +2=1时，即a =−1时，不满足互异性，不符合题意； 当a +2=a 2时，即a =−1或a =2时，可知a =2符合题意； 所以a =2； (2)若选①：则B ={0,1，1}，不满足互异性，不符合题意； 若选②：A ={0,4}，B ={0,1，4}，所以A ∪B ={0,1，4}， 所以C ={0,1}，C ={0,4}，C ={1,4}； 若选③：A ={0,5}，B ={0,1，9}， 所以A ∪B ={0,1，5，9}，所以C ={0,1}，C ={0,5}，C ={0,9}，C ={1,5}，C ={1,9}，C ={5,9}．【解析】本题考查了充分条件与必要条件的判断、集合与集合关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得到A⫋B，分情况求解即可；(2)分别选择①②③进行研究，利用集合与集合之间的关系进行分析求解即可．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2√3sinωxcosωx+2cos2ωx=√3sin2ωx+cos2ωx+1 =2sin(2ωx+π6)+1(ω>0)的最小正周期为π，∴2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(2x+π6)+1．令2x+π6=kπ，k∈Z.求得x=kπ2−π12，k∈Z．可得f(x)的对称中心为(kπ2−π12,1)，k∈Z．(2)∵f(x0)=2sin(2x0+π6)+1=115,x0∈[π6,π3]，∴sin(2x0+π6)=35，结合2x0+π6∈[π2,5π6]，可得cos(2x0+π6)=−√1−sin2(2x0+π6)=−45，∴cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=−45×√32+35×12=3−4√310．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称中心，得出结论．(2)先由题意求出sin(2x0+π6)的值，可得cos(2x0+π6)的值，再利用两角差的余弦公式，求得cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和对称中心，两角和差的三角公式，属于中档题．19.【答案】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(3,0)． (1)由AE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得E(2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)．由D 是BC 的中点，得D(32,1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,1)． 设G(x,y)，则AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)． 因为A 、G 、D 三点共线， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x =32y ，① 因为B 、G 、E 三点共线，所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ //BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即2(y −2)=−2x ，② 联立①②解得点G 的坐标为(65,45)，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗=(65,45)． 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗=45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以实数λ的值为45． (2)设H(t,−t +2)，则HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,−2+t)，HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,t)，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−t,t −2)． 因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(−t)2+t(t −2)=−t(3−t)+(t −2)2， 解得t =45，所以H 的坐标为(45,65)，所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−25,25)． 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−25×3+25×(−2)=−2．【解析】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于拔高题．建立平面直角坐标系，求出各点坐标．(1)根据向量共线的性质求出G 的坐标，分别求出两个向量AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，即可求解； (2)根据等式求出H 的坐标，进而求得结论．20.【答案】解：(1)对于函数(Ⅰ)，∵f(30)=12>305=6，即函数(Ⅰ)不符合条件③，∴函数f(x)=115x +10不符合公司奖励方案函数模型的要求； 对于函数(Ⅱ)，当x ∈[25,1600]时，f(x)是增函数， 且f(x)max =f(1600)=2×40−6=74<90， ∴f(x)≤90恒成立．设ℎ(x)=2√x −6−x5=−15(√x −5)2−1， ∵√x ∈[5,40]，∴当√x =5时，ℎ(x)max =−1≤0，得f(x)≤x5恒成立． ∴函数(Ⅱ)f(x)=2√x −6符合公司要求． (2)∵a ≥2，∴函数f(x)=a √x −10满足条件①，由函数f(x)满足条件②得：a √1600−10≤90，解得a ≤52， 由函数f(x)满足条件③得，a √x −10≤x5对x ∈[25,1600]恒成立， 即a ≤√x 5+√x对x ∈[25,1600]恒成立，∵√x 5+√x ≥2√√x510√x=2√2，当且仅当√x 5=√x ，即x =50时等号成立， ∴a ≤2√2．综上所述，实数a 的取值范围是[2,52].【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法、基本不等式及函数的单调性求最值，考查运算求解能力，是中档题．(1)由f(30)=12>6，说明函数(Ⅰ)不符合公司奖励方案函数模型的要求；验证函数模型(Ⅱ)满足题目给出的三个条件，说明函数(Ⅱ)f(x)=2√x −6符合公司要求; (2)由a ≥2，说明函数f(x)满足条件①，再求解不等式及利用基本不等式求最值求出满足条件②③的a 的范围，取交集可得实数a 的取值范围．21.【答案】解：(1)当集合为Ω={π3,π4}，θ0=0时，集合Ω相对θ0的“余弦方差μ=cos 2(π3−0)+cos 2(π4−0)2=38； (2)当集合Ω={π3,2π3,π}时，集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”μ=cos 2(π3−θ0)+cos 2(2π3−θ0)+cos 2(π−θ0)3=(12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos 2θ03=12cos 2θ0+32sin 2θ0+cos 2θ03=12∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为12； (3)当集合Ω={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)时，集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”μ=cos 2(π4−θ0)+cos 2(α−θ0)+cos 2(β−θ0)3=13⋅[(12+cos 2α+cos 2β)cos 2θ0+(1+sin2α+sin2β)sinθ0cosθ0+(12+sin 2α+sin 2β)sin 2θ0]要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且12+cos 2α+cos 2β=12+sin 2α+sin 2β由α∈[0,π)，β∈[π,2π)取α=7π12，β=11π12可满足上式．【解析】本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属拔高题． (1)直接代入定义求解即可；(2)代入定义，利用三角恒等变换化简求值即可；(3)代入定义化简，得到1+sin2α+sin2β=0且12+cos 2α+cos 2β=12+sin 2α+sin 2β 由α∈[0,π)，β∈[π,2π)即可得解．22.【答案】解：(1)由f 1(x)=x ，f i+1(x)=f i (x−1x)(i ∈N +)，可得f 2(x)=f 1(x−1x)=1−1x，f 3(x)=f 2(x−1x)=1−1x−1x=11− x ，f 4(x)=f 3(x−1x)=11−x−1x=x ；(2)①利用(1)中的结论，用x−1x代替x 两次，分别得到{g(x−1x )+g(11−x )=2−1x g(11−x )+g(x)=1−1x−1g(x)+g(x−1x )=1+x，消去g(x−1x)，g(11−x )，可得g(x)=x 3−x 2−12x(x−1)(x ≠0,x ≠1)．②由①可得(2x −1−m)[2x(x −1)⋅x 3−x 2−12x(x−1)+3x 2+x +1]+8x 2+4x +2=0，所以(2x −1−m)(x 3+2x 2+x)+8x 2+4x +2=0， 即(2x −1−m)x(x +1)2+8x 2+4x +2=0， 因为(x +1)2≥0，8x 2+4x +2>0恒成立，要使方程(2x −1−m)(2x(x −1)g(x)+3x 2+x +1)+8x 2+4x +2=0有且仅有一个实根，所以只需x(2x −1−m)<0有负实数解，且原方程有且只有一个负根， 则m+12<0，解得m <−1．即m 的取值范围是(−∞,−1)．【解析】本题考查函数方程的关系，以及函数的解析式的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于拔高题．(1)由新定义函数，即可得到所求解析式； (2)①利用(1)中的结论，用x−1x代替x 两次，计算可得所求；②求得原方程(2x −1−m)(x 3+2x 2+x)+8x 2+4x +2=0，转化为只需x(2x −1−m)<0有负实数解，即可得到所求范围．。