二次函数的应用（解析版）

一、集合1.集合的概念：由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素，一般采用大写英文字母A,B,C…表示集合，小写英文字母a,b,c…表示集合的元素．2.元素的性质： (1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；只要构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合相等。

(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；(3) 确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.3.常用的数集： （1）所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N ．（2）所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N 或+Ζ．（3）所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z ．（4）所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q ．（5）所有实数组成的集合叫做实数集，记作R ．（6）不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．例如，方程x 2+1=0的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是空集。

4.集合的表示方法：列举法、描述法、V enn 图法5.集合的基本关系：（1）元素与集合：a A ∈；a A ∉． （2）集合与集合：包含关系（子集），A B ⊇或B A ⊆(A 包含于B ，B含于A ，A>B ）6. 子集：（1）任何一个集合A 都是它自身的子集，即A A ⊆．（2）规定：空集是任何集合的子集，即A ∅⊆．（3）如果A B ⊇，同时B A ⊇，那么集合B 的元素都属于集合A ，同时集合A 的元素都属于集合B ，因此集合A 与集合B 的元素完全相同，由集合相等的定义知A B =（4）如果集合B A ⊆，但存在元素B x A x ∉∈且,，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B 。

（5）如果A B ⊇，同时B A ⊇，则 A B =。

（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.7.集合的基本运算：（1）并集：A ⫋B ＝{x |x ⫋A ，或x ⫋B };（2）交集：A ∩B ＝{x |x ⫋A ，且x ⫋B }．（3）补集（⫋U A ＝{x | x ⫋U ，且x ⫋A }，U 为全集．）二、函数的基本概念1.函数的定义一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ⫋A .集合与函数知识讲解 AB2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．3.函数相等：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．4.函数的表示法：解析法、图象法、列表法．5．映射的概念设A ，B 是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。

那么，就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的映射，记作：f ：A→B 。

6．区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间．7．分段函数8．函数单调性的定义(1)增函数 (2)减函数9．函数单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．10.最大值，最小值11.用定义法证明函数单调性的一般步骤单调区间——取值——作差——变形——定号——下结论．12．求单调区间的方法：定义法、图象法．13．复合函数y ＝f [g (x )]在公共定义域上的单调性(同增异减，先求定义域，单调区间是定义域的子集．）14．函数的奇偶性定义对于函数f (x )的定义域内任意一个x ：(1)f (－x )＝f (x )⫋f (x )是偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⫋f (x )是奇函数．15．函数的奇偶性的性质(1)对称性：1）奇(偶)函数的定义域关于原点对称，2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 必须成立；(3)可逆性：f (－x )＝f (x )⫋f (x )是偶函数；f (－x )＝－f (x )⫋f (x )是奇函数；(4)等价性：偶函数：f (－x )－f (x )＝0；奇函数：f (－x )＋f (x )＝0；16．分类奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数（f (x )=0），非奇非偶函数(y=kx+b)．17．函数的奇偶性判断方法与步骤利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f (－x )＝±f (x )哪一个成立．例1：以下五个写法中：⫋{0}⫋{0，1，2}；⫋⫋⫋{1，2}；⫋{0，1，2}={2，0，1}；⫋0⫋⫋；⫋A∩⫋=A ，正确的个数有（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2：已知集合A={x|x 2=1},B={x|ax=1},（1）若B⫋A,求a 的值；解：由于A={1，-1}，B⊆A ，当B=⊆时，有a=0；当B≠⊆时，有B={1}或B={-1}，又B={1/a}所以a=±1,所以a=0或a=±1典型例题（2）A⫋B=A,求a 的值 解：A⊆B=A 即B⊆A例3：已知函数f (x )=kx 2-4x -8[5,20]上是单调函数，求实数k 的取值范围。

解：(1)当k=0时，f (x )=-4x -8，是一次函数，满足在[5,20]上是单调递减函数；(2)当k>0时，由于函数f (x )=kx 2-4x -8的对称轴是x=2/k, 由题知2/k≤5或2/k≥20，即k≥2/5或k≤1/10, 综上k≥2/5或0<k≤1/10;(3)当k<0时，由于函数f (x )=kx 2-4x -8的对称轴是x=2/k<0,满足在[5,20]上是单调递减函数。

所以，k 的取值范围为（-∞，1/10]⊆[2/5,+∞)例4：已知函数f (x )是奇函数，当x>0时，f (x )=x （x+1）;当x<0, f (x )等于（ B ）A. -x(1-x)B.x(1-x)C. -x(1+x)D.x(1+x)解：设x<0，则-x>0，因为当x>0时，f (x )=x （x+1），所以f (-x )=-x （-x+1），又因为f (x )是奇函数，所以当当x<0时, f (x )=-f (-x )=-[-x （-x+1)]=x(1-x)一、选择题1.若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( D )A.3.14B.－2C.78D.7 2.已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3⫋A ，则m 的值为（ B ）．A 、1B 、－32C 、1或－32D 、不存在 3.如果集合A={x|ax 2﹣2x ﹣1=0}只有一个元素则a 的值是（ D ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．0或﹣14.集合{1，2，3}的真子集的个数为（ C ）A ．5B ．6C ．7D ．85.已知集合M ＝{a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( D )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6.若函数在区间上是增函数，则有（ C ） A ． B ． C ． D ．解：因=1+（a -b ）/(x -a)，如果a>b,则f (x )在（-∞，a ）⊆（a ，+∞）上单调递减；当a<b 时，f (x )在（-∞，a ）⊆（a ，+∞）上单调递增，又因为f (x )在区间上是增函数，所以a<b ，且（-∞，4）是（-∞,a ）的一个子区间，所以a≥4,故7.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（C ） A ． B ． C ． D ．二、填空题()x b f x x a -=-(,4)-∞4a b >≥4a b ≥>4a b ≤<4a b ≤<()x b f x x a -=-(,4)-∞4a b ≤<⎩⎨⎧≤+->=1,1)32(1,)(x x a x a x f x R a )1,32()1,43[]43,32(),32(+∞同步习题1.若集合为{1，a ，ab }={0，a 2，a+b}，则b ﹣a= 1 ．2.函数y=的定义域为A ，值域为B ，则A∩B= [0，2] ．3.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⫋A ，求实数m 的取值范围___ m ≤4_____．解 当B ＝⊆时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠⊆时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上：m ≤4.4.f (x )＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围 ．解 当a ＝0时，f (x )＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当a ≠0时，对称轴x ＝3a －12a， 当a >0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >03a －12a ≤1，得0<a ≤1.若a <0时，无解．⊆a 的取值范围是0≤a ≤1. 5.若f (2x －1)＝x 2，则 f (x )=_________．解⊆f (2x －1)＝x 2，⊆令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，⊆f (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122，⊆f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122.三、解答题1.求下列函数的增区间与减区间：(1) y ＝|x 2＋2x －3|； (2)y ＝－x 2－2x ＋3.解 (1)令f (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出f (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图象，如下图所示．由图象易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(2)由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1.令u ＝g (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.在x ⊆[－3，－1]上是单调递增，在x ⊆[－1,1]上是单调递减.而y ＝u 在u ≥0上是增函数．⊆函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1,1]．2.判断下列函数是否具有奇偶性．(1) f (x )＝3－x 2＋x 2－3.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0 解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3，或x ＝ 3.⊆函数f (x )的定义域为{－3，3}． 又⊆对任意的x ⊆{－3，3}，－x ⊆{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，⊆f (x )既是奇函数又是偶函数．（2）函数定义域为(－∞，0)⊆(0，＋∞)．当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．⊆对任意x⊆(－∞，0)⊆(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．3.已知定义在R上的函数)(xf对任意实数yx,都满足)()()(yfxfyxf+=+，且当>x时，0)(>xf求（1）求)0(f（2）判断函数)(xf的奇偶性，并证明（3）解不等式)12()4(<++-afaf解：（1）令x=y=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0（2）f(x)是奇函数。