抛物型方程有限差分方法的应用 - 报告

2015 年秋季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:偏微分方程数值解法学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:数学学生姓名:H i t e r学号:1X S012000学生类别:考核结果阅卷人抛物型方程有限差分方法的应用摘要抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。

热传导方程是最简单的一种抛物型方程。

热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。

根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。

在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。

关键字：抛物型方程，差分格式，应用AbstractParabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation.Keywords: parabolic equation, difference scheme, application0 前言抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。

如果要研究抛物型方程，我们一般从以下几个方面来研究，分别是：定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。

但是由于所学知识有限，所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。

1 抛物型方程有限差分法1.1 简单差分法考虑一维模型热传导方程)(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 (1.1) 其中a 为常数。

)(x f 是给定的连续函数。

（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()()x x u ϕ=0,，∞<<∞-x （1.2）第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()()x x u ϕ=0,,l x l <<- ()13.1及边值条件()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0 ()23.1假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近。

取N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。

其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合；k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k ju u x t t t ∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）： ()()()ττO t u t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-+,,1 ()()()2112,,ττO t u t x u t x u kjk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+ ()()()h O x u h t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-+,,1()()()h O x u ht x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--,,1 ()()()2112,,h O x u ht x u t x u k jk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+()()()()222211,,2,h O x u ht x u t x u t x u kjk j k j k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+ 可得到以下几种最简差分格式（一）向前差分格式=-+τk jk j u u 1j kj k j k j f hu u u a++--+2112，()()j j x f f = ()14.1()j j j x u ϕϕ==0，k u 0=kN u =0 ()24.1其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。

取2ha r τ=为网比，则进一步有 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +kj ru 1-+jf τ ()14.1' 此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到1j u =01+j ru +()r 21-0j u +01-j ru +j f τ 于是，利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，可算出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j 。

再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和ku 0=k N u =0算出2j u ，1,,1,0-=N j 。

如此下去，即可逐层算出所有kj u （1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k ）。

由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。

并视kj u 为()k j t x u ,的近似值。

若记()TkN k k k u u u 121,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=ϕϕϕϕ ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1'可写成向量形式⎩⎨⎧=-=+=+ϕ11,,1,0,u f Au u M k k k 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r r r r r r rr r21002100210021A若记22xu a t u Lu ∂∂-∂∂=()--=+τk jk j kjh u u u L 112112hu u u akj k j k j -++-那么截断误差为()=u R kj()()[]k jk j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛--)~,~(2112122=()2h O +τ （1.5） 其中(,)j k x t 是矩形11+-<<j j x x x ，1+<<j k t t t 中某一点。

事实上，()=u R kj k j x u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂222τ+()2τO kjx u h a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-442ˆ12 =kj x u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂222τ+()2τO ()22222ˆ112τO t u a h a kj +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅⋅⋅- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-211212ττa h ()222~τO t u kj+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21121r τ()222~τO t u kj+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=()2h O +τ。

这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂222244x u xa x u a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂=t u a x a 122⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=t u x 22t x u ∂∂∂=2322t u ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=t u t 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=22x u a t t x u ∂∂∂=23 故22t u ∂∂44244x u a x u a a ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=，从而=∂∂44x u 221t u a ∂∂⋅ （二）向后差分格式=-+τk jk j u u 1j k j k j k j f hu u u a++-+-+++2111112 ()()j j x f f = ()16.1()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0 ()26.1其中 1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。

取2ha r τ=为网比，则进一步有r -k j u 1++()r 21+1+k j u r -11+-k j u =kj u +j f τ ()16.1' 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：r -11+j u +()r 21+1j u r -11-j u =0j u +j f τ1,,1,0-=N j ，k u 0=kN u =0。

求出1j u ，在由()14.1'取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j 。

如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k 。

如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。

并视kj u 为()k j t x u ,的近似值。

直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。

但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。

（三）Grank-Nicholson 法将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson 格式：=-+τk jk j u u 1j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+211111211222 ()()j j x f f = ()18.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0 ()28.1进一步，2r -11++k j u +()r +11+k j u 2r -11+-k j u =2r k j u 1++()r -1kj u 2r +k j u 1-+jf τ ()18.1' 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值ku 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：2r -11+j u +()r +11j u 2r -11-j u =2r 01+j u +()r -10ju 2r +01-j u +j f τ 1,,1,0-=N j ，k u 0=kN u =0。