椭圆斜率乘积定值结论
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
与椭圆有关的斜率之积为定值的几个命题
4220215与椭圆有关的斜率之积为定值的几个命题*山东省泰安市宁阳县第一中学(271400)刘才华摘要本文从点的坐标间的关系、线段长度间的关系和直线斜率间的关系三个角度出发,给出了与椭圆有关的两直线斜率之积为定值的6个命题.关键词椭圆;斜率;坐标;长度;定值在与椭圆相关的综合型问题中,有这样一类问题,题目中含有条件“对于椭圆上两点P,Q ,O 为坐标原点,满足k OP ·k OQ =b 2a2”,此类问题一般的解题思路需要将直线方程和椭圆方程联立方程组,通过消元化归为一元二次方程,再利用韦达定理进行较为复杂的运算给出解答.我们在解答这些题目的时候,通过观察探究和整体运算求解发现,具有上述条件的椭圆有着一些特殊的结论,并且结论之间有着相互的内在联系.本文从点的坐标间的关系、线段长度间的关系和直线斜率间的关系三个角度出发,得到如下几个优美的命题.命题1如图1,椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OP,OQ 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a 2,则图1x 21+x 22=a 2,y 21+y 22=b 2.证明由x 21a 2+y 21b 2=1得y 21=b 2(1−x 21a 2),同理有y 22=b 2(1−x 22a 2).由k OP ·k OQ =b 2a 2得y 1y 2x 1x 2=b 2a2,则y 21y 22=b 4a4x 21x 22.由y 21y 22=b 4(1−x 21a 2)(1−x 22a 2)=b 4(1−x 21+x 22a 2+x 21x 22a 4)=b 4(1−x 21+x 22a 2)+b 4x 21x 22a 4=b 4(1−x 21+x 22a 2)+y 21y 22得x 21+x 22=a 2.由x 21x 22=a 4(1−y 21b 2)(1−y 22b 2)=a 4(1−y 21+y 22b 2+y 21y 22b4)=a 4(1−y 21+y 22b 2)+a 4y 21y 22b 4=a 4(1−y 21+y 22b2)+x 21x 22得y 21+y 22=b 2.命题1给出了一条坐标间的定值性质:满足条件的两点间横坐标的平方和与纵坐标的平方和均为定值.命题2如图1,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OP,OQ 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a2,则x 1y 1=x 2y 2.证明由命题1得x 21+x 22=a 2.由x 21a 2+y 21b 2=1得y 21=b 2a 2(a 2−x 21),同理有y 22=b 2a 2(a 2−x 22).由k OP ·k OQ =b 2a 2得y 1y 2x 1x 2=b 2a 2,则y 1y 2=b 2a2x 1x 2.于是(x 2y 2−x 1y 1)2=x 22y 22−2(x 1x 2)(y 1y 2)+x 21y 21=b 2a 2x 22(a 2−x 22)−2b 2a 2(x 21x 22)+b 2a 2x 21(a 2−x 21)=b 2(x 21+x 22)−b 2a 2(x 21+x 22)2=b 2×a 2−b 2a 2×a 4=0,故x 1y 1=x 2y 2.命题2给出了满足条件的两点间对应坐标乘积间的关系.通过探究条件中与点P,Q 相关的线段长度间的关系,我们得到命题3如图1,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OP,OQ 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a2,则|OP |2+|OQ |2=a 2+b 2(定值).证明设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由命题1得x 21+x 22=a 2,y 21+y 22=b 2.则|OP |2+|OQ |2=(x 21+y 21)+(x 22+y 22)=(x 21+x 22)+(y 21+y 22)=a 2+b 2,故|OP |2+|OQ |2=a 2+b 2(定值).命题3给出了一条定值性质:满足条件的两条线段长度的平方和为定值.命题4如图2,四边形ABCD 内接于椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),且AC,BD 相交于坐标原点O ,若直线OA,OD 的斜率满足k OA ·k OD =b 2a 2,则|AB |2+|BC |2+|CD |2+|DA |2=4(a 2+b 2)(定值).证明由命题3得|OA |2+|OD |2=a 2+b 2.*本文是山东省教育科学“十三五”规划2020年度重点课题:“多元”思维模型教学的理论建构与实践探索的部分成果,课题批准号:2020ZD049.2021543成也“消和”,败也“消和”—–例谈由数列的前n 项和求解通项公式南京市第九中学(210018)宗园摘要已知数列的前n 项和求通项公式是高中数列学习中的必备技能,教学过程中发现始终有学生忽略解题要点、混淆题目类型、错用解题方法,故作本文梳理典型例题,总结此类题型的求解方法.关键词数列;前n 项和;通项公式解题背景在数列的起始课时,学生便已经知道数列{a n }前n 项和S n 的概念,可用数学符号语言描述为:S n =a 1+a 2+a 3+···+a n ,这个简单的定义式衍生出了由数列的前n 项和求解通项公式的通式:a n =S 1,n =1S n −S n −1,n 2(∗)在实际应用中,一方面,我们可以利用(∗)式将题目条件中的前n 项和S n 消去,得到通项a n ,下文称此法为“消和”法;另一方面，我们也可以反其道行之,将题目条件中的a n 换成S n −S n −1,将条件中的通项与和的关系转换成和的递推关系,下文称此法为“消项”法.题型剖析类型一:已知S n =f (n ),求a n .典例1已知数列{a n }的前n 项和S n =2n −3,求数列{a n }的通项公式.解题思路直接使用(∗)式求解得a n =−1,n =1,2n −1,n 2.由椭圆的对称性知四边形ABCD 为平行四边形.由平行四边形的四条边长的平方和等于对角线长的平方和得|AB |2+|BC |2+|CD |2+|DA |2=|AC |2+|BD |2=图24(|OA |2+|OD |2)=4(a 2+b 2),故|AB |2+|BC |2+|CD |2+|DA |2=4(a 2+b 2)(定值).命题4给出了一条定值性质:由满足条件的两条线段生成的平行四边形中四条边长的平方和为定值.通过探究条件中与点P,Q 相关的直线斜率间的关系,我们得到命题5如图1,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OQ,OP 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a 2,则k 2P Q =b 2a2.证明由命题1得x 21+x 22=a 2,y 21+y 22=b 2.由k OP ·k OQ =b 2a 2得y 1y 2x 1x 2=b 2a 2,则y 1y 2=b 2a2x 1x 2.由斜率公式得k P Q =y 2−y 1x 2−x 1,则k 2P Q =y 22−2y 1y 2+y 21x 22−2x 1x 2+x 21=b 2−2b 2a 2x 1x 2a 2−2x 1x 2=b 2a 2,故k 2P Q =b 2a2.命题5给出了一条斜率性质:k P Q 为k OP 和k OQ 的等比中项.命题6如图2,四边形ABCD 内接于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),且AC,BD 相交于坐标原点O ,若直线OA,OD 的斜率满足k OA ·k OD =b 2a2,则k AB +k AD =0.证法1设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由题意得D (−x 2,−y 2),则k AB +k AD =y 2−y 1x 2−x 1+y 2+y 1x 2+x 1=2(x 2y 2−x 1y 1)x 22−x 21.由命题2得x 1y 1=x 2y 2,故k AB +k AD =0.证法2由题意得k OA ·k OB =k OA ·k OD =b 2a2.由命题5得k 2AB =k 2AD =b 2a2.由于k AB 与k AD 一正一负,故k AB +k AD =0.命题6给出了一条斜率性质:由满足条件的两条线段生成的平行四边形中,两条邻边所在直线的斜率为互为相反数.。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究微专题：解析几何中斜率之积为定值的问题探究教学重点】掌握椭圆中斜率之积为定值的运算设计和化简。
教学难点】如何理性判断问题的路径探寻及成果运用。
活动一：斜率之积为定值的路径探寻假设AB是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的一条不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP和AB的斜率都存在，求$K_{AB} \cdot K_{PO}$。
解析】设点$P(x,y)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有$\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{a^2-b^2}$（代点作差）。
将$AB$的斜率$k_{AB}$表示为$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，$OP$的斜率$k_{OP}$表示为$\frac{y}{x}$，则有：begin{aligned} K_{AB}&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{(y_1-y)+(y-y_2)}{(x_1-x)+(x-x_2)} \\ &=\frac{y_1-y}{x_1-x} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x-x_2}{y-y_2} \\ K_{PO}&=\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1-x_2}{y_1-y} \end{aligned}$$因此，$K_{AB} \cdot K_{PO}=\frac{b^4}{a^4} \cdot\frac{(x-x_2)(x_1-x_2)}{(y-y_2)(y_1-y)}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
结论形成总结】结论1】若$AB$是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的非直径的弦，点$P$是弦$AB$的中点，且直线$OP$和$AB$的斜率都存在，则$K_{AB} \cdot K_{PO}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
kADkPB＝ab22k1kPB＝ab22·xBy＋B a·xBy－B a＝ab22·x2B－y2B a2＝ab22－ba22＝－1，所以 PB ⊥AD，又 PD⊥AD.所以三点 P，B，D 共线，即直线 BD 过定点 P(a,0)．
7．已知椭圆x32＋y22＝1，过点 P(1,1)分别作斜率为 k1，k2 的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点．若 k1＋k1，求证 直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
y＝kx＋ 2－3 2k
3x62 ＋y42＝1
，
整理得(9k2＋1)x2＋18 2k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0， 得 x1＝18 92k23＋k21－k－3 2， 所以 x2＝18 92k23＋k21＋k－3 2， 整理得 x2－x1＝93k62＋2k1，
x2＋x1＝190k82＋21k2－6 2.
2．已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.则直线 OM 的
斜率与 l 的斜率的乘积为 －9
.
解析：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM， yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故 xM
＝x1＋2 x2＝－k2k＋b 9，易得 yM＝k29＋b 9， 从而 kOM·k＝－9.
3．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1 的上、下顶点分别为 A，B，点 P 在椭
圆上，且异于点 A，B 的直线 AP，BP 与直线 l：y＝－2 分别交于点
M，N.当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆经过的定点是
高三数学二轮复习冲刺：蝴蝶定理及应用
蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理：AB 是二次曲线Ω的一条弦，O 是AB 的中点，过O 作Ω的两条弦CD 和EF ，其中E C ,位于AB 的同一侧，直线CF 和DE 分别交AB 于点Q P ,，则有OQ OP =.2.斜率形式结论1:B A 、分别为椭圆)(1:2222b a by a x E >=+的左、右顶点，)0,(t T 为x 轴上一定点，过M 直线交椭圆于D C ,两点，连接BD AC ,，那么ta t a k k BD AC +-=.证明：过T 作x PQ ⊥轴，交椭圆于Q P ,交BD AC ,于,,N M 由椭圆对称性可知：TQ TP =：进而据蝴蝶定理可知：TN TM =，于是可得：t a t a AT BT BTNT AT MT NBT MAT k k BD AC +-===∠∠=tan tan .结论2[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =213坎迪定理如图，过圆的弦AB 上任意一点M 引任意两条弦CD 和EF ，连接CF ED 、交AB 于P 和Q ，则MBMA MQ MP 1111-=-.坎迪定理的推广设AB 是二次曲线的任意一条弦，M 为AB 上任意一点，过M 作任意两条弦CD 和EF ，连接ED 、CF 交直线AB 于P 和Q .（1）若Q P 、位于M 两侧，则MBMA MQ MP 1111-=-；（2）若Q P 、位于M 同一侧，BM AM <，则MB MA MQ MP 1111-=+.二．典例分析例1（2020一卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于31=PD P A k k 过E 作x MN ⊥轴，交DP AP ,与N M ,点，交椭圆于H G ,.显然E 为椭圆弦GH 的中点，由蝴蝶定理：EN EM =，3133tan tan =+-===∠∠=E E PD P A x x AE BE BENE AE NE NEB MAE k k ，23=E x 例2．在平面直角坐标系中，已知圆()22:236M x y ++=，点()2,0N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
押题第34道 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题(原卷版)
【押题背景】定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.【押题典例】典例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：24x＋y2＝1，椭圆C2：22xa＋22yb＝1(a>b>0)，C2与C1∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C2的标准方程；(2) 设点P为椭圆C2上的一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：PAPB为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．【答案】(1)28x＋22y＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析【解析】(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝，1b=b，因此椭圆C2的标准方程为28x＋22y＝1.(2)①1°当直线OP斜率不存在时，P A－1，PB＋1，则PAPB＝3－.押题第34道椭圆中两直线斜率之积为定值的问题2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．所以222P A x x =，由题意，x P 与x A 同号，所以x Px A ，从而PA PB ＝p A p B x x x x --＝p A p A x x x x -+＝3－.所以PA PB ＝3－为定值．②设P (x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x －k 1x 0＋y 0，记t ＝－k 1x 0＋y 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(421k ＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0，因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t )2－4(421k ＋1)(4t 2－4)＝0，即421k －t 2＋1＝0，将t ＝－k 1x 0＋y 0代入上式，整理得，2201(4)x k -－2x 0y 0k 1＋20y －1＝0，同理可得，2202(4)x k -－2x 0y 0k 2＋20y －1＝0，所以k 1，k 2为关于k的方程(20x－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根，从而k 1·k 2＝202014y x --.又点在P (x 0，y 0)椭圆C 2：28x ＋22y ＝1上，所以2200124y x =-，所以k 1·k 2＝20201211444x x --=--为定值． 典例2 已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a >b >0)的长轴长为4，两准线间距离为，设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D (1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为 k (k ≠0)，k ′，求证：k ·k ′为定值．【答案】(1)24x ＋22y ＝1；(2) x －y －1＝0和x ＋y －1＝0；(3) 证明见解析【解析】(1)由长轴长2a ＝4，两准线间距离22a c ⋅=a ＝2，c，则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为24x ＋22y ＝1.(2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF，△AEF 的面积S ＝12AD ·EF故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.因为D (1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22412k k +，x 1x 2＝222412k k-+. 故EF|x 1－x 2|.又点A到直线l 的距离d 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF＝12212k +＝212k+，则k ＝±1.综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(3) 设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝112y x + (x ＋2)，令x ＝3，得点M 1153,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得N 2253,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以点Q 的坐标为121255223,22y y x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭.直线QD 的斜率为k ′＝()()121255222231y y x x +++-＝12125()422y y x x +++， 而112y x +＋222y x +＝()1112k x x -+＋()2212k x x -+＝k ·()121212122424x x x x x x x x ++-+++，由(2)知x 1＋x 2＝22412k k +， x 1x 2＝222412k k -+，代入上式得112y x +＋222y x +＝k ·()22222248441224848k k k k k k-+-+-+++＝21218k k -＝－23k . 则有k ′＝－56k ，所以k ·k ′＝－56，为定值． 【押题匹配】（2020·江苏省海安高级中学高三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，连结2B F 并延长交椭圆于点P ，连结2PA ，12A B ，记椭圆C 的离心率为e .（1）若12e =，12A B = ①求椭圆C 的标准方程；②求21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比. （2）若直线2PB 和直线2PA 的斜率之积为92-，求e 的值.【答案】（1）①22143x y +=.②5 ；（2）12e =. 【解析】（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪==+⎪⎪⎩2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；②由①知，()12,0A -、()22,0A ，()1,0F，(20,B ，所以直线2B F的方程为)1y x =-， 将其代入椭圆的方程，得()22114x x +-=，即2580x x ，所以0x =或85x =，所以点P的坐标为8,55⎛ ⎝⎭. 从而21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比：212135B A F PA FS S ∆∆⨯==； （2）因为2B 、F 在直线2PB 上，所以直线2PB 的方程为1x y c b +=-.联立方程22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，解得()2122221222a c x a c b a c y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩或220x y b =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为()22222222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.因为直线2PB 的斜率()200PB b b k c c--==-，直线2PA 的斜率()()()()()222222222222222PA b a c b a c b a c a ck a ca a c a c a a c aa c ---++===---+-+， 又因为直线2PB 和直线2PA 的斜率之积为92-，所以()()()()()()()()222292a c a cb ac b a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -++++-⨯=-=-=-=----，即1922e e ++=，化简得22520e e -+=，01e <<，解得12e =.因此，椭圆C 的离心率为12e =. 【押题变式】1、（2020·镇江高三）已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．2、（2020·苏州高三）如图所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．3、（2020·连云港高三）已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．4、（2020·南京市秦淮中学高三）如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅰ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.5．（2020·江苏省泰州中学高三）已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围； ()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；()3若l 过点,3mm ⎛⎫⎪⎝⎭，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．6、（2020·江苏盐城高三）已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C 。
椭圆中一类斜率之积为定值 高考数学
主讲人：某某某老师
某某学校
一、教材习题变式构建模型
二、高考解题析游刃有余
试卷讲评课件
椭圆是高考考查的难点之一，椭圆中一类斜率之积问题早有出现.
本文从教材出发，通过一系列的变式，转化和化归达到高考考查要求，
体现出试题源于教材且高于教材的理念，同时，找到在椭圆中一类斜
−′
=
′
=
，则
=
−
= ，则′ = −
−
−
−′
′
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
=
........②
′
− ，
........③
试卷讲评课件
x2
[变式3]：已知椭圆Γ： 2
率之积问题的通性.
一、教材习题变式构建模型
试卷讲评课件
典型习题：(人教A版选修2-1)设点A，B的
坐标分别为 −5,0 、 5,0 ，直线AM，BM相交
4
于点M，且他们的斜率之积为− ，求点M的轨
9
迹方程。
试卷讲评课件
解：如图1，设点 , ，由已知得， =
⋅ =
⋅ =
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
试卷讲评课件
【评析】此题也属于斜率之积为定值，但此解法与变式1、2、3有所不
同，直线与椭圆有一个交点，联立两直线方程得出点的坐标，继
而得出 ∗ 式，再联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个变量，得出
关于另一变量的一元二次方程，再利用一元二次方程有一个实数解
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)