二次函数的一般式
一般式二次函数知识点总结
一般式二次函数知识点总结一般式二次函数的定义一般式二次函数是数学中一种常见的函数形式，它的表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数常数，且a不等于0。
一般式二次函数的图像特征对于一般式二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过观察其系数a、b、c来得到一些关于函数图像的信息。
1.a的正负决定了函数图像的开口方向。
当a大于0时，函数图像开口向上；当a小于0时，函数图像开口向下。
2.a的绝对值决定了函数图像的狭长程度。
绝对值越大，函数图像越狭长；绝对值越小，函数图像越扁平。
3.c决定了函数图像与y轴的交点。
当c大于0时，函数图像与y轴的交点在y轴上方；当c小于0时，函数图像与y轴的交点在y轴下方。
4.函数图像的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中-b/2a为函数的对称轴。
一般式二次函数的解析式一般式二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的解析式中，x是自变量，a、b、c是已知常数。
1.函数的值域：根据a的正负，可以得到函数的值域。
当a大于0时，函数的值域是(-∞,+∞)；当a小于0时，函数的值域是(-∞, f(-b/2a)] 或者 [f(-b/2a), +∞)。
2.函数的零点：根据一般式二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的解析式，可以使用求根公式得到函数的零点。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，b^2 - 4ac被称为判别式。
当判别式大于0时，函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，函数有一个实根；当判别式小于0时，函数没有实根。
3.函数的对称轴：函数的对称轴为x = -b/2a。
4.函数的顶点：函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
对于开口向上的函数，顶点为最小值点；对于开口向下的函数，顶点为最大值点。
一般式二次函数的应用一般式二次函数在数学和实际生活中有广泛的应用。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。
二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。
顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。
-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。
二次函数的解的情况与判别式
二次函数的解的情况与判别式二次函数是高中数学中非常重要的一种函数类型，它的解对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
在研究二次函数的解的情况时，我们可以利用判别式来确定解的个数和性质。
本文将介绍二次函数的解的情况以及与判别式的关系。
一、二次函数的一般形式与判别式二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
而二次函数的判别式为：Δ = b² - 4ac，Δ为大写希腊字母“delta”。
判别式Δ是二次函数的重要性质之一，它可以用来确定二次函数的解的情况。
二、判别式与二次函数解的情况1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实数根。
当判别式Δ大于0时，二次函数的解有两个不相等的实数根。
这意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，也就是函数的图像开口向上或向下，并与x轴有两个交点。
例如，对于二次函数y = x² - 4x + 3，判别式Δ = (-4)² - 4(1)(3) = 4，由于Δ大于0，该二次函数有两个不相等的实数根。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实数根。
当判别式Δ等于0时，二次函数的解有两个相等的实数根。
这意味着二次函数的图像与x轴有一个交点，也就是函数的图像开口向上或向下，并与x轴有一个交点。
例如，对于二次函数y = x² - 4x + 4，判别式Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 0，由于Δ等于0，该二次函数有两个相等的实数根。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实数根，而是有两个共轭复数根。
当判别式Δ小于0时，二次函数没有实数根，而是有两个共轭复数根。
这意味着二次函数的图像与x轴没有交点，也就是函数的图像开口向上或向下，但与x轴没有交点。
例如，对于二次函数y = x² + 4，判别式Δ = 0² - 4(1)(4) = -16，由于Δ小于0，该二次函数没有实数根，而是有两个共轭复数根。
二次函数一般式怎么化顶点式
二次函数一般式怎么化顶点式二次函数一般式和顶点式都是描述二次函数的两种常见形式，它们之间的转化是求解二次函数的重要步骤。
在学习数学、物理等学科时，二次函数是非常重要的知识点，对于解决实际问题和理解某些现象都有很大的帮助。
二次函数是一种二次多项式函数，它的一般式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c $其中a、b、c均为常数，a不等于0。
这个a决定了二次函数的开口方向和大小。
如果a大于0，则代表开口向上，形如一个U形，如果a小于0，则代表开口向下，形如一个倒U形。
比如，二次函数y = 2x^2 + 4x + 1代表开口向上的二次函数。
其中a、h、k均为常数，a不等于0。
这个h和k确定了二次函数的顶点坐标，也就是他们能够描述二次函数的开口方向和大小，以及顶点的位置。
对于已知二次函数一般式，我们需要将其转化为顶点式来描述。
首先，我们需要将一般式中的x配方成一个完全平方数，然后将整个式子移项，利用配方法得到顶点式中的h、k常数。
具体步骤如下：依据因式公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$我们可以将一般式中的二次项配方成一个完全平方数的形式：$ax^2+bx+c=a((\frac{b}{2a}+x)^2-\frac{b^2}{4a^2})+c$这里，$\frac{b}{2a}$就是完全平方数的前半部分，将$x^2$与它进行配平，剩下的便是完全平方数的后半部分。
2. 将整个式子移项，得到顶点式中的h、k常数。
这里我们需要加减逆运算，将配方得到的式子移项，两边同时加上一个c，也就是一般式中的常数项。
这时，我们的一般式就被转化为了顶点式的形式。
其中，顶点的横坐标为$\frac{-b}{2a}$，纵坐标为$c-\frac{b^2}{4a}$。
例如，已知函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过上面的方法将它转化为顶点式：这里我们将a=2，b=4，c=1代入公式进行求解，然后移项得到h=-1，k=-1。
A复习22.1.1《二次函数》
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四
象(C限)，y则二次函数 yy=ax2+bx-3 的y 大致图象是y
ox
ox
ox
ox
A -3
B -3
AB 30米,这时水面离桥顶的高度h是（）
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长
是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道 吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车 是否可以通过？
·5 ·C
·
·
·
·
·· -3 –2
· o B·
–1 · 1
· 2
x
·
A·
·-3
-4
交点式： y a ( x x1 )( x x 2 )
y
例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。
二次函数求极值公式
二次函数求极值公式
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$ 是常数，且$a \neq 0$。
要求二次函数的极值（最大值或最小值），可以使用以下公式：
1. 首先，计算二次函数的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
2. 如果$\Delta > 0$，则二次函数有两个不相等的实根，此时极值点为抛物线的顶点，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$。
-如果$a > 0$，则顶点为最小值点，最小值为$f(-\frac{b}{2a})$。
-如果$a < 0$，则顶点为最大值点，最大值为$f(-\frac{b}{2a})$。
3. 如果$\Delta = 0$，则二次函数有唯一实根，此时极值点为抛物线的顶点，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$。
-如果$a > 0$，则顶点为最小值点，最小值为$f(-\frac{b}{2a})$。
-如果$a < 0$，则顶点为最大值点，最大值为$f(-\frac{b}{2a})$。
4. 如果$\Delta < 0$，则二次函数没有实根，此时函数在定义域内没有极值点。
这些公式可以帮助你找到二次函数的极值点和极值。
二次函数的相关公式
二次函数的相关公式二次函数可是中学数学里的一个重要角色呀！咱先来说说二次函数的一般式，那就是 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）。
这里面的 a、b、c 都有着自己独特的作用。
a 决定了抛物线的开口方向和大小，要是 a 大于 0，抛物线开口向上，像个开心的笑脸；要是 a 小于 0，抛物线开口向下，就像个愁眉苦脸。
b 呢，它和 a 一起影响着抛物线的对称轴，对称轴的公式是 x = -b / （2a）。
c 就是抛物线和 y 轴的交点纵坐标啦，当 x = 0 时，y = c 。
顶点式 y = a（x - h）² + k 也很常用。
这个公式里，（h，k）就是抛物线的顶点坐标。
通过这个式子，咱们能一下子就找到抛物线的顶点，多方便！还有一个交点式 y = a（x - x₁）（x - x₂），这里的 x₁和 x₂是抛物线和 x 轴交点的横坐标。
记得我当年上学的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于二次函数的。
题目给出了一个二次函数的一般式，让我们求出它的顶点坐标和对称轴，还问这个函数有没有最大值或者最小值。
当时我一看这题，心里有点小紧张，不过很快就冷静下来了。
我先把对称轴的公式写出来，算出对称轴，再把对称轴的值代入函数求出顶点的纵坐标，一步步稳稳地做下来。
最后得出答案的时候，心里那叫一个踏实。
咱们在学习二次函数的时候，一定要多做练习题，这样才能熟练掌握这些公式。
比如说，给定一个抛物线的顶点和另一个点的坐标，让我们写出它的顶点式。
这时候就得灵活运用顶点式的特点来解题。
还有啊，实际生活中二次函数也有很多用处呢。
比如说投篮的时候，篮球的运动轨迹就可以用二次函数来描述。
建筑师在设计桥梁的时候，也会用到二次函数的知识来确定桥梁的形状和受力情况。
总之，二次函数的这些公式就像是我们解决数学问题的法宝，只要我们用心去学，用心去用，就能在数学的世界里畅游无阻！所以，同学们，加油吧，把这些公式牢牢地装在我们的脑袋里，让它们为我们的学习和生活服务！。
二次函数与x轴的关系
二次函数与x轴的关系
二次函数与x轴的关系涉及函数的定义、顶点、对称轴、交点、开口方向、奇 偶性、单调性，以及平移变换、拉伸变换和周期性等概念。
二次函数定义
二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
二次函数的标准式
二次函数的标准式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 表示顶点坐标。
二次函数的一般式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别表示二次项、一次项和常数项的系数。
顶点的概念
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，表示函数的极值。
顶点的求法
二次函数的顶点坐标可以通过公式 h = -b/(2a) 和 k = f(h) 求得。
对称轴的概念
二次函数图像的开口方向
根据二次项 a 的正负性可以确定二次函数图像的开口方向，向上开口表示 a > 0，向下开口表示 a < 0。
正比例系数和负比例系数的概念
正比例系数表示二次项 a 的绝对值较大，负比例系数表示二次项 a 的绝对值较小。
正比例系数和负比例系数的影响
正比例系数使得二次函数图像扁平，而负比例系数使得二次函数图像纵向拉长。
平移变换后的二次函数与x轴的关系取决于平移的方向和距离。
变换后的顶点、对称轴和交点
平移变换后，顶点和对称轴的位置会改变，交点的个数和位置也会改变。
拉伸变换的概念
拉伸变换是指通过改变二次函数图像的开口程度来改变函数的形状。
拉伸变换后的二次函数
拉伸变换后的二次函数可以表示为 y = a(x - h)^2 + k * m，其中 m 表示拉伸的程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数的一般式
二次函数一般式的形式通常为y=ax²+bx+c，又称作二次函数的解析式。
公式：
二次函数一般式y=ax²+bx+c
可设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c
二次公式为：x=−b±√b2−4ac
2a
求解方法：
知道3个点的坐标了，分别代入这个解析式，就可以得出3个方程，3个方程，3个未知数，就可以求出a，b，c了。
其他求法：
如果3个交点中有2个交点是二次函数与x轴的交点。
那么，可设这个二次函数解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（x1，x2是二次函数与x轴的2个交点坐标），根据另一个点就可以求出二次函数解析式。
如果知道顶点坐标为（h，k），则可设：y=a（x-h）²+k，根据另一点可求出二次函数解析式。